第三章 統(tǒng)計學教案(分布的數(shù)字特征)

1、 第三章 統(tǒng)計分布的數(shù)值特征 只知道什么是統(tǒng)計分布是不夠的，還必須學會對其進行量化描述。描述統(tǒng)計分布的重要的特征值有兩個，一個是說明其集中趨勢的平均指標，另一個是說明其離散程度的變異指標。這一對矛盾的指標分別從不同角度反映了統(tǒng)計分布的分布特點，它們相輔相成，相互補充，缺一不可。本章著重就這兩個指標展開討論，介紹了它們的理論、方法與應用，充分理解掌握本章的內容，對于以后各章節(jié)的學習尤為重要。 本章的目的與要求 通過本章學習，要求學生在了解總體分布的兩個重要特征值就是平均指標與變異指標的前提下，著重掌握這兩個指標的計算方法及其數(shù)學性質；明確反映集中趨勢的各種平均指標的計算特點與作用、反映離散程度的

2、各種變異指標的計算特點與作用；還要學會利用這兩個特征值得各自數(shù)學性質，采用簡捷法計算算術平均數(shù)和標準差，以提高計算效率；此外，算術、調和與幾何平均數(shù)三者之間的關系，算術平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)之間的關系等也是學生應充分理解掌握的內容。本章主要內容（計劃學時7 ） 一、分布的集中趨勢（1） 數(shù)值平均數(shù) 1、算術平均數(shù) 2、調和平均數(shù) 3、幾何平均數(shù) 二、分布的集中趨勢（2） 位置平均數(shù) 1、眾數(shù) 2、中位數(shù) 3、其他分位數(shù) 三、分布的離中趨勢 變異指標 1、變異全距 2、平均差 3、標準差 4、變異系數(shù)學習重點 一、重點掌握各種平均數(shù)的特點、應用條件、應用范圍和計算方法，及其相互之間的關系； 二、了

3、解變異指標的意義和作用，熟練掌握各種變異指標的計算方法，尤其應重點掌握標準差的計算與應用； 三、理解掌握算術平均數(shù)與標準差的數(shù)學性質，并且能利用其數(shù)學性質進行簡捷計算； 四、明確平均指標與變異指標的相互關系及其運用原則。學習難點 一、各種平均指標的應用條件、運用范圍，尤其是加權算術權數(shù)的選擇； 二、根據(jù)所掌握的資料，應選擇算術平均或調和平均方法; 三、標準差的理論依據(jù)及其計算方法，尤其是成數(shù)標準差的計算更是初學者不易掌握的問題。第一節(jié) 分布的集中趨勢（1）數(shù)值平均數(shù) 一、統(tǒng)計平均數(shù) 1、反映總體分布的集中趨勢 2、反映統(tǒng)計數(shù)列所達到的一般水平（靜態(tài)、動態(tài)） 3、與強度相對數(shù)的區(qū)別 二、算術平均

4、數(shù)（用表示） （一）算術平均數(shù)的基本內容： 算術平均數(shù) （二）簡單算術平均數(shù) 可簡寫為： 式中： xi 為變量值 n 是總體單位數(shù) 為總和符號 例31.1 從某味精廠的生產(chǎn)線上隨機抽取了10包味精，測得每包凈重分別為（單位：克） 499 497 501 499 502 503 500 499 498 500將此十個數(shù)據(jù)相加除以十就是算術平均數(shù)（結果為499.8克）。 （三）加權算術平均數(shù) 對平均數(shù)的大小起著權衡輕重作用的數(shù)稱為權數(shù) 1、用絕對數(shù)作權數(shù) 可簡寫為： （特點：先乘后除） 式中： x 為變量值， f 是各變量值出現(xiàn)的次數(shù) 計算見例31.2 例31.2 某工廠一生產(chǎn)班組150名工人日產(chǎn)

5、零件數(shù)如下：日產(chǎn)零件數(shù)（件）組中值x工人數(shù)f人數(shù)比重x f 300 以下 300 400 400 500 500 600 600 700 700 800 800 以上250350450550650750850 3 12 24 57 30 18 6 2 8 16 38 20 12 4 750 420010800313501950013500 5100 5.0 28.0 72.0 209.0 130.0 90.0 34.0合 計 150 10085200 568.0 568（件） 2、用相對數(shù)作權數(shù) （特點：先除后乘） 計算見例31.2 568（件） 兩者的關系如下： 3、簡單算術平均數(shù)與加權算術

