高三一輪復(fù)習(xí)2021版第五章第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算

1、加法求兩個(gè)向量和的運(yùn) 算a三角形法則平行四邊形法則交換律：a+b=b+a, 結(jié)合律：(+b)+c=y+ O+c)減法求與的相反向 的和的運(yùn)算a ' 三角形法則a-b=a+(-b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)2與向量 的積的運(yùn)算UaI=UlIaL當(dāng)2>0時(shí),加與的 方向相同:當(dāng)久<0時(shí)，加與的 方向相反:當(dāng)2=0時(shí)，Zfl=O(a)=()a (2+“M=加+“_«,： (a+b)=x+J>3 兩個(gè)向量共線定理向咼b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)幾使得b=.說明三點(diǎn)共線的等價(jià)關(guān)系P, B 三點(diǎn)共線AP = ；AB(A0)<=>OP = (1 -t) OA

2、 + tOB(O 為平面內(nèi)異于 A, P, B的任一點(diǎn)，tR)¢=OP = XdA + y0B(0為平面內(nèi)異于A, P、B的任一點(diǎn)，xR, yR, X十)=1)基礎(chǔ)自測(cè)TO判斷正誤(正確的打"J ”，錯(cuò)誤的打“ × ”)(1) 向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段表示向量.()(2) AB+BC+CD=AD.()(3) 若兩個(gè)向量共線.則其方向必泄相同或相反.()(4) 若向量A與向量b是共線向量，則兒B, G D四點(diǎn)在一條直線上.()(5) 若 ab, bCt 則 ac.()(6) 當(dāng)兩個(gè)非零向疑, 共線時(shí)，一泄有b=a,反之成立.()答案：(I)X (2

3、)(3)X (4)×(5)×(6) 因如圖所示，D是ZiABC的邊AB的中點(diǎn)，則向CD=()A. -荒+莎 1 B. BC+尹C. BC_BAD BCBA解析：選A.因?yàn)椋?#190;二h十麗，CB= -BC,Bb = BA,所以二-荒十占菇. （2019瑞安棋擬）在四邊形ABCD中，AC=AB+AD.則四邊形ABCD是（）A.矩形C.正方形B.菱形D. 平行四邊形解析：選D依題意彳昌鯨十荒二A + AL,貝Uid二葩，Sl½ BC/AD.且BC二AD,所 以四邊形ABCD是平行四邊形，故選D.Q給出下列命題： 零向量的長度為零，方向是任意的： 若Q, 都是單位向

4、量，則（i=b： 向ABBA相等.則所有正確命題的序號(hào)是.解析：根據(jù)零向星的走義可知正確；根據(jù)單位向星的定義可知，單位向臺(tái)的模相等, 但方向不一走相同，故兩個(gè)單位向呈不一走相等，故錯(cuò)誤；向星正與鬲互為相反向星， 故歸.答案：已知平而內(nèi)四點(diǎn)A, B, G D,若忑b=20, Cbc+CB,則久的值為.1 2解析：依題意知點(diǎn)A, B, D三點(diǎn)共線于是有亍十久二1, = y咎案-口宋3分類講解化解騷進(jìn).考點(diǎn)平而向量的有關(guān)概念MU給出下列命題： 若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； 若IotI=Iftb 貝IJ a=b 或a=-bt 若兒B, G D是不共線的四點(diǎn)，JiUB=DC.則ABCD為

5、平行四邊形:®a=b的充要條件是Sl=01且"Zh其中真命題的序號(hào)是.【解析】 是錯(cuò)誤的，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向呈相等；但兩個(gè)向呈 相等，不一走有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn) 是錯(cuò)誤的，Ial二I乩但, b方向不確走.所以G 不一走相等或相反. 是正確的，因?yàn)槎猓訧ABl = IDclaW說；又A, B, C, D是不共線的四 點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形. 是錯(cuò)誤的，當(dāng)Q且方向相反時(shí)，即使01二Ibl,也不能得到zb,所以“IflI二01且 ab't不是“zb"的充要條件，而是必要不充分條件【答案】平面向呈有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)相等向呈具有

6、傳遞性，非零向呈的平行也具有傳遞性.共線向星即為平行向豊它們均與起點(diǎn)無關(guān)（3）向呈可以平移，平移后的向呈與原向星是相等向呈，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆非零向呈«與缶的關(guān)系：缶是與同方向的單位向呈跟蹤訓(xùn)練給岀下列命題： 兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一泄是共線向量； 兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??； 若加=0（為實(shí)數(shù)），則入必為零； 已知入，U為實(shí)數(shù)，若M=b,則“與共線.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：選A.錯(cuò)誤.兩向量共線要看其方向而不是看起點(diǎn)與終點(diǎn)正確因?yàn)橄虺?既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小.

