印度與阿拉伯的數(shù)學(xué)

受《九章算術(shù)》或中國(guó)其它算書(shū)的影響。

施里德哈勒(Sridhara,9世紀(jì)):《計(jì)算概要》,日用數(shù)學(xué)著作。印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家數(shù)學(xué)著作：《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）和《算法本源》

代表印度古代數(shù)學(xué)最高水平的著作天文著作：《天球》和《天文系統(tǒng)之冠》《莉拉沃蒂》共有13章：第一章給出算學(xué)中的名詞術(shù)語(yǔ)；第二章是關(guān)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)的代數(shù)運(yùn)算，包括加、減、乘、除、平方、開(kāi)平方、立方、開(kāi)立方等；第三章論各種計(jì)算法則和技巧；第四章關(guān)于利率等方面的應(yīng)用題；第五章數(shù)列計(jì)算問(wèn)題，主要是等差數(shù)列和等比數(shù)列；第六章關(guān)于平面圖形的度量計(jì)算；第七至十章關(guān)于立體幾何的度量計(jì)算；第十一章為測(cè)量問(wèn)題；第十二章是一些代數(shù)問(wèn)題，包括不定方程；第十三章是一些組合問(wèn)題。該書(shū)很多數(shù)學(xué)問(wèn)題用歌謠的形式給出。（四）婆什迦羅《算法本源》主要是算術(shù)和代數(shù)著作。什迦羅對(duì)不定方程有特別的興趣，除對(duì)“庫(kù)塔卡”問(wèn)題外，他把婆羅摩笈多關(guān)于佩爾方程的特殊解法改造成一般性的解法。對(duì)ax

2+1=y2

，婆什迦羅首先選擇適當(dāng)?shù)恼麛?shù)k，找出ax2+k=y2的一組特解(

,

)，即a

2+k=

2，另外再找一個(gè)整數(shù)m，使（1，m）是ax2+（m2-a）=y2的一組特解，使用“瑟馬薩”組合，得到滿(mǎn)足ax2+k(m2-a）=y2,即最后根據(jù)“庫(kù)塔卡”方法，可以找到m使k

m

+

,并且使

m2-a

最小。計(jì)算則（

1

，

1）是方程ax

2+k1=y2的解。用

1

，

1，k1代替

，

，k，重復(fù)做上面的演算，若干次后就得到ax2+p=y2的特解（其中p=1，

2，

4），再根據(jù)婆羅摩笈多的方法得到ax

2+1=y2的無(wú)窮個(gè)解。

婆什迦羅能夠熟練地使用諸如和差與半角等三角公式，在解二次方程中能夠認(rèn)識(shí)并廣泛使用無(wú)理數(shù)，討論了形如和的無(wú)理數(shù)的平方根。

阿拉伯帝國(guó)的興起

阿拉伯的代數(shù)

阿拉伯的三角學(xué)與幾何學(xué)

阿拉伯國(guó)家指以阿拉伯民族為主體的國(guó)家，大多分布在亞洲西部和北非一帶，一般使用阿拉伯語(yǔ)，信奉伊斯蘭教。然而“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)”并非指阿拉伯國(guó)家的數(shù)學(xué)，而是指8-15世紀(jì)阿拉伯帝國(guó)統(tǒng)治下的中亞西亞地區(qū)的數(shù)學(xué)，包括穆斯林、希臘人、波斯人和基督徒等所寫(xiě)的阿拉伯文數(shù)學(xué)著作。4.2

阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)阿拉伯帝國(guó)的興起

公元629年（唐貞觀(guān)三年），伊斯蘭教創(chuàng)始人穆罕默德攻取麥加，兩年后統(tǒng)一阿拉伯半島。接著他和繼承者以“右手拿可蘭經(jīng)，左手拿刀”通過(guò)武力迅速擴(kuò)張，不久即建立了橫跨歐、亞、非三洲的大食帝國(guó)，成為中東地區(qū)的政治、經(jīng)濟(jì)、文化中心。早期這些阿拉伯的游牧民族文化落后，有許多是目不識(shí)丁，可是就在穆罕默德的伊斯蘭教《圣訓(xùn)》中明確的教導(dǎo)（“要尋求學(xué)問(wèn)，即使它遠(yuǎn)在中國(guó)”）下，阿拉伯人對(duì)別的種族和教派是寬大的，并容許異教徒自由活動(dòng)，因此許多希臘人、波斯人、印度人、猶太人和基督徒的學(xué)者和他們合作建立起伊斯蘭的文明及文化。帝國(guó)是以哈里發(fā)為最高執(zhí)政者，他兼有軍、政、教三權(quán)。先后出現(xiàn)了奧米雅王朝（遷都于大馬士革，公元661年—750年）和阿拔斯王朝（遷都于巴格達(dá)，公元750年—1055年），到755年阿拉伯帝國(guó)分裂為兩個(gè)獨(dú)立王國(guó)，東部王國(guó)以巴格達(dá)為首都，西部王國(guó)以西班牙的哥爾多華（Cordova）為首都。