6、平均數(shù)的關系 當 f1 = f2 = = fn 時 （四）算術平均數(shù)的數(shù)學性質 1、算術平均數(shù)與總體單位數(shù)的乘積等于各變量值總和; （1）簡單式 （2）加權式 2、各變量值與算術平均數(shù)離差之和等于0； （1）簡單式 0 （2）加權式 0 3、各變量值與其算術平均數(shù)離差的平方之和為最小值； （1）簡單式 為最小值 證明： 設 因為：，所以 式中0 ，所以 為最小 （2）加權式 為最小值 4、各變量值加減一任意數(shù)A，算術平均數(shù)也加減這一任意數(shù)A； （1）簡單式 （2）加權式 5、各變量值乘除于一任意數(shù)d，算術平均數(shù)也乘除于d； （1）簡單式 （2）加權式 綜合第四、第五數(shù)學性質得： 證明： = =

7、 = a ± b 說明對被平均的變量施加某種線性變換，新變量的算術平均數(shù)就等于對原變量的算術平均數(shù)施加同樣線性變換的結果。 6、兩個獨立變量和的平均數(shù)，等于這兩個獨立變量平均數(shù)的和。即 證明： = = = = = 這一結論還可以推廣到任意多個變量。 （五）算術平均數(shù)的簡捷計算 （根據(jù)第 4 和第 5 個數(shù)學性質，算術平均數(shù)的簡捷計算公式還可以寫出許多種） 例31.2 某工廠一生產(chǎn)班組150名工人日產(chǎn)零件數(shù)如下：日產(chǎn)零件數(shù)（件）組中值x工人數(shù)fx 550 300 以下 300 400 400 500 500 600 600 700 700 800 800 以上2503504505506

8、50750850 3 12 24 57 30 18 6 300 200 100 0 100 200 300 3 2 1 0 1 2 3 9 24 24 0 30 36 18合 計 150 27 設：x0550 ，d 100 ， 568（件） 三、調和平均數(shù)（用表示） （一）調和平均數(shù)的數(shù)學意義 調和平均數(shù)是各變量值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)，所以也稱倒數(shù)平均數(shù)。即 （二）調和平均數(shù)的統(tǒng)計意義 統(tǒng)計上的調和平均數(shù)要求其計算結果、分析結論要與算術平均數(shù)的相同，即，要保證仍然是“總體標志總量與總體單位總量的比”。 1、簡單調和平均數(shù)： （見例31.3） 2、加權調和平均數(shù)： （見例31.4） （當各種價

9、格所購買的金額不是1元，而是mi 元，這時計算平均價格就應采用加權調和平均數(shù)的方法） 例31.3 某蔬菜價格資料如下：價格（元/500克）x購買數(shù)量（500克）f購買金額（元）xf早市午市晚市0.500.400.251110.500.400.25合計 31.15 計算平均價格： （元/500克）價格（元/500克）x購買金額（元）m購買數(shù)量（500克）m/x早市午市晚市0.500.400.251112.02.54.0合計 38.5 計算平均價格： （元/500克） 當購買的金額不是1元而是多元時，按加權調和平均數(shù)的方法計算：例31.4 某蔬菜價格資料如下：價格（元/500克）x購買金額（元）m

10、購買數(shù)量（500克）m/x早市午市晚市0.500.400.25204015 40 100 60合計 75 200 計算平均價格： （元/500克） 計算時，可根據(jù)變量的計量單位（元/500克） 確定分子分母。當已知分母，未知分子時，采用算術平均的方法計算；當已知分子，未知分母時，采用調和平均的方法計算；本例已知購買金額（已知分子，分母未知），應采用調和平均的方法計算平均數(shù)。 3、加權調和平均數(shù)與加權算術平均數(shù)的關系 當 x f = m時， f = ， 則 = （三）調和平均數(shù)與算術平均數(shù)的計算要點 1、當現(xiàn)象總體的總量資料是由各個個體的數(shù)值相加所得時，用算術或調和平均的方法計算平均數(shù)。 2、當

11、掌握算式的分母資料（即總體單位總量），未知分子資料（即總體標志總量），采用算術的方法; 當掌握算式的分子資料（即總體標志總量），未知分母資料（即總體單位總量），采用調和的方法。 3、選擇單位數(shù)加權時，采用算術平均方法；而選擇標志總量加權時，則采用調和平均的方法。 4、對相對數(shù)或平均數(shù)求平均時，計算時的計算形式應與被平均的相對數(shù)或平均數(shù)的原形式保持一致。 四、幾何平均數(shù)（用表示） （當現(xiàn)象總體的量與各個個體的量之間的關系為積商關系時，用幾何平均的方法計算平均數(shù)） （一）簡單幾何平均數(shù) （二）加權幾何平均數(shù) 顯然，幾何平均數(shù)是n個變量值連乘積的n 次方根，適用于計算平均比率或平均速度時，且統(tǒng)計中運

