新北師大版八年級下冊《三角形的證明》資料-共19頁

1、三角形的證明【知識點一：全等三角形的判定與性質(zhì)】1 .判定和性質(zhì)一般二角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS具備一般二角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等2 .證題的思路:找夾角（SAS )已知兩邊 彳找直角（HL ）找第三邊（SSS)若邊為角的對邊，則找任意角（已知一邊一角找已知角的另一邊（邊為角的鄰邊找已知邊的對角（、找夾已知邊的另一角AAS )SAS)AAS )ASA )已知兩角我兩角的夾邊（ASA），找任意一邊（AAS ）【典型例題】1 .用直尺和圓規(guī)作一個角的平

2、分線的示意圖如圖所示，則能說明/ AOC = / BOC的依據(jù)是（）A. SSSB. ASAC . AASD .角平分線上的點到角兩邊距離相等2 .下列說法中，正確的是（）A.兩腰對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等B.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等C.兩銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等D.面積相等的兩個三角形全等3 .如圖， ABCAADE,若/ B=80°, /C = 30°, /DAC=35°,則/EAC的度數(shù)為（）A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°4 .已知：如圖，在 MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點，且

3、 MQ = NQ.求證：HN=PM.Af5.用三角板可按下面方法畫角平分線：在已知/AOB的兩邊上，分別取 OM = ON (如圖57),再分別過點 M、N作OA、OB的垂線，交點為 P,畫射線OP,則OP平分/ AOB,請你說出其中的道理.圖57【鞏固練習(xí)】1 .下列說法正確的是()A. 一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等B.斜邊相等的兩個直角三角形全等C.斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等D. 一邊長相等的兩等腰直角三角形全等2 .如圖，在 ABC中，D、E分別是邊AC、BC上的點，若 ADB EDB叁 EDC，則/ C的度數(shù)為()A. 15° B. 20° C, 25

4、° D, 30°3 .如圖，已知 ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中，和ABC全等的圖形是()A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙4 .如圖49,已知 AABC AA'B'C', AD、A'D'分別是 AABC和 M'B'C'的角平分線.(1)請證明 AD = A'D'(2)把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龀鰜恚?3)你還能得出其他類似的結(jié)論嗎？圖495 .如圖410,在 ABC中，/ ACB = 90°, AC=BC,直線l經(jīng)過頂點C,過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF, E、

5、F為垂足.(1)當(dāng)直線l不與底邊 AB相交時，求證：EF = AE+BF.圖 4 10（2）如圖411,將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點D,請你探究直線l在如下位置時，EF、AE、BF之間的關(guān)系. AD>BD; AD = BD; ADvBD.【知識點二：等腰三角形的判定與性質(zhì)】等腰三角形的判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等（等邊對等角）； 等腰三角形 三線合一 ”的性質(zhì)：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合； 等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高、中線也相等.【典型例題】1 .等腰三角形的兩邊長分別為3和

6、6,則這個等腰三角形的周長為（）A. 12B. 15C. 12 或 15D . 182 .等腰三角形的一個角是80°,則它頂角的度數(shù)是（）A . 80 °B . 80 ° 或 20 °C . 80 ° 或 50 °D . 203 .已知 ABC中，AB = AC=x, BC =6 ,則腰長x的取值范圍是（）A. 0vxv3 B. x> 3C. 3vxv6D . x> 64 .如圖，/ MON =43° ,點A在射線OM 上，動點P在射線 ON上滑動， 要使 AOP為等腰三角形，那么滿足條件的點P共有（B, 2個C

7、. 3個5.如圖，在 ABC中，BO 平分/ ABC , CO 平分/10cm, BC的長為5cm,求 ABC的周長.6、如卜圖，在 ABC中，/ B=90°, M是AC上任意一點證：MD = MA.（ACB , DE過。且平行于BC ,已知 ADE的周長為A（M與A /、重合）MDBC,交/ ABC的平分線于點 D,求【鞏固練習(xí)】1 .如圖，已知直線 AB / CD , / DCF =110°且 AE=AF ,則/ A等于(A. 30°B. 40°C. 50°2.下列說法錯誤的是（頂角和腰對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等B.頂角和底邊對應(yīng)相等的兩

8、個等腰三角形全等C.斜邊對應(yīng)相等的兩個等腰直角三角形全等兩個等邊三角形全等3.如圖，是一個5 X5的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1 .點A和點B在小正方形的頂點上.點C也在小正方形的頂點上.若 ABC為等腰三角形，滿足條rrrnqA：；：L _ _ J. _ _ _I _ _|_一:;:L _ _ J _LJ.：!；：件的C點的個數(shù)為（A. 6B.C. 8ABC和/ ACB的平分線交于點E ,過點E作MN / BC交AB于若BM +CN =9 ,則線段MN的長為A. 6B.C. 85.如圖：E在 ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE 交 BC 于點 F , DF =EF

