講座：賞析數(shù)學(xué)中的美

1、 調(diào)查結(jié)果：調(diào)查結(jié)果：(1) (1) 數(shù)學(xué)是重要的，同時(shí)又是抽象和枯燥的。數(shù)學(xué)是重要的，同時(shí)又是抽象和枯燥的。(2) (2) 學(xué)數(shù)學(xué)意味著在題海中沉浮。學(xué)數(shù)學(xué)意味著在題海中沉浮。(3) (3) 數(shù)學(xué)是深?yuàn)W的枯燥理論和艱澀難懂符號(hào)的堆徹。數(shù)學(xué)是深?yuàn)W的枯燥理論和艱澀難懂符號(hào)的堆徹。(4)(4) 數(shù)學(xué)是機(jī)械記憶和解題訓(xùn)練加黑板上令人昏昏欲數(shù)學(xué)是機(jī)械記憶和解題訓(xùn)練加黑板上令人昏昏欲 睡的講解睡的講解(5) (5) 數(shù)學(xué)只給我們壓力，不給我們魅力。數(shù)學(xué)只給我們壓力，不給我們魅力。 另一方面另一方面: :是大家對(duì)數(shù)學(xué)的望而卻步。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)是大家對(duì)數(shù)學(xué)的望而卻步。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了分?jǐn)?shù)，沒(méi)有樂(lè)趣，得不到享受

2、，數(shù)學(xué)課沒(méi)學(xué)是為了分?jǐn)?shù)，沒(méi)有樂(lè)趣，得不到享受，數(shù)學(xué)課沒(méi)有情感體驗(yàn)和審美愉悅，每次上課之前，大家都會(huì)有情感體驗(yàn)和審美愉悅，每次上課之前，大家都會(huì)懷著一種期待得心情，期待著老師會(huì)帶來(lái)一些新得、懷著一種期待得心情，期待著老師會(huì)帶來(lái)一些新得、有魅力得東西，學(xué)生期望數(shù)學(xué)課能注入一些活力，有魅力得東西，學(xué)生期望數(shù)學(xué)課能注入一些活力，能多聽(tīng)到一種聲音，能了解一些定義以外的東西。能多聽(tīng)到一種聲音，能了解一些定義以外的東西。但往往期望越大失望也越大。但往往期望越大失望也越大。沒(méi)有一門(mén)學(xué)科象數(shù)學(xué)那樣，在大家的心目中沒(méi)有一門(mén)學(xué)科象數(shù)學(xué)那樣，在大家的心目中其重要性和親近性竟產(chǎn)生這么大的分歧：其重要性和親近性竟產(chǎn)生這么

3、大的分歧：一方面一方面: :全世界所有國(guó)家的中小學(xué)生都把數(shù)全世界所有國(guó)家的中小學(xué)生都把數(shù)學(xué)作為一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程學(xué)習(xí)著學(xué)作為一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程學(xué)習(xí)著 “數(shù)學(xué)是壯麗多彩，千姿百數(shù)學(xué)是壯麗多彩，千姿百態(tài)，引人入勝的態(tài)，引人入勝的”-華羅庚華羅庚 “正確地說(shuō)，數(shù)學(xué)不僅擁有正確地說(shuō)，數(shù)學(xué)不僅擁有真理，而且還擁有極度的真理，而且還擁有極度的美美一種冷靜和樸素的一種冷靜和樸素的美，猶如雕塑那樣，雖然美，猶如雕塑那樣，雖然沒(méi)有任何誘惑我們脆弱本沒(méi)有任何誘惑我們脆弱本性的內(nèi)容，沒(méi)有繪畫(huà)或音性的內(nèi)容，沒(méi)有繪畫(huà)或音樂(lè)那樣華麗的外衣。但是，樂(lè)那樣華麗的外衣。但是，卻顯示了極端的純粹和只卻顯示了極端的純粹和只有偉大的