7、錯(cuò) 誤.當(dāng)二O時(shí)，無論入為何值，加二0.憩.當(dāng)入二P二0時(shí)，M二b,此時(shí)，與可以 是任意向星.考點(diǎn)曙平而向量的線性運(yùn)算(高頻考點(diǎn))平而向量的線性運(yùn)算包括向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算，是髙考考查向量的熱點(diǎn).常以選擇 題、填空題的形式出現(xiàn).主要命題角度有：(1) 用已知向量表示未知向雖：；(2) 求參數(shù)的值.C角度一用已知向量表示未知向呈例2如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么麗等于()【解析】 在ACEF中，有麗二盤十汗.因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以荒二因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所 IUCF = ICB.所以EF = DC 十 CB 二 *4B

8、 十Z)A=AB - AD,故選 D.【答案】D13角度二求參數(shù)的值例 3 如圖，在ZvlBC 中，AB=2, BC= 3, ZABC=60o , AH丄BC 于點(diǎn) H, M 為 AH的中點(diǎn).若/而=屁+ 荒，貝IJ z+a=.【解析】 因?yàn)锳B = 2, ZBC= 60% AH丄BU 所以BH=L 因?yàn)辄c(diǎn)M為AH的中點(diǎn)，所以而二*葫二瓠十麗）=+二靭 B + BC,= AB+BC,所以2二*, “二右，2所以 + = y【答案】I向量線性運(yùn)算的解題策略（1）向呈的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向星求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向呈的和用三角形法則

9、找出圖形中的相等向呈、共線向量.將所求向呈與已知向呈轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊 形或三角形中求解1. （2019 興質(zhì)檢）已知平行四邊形ABCD,點(diǎn), M?, MA，和N, NA M，,MI-I 分別將線段 BC 和 DC進(jìn)行 等分(nN n2),如圖，+AM2+W-1+/VVl+AN2÷ +ANn-1 =45AC,則 n=()B. 30D32A. 29C. 31解析：選 C.由題圖矢口，因?yàn)锳Ml 二 AB 十 *BC, AMi = AB + BC , AMIi -BC.A?Vl=Ab+ , AN2 = Ab + DC, , AMI-I=D +-DC.AB = DC, AD = BC.所

10、以AMi 十 AM2 + +AMft -1 + AN +ANi 十+ AMl -1 = H - 1 一 3 ( n 1 )(AD + AB)二5C,3 (,Z-I)所以一2一二45,解得二31 故選C.2已知D為三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足甬+麗+帀=(),AP=PD.則實(shí)數(shù)久的值為.解析：因?yàn)镈為邊BC的中點(diǎn)，所以 PB±PC=2PD,又顧十壽十占二0,所 UIM = + PC=2PZ),所以喬二2麗，與麗二応比較，得2二-2.答案：一2(UWl平而向量共線泄理的應(yīng)用例4設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線.若乙=a+b, BC=2a+Sb. CD=3(a-b)9 求證：A, B, D

11、三點(diǎn)共線;(2)試確左實(shí)數(shù)使ka+b和+肋共線.【解】(1)證明：因JAB = a + b. BC=2 + 8>, CD = 3a-b)f所以麗二荒十二2 + 8 + 3(-b)二5S十D)二5觴，所以鯨，麗共線, 又它們有公共點(diǎn)B,所以人B, D三點(diǎn)共線.因?yàn)閗a + ba± kb共線,所以存在實(shí)數(shù)2,使ka+b=(a±kb).艮卩(£ - )a = (Z - 1).又心b是兩個(gè)不共線的非零向呈,所以k m 二O所以k試用, b表示錢：,AD. BE； 證明：B, E, F三點(diǎn)共線. 解：(1)ABC 中，AB = a, AC = b. 所以BC = AC

12、 - AB 二 b - a、 AD = AB + BD = AB + BC = a+- «) = + , BE = BA +AE二-AB+ AC= - a+b - = O所以k = ±.共線向呈定理的應(yīng)用j：證明向童共線：對(duì)于向量么若存在實(shí)數(shù)入Jz = b(bO) 與共踐沁明三點(diǎn)共線：若存ft ,使=Ct :<i:親 ½ *< i i 11條件列方程(組)求參撤的值1提醉證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共壩的兩向量有公共點(diǎn).Sta1. 設(shè)01，是兩個(gè)不共線的向：,則向 = 2e-¢2與向=+2(A7?)共線的充D. 2=-A. A=O要條件是()解析：