12、用較多的是簡單幾何平均數(shù)。 將幾何平均數(shù)采用對數(shù)的形式表示，就成為取對數(shù)以后的算術平均數(shù)，所以幾何平均數(shù)也稱為對數(shù)平均數(shù)。即 簡單式 加權式 五、冪平均數(shù) 對于給定的一組變量值：，其“k階冪平均數(shù)（用Mk表示）”定義為： 1、簡單式 Mk = 2、加權式 Mk = 當k = 1時，則M1就是算術平均數(shù)； 當k = -1時，M-1就是調和平均數(shù)； 當k = 2時，M 2就是平方平均數(shù)的平方根； 當k = 0時，M 0的極限就給出幾何平均數(shù)。 證明： 設 a b 則 （a - b）2 0 a2 2 ab + b2 0 a2 + b2 2 ab ab 令x1 = a2 , x2 = b2 上式為 說

13、明 又：若令 = a 2 ，= b 2 則上式為 說明 所以 又因為： 而且 0 所以： 并且有： S （不考慮被平均變量的經(jīng)濟意義，僅從其數(shù)學意義看，同一變量按此各種不同的平均數(shù)方法計算，有以上關系） 對于Mk = ，當k 0 時為幾何平均數(shù)的說明： 對其兩邊取對數(shù) 求極限 此式的分子、分母均為無窮小量，即為，用羅彼塔法則,分別在分子、分母上對k 求導如下： 式中： （求導法則見下） 即： 這就是一個對數(shù)平均數(shù)的式子，說明在Mk = 中，當k 0 時為幾何平均數(shù)。 求導法則： ， 第二節(jié) 分布的集中趨勢（2）位置平均數(shù) 一、眾數(shù)（用m0表示） （一）概念：變量數(shù)列中，出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。

14、特點： 1、不受極端值的影響； 2、用來說明總體中大多數(shù)單位所達到的一般水平。 在實際生活中，眾數(shù)被廣泛運用： 消費者普遍需要的鞋、帽的尺碼； 市場上某種商品最普遍的價格水平；等 （二）眾數(shù)的確定 1、單項變量數(shù)列：眾數(shù)就是組內出現(xiàn)次數(shù)最多的那個變量值，在單項數(shù)列中，有可能出現(xiàn)雙眾數(shù)；也有可能不存在集中趨勢，從而眾數(shù)不存在，例32.1 某生活小區(qū)80戶居民按家庭人口數(shù)分組資料：按人口數(shù)分組（人）戶數(shù)（戶）戶數(shù)（戶）戶數(shù)（戶）甲（1）（2）（3）123458223214 4 8 27 27 14 41616161616合 計80 8080 按第一欄的分布，眾數(shù)為3，出現(xiàn)的次數(shù)最多為32次，單眾數(shù)

15、； 按第二欄的分布，眾數(shù)為2和3，出現(xiàn)的次數(shù)都為27次；雙眾數(shù)； 按第三欄的分布，無集中趨勢，眾數(shù)不存在。 2、組距變量數(shù)列（采用插補法，原理見下圖） （1）下限公式： m0 = L + （2）上限公式： m0 = U - 式中： L與U分別表示眾數(shù)所在組的下限和上限； d 為數(shù)所在組的組距； 和分別為眾數(shù)所在組、前一組和后一組的次數(shù)。 f d L m0 U例32.2 某工廠一生產(chǎn)班組150名工人日產(chǎn)零件數(shù)如下：日產(chǎn)零件數(shù)（件）組中值（ x ）工人數(shù)（ f ）300 以下300 400400 500500 600600 700700 800800 以上250350450550650750850

16、 3 12 24 57 30 18 6合 計 150 生產(chǎn)500 600件的工人數(shù)最多57人，眾數(shù)在此組內： m0 = L + 555（件） 一般地說，當數(shù)列中，數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數(shù)； 當數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）。 二、中位數(shù)（用me表示） （一）概念：將總體各單位的標志值按大小順序排列，處于數(shù)列中點位置的標志值就是中位數(shù)。 特點： 1、不受極端值的影響； 2、在總體各標志值的差異較大時，具有較強的代表性。 （二）中位數(shù)的確定 1、對于未分組的資料 方法： （1）先將總體