4、藝術(shù)才能表現(xiàn)出有偉大的藝術(shù)才能表現(xiàn)出來(lái)的嚴(yán)格的完美。來(lái)的嚴(yán)格的完美?！?” 羅素認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)中得美，他也曾盡力描繪出這種美：羅素認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)中得美，他也曾盡力描繪出這種美： 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)美的魅力是誘誘人的，數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)美的力量是巨大的 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)美的思想是神奇的。它它可以改變變我們對(duì)數(shù)學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)枯燥 無(wú)味的成見(jiàn)見(jiàn)，讓讓我們認(rèn)識(shí)們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)也是一個(gè)個(gè)五彩繽紛繽紛的美 的是世界。由此產(chǎn)產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興興趣，從從而促使外來(lái)動(dòng)來(lái)動(dòng) 機(jī)向內(nèi)內(nèi)在動(dòng)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化，并并成為學(xué)習(xí)為學(xué)習(xí)的持久動(dòng)動(dòng)力。數(shù)學(xué)是大千世界永恒的語(yǔ)數(shù)學(xué)是大千世界永恒的語(yǔ)言言 數(shù)學(xué)是一門(mén)工具性學(xué)科數(shù)學(xué)是一門(mén)工具性學(xué)科數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了文學(xué)，歷史

5、，考古、生物等學(xué)術(shù)界數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了文學(xué)，歷史，考古、生物等學(xué)術(shù)界比如，比如，西游記西游記紅樓夢(mèng)紅樓夢(mèng)再如，日本文化的發(fā)祥地再如，日本文化的發(fā)祥地邪馬臺(tái)國(guó)位置的確定邪馬臺(tái)國(guó)位置的確定LOGO法國(guó)曾經(jīng)拍過(guò)一部愛(ài)情電影法國(guó)曾經(jīng)拍過(guò)一部愛(ài)情電影我愛(ài)上的是正切函數(shù)我愛(ài)上的是正切函數(shù)(C est la tangente que je prfre) (C est la tangente que je prfre) 講的是一個(gè)花季少女同一個(gè)盛年男人的故事，講的是一個(gè)花季少女同一個(gè)盛年男人的故事，說(shuō)明他們并不是兩個(gè)沒(méi)有交集的集合，肯定說(shuō)明他們并不是兩個(gè)沒(méi)有交集的集合，肯定這兩個(gè)地球高級(jí)生物邂逅相遇而墮入情網(wǎng)的這

6、兩個(gè)地球高級(jí)生物邂逅相遇而墮入情網(wǎng)的概率不為零。電影最后暗示，數(shù)學(xué)同電磁場(chǎng)概率不為零。電影最后暗示，數(shù)學(xué)同電磁場(chǎng)一樣，是一片美麗得動(dòng)情的場(chǎng)一樣，是一片美麗得動(dòng)情的場(chǎng)! ! “朝辭白帝彩云間，千里江陵一日還。朝辭白帝彩云間，千里江陵一日還。兩岸猿聲啼不住，輕舟已過(guò)萬(wàn)重山兩岸猿聲啼不住，輕舟已過(guò)萬(wàn)重山” ” “飛流直下三千尺，疑是銀河落九天飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”，“白發(fā)三千丈白發(fā)三千丈” “千山鳥(niǎo)飛絕，萬(wàn)徑人蹤滅。孤舟蓑笠翁，獨(dú)釣千山鳥(niǎo)飛絕，萬(wàn)徑人蹤滅。孤舟蓑笠翁，獨(dú)釣寒江雪寒江雪” ” “一身去國(guó)六千里，萬(wàn)死報(bào)荒十二年一身去國(guó)六千里，萬(wàn)死報(bào)荒十二年”“一封朝奏九重天，夕貶潮州路八千一封