阿拉伯人所征服的敘利亞、埃及、美索不達(dá)美亞、伊朗、印度等都是世界文化發(fā)達(dá)較早的地區(qū)，這些文化遺產(chǎn)大多數(shù)被阿拉伯人接受并保存下來(lái)。例如他們占領(lǐng)了印度就把印度學(xué)者請(qǐng)到巴格達(dá)傳播印度文化。公元773年，印度天文學(xué)家將印度的天文學(xué)及數(shù)學(xué)書(shū)籍譯成阿拉伯文。印度的數(shù)字及記數(shù)法也在這時(shí)候傳入阿拉伯。阿拉伯的幾個(gè)哈里發(fā)都重視教育及注意培養(yǎng)科學(xué)人材。在阿拉伯西班牙,教育十分普及,幾乎每一個(gè)人都會(huì)寫(xiě)字，學(xué)者極受尊重。大學(xué)教育更是發(fā)達(dá)，科爾多華、賽維利亞、托勒多、馬拉加和格拉那達(dá)等城，都有規(guī)模龐大的綜合性大學(xué)，是當(dāng)時(shí)西方學(xué)術(shù)教育中心都市。教學(xué)科目有算術(shù)、幾何、物理、天文、生物、醫(yī)學(xué)、哲學(xué)、法學(xué)、倫理學(xué)等。建立學(xué)術(shù)研究機(jī)構(gòu)，圖書(shū)館和天文臺(tái)。阿爾-馬蒙時(shí)代的“智慧宮”是繼亞歷山大博物館以后世界上最大的學(xué)術(shù)研究機(jī)構(gòu)。在各地建立的清真寺一般都設(shè)有圖書(shū)館和學(xué)校。巴格達(dá)、色拉子（Shiraz）、莫夫、科爾多華都有獨(dú)立的圖書(shū)館。在穆斯林西班牙就有70座公共圖書(shū)館，藏有從各地搜集來(lái)的珍貴書(shū)籍。就以哈干姆二世時(shí)來(lái)說(shuō)吧！科爾多華的圖書(shū)館藏書(shū)達(dá)60多萬(wàn)冊(cè)。

政府組織人力從事古希臘文化遺產(chǎn)的整理和翻譯工作。在“智慧宮”與花拉子米同時(shí)的著名翻譯家就有11位。在翻譯中有的被校訂,有的被增補(bǔ),還有的被注釋,從而使大量的古代文化遺產(chǎn)獲得新生。被翻譯的古典著作中包括歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼斯、梅耐勞斯、海倫、托勒密和丟番圖等著名學(xué)者的數(shù)學(xué)和天文著作。

8世紀(jì)末，印度數(shù)學(xué)家及天文學(xué)家婆羅摩笈多的著作也被譯成了阿拉伯文。后來(lái),印度的數(shù)學(xué)知識(shí)不斷地傳入了伊斯蘭各國(guó)。古希臘人的原著，也主要通過(guò)阿拉伯人的譯述而傳入西歐和中歐的。西方正是通過(guò)這些譯本才了解古希臘文化遺產(chǎn)。而且有些古希臘著作，還有阿拉伯文譯本流傳下來(lái)。

花拉子米(約783~850):《還原與對(duì)消計(jì)算概要》(al-Kitābal-mukhta

sarfīhisābal-jabr

wa‘l-muqābala,約820年前后)簡(jiǎn)稱(chēng)《代數(shù)學(xué)》

“Al-jabr”:還原移項(xiàng);“a‘l-muqābala”:對(duì)消.傳入歐洲后，到十四世紀(jì)“Al-jabr”演變?yōu)槔≌Z(yǔ)“Algebra”，也就成了今天的英文“Algebra”。

(i)用代數(shù)方式處理線(xiàn)性方程組和二次方程；

(ii)第一次給出一元二次方程一般代數(shù)解法及幾何證明

(iii)引進(jìn)移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等代數(shù)運(yùn)算