17、各單位的標志值按大小順序排列, （2）確定中位數(shù)所在位置 中位數(shù)項次 （3）在此位置上的變量值就是中位數(shù) 2、對于單項分組的資料 方法： （1）先對分組資料計算向上（或向下）累計頻數(shù)（或頻率） （2）確定中位數(shù)所在位置 中位數(shù)項次 （3）在此位置上的變量值就是中位數(shù) 3、對于組距分組的資料（采用插補法，原理見下圖） L me US1S1 f （1）下限公式： me = L + （2）上限公式： me = U - 兩式中，S1和 S1分別是中位數(shù)所在組前面和后面各組的累計次數(shù) 對于組距分組的資料 1、先對分組資料計算向上（或向下）累計頻數(shù)（或頻率） 2、確定中位數(shù)所在位置 中位數(shù)項次 3、由累計

18、次數(shù)欄找到中位數(shù)所在組，再利用計算公式計算中位數(shù)例32.3 某工廠一生產(chǎn)班組150名工人日產(chǎn)零件數(shù)如下：日產(chǎn)零件數(shù)（件）組中值（x）工人數(shù)（f）向上累計向下累計300 以下300 400400 500500 600600 700700 800800 以上250350450550650750850 6 18 30 60 21 12 3 6 24 54 114 135 147 150 150 144 126 96 36 15 3合 計 150 下限公式計算： me = L + 535（件） 上限公式計算 me = U - 535（件） 三、算術平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)之間的關系 英國統(tǒng)計學家皮爾生認為

19、，許多非對稱（輕微偏斜）的鐘型分布，中位數(shù)到算術平均數(shù)之間的距離大約相當于中位數(shù)到眾數(shù)距離的一半。 其經(jīng)驗公式為（其中之一）： 如果是對稱分布，則 、m0和me三者集中于一點 第三節(jié) 分布的離中趨勢 變異指標 一、變異指標概述 （一）概念： 反映總體各單位標志變異程度的統(tǒng)計分析指標叫變異指標，也稱標志變動度。 （二）作用： 1、反映總體分布的離散程度； 2、說明平均數(shù)的代表性大小；（見例33.1） 3、說明事物在發(fā)展變化過程中的節(jié)奏性和均衡性； 4、說明產(chǎn)品質量的穩(wěn)定性。 二、變異指標種類及其計算 （一）變異全距（簡稱全距，用 R 表示）（見例33.1） R xmax xmin 例33.1 有

20、甲、乙、丙三個學習小組，分別都是 5 個人，他們的學習成績如下： 單位：分序號12345平均RA.D甲75757575757500乙707275788075103.2丙50607590100755016 （二）平均差（用 A.D 表示）（見例33.1） 1、簡單式 A.D 2、加權式 A.D 優(yōu)點：不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度； 缺點：用絕對值的形式消除各標志值與算術平均數(shù)離差的正負值問題，不便于作數(shù)學處理和參與統(tǒng)計分析運算。 一般情況下都是通過計算另一種標志變異指標 標準差，來反映總體內部各單位標志值的差異狀況。 （三）標準差（用或 表示） （標準差的平方叫方

21、差，用2表示） 第一、關于變量總體的標準差（用x 表示） 1、簡單式 2、加權式 或 例33.2 某工廠一生產(chǎn)班組150名工人日產(chǎn)零件數(shù)如下：日產(chǎn)零件數(shù)（件）組中值x工人數(shù)fx =568( x )2( x )2 f 300 以下 300 400 400 500 500 600 600 700 700 800 800 以上250350450550650750850 3 12 24 57 30 18 6 318 218 118 18 82 182 282 101124 47524 13924 324 6724 33124 79524 303372 570288 334176 18468 20172

22、0 596232 477144合 計 150 2501400 129.14（件） 標準差的特點： 1、不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度； 2、用平方的方法消除各標志值與算術平均數(shù)離差的正負值問題，可方便地用于數(shù)學處理和統(tǒng)計分析運算。 標準差（或方差）是統(tǒng)計分析中最常用、最重要的變異指標。 3、方差的數(shù)學性質 （1）常數(shù)的方差等于0 ；即 Var ( c ) = 0 既然是常數(shù)，就不存在變異，所以其變異指標為0 。 （2）各變量值加減一任意常數(shù) A ，方差不變；（即所謂的平移不變） Var ( x±A ) = Var ( x ) 證明： 由于 ， 所以 Va