7、朝奏九重天，夕貶潮州路八千” “三十功名塵與土，八千里路云和月三十功名塵與土，八千里路云和月”， “三萬(wàn)里河?xùn)|入海，五千仞岳上摩天三萬(wàn)里河?xùn)|入海，五千仞岳上摩天” 唐詩(shī)唐詩(shī)題百鳥(niǎo)歸巢圖題百鳥(niǎo)歸巢圖：“一只一只復(fù)一一只一只復(fù)一只，五六七八九十只，鳳凰何少鳥(niǎo)何多？只，五六七八九十只，鳳凰何少鳥(niǎo)何多？食盡人間千萬(wàn)石。食盡人間千萬(wàn)石?！?” 讀來(lái)妙題橫生。讀來(lái)妙題橫生。 “一片二片三四片，五六七八九十片，千片一片二片三四片，五六七八九十片，千片萬(wàn)片無(wú)數(shù)片，飛入梅花總不見(jiàn)。萬(wàn)片無(wú)數(shù)片，飛入梅花總不見(jiàn)?！?一葉孤舟，坐著二三個(gè)騷客，啟用四槳五帆，經(jīng)過(guò)六灘七一葉孤舟，坐著二三個(gè)騷客，啟用四槳五帆，經(jīng)過(guò)六灘七

8、灣，歷盡八顛九簸，可嘆十分來(lái)遲。十年寒窗，進(jìn)了九八灣，歷盡八顛九簸，可嘆十分來(lái)遲。十年寒窗，進(jìn)了九八家書(shū)院，拋卻七情六欲，苦讀五經(jīng)四書(shū)，考了三番二次，家書(shū)院，拋卻七情六欲，苦讀五經(jīng)四書(shū)，考了三番二次，今天一定要中。今天一定要中。 一別以后，二地相懸，只說(shuō)三四個(gè)月，又誰(shuí)知一別以后，二地相懸，只說(shuō)三四個(gè)月，又誰(shuí)知五年六年。七弦琴無(wú)心彈，八行書(shū)無(wú)可傳，九連環(huán)又五年六年。七弦琴無(wú)心彈，八行書(shū)無(wú)可傳，九連環(huán)又從中折斷，十里長(zhǎng)亭望眼欲穿，百思想，千思念，萬(wàn)從中折斷，十里長(zhǎng)亭望眼欲穿，百思想，千思念，萬(wàn)般無(wú)奈把郎怨。萬(wàn)語(yǔ)千言說(shuō)不完，百無(wú)聊賴(lài)十依欄，般無(wú)奈把郎怨。萬(wàn)語(yǔ)千言說(shuō)不完，百無(wú)聊賴(lài)十依欄，重九登高看孤雁

9、，八月中秋月圓人不圓，七月半燒香重九登高看孤雁，八月中秋月圓人不圓，七月半燒香秉燭問(wèn)蒼天，六伏天人人搖扇我心寒，五月石榴火紅秉燭問(wèn)蒼天，六伏天人人搖扇我心寒，五月石榴火紅偏遭陣陣雨澆花端，四月枇杷未黃我欲對(duì)鏡心意亂。偏遭陣陣雨澆花端，四月枇杷未黃我欲對(duì)鏡心意亂。急匆匆，三月桃花隨水轉(zhuǎn)，飄零零，二月風(fēng)箏線兒斷。急匆匆，三月桃花隨水轉(zhuǎn)，飄零零，二月風(fēng)箏線兒斷。噫！郎呀郎，巴不得下一世你為女來(lái)我為男。噫！郎呀郎，巴不得下一世你為女來(lái)我為男。 大圓圈比小圓圈掌握的知識(shí)要多一點(diǎn)，但因?yàn)榇髨A圈的大圓圈比小圓圈掌握的知識(shí)要多一點(diǎn)，但因?yàn)榇髨A圈的圓周比小圓圈的長(zhǎng)，所以它與外界空白的接觸面也就比小圓周比小圓圈的