9、 , BD = CE ,過 D作DG/ AC交BC于G.求證：(1) GDFCEF;(2) ABC 是等腰三角形.【知識點三：等邊三角形的判定與性質(zhì)】 判定：有一個角等于 60°的等腰三角形是等邊三角形;三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都是60°的三角形是等邊三角形；有兩個叫是60°的三角形是等邊三角形.性質(zhì)：等邊三角形的三邊相等，三個角都是60°.【典型例題】1 .下列說法中不正確的是（）A.有一腰長相等的兩個等腰三角形全等B.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等C.斜邊相等、一條直角邊也相等的兩個直角三角形全等D.斜邊相等的兩個等腰直角三角形全

10、等2.如圖，在等邊 ABC中，/ BAD =20 ° , AE =AD ,貝U / CDE 的度數(shù)是（）A. 10°B, 12.5 °C, 15°D , 20° 3、如右圖，已知 ABC和4BDE都是等邊三角形，求證： AE=CD.【變式練習(xí)】1 .下列命題：兩個全等三角形拼在一起是一個軸對稱圖形；等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線 所在直線；等邊三角形一邊上的高所在直線就是這邊的垂直平分線；一條線段可以看作是以它的垂 直平分線為對稱軸的軸對稱圖形.其中錯誤的有（）A. 1個B.2個C. 3個D.4個2 .如圖，AC=CD=DA = BC = D

11、E ,貝U / BAE 是 / BAC 的（）A. 4倍B. 3倍C . 2倍 D . 1倍3 .如圖，等邊 ABC的周長是9, D是AC邊上的中點，E在BC的延長線上.若DE =DB ,則 CE的長為.4 .如圖，等邊 ABC中，點D、E分另I為BC、CA上的 兩點，且BD =CE,連接 AD、BE交于F點，則/ FAE + / AEF的度數(shù)是（）A. 60°B, 110°C, 120° D, 135°5 .如圖，已知：/MON=30°,點A1、A2、A3在射線 ON上，點B1、=B2、B3 在射線 OM 上，A1B1A2、4A2B2A3、

12、A3B3A4 均為等邊三E角形，若OA1=1 ,則 A6B6A7的邊長為（）/A. 6B. 12C. 32 D . 64。4 七 鼻46 .如圖，M、N點分別在等邊三角形的BC、CA邊上，且BM=CN, AM、BN交于點Q.（1）求證：/ BQM =60° ;（2）如圖，如果點M、N分別移動到BC、CA的延長線上，其它條件不變，（1 ）中的結(jié)論是否仍然 成立？若成立，給予證明；若不成立，說明理由.7 .如圖，C為線段BD上一點（不與點B, D重合），在BD同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE ,AD與BE交于一點F , AD與CE交于點H , BE與AC交于點G.（1）求證：BE

13、=AD;（2）求 / AFG 的度數(shù)；（3）求證：CG=CH.【知識點四：反證法】反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命 題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.【基礎(chǔ)練習(xí)】1、否定 自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反正假設(shè)為（）A. a、b、c都是奇數(shù)B. a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)C. a、b、c都是偶數(shù)D. a、b、c中至少有兩個偶數(shù)2、用反證法證明命題 主角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60。時，反證假設(shè)正確的是（）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于 60°B.假設(shè)三內(nèi)角都大于 60°C.假設(shè)三內(nèi)角至多

14、有一個大于60。D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60。3、證明：在一個三角形中至少有兩個角是銳角.【知識點五：直角三角形】1、直角三角形的有關(guān)知識.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.2、互逆命題、互逆定理在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的 逆命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆

15、定理，其中一個定理稱為另一個定理的 逆定理.【典型例題】1、說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（3）如果ab=0,那么a=0, b=0;（4）在一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等2.使兩個直角三角形全等的條件是（）A. 一個銳角對應(yīng)相等B.兩個銳角對應(yīng)相等C. 一條邊對應(yīng)相等D.兩條邊對應(yīng)相等3 .等腰三角形的底邊長為6,底邊上的中線長為4,它的腰長為（）C. 5A. 74 .如圖，矩形紙片ABCD中，AB =4 , AD =3 ,折疊 紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG ,則AG的長為()5.6.A. 14