13、選 D因?yàn)?a = 2e - e2> b = e +z2> ep S不共線,因?yàn)閍，D共線Qb二尹=>二ei -嚴(yán)二-.2. 如圖，在AABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B, E, F分別為AG AD的三等分點(diǎn).且分別靠近兒D兩點(diǎn)，設(shè)喬=G AC=b.U所以 BF 二 *BE,所以篩與旋共線，且有公共點(diǎn)乩所以B, E、F三點(diǎn)共線.課堂小結(jié)Cf求解向呈共線問題的五個(gè)策略(1) 向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的 其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2) 證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向戢共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與 聯(lián)

14、系，當(dāng)兩向星共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.(3) 若與“不共線且a=pb則=O.(4) 直線的向量式參數(shù)方程：A, P, B三點(diǎn)共線o>=(-t) OA+tOB(O 為平面內(nèi)任一點(diǎn)，R)OA=OB+OC(, 為實(shí)數(shù))，若A, B, C三點(diǎn)共線，貝収+“=1&易錯(cuò)防范(1) 作兩個(gè)向量的差時(shí)，首先將兩向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，要注意差向量的方向是由 減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).(2) 在向量共線的重要條件中易忽視aa0f9 9否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè).基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.下列各式中不能化簡為陀的是()A. AB+(PA+BQ) B. (AB+PC)+(BA-QC)C. QC-

15、QP+CQD PA+ABBQ解析：選 DAB 十( + ) = AB±BQ + = +AQ = PQ AB + PC) + (BA-Qe) = (AB + BA) +(PC - QC) = PC+CQ = PQ ； QC-QP+ CQ 二陀+強(qiáng)二陀；顧+ AB-BQ = PB-BQ.顯然由而-西得不出陀，所以不能化簡為西的式子是D.2設(shè)是非零向量，2是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A. 與加的方向相反B. “與;z的方向相同C I一加 12IalD I一加IMUS解析：選B.對(duì)于A,當(dāng)z>0時(shí)，與加的方向相同，當(dāng)z<0時(shí)，與加的方向相反；B正確；對(duì)于C, I-MI二丨-

16、加I由于I-刀的大小不確走，故I-加與的大小關(guān)系不確走； 對(duì)于D, I；M是向星，而I-加I表示長度，兩者不能比較大.3. （2019-浙江省新髙考學(xué)科熱礎(chǔ)測(cè)試）設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB外，IAI=6, ICA + CI = ICA-Cb 則沛1 =（）A. 12B. 63C. 3D解析：選 C.因）ICA+ CBI = 2ICM9 ICA-CBl = IBAL 所以 21CMl = IAI = 6,所以ICi/1 = 3,故選C.4. 已知心是任意的兩個(gè)向量，則下列關(guān)系式中不恒成立的是（）A. a+ba-bB. k>llMIC. （ab）2=a2-2ab-b2D（a-b）

17、5=a3-3a2 b + 3a b2-b3解析：選D.由三角形的三邊關(guān)系和向呈的幾何意義，a + ba-b,所以A正確；因?yàn)镮adl = IaIbIIcos , b L 又ICOSa, b lL所以I0lll切恒成立，B正確；由向呈數(shù)呈積的運(yùn)算，得S -b）2 = a2-2a b + b2, C正確；根據(jù)排除法，故選D.5已知, 是非零向:,命題（i=b,命題g： I+I=II÷IM,則”是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選 A若a = b9 則la + bl = l2a = 2lal9 ll+ Ifrl = ll+ kl = 2

18、kh 即p=>g,若Ia + b = a + Ifrl,由加法的運(yùn)算知與同向共線，即二肋，且2>0,故g為p.所以"是g的充分不必要條件，故選A.6. （2019溫州市普通髙中摸考）已知A, B, C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D,若OC=A+OB（>0. P>0）,則2+“的取值范圍是（）A（0, 1）B. +8）解析：選B由題意可彳尋OD二£0C二AOA十切OB（OV £ V 1）,又A, D. B三點(diǎn)共線，所以k±k=,貝J2 + jU=> I,即2十“的取值范圍是（1，十8）,選項(xiàng)B正確.7. 已知A

