數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗與常識

1、數(shù)學(xué)建模常識與經(jīng)驗數(shù)學(xué)建模常識與經(jīng)驗 基本內(nèi)容：基本內(nèi)容： 一、什么是數(shù)學(xué)建模 二、相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 三、如何組隊及合作 四、如何從建模例題中學(xué)習(xí)解題方法一、什么是數(shù)學(xué)建模一、什么是數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模競賽：它名曰數(shù)學(xué)，當(dāng)然要用到數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽：它名曰數(shù)學(xué)，當(dāng)然要用到數(shù)學(xué)知識，但卻與以往所說的那種數(shù)學(xué)競賽（那是知識，但卻與以往所說的那種數(shù)學(xué)競賽（那是純數(shù)學(xué)競賽）不同。純數(shù)學(xué)競賽）不同。(建模賽場一覽建模賽場一覽) Match？ Or Project？Case？ 它要用到計算機(jī)，甚至離不開計算機(jī)，但卻不它要用到計算機(jī)，甚至離不開計算機(jī)，但卻不是純粹的計算機(jī)競賽，它涉及物理、化學(xué)、生是純粹的計算機(jī)競

2、賽，它涉及物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、電子、農(nóng)業(yè)、管理等各學(xué)科、各領(lǐng)物、醫(yī)學(xué)、電子、農(nóng)業(yè)、管理等各學(xué)科、各領(lǐng)域的知識，但也不是這些學(xué)科、領(lǐng)域里的純知域的知識，但也不是這些學(xué)科、領(lǐng)域里的純知識競賽，它涉及各學(xué)科、各領(lǐng)域，但又不受任識競賽，它涉及各學(xué)科、各領(lǐng)域，但又不受任何一個具體的學(xué)科、領(lǐng)域的局限。（例如）何一個具體的學(xué)科、領(lǐng)域的局限。（例如） 它要用到各方面的綜合的知識，但還不限于此參賽選手不只是要有各方面的知識，還要駕馭這些知識，應(yīng)用這些知識處理實際問題的能力。知識是無止境的，還必須有善于獲得新的知識的能力。總之，數(shù)學(xué)建模竟賽，既要比賽各方面的綜合知識，也要比賽各方面的綜合能力。它的特點就是綜合

3、，它的優(yōu)點也是綜合。在這個意義上看，它與任何一個學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)的純知識競賽都不相同的特點就是不純，它的優(yōu)點也就是不純，綜合就是不純?！皹渖嫌惺圾B，開槍打死一只，還剩幾只？”二、相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 線性規(guī)劃 概率統(tǒng)計 圖論 常微分方程 最優(yōu)化理論三、如何組隊及合作 根據(jù)數(shù)學(xué)建模競賽章程，三人組成一隊，這三人中必須一人數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，一人應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件（如Matlab,lindo,maple等）和編程（如c,Matlab,vc+等）的能力較強(qiáng)，一人科技論文寫作的水平較好?？萍颊撐牡膶懽饕笳撐牡慕Y(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，語言要有邏輯性，用詞要準(zhǔn)確。 三人之間要能夠配合得起來。若三人之間配合不好，會降低效率，導(dǎo)致整個建模

4、的失敗。 如果可能的話，最好是數(shù)學(xué)好的懂得編程的一些知識，編程好的了解建模，搞論文寫作也 要了解建模，這樣會合作得更好。因為數(shù)學(xué)好的在建立模型方案時會考慮到編程的便利性，以利于編程；編程好的能夠很好地理解模型，論文寫作的能夠更好、更完全地闡述模型。否則會出現(xiàn)建立的模型不利于編程，程序不能完全概括模型，論文寫作時會漏掉一些不經(jīng)意的東西。 在合作的過程中，最好是能夠在三人中找出一個所謂的組長，即要能夠總攬全局，包括任務(wù)的分配，相互間的合作和進(jìn)度的安排。 在建模過程中出現(xiàn)意見不統(tǒng)一如何處理？僅我個人的經(jīng)驗而言，除了一般的理解與尊重外，我覺得最重要的一點就是“給我一 個相信你的理由”和“相信我，我的理