23、r ( x±A ) = = = = Var ( x ) （3）各變量值乘除以一任意數(shù) d，方差將乘除以這個數(shù)的平方，（而標準差也將乘除于d ）；即 Var ( dx ) = d 2Var（x） 證明： 由于 ， 所以 Var (dx ) = = = = （4） 兩個獨立變量和或差的方差，等于這兩個獨立變量方差的和 ；即 Var ( x ± y ) Var ( x )Var ( y ) 證明： Var ( x±y ) = = = = = = 因為 = 0 、= 0 ，所以 Var ( x±y ) = = = Var ( x ) + Var ( y ) （5

24、）變量方差等于這個變量的平方平均數(shù)減去這個變量平均數(shù)的平方 ；即 Var ( x ) E ( x2 )E ( x )2 或 證明： 對于兩邊同除以n并移項 得 令x0等于零得 即 = （6）對于同一變量分布，其標準差始終不會小于平均差。 即 A.Dx x 證明： 由于 = ， 而且 0 所以 兩邊開平方即得： A.Dx x 基利比（用rG表示） 當總體服從正態(tài)分布時，基利比為 0.798 4、標準差（方差）的簡捷計算 （根據(jù)方差的第 2、3 和 5 數(shù)學性質） 例31.2 某工廠一生產(chǎn)班組150名工人日產(chǎn)零件數(shù)如下：日產(chǎn)零件數(shù)（件）組中值x工人數(shù)f 300 以下 300 400 400 500

25、 500 600 600 700 700 800 800 以上250350450550650750850 3 12 24 57 30 18 6 3 2 1 0 1 2 3 9 24 24 0 30 36 18 27 48 24 0 30 72 54合 計 150 27 255 設：x0550 ，d 100 ， 129.14（件） 第二、關于屬性總體的標準差（用p 表示） （統(tǒng)計總體中的各個單位，有的具備某種屬性，有的不具備某種屬性，對于此類問題的研究，其總體稱為屬性總體） 對于總體中的單位，只具有“是”或“否”、“有”或“無”兩種不同屬性的標志，統(tǒng)計上稱為是非標志，也叫交替標志。 社會經(jīng)濟現(xiàn)象

26、是錯綜復雜的，統(tǒng)計所涉及的問題經(jīng)常也是復雜多樣的。當統(tǒng)計研究的是現(xiàn)象的是與否、有與無、屬于或不屬于、具備或不具備等這些問題時，均可按屬性總體的是非標志進行處理。所以，對于這方面問題的研究，也是統(tǒng)計分析中重要的不可缺少的一個部分。 是非標志的量化處理賦予變量值（ x ）單位數(shù)（ f ）具備某屬性（是、有）不具某屬性（非、無）1（或 0）0（或 1）N1N0pqN 1 其中： ， 所以： p q 1 由于p 和 q 都是相對數(shù)，所以，習慣上都稱其為成數(shù)。 1、是非標志的平均數(shù)（用 表示） 說明：變量值（x）單位數(shù)（f）單位比重（成數(shù)）10N1N0pqp0N1p 是非標志的平均數(shù)為： 例如：檢驗20

27、0件產(chǎn)品的質量問題，結果有16件不合格（即變量值中有16個 0），184件合格（即變量值中有184 個 1）。所以，是非標志的平均數(shù)，就是將這184個1和16個0相加除于200，結果就是 0.92（即合格率） 2、是非標志的標準差（用p表示） 說明：變量值單位比重離差離差平方加權x10pq1p0p（1p）2（0p）2（1p）2 p（0p）2 q1q2p + p2q 是非標志的標準差為： 第三、總方差和組內方差、組間方差 （在分組條件下計算的方差，只是組與組之間的差別程度，并非變量值之間的真正離差） 1、總方差（2總 ） 反映總體各單位標志值的真正差異程度的方差 = 2、組內方差（2內 ） 組距數(shù)列中，反映各組內部變量值變異程度的方差就是組內方差 實際上，在組距數(shù)列中常用此方差近似地反映總體的變異程度。 3、 組間方差（2間 ） 用組中值計算，反映了組與組之間的差異程度的方差 = 在組距數(shù)列中，此方差通常是不知道的。 式中： n 為組數(shù) fi 為各組單位數(shù) xij ( i = 1、2 n )( j = 1、2 fi )為變量值，即所有數(shù)據(jù) 為各組平均數(shù) 為總平均數(shù) 則有總方差等于組間方差加組內方差平均數(shù)，即 總方