《代數(shù)學(xué)》首先指出，該書(shū)的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是由根（x）、平方（x2）和數(shù)（常數(shù)）這三者組成。

阿拉伯的代數(shù)學(xué)(一）花拉子米《代數(shù)學(xué)》

分六章敘述6種類(lèi)型的一、二次方程求解問(wèn)題。第一章討論ax2=bx

型方程；第二章討論ax2=b

型方程；第三章討論一次方程ax=b；第四、五、六章是關(guān)于三項(xiàng)二次方程求解問(wèn)題，分別討論三種類(lèi)型的二次方程：

x2+px=q,x2+q=px,x2=px+q,都給出了相應(yīng)的求根公式。這六種方程的系數(shù)都是正數(shù)，可統(tǒng)一為以下一般形式——

明確指出,二次方程可能有兩個(gè)正根,也可能有負(fù)根,但他不取負(fù)根與零根。之后，花拉子米又以幾何方式證明上述各種解法的合理性。如對(duì)方程

x2+21=10x

求解過(guò)程的證明如下：圖1圖2花拉子米分兩種情形討論。

(1)當(dāng)x<5時(shí)，以x為邊作正方形ABCD，延長(zhǎng)BC至L，使BL=5，再延長(zhǎng)BL至P，使LP=5，同樣，延長(zhǎng)AD至E，使AE=5，再延長(zhǎng)至H，使EH=5；以EH為邊長(zhǎng)作正方形EHGF，以L(fǎng)F為邊長(zhǎng)作正方形LFMN,（如上圖）x2+px+q=0，花拉子米相當(dāng)于獲得一般的求根公式:(2)當(dāng)x>5時(shí)，以x為邊作正方形ABCD，在邊BC上截取BL=5，延長(zhǎng)LC至G，使LG=5，以L(fǎng)G為邊長(zhǎng)作正方形LGNF，以L(fǎng)C為邊長(zhǎng)作正方形EFMD，(如圖2),記矩形FLCM、MCGN、EFMD、DMNP的面積分別為a、b、c、d，由圖形可知，x2+b+d=10x,這樣b+d=21。那么，

LC=FM=2，故

花拉子米指出:任何二次方程都可以通過(guò)“還原”與“對(duì)消”（即移項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng)）的步驟化成他所討論的六種類(lèi)型方程。若記矩形DCLE、ELPH、LFMN、MNPG的面積分別為a、b、c、d，由圖形可知，x2+a+b=10x,這樣a+b=21。由于a=(5

x)x=d,于是c=52

b

d=52

21，即那么,LC=FM=2,故

于是c=52

b

d=5221，即由于a=c+d=5(x

5)，《印度計(jì)算法》:（Algoritmidenumero

indorum）系統(tǒng)介紹印度數(shù)碼和十進(jìn)制記數(shù)法，以及相應(yīng)的計(jì)算方法。拉丁文譯本在歐洲傳播，為歐洲近代數(shù)學(xué)的發(fā)生提供了科學(xué)基礎(chǔ)。該書(shū)在歐洲傳播后，“Algoritmi”也演變?yōu)椤癆lgorithm”。

艾布·卡米勒:（AbuKamil，約850~930）“埃及的計(jì)算家”繼承了花拉子米的數(shù)學(xué)工作為。

《計(jì)算技巧珍本》：許多數(shù)學(xué)問(wèn)題也采自于花拉子米的書(shū)

《論五邊形和十邊形》：包括幾何和代數(shù)兩方面的內(nèi)容，關(guān)于四次方程解法和處理無(wú)理系數(shù)二次方程是其主要特色。

(二）奧馬

海亞姆與三次方程

奧馬·海亞姆（OmarKhayyam，1048?~1131）：11世紀(jì)最著名且最富成就的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和詩(shī)人?！哆€原與對(duì)消問(wèn)題的論證》(簡(jiǎn)稱(chēng)《代數(shù)學(xué)》):

開(kāi)平方、開(kāi)立方算法該書(shū)對(duì)代數(shù)學(xué)發(fā)展的最杰出貢獻(xiàn)是用圓錐曲線(xiàn)解三次方程。