10、長(zhǎng)，所以它與外界空白的接觸面也就比小圓圈大，因此更感到知識(shí)的不足，需要努力去學(xué)習(xí)圓圈大，因此更感到知識(shí)的不足，需要努力去學(xué)習(xí)。 何事、何故、何人、何如、何時(shí)、何來(lái)、何去，好像弟何事、何故、何人、何如、何時(shí)、何來(lái)、何去，好像弟弟與哥哥。弟與哥哥。 還有一個(gè)西洋派，姓名顛倒叫幾何。還有一個(gè)西洋派，姓名顛倒叫幾何。 若向若向八賢常請(qǐng)教，雖是笨人少錯(cuò)誤。八賢常請(qǐng)教，雖是笨人少錯(cuò)誤。 美國(guó)作家杰克美國(guó)作家杰克倫敦成名后，曾收到過(guò)一位女士的倫敦成名后，曾收到過(guò)一位女士的求愛(ài)信；求愛(ài)信；“你有一個(gè)出眾的你有一個(gè)出眾的名聲，我有一個(gè)高貴的地位。名聲，我有一個(gè)高貴的地位。這再者加起來(lái)，再乘上萬(wàn)能這再者加起來(lái)，再

11、乘上萬(wàn)能的黃金，足以使我們建立起一個(gè)天堂都不能比擬的黃金，足以使我們建立起一個(gè)天堂都不能比擬的美滿(mǎn)家庭。的美滿(mǎn)家庭。 杰克杰克倫敦連忙回信，他答得很妙：倫敦連忙回信，他答得很妙：“根據(jù)你列根據(jù)你列出的那道愛(ài)情公式，我看還要開(kāi)平方！不過(guò)這出的那道愛(ài)情公式，我看還要開(kāi)平方！不過(guò)這個(gè)平方根卻是負(fù)數(shù)個(gè)平方根卻是負(fù)數(shù) 。 （1 1）一斤花生二斤棗，好運(yùn)經(jīng)常跟你跑；三斤蘋(píng)果四）一斤花生二斤棗，好運(yùn)經(jīng)常跟你跑；三斤蘋(píng)果四斤梨，吉祥和你不分離；五斤橘子六斤桃，年年招財(cái)斤梨，吉祥和你不分離；五斤橘子六斤桃，年年招財(cái)又進(jìn)寶；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒又進(jìn)寶；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒果十斤

12、瓜，愿你天天樂(lè)開(kāi)花！果十斤瓜，愿你天天樂(lè)開(kāi)花！（2）祝一帆風(fēng)順，二龍騰飛，三羊開(kāi)泰，四季平安，）祝一帆風(fēng)順，二龍騰飛，三羊開(kāi)泰，四季平安，五福臨門(mén)，六六大順，七星高照，八方來(lái)財(cái)，九九同五福臨門(mén)，六六大順，七星高照，八方來(lái)財(cái)，九九同心，十全十美。心，十全十美。 （3）新年到了，送你一個(gè)餃子平安皮兒包著如意餡，用真情煮熟，吃一口快樂(lè)兩口幸福三口順利然后喝全家健康湯，回味是溫馨，余香是祝福。（4）傳說(shuō)薰衣草有四片葉子：第一片葉子是信仰，第二片葉子是希望，第三片葉子是愛(ài)情，第四片葉子是幸運(yùn)。送你一棵薰衣草，愿你猴年快樂(lè)！ （5）新的1年開(kāi)始，祝好事接2連3，心情4季如春，生活5顏6色，7彩繽紛，偶爾8

13、點(diǎn)小財(cái)，煩惱拋到9霄云外?。?）新的1年就要開(kāi)始了，愿好事接2連3，心情4春天陽(yáng)光，生活5顏6色，7彩繽紛，偶爾8點(diǎn)小財(cái)，一切煩惱拋到9宵云外，請(qǐng)接受我10全10美的祝福。 （7 7）在新的一年里，祝你十二個(gè)月月月）在新的一年里，祝你十二個(gè)月月月開(kāi)心，五十二個(gè)星期期期愉快，三百六開(kāi)心，五十二個(gè)星期期期愉快，三百六十五天天天好運(yùn)，八千七百六十小時(shí)時(shí)十五天天天好運(yùn)，八千七百六十小時(shí)時(shí)時(shí)高興，五十二萬(wàn)五千六百分分分幸福，時(shí)高興，五十二萬(wàn)五千六百分分分幸福，三千一百五十三萬(wàn)六千秒秒秒成功三千一百五十三萬(wàn)六千秒秒秒成功 （8 8）如果一滴水代表一個(gè)祝福，我送你）如果一滴水代表一個(gè)祝福，我送你一個(gè)東海；如