16、B.3如圖，在 ABC 中，/ C=90° , / B=30 ° , AD 是/ BAC若CD =2 ,那么BD等于(A. 6如圖，在4 X4正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的 ABCD. 2的面積等于3,則點A到邊BC的距離為(C. 47.如圖， ACB和 ECD都是等腰直角三角形，A, C,點在同一直線上，連接BD, AE,并延長AE交BD于F .(1 )求證： ACE 叁 BCD ;(2)直線AE與BD互相垂直嗎？請證明你的結(jié)論.8 .如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中有一個 ABC , ABC的三個頂點均與 小正方形的頂點重合.(1 )在圖中畫 BCD

17、,使 BCD的面積= ABC的面積(點D在小正方形的頂點上).(2)請直接寫出以A、B、C、D為頂點的四邊形的周長.9 .如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B處，點A落在點A處；(1)求證：B E = BF ;(2)設(shè)AE = a, AB = b, BF =c,試猜想a , b , c之間的一種關(guān)系，并給予證明.【變式練習(xí)】1 .利用基本尺規(guī)作圖，下列條件中，不能作出唯一直角三角形的是(A.已知斜邊和一銳角B.已知一直角邊和一銳角C.已知斜邊和一直角邊D.已知兩個銳角2 .在 Rt ABC 中，/ C=90° , AC =9 , BC=12 ,則點 C 至 U

18、 AB 的距離是(3.A.36512B. 一253.3D .4如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2, 5, 1 , 2,則最大的的面積是E4,已知 RtA ABC 中，/ C=90,且BC = 1 AB ,則/ A等于(2A. 30°B. 45°C. 60°D,不能確定5 .已知：如圖，在 ABC 中，Z A=30° , / ACB =90 ° , M、D分另為 AB、MB的中點.求證：CD ± AB .6 .如圖，在5 X5的方格紙中，每一個小正方形的邊長都為

19、1 , / BCD是不是直角？請說明理由.7 .正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1.每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：(1)在圖1中，畫 ABC ,使 ABC的三邊長分別為3、242、J5 ;(2)在圖2中，畫 DEF ,使 DEF為鈍角三角形且面積為2.【提高練習(xí)】1 .如圖.矩形紙片ABCD中，已知AD =8 ,折疊紙片使AB邊與對角線ACB落在點F處，折痕為AE ,且EF =3 .則AB的長為()A. 3B.4C. 5D.62.如圖，直線l上有三個正方形a, b, c,若a, c的面積分別為5和11,重合，點則b的面積為()A. 4B. 6C. 16D . 5

20、53.張老師在一次 探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：(1)請你分別觀察a, b, c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n(n>1)的代數(shù)式表示：a =, b =, c=;(2)猜想：以a, b, c為邊的三角形是否為直角三角形并證明你的 猜想.4.如圖，AC = BC=10 cm ,n2345a22 - 132- 1421521b46810c22 + 132+142+152+1/ B=15° , AD ± BC于點D ,則AD的長為（8 .如圖，在 ABC中，/ C=90° , / B=15° , AB的垂直平分線交 AB于E,交BC于 D , BD=

21、8 ,則 AC =9 .圖1、圖2分別是10 X8的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1 , A、B兩點在小正方形的頂點上，請在圖1、圖2中各取一點C (點C必須在小正方形的頂點上)，使 以A、B、C為頂點的三角形分別滿足以下要求：(1)在圖1中畫一個 ABC ,使 ABC為面積為5的直角三角形；(2)在圖2中畫一個 ABC ,使 ABC為鈍角等腰三角形.卻10 已知，如圖， ABC為等邊三角形，AE = CD, AD、BE相交于點P.(1)求證： AEB 叁 CDA ;(2)求/ BPQ的度數(shù)；(3)若 BQLAD 于 Q, PQ =6 , PE=2 ,求 BE 的長.【知識點六：線段的垂直

22、平分線】線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等?！镜湫屠}】1 .如圖，在 Rt ABC中，/ C=90° , / B=30° . AB的垂直平分線DE交AB于點D ,交BC于點E ,則下列結(jié)論不正確的是（A. AE=BEB. AC=BEC. CE=DE1 _2.如圖，在 ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于_ AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M, N,作直線點D ,連接AD .若 ADC的周長為10 , AB =7 ,則

23、 ABC的周長為（B. 14C. 172MN ,交BC于3.角形內(nèi)有一點到三角形三頂點的距離相等，則這點一定是三角形的（條中線的交點B.三邊垂直平分線的交點C.條高的交點D.三條角平分線的交點4.如圖，有A、B、C個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（A.BC兩邊高線的交點處B.BC兩邊中線的交點處C.BC兩邊垂直平分線的交點處/ B兩內(nèi)角平分線的交點處5.如圖，AD為/ BAC的角平分，線段AD的垂直平分線交AB于M,交AC于N,6 .如圖所示， ABC中，AB = AC , / BAC=120° , AC的垂直平