5、由是”，不要作無謂的爭論。四、如何從建模例題中學(xué)習(xí)解題方法 你們在看例題的時候，要看例題是如何著手的，即是如何切入，如何建立的方程等。 數(shù)學(xué)建模方法 一、機(jī)理分析法一、機(jī)理分析法 從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出模型。構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出模型。 1. 比例分析法比例分析法-建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法。本最常用的方法。 2. 代數(shù)方法代數(shù)方法-求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形）的主要方法。號、圖形）的主要方法。 3. 邏輯方法邏輯方法-是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，對是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，對社會學(xué)

6、和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實際問題，在決策，社會學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實際問題，在決策，對策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用。對策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用。 4. 常微分方程常微分方程-解決兩個變量之間的變化規(guī)律，解決兩個變量之間的變化規(guī)律， 關(guān)鍵是建立瞬時變化率的表達(dá)式。 5. 偏微分方程-解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。 二、數(shù)據(jù)分析法 從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學(xué)模型 1. 回歸分析法-用于對函數(shù)f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2,n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。 2. 時序分析法-處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。 3. 回歸分析法-用于對

7、函數(shù)f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2,n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由 于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法。 4. 時序分析法-處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法。 三、仿真和其他方法 1. 計算機(jī)仿真（模擬）-實質(zhì)上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗。 離散系統(tǒng)仿真-有一組狀態(tài)變量。 連續(xù)系統(tǒng)仿真-有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 2. 因子試驗法-在系統(tǒng)上作局部試驗，再根據(jù)試驗結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。 1、蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計算機(jī)、蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計算機(jī)仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自

8、己模型仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）的正確性，是比賽時必用的方法）2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用通常使用Matlab作為工具）作為工具）3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以（建模競賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這

9、些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現(xiàn)）軟件實現(xiàn)）4、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認(rèn)二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備）真準(zhǔn)備）計算機(jī)上的十種武器：計算機(jī)上的十種武器：5、動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機(jī)、動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機(jī)算法（這些算法是算法設(shè)計中比較常用的方法，很多場算法（這些算法是算法設(shè)計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽

10、中）合可以用到競賽中） 6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問題是用來解決一些較困難的最網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現(xiàn)比較困難，需慎重使用）的實現(xiàn)比較困難，需慎重使用）7、數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級語言進(jìn)行編程、數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級語言進(jìn)行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫

11、函數(shù)進(jìn)行矩陣運算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進(jìn)行調(diào)用）調(diào)用） 8、一些連續(xù)離散化方法（很多問題都是實際來的，數(shù)據(jù)、一些連續(xù)離散化方法（很多問題都是實際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將可以是連續(xù)的，而計算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）非常重要的）9、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很多競賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點討論模最優(yōu)點的算法，在很多競賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點討論模型本身而輕視算法的時候

12、，可以使用這種暴力方案，最型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具）好使用一些高級語言作為編程工具）10、圖象處理算法（賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即、圖象處理算法（賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進(jìn)行處理）進(jìn)行處理） 題型： 賽題題型結(jié)構(gòu)形式有三個基本組成部分： 一、實際問題背景 1. 涉及面寬-有社會，經(jīng)濟(jì)，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)