14、果一顆星代表一份幸福，一個(gè)東海；如果一顆星代表一份幸福，我送你一條銀河；如果一棵樹(shù)代表一份我送你一條銀河；如果一棵樹(shù)代表一份思念，我送你一片森林。祝你新年快樂(lè)！思念，我送你一片森林。祝你新年快樂(lè)！ （9）新年到了，想想沒(méi)什么送給你的，又不打算給你太多，只有給你五千萬(wàn)：千萬(wàn)要快樂(lè)！千萬(wàn)要健康！千萬(wàn)要平安！千萬(wàn)要知足！千萬(wàn)不要忘記我?。?0）圣旨到！奉天承運(yùn)，皇帝詔曰：猴年已到特賜紅包一個(gè)，內(nèi)有幸福萬(wàn)兩，快樂(lè)萬(wàn)兩，笑容萬(wàn)兩，愿卿家飽嘗幸福快樂(lè)之微笑，欽此！數(shù)學(xué)內(nèi)在美1、對(duì)稱(chēng)美、對(duì)稱(chēng)美（一）數(shù)和式的對(duì)稱(chēng)美，象二項(xiàng)式定理，楊輝三（一）數(shù)和式的對(duì)稱(chēng)美，象二項(xiàng)式定理，楊輝三角。角。（二）圖形的對(duì)稱(chēng)美。如畢

15、達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，（二）圖形的對(duì)稱(chēng)美。如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對(duì)稱(chēng)圓形中，最美的是圓形。圓是中心對(duì)稱(chēng)圓形圓心圓心是它的對(duì)稱(chēng)中心，原也是軸對(duì)稱(chēng)圖形是它的對(duì)稱(chēng)中心，原也是軸對(duì)稱(chēng)圖形任何一任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸。條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸。（三）數(shù)學(xué)思想和方法的對(duì)稱(chēng)美。如分析法和綜（三）數(shù)學(xué)思想和方法的對(duì)稱(chēng)美。如分析法和綜合法，直接法和反證法，邏輯思維和逆向思維等。合法，直接法和反證法，邏輯思維和逆向思維等。（一）有一些數(shù)字，往往要通過(guò)計(jì)算。通過(guò)不同（一）有一些數(shù)字，往往要通過(guò)計(jì)算。通過(guò)不同數(shù)字

16、的組合，才可以得到一些非常奇妙的排列，數(shù)字的組合，才可以得到一些非常奇妙的排列，令人看后叫絕，回味無(wú)窮。令人看后叫絕，回味無(wú)窮。 111 1111121 11111112321 111111111234321 1111111111123454321 11111111111112345654321 111111111111111234567654321 1111111111111111123456787654321 11111111111111111112345678987654321 99788 9896888 987958888 98769488888 9876593888888 98765

17、4928888888 98765439188888888 9876543290888888888 19211 1293111 123941111 12349511111 1234596111111 123456971111111 12345679811111111 1234567899111111111 1234567899101111111111 9981 99999801 999999998001 9999999999980001 99999999999999800001 999999999999999998000001 9999999999999999999980000001 1819

18、128298 12383987 1234849876 123458598765 12345686987654 1234567879876543 123456788898765432 12345678989987654321 v在自然界中，大凡美的東西都具在自然界中，大凡美的東西都具有對(duì)稱(chēng)性，有對(duì)稱(chēng)性，v比如花卉、葉片、動(dòng)物、藝術(shù)品、比如花卉、葉片、動(dòng)物、藝術(shù)品、建筑物等。建筑物等。 而在數(shù)學(xué)中，很多曲線和而在數(shù)學(xué)中，很多曲線和曲面曲面，比如二，比如二次曲線、次曲線、雙紐線雙紐線、玫瑰線玫瑰線、雪花曲線雪花曲線等等，也具有對(duì)稱(chēng)性。等等，也具有對(duì)稱(chēng)性。 歐拉給出的公式：歐拉給出的公式： V V 堪