門(mén)奈赫莫斯(Menaechmus,約BC360)為解決倍立方體問(wèn)題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)，它與三次方程x3=2a2相聯(lián)系。阿基米德在考慮：平面截球，使所截得的兩部分體積比為定值的問(wèn)題時(shí)，導(dǎo)致三次方程：x2(a

x)=bc2。他利用兩條圓錐曲線(xiàn)y(a

x)=ab和ax2=c2y的交點(diǎn)來(lái)求解。阿基米德的傳統(tǒng)啟發(fā)了阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家。海亞姆將不高于三次的代數(shù)方程分為25類(lèi)(系數(shù)為正數(shù)),其中14類(lèi)三次方程,對(duì)每類(lèi)三次方程給出相應(yīng)一種幾何解法,例如解x3+ax=b,首先將其化為x3+c2x=c2d,(這里c2=a,c2d=b,按照希臘人的數(shù)學(xué)傳統(tǒng):a、b是線(xiàn)段,c2為正方形,c2d為長(zhǎng)方體),方程x3+c2x=c2d的解就是拋物線(xiàn)x2

=cy與半圓y2=x(d

x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x.他首先畫(huà)出正焦弦為c的拋物線(xiàn),再畫(huà)出直徑為d的半圓(如下圖),過(guò)它們的交點(diǎn)作垂線(xiàn)PS，則QS長(zhǎng)度就是方程的解.

QxS

d

x

RP高次方程的數(shù)值解法：納西爾·丁(Nasir-Eddin,1201~1274)和阿爾·卡西（Al-Kashī,?~1429）都給出了開(kāi)高次方的一般性算法。阿爾·卡西：撒馬爾罕天文臺(tái)負(fù)責(zé)人

《算術(shù)之鑰》：給出用于開(kāi)方的二項(xiàng)式系數(shù)表，與11世紀(jì)中國(guó)賈憲的“開(kāi)方作法本源圖”十分相似，所介紹的兩種造表方法之一，與楊輝算書(shū)所錄賈憲“增乘方法求廉草”完全一致.《算術(shù)之鑰》中還有“契丹算法”（即盈不足術(shù),當(dāng)時(shí)的歷史學(xué)家稱(chēng)中國(guó)為契丹al-Khataayn）和“百雞問(wèn)題”，后來(lái)傳入歐洲。高精度三角函數(shù)表的編造海拜什·哈西卜(Al-Hasīb,764?~870?)

制定間隔為15‘的60進(jìn)制正弦表，還編制了間隔為1

的正切表。艾布·瓦法

(Abū'l-Wafā,940~997?)

編制出間隔為10‘的正弦表和正余弦表引入正割、余割比魯尼

(Al-Bīrūnī,973~1050)

利用二次插值法制定了正弦、正切函數(shù)表。馬拉蓋天文臺(tái)阿拉伯的三角學(xué)與幾何學(xué)

阿爾·巴塔尼(al-Battānī,858?~929)

《天文論著》,又名《星的科學(xué)》

對(duì)希臘三角學(xué)加以系統(tǒng)化創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語(yǔ)，如正弦、余弦、正切余切。

發(fā)現(xiàn)了一些等價(jià)于下列公式的三角函數(shù)關(guān)系式：

巴塔尼（

858?-929）以及球面三角形的余弦定理：cosa=cosb

cosc+sinb

sinc

cosA.

艾布·瓦法

《天文學(xué)大全》

繼承并發(fā)展了托勒玫的《大匯編》

編制精細(xì)的三角函數(shù)表證明了與兩角和、差、倍角和半角的正弦公式等價(jià)的關(guān)于弦的一些定理,證明了平面和球面三角形的正弦定理。比魯尼

(Al-Bīrūnī,973~1050)146余部著作

《馬蘇德規(guī)律》：在三角學(xué)方面有一些創(chuàng)造性的工作正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式。給出一種測(cè)量地球半徑的方法,首先用邊長(zhǎng)帶有刻度的正方形ABCD(如圖4.4a)測(cè)出一座山高(其中)，再于山頂T處懸一直徑SP可以轉(zhuǎn)動(dòng)的圓環(huán)MPNS,從山頂T觀(guān)測(cè)地平線(xiàn)上一點(diǎn)I，測(cè)得俯角