13、中出現(xiàn)的新問題等。 2. 一般都有一個比較確切的現(xiàn)實問題。 二、若干假設(shè)條件 有如下幾種情況： 1. 只有過程、規(guī)則等定性假設(shè)，無具體定量數(shù)據(jù)； 2. 給出若干實測或統(tǒng)計數(shù)據(jù)； 3. 給出若干參數(shù)或圖形； 4. 蘊(yùn)涵著某些機(jī)動、可發(fā)揮的補(bǔ)充假設(shè)條件，或參賽者可以根據(jù)自己收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。 三、要求回答的問題 往往有幾個問題（一般不是唯一的答案）: 1. 比較確定性的答案（基本答案）；2. 更細(xì)致或更高層次的討論結(jié)果（往往是討論最優(yōu)方案的提法和結(jié)果）。 賽題的評審 你會發(fā)現(xiàn)：同一個考題的幾篇優(yōu)秀論文甚至連你會發(fā)現(xiàn)：同一個考題的幾篇優(yōu)秀論文甚至連答數(shù)都不一樣，卻同樣都優(yōu)秀；優(yōu)秀論文甚至被專答數(shù)都

14、不一樣，卻同樣都優(yōu)秀；優(yōu)秀論文甚至被專家的評閱意見指出一大堆毛病，卻仍不失為優(yōu)秀。家的評閱意見指出一大堆毛病，卻仍不失為優(yōu)秀。在這里，正確和錯誤是相對的，優(yōu)秀和不優(yōu)秀也是在這里，正確和錯誤是相對的，優(yōu)秀和不優(yōu)秀也是相對的。這在純數(shù)學(xué)競賽中是不可思議的。但既然相對的。這在純數(shù)學(xué)競賽中是不可思議的。但既然數(shù)學(xué)建模賽是考察解決實際問題的能力，那就一切數(shù)學(xué)建模賽是考察解決實際問題的能力，那就一切都以解決實際問題的過程為準(zhǔn)。解決實際問題需要都以解決實際問題的過程為準(zhǔn)。解決實際問題需要查資料，需要使用計算機(jī)，需要課題組的人相互交查資料，需要使用計算機(jī)，需要課題組的人相互交流和討論，因此數(shù)學(xué)建模競賽也就允許

15、使用這些流和討論，因此數(shù)學(xué)建模競賽也就允許使用這些“非生命的資源非生命的資源”。同樣，實際問題的解決，常常沒有絕對的正確與錯同樣，實際問題的解決，常常沒有絕對的正確與錯誤，也沒有絕對的優(yōu)秀，數(shù)學(xué)建模競賽也就這樣，誤，也沒有絕對的優(yōu)秀，數(shù)學(xué)建模競賽也就這樣，但這并不是說數(shù)學(xué)建模競賽就沒有是非和好壞的標(biāo)但這并不是說數(shù)學(xué)建模競賽就沒有是非和好壞的標(biāo)準(zhǔn)。論文中各種不同意見、不同答案可以并存，只準(zhǔn)。論文中各種不同意見、不同答案可以并存，只要能夠言之成理。但如果你像解答純數(shù)學(xué)題那樣去要能夠言之成理。但如果你像解答純數(shù)學(xué)題那樣去做，只有數(shù)學(xué)公式和計算，而不講清實際問題怎么做，只有數(shù)學(xué)公式和計算，而不講清實際

16、問題怎么變成數(shù)學(xué)公式，也不讓計算結(jié)果再接受實際檢驗，變成數(shù)學(xué)公式，也不讓計算結(jié)果再接受實際檢驗，即使答案正確，論文也很難評上好的等級。即使答案正確，論文也很難評上好的等級。這是因為，它不是數(shù)學(xué)競賽，而是數(shù)學(xué)建模這是因為，它不是數(shù)學(xué)競賽，而是數(shù)學(xué)建模競賽，它看重的是三個步驟：競賽，它看重的是三個步驟：1、建立模型：實際問題建立模型：實際問題數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)問題；2、數(shù)學(xué)解答：數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)解答：數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)解；數(shù)學(xué)解；3、模型檢驗：數(shù)學(xué)解模型檢驗：數(shù)學(xué)解實際問題的解決。實際問題的解決。如果你只重視中間一個步驟（一般初參賽的如果你只重視中間一個步驟（一般初參賽的時候容易犯這個錯誤），而對第一和第三這時