19、稱(chēng)堪稱(chēng)“簡(jiǎn)單美簡(jiǎn)單美”的典范。世的典范。世間的多面體有多少？沒(méi)有人間的多面體有多少？沒(méi)有人能說(shuō)清楚。但它們的頂點(diǎn)數(shù)能說(shuō)清楚。但它們的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，都必、棱數(shù)、面數(shù)，都必須服從歐拉給出的公式，一須服從歐拉給出的公式，一個(gè)如此簡(jiǎn)單的公式，概括了個(gè)如此簡(jiǎn)單的公式，概括了無(wú)數(shù)種多面體的共同特性，無(wú)數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？在數(shù)學(xué)能不令人驚嘆不已？在數(shù)學(xué)中，像歐拉公式這樣形式簡(jiǎn)中，像歐拉公式這樣形式簡(jiǎn)潔、內(nèi)容深刻、作用很大的潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的定理還有許多。比如：圓的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)公式：C=2RC=2RCopyright by ARTCOM PT All

20、rights reserved.www.art-com.co.krCompany LogoLogoCopyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany LogoLogo 3 3）著名的黃金分割比，即）著名的黃金分割比，即.6.618033981803398被達(dá)被達(dá)芬奇稱(chēng)為芬奇稱(chēng)為 “神神圣比例圣比例”他認(rèn)為他認(rèn)為“美感完全建美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上上”。 維納斯的美被所有人所公認(rèn)，她維納斯的美被所有人所公認(rèn)，她的身材比也恰恰是黃金分割比。的身材比也恰恰是黃金分割比。 C

21、opyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany LogoLogol在正五在正五邊邊形中，形中，邊長(zhǎng)與對(duì)邊長(zhǎng)與對(duì)角角線長(zhǎng)線長(zhǎng)的比是的比是黃黃金分割比。金分割比。黃黃金分割比在金分割比在許許多多藝術(shù)藝術(shù)作品中、作品中、在建筑在建筑設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)中都有廣泛的中都有廣泛的應(yīng)應(yīng)用。巴黎用。巴黎圣圣母母院、北京故院、北京故宮宮的的構(gòu)圖構(gòu)圖都融入了都融入了黃黃金分割的金分割的匠心；孕育著生命的水，液匠心；孕育著生命的水，液態(tài)態(tài)的的溫溫度范度范圍圍是是0 0100100度，其度，其兩個(gè)黃兩個(gè)黃金分割點(diǎn)之一的金分割點(diǎn)之一的溫溫度度為

22、為3838度左右，正度左右，正與與人體正常體人體正常體溫溫吻合；吻合；人的人的腦電圖腦電圖波，若高低波，若高低頻頻率之比率之比為為1 1：0 0618618時(shí)時(shí)，則則是身心愉是身心愉悅悅的的時(shí)時(shí)刻刻真真是奇妙無(wú)比是奇妙無(wú)比 又如：在橢圓：又如：在橢圓： 中，記左焦點(diǎn)為中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為短軸上方的端點(diǎn)為B，若該橢圓的離，若該橢圓的離心率為心率為 則則 ABF 。這樣的橢圓不妨稱(chēng)。這樣的橢圓不妨稱(chēng)之為之為“優(yōu)美橢圓優(yōu)美橢圓”。222210 xyabab512e2Oyx 對(duì)雙曲線也有對(duì)雙曲線也有“優(yōu)美雙曲線優(yōu)美雙曲線”： 的左頂點(diǎn)為的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)