19、BCD的對(duì)角線AC和BD相交于O,且OA=a. OB=b,則氐=, BC=（用a, b表示）解析：答案：ba ab8. 若IABI=8, IACI=5,則I荒!的取值范囤是解析：BC = AC-AB.當(dāng)Ak花同向時(shí)，I荒I二8 - 5二3 ；當(dāng)Ak花反向時(shí)，IBCl = 8 十5二13；當(dāng)Ak 花不共線時(shí)，3 V I花V 13綜上可知3 WI荒IWl 3.答案：3, 139（2019sa州質(zhì)檢）如圖所示，在ZXABC中，BO為邊AC上的中線，BG=2G0.設(shè)/AG. Ab=AB+AC（R）,則 2 的值為 解析：因?yàn)锽G = 2GO,所以花二# + ¾二A + C,又西花，可設(shè)CD

20、= mAG, 從而祜二咸'+ &）二才E十,jAB + JAC = （I + J）AC十年方.因?yàn)閕b = ,4十/AC,所以彳=10（2019-杭州中學(xué)高三月考）已知P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且5門一2AB-AC=Q.則/¾C的面積與AABC的而積之比等于解析：因?yàn)?5P-2AB-C=0,所UMF = B + IACf延長AP交BC于D,貝0A二輛十扼二Ab,2 從而可以得到D是BC邊的三等分點(diǎn)，且CD = CB.2 32設(shè)點(diǎn)B到邊AC的距離為Ch則點(diǎn)P到邊AC的距離為×孕二尹2所以'PAC的面積與AABC的面積之比為亍2姣窓-口采 511經(jīng)過AB重心G的

21、直線與OA, OB分別交于點(diǎn)P, Q.設(shè)OP=mOA. OQ=nOB,R, 求出的值.解：設(shè)頁二 , OB = b.貝 UJb 二扌 S 十),PQ = OQ- OP = nb - ma. PG = OG-OP = (a+ b ) - ma由P, G、0共線得，存在實(shí)數(shù)/1使得陀二2陀,消去2,得士十占二3.12在AABC中，D. E分別為BC、AC邊上的中點(diǎn),G為BE上一點(diǎn)，K GB=2GE.設(shè)AB=, AC=b,試用 , 表示AD AG.解：AD二*(AB十AC)二*十扌> > > > 2 * 1 . AG = AB + BG = AB 十亍BE = AB + BC

22、)WAB +- AB)=AB + AC二如十如.能力提升1.設(shè)P是BC所在平而內(nèi)的一點(diǎn)，且CP=IPA.則刊B與APBC的而枳的比值是A.C.IZ=Y）I ?解析：選B因?yàn)槎?顧，所以=二亍 又訶4B在邊刊上的高與匕PBC在邊PC上的 PAll 1ICPl S厶咼相等，所以=S-PBC2. （2019福理省普通髙中質(zhì)好檢我）已知D, E是AABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，AP=XAB+yAC.則Q的取值范用是（）A.4191 l-9, -丨B.1-41 -y2 1 Ir219 2JD- b 4.C.解析：選D由題意，知P, B, C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)人使丙二XBC - -所以鯨-喬

23、二底花喬），所以喬二-AC+（+ ）AB,貝!？1 "，所以A + y=l且gx=z+1'2于是 Ay = x( 1 - X)=X - £十扌，所以當(dāng)X =抽 y取得最大值扌；當(dāng)X二g或 = 2時(shí)，Xy取得最（J 值,3. （2019-浙江名校協(xié)作體髙三聯(lián)考）如圖，在BC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的2 1 9 4.,故選D.直線分別交直線AB的延長線，AC于不同的兩點(diǎn)M, N,若AB=AC=HANy則m+nBiO解析：BG/AC,則BGNC、辭鬻因?yàn)镺是BC的中點(diǎn)，所以 NOC竺HGOB,所以IBGl 二 INCI,又因?yàn)镮ACI = MbVh所以INCI 二(“

24、 -I)IAM,所以鬻二"-1.因?yàn)镮ABl = nAM9 所以IBMl 二(1 Zn)IAMl>所以= 1 nh 所以 H-I 二 1 加,m i 二 2答案：24. (2019JM州市四校高三調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，AB=3. AD=4. M. N分別為線 段BC, CD上的點(diǎn)，且滿足2÷=1> AC=XAM+yAN,則x÷y的最小值為.解析：連接MN交AC于點(diǎn)G,由勾股走理.曲MN-CMSCN-所以l= + z "GW2GV2,即MN二CMCN,所以C到直線MN的距離為定值1,此時(shí)MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一切線因?yàn)榛ǘAM+ yAN=(