17、候容易犯這個錯誤），而對第一和第三這兩個步驟不予重視，那就違背了數(shù)學(xué)建模競兩個步驟不予重視，那就違背了數(shù)學(xué)建模競賽的宗旨，當(dāng)然就不能得到好的結(jié)果了。賽的宗旨，當(dāng)然就不能得到好的結(jié)果了。為什么要叫數(shù)學(xué)建模競賽？就是因為它賽的是建為什么要叫數(shù)學(xué)建模競賽？就是因為它賽的是建立數(shù)學(xué)模型，而不只是比賽解答數(shù)學(xué)模型。立數(shù)學(xué)模型，而不只是比賽解答數(shù)學(xué)模型?！澳ＤＰ托汀笔鞘恰敖＝！钡慕Y(jié)果，而的結(jié)果，而“建模建?！笔墙⒛Ｐ褪墙⒛Ｐ偷倪^程。競賽的宗旨更強(qiáng)調(diào)的是建立數(shù)學(xué)模型這的過程。競賽的宗旨更強(qiáng)調(diào)的是建立數(shù)學(xué)模型這個過程，認(rèn)為過程比結(jié)果更重要。所以，在競賽個過程，認(rèn)為過程比結(jié)果更重要。所以，在競賽中允許將

18、未能最后完成的建模過程、未能最后實中允許將未能最后完成的建模過程、未能最后實現(xiàn)的想法寫成論文，參加評卷。雖然你的模型還現(xiàn)的想法寫成論文，參加評卷。雖然你的模型還沒能最后建立起來，但只要想法有價值，己經(jīng)開沒能最后建立起來，但只要想法有價值，己經(jīng)開始了的建模過程有合理性，就仍然是有可取之處始了的建模過程有合理性，就仍然是有可取之處的論文。這充分體現(xiàn)了競賽對建模過程的重視。的論文。這充分體現(xiàn)了競賽對建模過程的重視。從這點上說，把它稱為從這點上說，把它稱為“數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽”比比“數(shù)數(shù)學(xué)模型競賽學(xué)模型競賽”更貼切些。更貼切些。如何寫好數(shù)學(xué)建模競賽答卷如何寫好數(shù)學(xué)建模競賽答卷1.建模能力：這是比

19、較模糊的提法，主要是學(xué)生解決實際問題的建模能力：這是比較模糊的提法，主要是學(xué)生解決實際問題的能力。能力。2.想象力及洞察力：這是在建模過程中比較重要的能力，創(chuàng)造力想象力及洞察力：這是在建模過程中比較重要的能力，創(chuàng)造力的源泉來源于此。這項能力是要長期培養(yǎng)才能形成的。的源泉來源于此。這項能力是要長期培養(yǎng)才能形成的。3.分析問題的能力：要善于抓住問題的關(guān)鍵，把握問題的實質(zhì)。分析問題的能力：要善于抓住問題的關(guān)鍵，把握問題的實質(zhì)。從錯綜復(fù)雜的因素中找出線索的能力。從錯綜復(fù)雜的因素中找出線索的能力。4.邏輯推理能力及數(shù)學(xué)知識水平：建模所涉及到的數(shù)學(xué)知識要能邏輯推理能力及數(shù)學(xué)知識水平：建模所涉及到的數(shù)學(xué)知識要能夠處理。夠處理。5.計算機(jī)建模能力：會充分利用現(xiàn)代化的工具計算機(jī)建模能力：會充分利用現(xiàn)代化的工具-計算機(jī)處理問題。計算機(jī)處理問題。6.自學(xué)能力和查找資料文獻(xiàn)的能力：建模涉及的面廣，因此要有自學(xué)能力和查找資料文獻(xiàn)的能力：建模涉及的面廣，因此要有廣闊的知識面。要學(xué)會吸取信息，自我全面提高綜合素質(zhì)的能力。廣闊的知識面。要學(xué)會吸