OTI=

，由于，，得到，從而算出地球半徑。，，比魯尼算得1

子午線(xiàn)長(zhǎng)為106.4-124.2公里。TGCEBDAFMSTPNHIOG圖4.4a圖4.4b阿爾·卡西計(jì)算sin1

的值：首先求出sin72和sin60的值,以求sin12=sin(7260

)的值,再用半角公式求sin3的值,由三倍角公式得出sin3=3sin1

4sin31，即sin1是三次方程sin3=3x

4x3的解，阿爾·卡西用牛頓迭代法：，（x1=sin3）求出sin1的近似值。納西爾·丁

《伊兒汗天文表》(1271):測(cè)算出歲差51″/每年

《天文寶庫(kù)》

對(duì)托勒玫的宇宙體系加以評(píng)注，并提出新的宇宙模型

《論完全四邊形》

脫離天文學(xué)的系統(tǒng)的三角學(xué)專(zhuān)著，系統(tǒng)闡述了平面三角學(xué)，明確給出正弦定理。討論球面完全四邊形，對(duì)球面三角形進(jìn)行分類(lèi)，指出球面直角三角形的6種邊角關(guān)系(C為直角)：cosc=cosa

cosb;cosc=ctgA

ctgB;cosA=cosa

sinB;cosA=tgb

ctgC;sinb=sincsinB;sinb=tga

ctgB.

討論了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入極三角形的概念以解斜三角形。指出在球面三角形中，由三邊可以求三角，反之，由三角可以求三邊，這是球面三角與平面三角的一個(gè)重要標(biāo)志。與阿拉伯人的代數(shù)成就和三角學(xué)成就相比，他們的幾何學(xué)工作顯得薄弱，阿拉伯人在幾何方面的工作主要是對(duì)希臘幾何的翻譯與保存，并傳給了歐洲。他們主要受歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼烏斯、海倫和托勒玫等人的影響，希臘幾何學(xué)對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的嚴(yán)格性產(chǎn)生一定的作用。他們?cè)?jīng)對(duì)《幾何原本》作過(guò)評(píng)注，其中第五公設(shè)引起了他們的注意，不少人試圖證明這條公設(shè)，如焦赫里(ai-Jawhari，約830)、著名學(xué)者塔比·伊本·庫(kù)拉(Thabit

ibn

Qurra,約826~901)、伊本·海塞姆(Ibnal-Haytham,965~1040?)、奧馬·海亞姆以及納西爾·丁等人。阿拉伯人關(guān)于第五公設(shè)的這種興趣與嘗試，誘發(fā)了后世歐洲學(xué)者在這方面的興趣，對(duì)非歐幾何的誕生有一定的影響。補(bǔ)充：中國(guó)和印度阿拉伯的數(shù)學(xué)交流絲綢之路中國(guó)與阿拉伯世界的數(shù)學(xué)交流中國(guó)與印度的數(shù)學(xué)交流絲綢之路

“絲綢之路”是古代橫貫歐亞大陸的交通大動(dòng)脈，發(fā)自中國(guó)中原地區(qū)，通過(guò)西域的漫長(zhǎng)道路而達(dá)歐洲。一般認(rèn)為是由西漢的張騫(qiān

)首先開(kāi)辟的。

公元前177年，匈奴在冒頓單于統(tǒng)治下，向分布在陰山以西的月氏人進(jìn)攻，驅(qū)趕他們向西邊遷徙到天山以北的地方。月氏民族西遷的消息，一直到公元前138年,才傳到漢武帝劉徹。漢武帝于是派張騫出使西域.聯(lián)絡(luò)西部民族如大月氏、烏孫等，聯(lián)合漢朝發(fā)起對(duì)匈奴的東西夾擊。張騫帶了100個(gè)隨從離開(kāi)長(zhǎng)安，一進(jìn)入河西走廊，就被匈奴抓走，關(guān)了10年才逃出匈奴，到了大宛(yuān

)、康居和大月氏（伊朗東北部）。張騫在大月氏停留了一年之后，就從西域南道回中國(guó)，在回中國(guó)的路上又被匈奴扣留一年，后來(lái)乘匈奴內(nèi)亂逃回中國(guó)，他在西域的時(shí)間前后13年，出發(fā)時(shí)一百多人，回來(lái)只剩下兩人。羅馬帝政時(shí)期從奧古斯都（公元前27年—公元14年）執(zhí)政開(kāi)始，羅馬帝國(guó)征服了整個(gè)地中海,帝國(guó)的東部邊界沿著幼發(fā)拉底河上游和亞美尼亞、安息國(guó)接壤。那時(shí)中國(guó)的商隊(duì)，從敦煌或新疆出發(fā)，經(jīng)常到美索不達(dá)米亞及敘利亞去做買(mǎi)賣(mài)。中國(guó)人也把羅馬叫著“大秦”，意思是“極西的國(guó)家”。