23、為F，B是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，且雙曲線的離心率為，且雙曲線的離心率為 它也有類(lèi)似的性質(zhì)：它也有類(lèi)似的性質(zhì)： ABF 22221xyab512e2yABFxO 數(shù)學(xué)是一門(mén)同人民大眾貼得很近的學(xué)科，數(shù)學(xué)是一門(mén)同人民大眾貼得很近的學(xué)科，它所討論的宇宙，遠(yuǎn)比現(xiàn)實(shí)的所謂宇宙它所討論的宇宙，遠(yuǎn)比現(xiàn)實(shí)的所謂宇宙宏偉雄大。通常所說(shuō)的宇宙只是三維空宏偉雄大。通常所說(shuō)的宇宙只是三維空間，而數(shù)學(xué)則建立起了四維、五維乃至間，而數(shù)學(xué)則建立起了四維、五維乃至n n維空間，并且，集合論的超限數(shù)的空間，維空間，并且，集合論的超限數(shù)的空間，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了通常無(wú)窮大的空間，它們都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了通常無(wú)窮大的空間，它們都遠(yuǎn)比我們

24、現(xiàn)實(shí)的宇宙更具有莊嚴(yán)美、雄遠(yuǎn)比我們現(xiàn)實(shí)的宇宙更具有莊嚴(yán)美、雄偉美。偉美。蒲豐蒲豐 投針試驗(yàn)投針試驗(yàn)1977年的一天，蒲豐忽發(fā)奇想，把許多賓朋邀請(qǐng)年的一天，蒲豐忽發(fā)奇想，把許多賓朋邀請(qǐng)到家中，做一個(gè)叫人感到奇怪的試驗(yàn)，他把事先到家中，做一個(gè)叫人感到奇怪的試驗(yàn)，他把事先畫(huà)好一條條等距離的平行線的白紙，鋪在桌面上，畫(huà)好一條條等距離的平行線的白紙，鋪在桌面上，又拿出準(zhǔn)備好的質(zhì)量均勻而長(zhǎng)度為平行線距離一又拿出準(zhǔn)備好的質(zhì)量均勻而長(zhǎng)度為平行線距離一半的小針，請(qǐng)客人把小針一根一根的隨便地隨便半的小針，請(qǐng)客人把小針一根一根的隨便地隨便仍在紙上，而蒲豐則在一旁專(zhuān)注觀察著記著數(shù)，仍在紙上，而蒲豐則在一旁專(zhuān)注觀察著記

25、著數(shù)，投完后統(tǒng)一計(jì)數(shù)為：共投投完后統(tǒng)一計(jì)數(shù)為：共投2212次，其中與任意平次，其中與任意平行線相交的有行線相交的有704次，蒲豐又做了一個(gè)簡(jiǎn)單的除次，蒲豐又做了一個(gè)簡(jiǎn)單的除法，法，22127043142然后宣布：然后宣布：“這就是圓這就是圓周率的近似值周率的近似值”他又說(shuō)：他又說(shuō)：“不信，還可以再試試，不信，還可以再試試，投的次數(shù)越多，越準(zhǔn)確投的次數(shù)越多，越準(zhǔn)確.”1901年，意大利人拉查年，意大利人拉查尼投了尼投了3408次，得出估計(jì)值是次，得出估計(jì)值是3.1415929,已很接已很接近祖沖之的密率。近祖沖之的密率。 那晶瑩剔透的雪花曾引起無(wú)數(shù)詩(shī)人的那晶瑩剔透的雪花曾引起無(wú)數(shù)詩(shī)人的贊嘆。但若

26、問(wèn)起雪花的形狀是怎樣的，能贊嘆。但若問(wèn)起雪花的形狀是怎樣的，能回答上來(lái)的同學(xué)不一定很多。也許有人會(huì)回答上來(lái)的同學(xué)不一定很多。也許有人會(huì)說(shuō)，雪花是六角形的，這既對(duì)，但又不完說(shuō)，雪花是六角形的，這既對(duì)，但又不完全對(duì)。雪花到底是什么形狀呢？全對(duì)。雪花到底是什么形狀呢？1904年瑞年瑞典數(shù)學(xué)家科赫講述了一種描述雪花的方法。典數(shù)學(xué)家科赫講述了一種描述雪花的方法。雪花到底是什么形狀雪花到底是什么形狀? ?先畫(huà)一個(gè)等邊三角形，把邊長(zhǎng)為原來(lái)三角形邊長(zhǎng)的三分之先畫(huà)一個(gè)等邊三角形，把邊長(zhǎng)為原來(lái)三角形邊長(zhǎng)的三分之一的小等邊三角形選放在原來(lái)三角形的三條邊上，由此得一的小等邊三角形選放在原來(lái)三角形的三條邊上，由此得到一