24、分線EF交AC于點E,交 BC于點F.求證：BF=2CF.7 .如圖 所示，在 RtA ABC 中，/ ACB =90 ° , AC = BC , D為BC邊上的 中點，CE，AD于點 E, BF / AC交CE的延長線于點F ,求證：AB垂直平分DF .于點D ,交BC于點E .已知/ BAE =10A. 30°B. 40°C.2 .如圖，在 ABC中，已知AC =29 ,交AC于點E . BCE的周長等于50,。，則/ C的度數(shù)為（）1、/5 £C50D . 60AAB的垂直平分線交AB于點D ,八則BC的長為（）【變式練習(xí)】1 .如圖，在 Rt A

25、BC中，/ B=90° , ED是 AC的 垂直平 分線，交ACA. 2lB. 22C. 23D . 243.如圖，在 ABC中，DE垂直平分AB ,. BCFG垂直平分AC,工BC=13 cm,則4AEG的周長為（）A. 6.5cmB. 13cmC. 26cmD . 154,已知：如圖， ABC 的 / A> / ABC , 分另ij交 AC , BC于D , E,貝U AD +BD與A.大于B.小于C.等于D.不能確定5.如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、XIXBEGC邊BC的垂直平分線DE,BC的關(guān)系是（）BECB 一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭

26、應(yīng)建在什么位置？你能畫圖說明嗎？4'B7 二*二一二：一一：. f、- 一 * .f k"1'卡6 .如圖，在 ABC 中，AB = AC , D是 AB的中點，且 DE L求AB、BC的長.AB , BCE 的 周長為 8cm ,且 AC - BC =2 cm , AC5【提高練習(xí)】1 .如圖，在 ABC中，DE垂直平分AB ,分另I交 AB、BC于D、E點.MN垂直平分AC ,分另交AC、BC于M、N點.(1)若/ BAC =100° ,求 / EAN 的度數(shù)；(2)若/ BAC =70° ,求 / EAN 的度數(shù)；(3)若/ BAC = a(

27、aW90),直接寫出用a表示/ EAN大小的代數(shù)式.D圖1圖22.則A.3.BC、A.4 .如圖有一塊直角三角形紙片，/ ACB =90° ,兩直角邊AC =4 ,BC=8 ,線段DE垂直平分斜邊AB ,則CD等于()A. 2B. 2.5C. 3D. 3.55 .如圖，/ ABC =50° , AD垂直平分線段BC于點D , / ABC的平分線交AD于E,連接EC ;則/ AEC等于()A. 100B. 105C. 115【知識點七：角平分線】角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角平分線逆定理：在角內(nèi)部，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上三角形三條角平分線交于一

28、點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內(nèi)心?！镜湫屠}】1 .如圖，/ POA = / POB ,PD，OA 于點 D,OD=12 , PD=5 ,貝U PE=(13B. 12C. 52.角形內(nèi)有一點，它到邊的距離相等，PE，OB 于點 E, OP=13 ,則這點是該三角形的（條中線交點條角平分線交點A.B.貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可以供選擇的地址有（B.四處C.七處6.求作一點P,使PC =（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）7 .（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動課，利用角尺平分一個角（如圖所示）.設(shè)計了如下方案：(I ) / AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA

29、、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM = PN ,過角尺頂點P的射線OP就是/ AOB的平分線.(n ) / AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM =ON ,將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM =PN ,過角尺頂點P的射線OP就是/ AOB 的平分線.(1)方案(I)、方案(II)是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由；(2)在方案(I ) PM =PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時使PM，OA , PN，OB .此方案是否可行？請 說明理由.8 .如圖，AD為 ABC的角平分線，DE，AB, DF，AC ,垂足分別為E, F ,連接EF , EF交AD于點G、 試判斷線段AD與EF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.9 .如圖， ABC中，。是BC的中點，D是/ BAC 平分線上的一點，且 DO，BC ,過點D分別作 DM，AB于 M , DN，AC 于 N .求證：BM =CN .【變式練習(xí)】1 .如圖，OP平分/ MON , PA，ON于點A,點 Q是射線 OM上的一個動點，若PA=2 ,則PQ的最小值為（）A. 1B. 2C. 3D . 42 .如圖所示，點E是/ AOB的平分線上一點，EC ± OA , ED ± OB ,垂足分別是 C、D ,若 OE=4,