27、個(gè)六角星；再將這個(gè)六角星的每個(gè)角上的小等邊三角到一個(gè)六角星；再將這個(gè)六角星的每個(gè)角上的小等邊三角形按上述同樣方法變成一個(gè)小六角星形按上述同樣方法變成一個(gè)小六角星如此一直進(jìn)行下如此一直進(jìn)行下去，就得到了雪花的形狀。去，就得到了雪花的形狀。 從上面的描述過(guò)程我們可以看出：原來(lái)雪花的從上面的描述過(guò)程我們可以看出：原來(lái)雪花的每一部分經(jīng)過(guò)放大都可以與它的整體一模一樣，每一部分經(jīng)過(guò)放大都可以與它的整體一模一樣，小小的雪花竟然有這么多學(xué)問(wèn)?，F(xiàn)在已經(jīng)有了小小的雪花竟然有這么多學(xué)問(wèn)。現(xiàn)在已經(jīng)有了一個(gè)專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)研究像雪花這樣的圖形，一個(gè)專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)研究像雪花這樣的圖形，這就是這就是20世紀(jì)世紀(jì)70年代由

28、美國(guó)計(jì)算機(jī)專(zhuān)家曼德布年代由美國(guó)計(jì)算機(jī)專(zhuān)家曼德布羅特創(chuàng)立的分形幾何。所謂分形幾何就是研究羅特創(chuàng)立的分形幾何。所謂分形幾何就是研究不規(guī)則曲線的幾何學(xué)。目前分形幾何已經(jīng)在很不規(guī)則曲線的幾何學(xué)。目前分形幾何已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。1 1、數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)的產(chǎn)生、數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)的產(chǎn)生第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生希伯索思根據(jù)勾股定理通過(guò)邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)為希伯索思根據(jù)勾股定理通過(guò)邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)為1 1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示，這個(gè)發(fā)現(xiàn)使古希臘數(shù)學(xué)家們感到驚的比所能表示，這個(gè)發(fā)現(xiàn)使古

29、希臘數(shù)學(xué)家們感到驚奇不安，這意味著邊長(zhǎng)為奇不安，這意味著邊長(zhǎng)為1 1的正方形的對(duì)線長(zhǎng)度竟的正方形的對(duì)線長(zhǎng)度竟然不能用任何然不能用任何“數(shù)數(shù)”表示出來(lái)表示出來(lái) 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)無(wú)窮小是零嗎？無(wú)窮小是零嗎？ 牛頓在求牛頓在求xnxn的導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給的導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給x x以增量，應(yīng)以增量，應(yīng)用二項(xiàng)式（用二項(xiàng)式（x+0 x+0）n n，從中減去，從中減去xnxn以求得增量，并以求得增量，并除以以求出除以以求出xnxn的增量與的增量與x x的增量之比，然后又讓的增量之比，然后又讓消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)違反矛盾律的手續(xù)先設(shè)先設(shè)x x有增量，又令增量為有增量，又令增量為零，也即假設(shè)零，也即假設(shè)x x沒(méi)有增量。沒(méi)有增量。 他認(rèn)為無(wú)窮小他認(rèn)為無(wú)窮小dxdx既等既等于零又不等于零，召之即來(lái)，揮之即去，這是荒于零又不等于零，召之即來(lái)，揮之即去，這是荒謬謬 由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。爭(zhēng)論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)-悖論的產(chǎn)生悖論的產(chǎn)生 羅素于羅素于