公元97年，在西域經(jīng)營(yíng)的班超，派了叫甘英的使者，帶著禮物，去尋找到羅馬的路徑，甘英從現(xiàn)在新疆庫(kù)車(chē)西南的托和鼐出發(fā)，順利地穿過(guò)中亞、西亞的廣大地區(qū)，來(lái)到安息的西界，準(zhǔn)備渡海，經(jīng)海路到紅海去?？墒遣ㄋ勾L(zhǎng)卻欺騙了他,告訴他這條海路難走，遇上好風(fēng)，也要三個(gè)月才行。風(fēng)信不利，也有走到二年才到。要帶到三年的口糧才能對(duì)付。在大海上航行，使人容易得到思鄉(xiāng)病，常常因而死亡。這些話(huà)使到甘英不能到達(dá)大秦,甘英出使大秦失敗而回。二十余年后,羅馬的魔術(shù)師經(jīng)海路輾轉(zhuǎn)到印度，緬甸，后由西南陸道來(lái)到洛陽(yáng)獻(xiàn)藝。大秦到了公元166年，正式遣使，從東南海路前來(lái)中國(guó)。從漢到唐的一千多年間，“絲綢之路”雖幾經(jīng)中斷，但基本上是暢通的，沿著這條道路保持著大規(guī)模的經(jīng)濟(jì)貿(mào)易交往，而伴之而來(lái)的是科技文化的交流。西漢形勢(shì)圖絲綢之路示意圖

唐時(shí)中國(guó)的陶瓷制造術(shù)、煉丹術(shù)和硝等藥物傳入阿拉伯，而阿拉伯的煤油、菠菜、蔥也在這時(shí)傳入中國(guó)，以后成為中國(guó)人常用的蔬菜。在唐時(shí)一些阿拉伯人來(lái)唐居住或經(jīng)商或留學(xué)，有些甚至取得唐籍，在政府入任為官。例如大食人李彥升，在公元847年被嶺南節(jié)度使盧鈞舉薦入京，由宣宗特準(zhǔn)參加科舉考試,次年考取進(jìn)士。晚唐時(shí)，阿拉伯、波斯人僑居中國(guó),并參加科舉中榜者不少?；亟淘谪懹^(guān)年間（公元627—649年）已傳入中國(guó)。據(jù)明朝何喬遠(yuǎn)的《回回家言》記載,麥地那國(guó)有穆罕默德圣人，其門(mén)徒有大賢四人，唐武德中來(lái)朝，遂傳教中國(guó)，“一賢傳教廣州、二賢傳教揚(yáng)州、三賢四賢傳教泉州?！碧瞥蝿?shì)圖

12世紀(jì)末崛起了蒙古草原地區(qū)的游牧民族，在成吉思汗的率領(lǐng)下，由公元1219年到1225年,組成一支大軍向里海以北的地區(qū)西征。這支部隊(duì)配備有漢族和西遼的先進(jìn)軍事技術(shù)裝備，所向無(wú)敵。

1235—1244年,成吉思汗的孫子拔都又率蒙軍進(jìn)行第二次西征，攻克欽察郡，平俄羅斯,破波蘭，敗匈牙利，前鋒直抵威尼斯。

1253—1260年，成吉思汗的孫子蒙哥派旭烈兀第三次西征，席卷了美索不達(dá)米亞。中國(guó)首先接觸希臘科學(xué)的人是蒙哥。

蒙哥派旭烈兀西征時(shí)，命令他把中亞著名科學(xué)家納速拉丁·徒思（Nasired-dinal-tusi公元1201—1274年）帶回中國(guó)。但是，蒙哥派旭烈兀進(jìn)入波斯以后并沒(méi)將徒思送回中國(guó)，而是帶他繼續(xù)西征巴格達(dá)，不久又回到波斯。

1258—1259年，旭烈兀在徒思的建議下在馬拉加城建立了一座規(guī)模很大的天文臺(tái)，徒思擔(dān)任臺(tái)長(zhǎng)。這座天文臺(tái)中有大規(guī)模的天文儀器設(shè)備，而且參加其中工作的，西有伊斯蘭統(tǒng)治下的西班牙天文學(xué)家，東有來(lái)自中國(guó)的天文學(xué)家。

事實(shí)上，阿拉伯人來(lái)中國(guó)學(xué)文化，也有中國(guó)人到阿拉伯國(guó)家去研究。元朝形勢(shì)圖中國(guó)與印度的數(shù)學(xué)交流

自從公元前1世紀(jì)初,佛教通過(guò)西域開(kāi)始傳入中國(guó)之后，中國(guó)同印度、西域之間的交通日益發(fā)展，東來(lái)西去的僧人日益增多。中印天文數(shù)學(xué)交流

印度與中國(guó)交通甚早．相傳漢明帝時(shí)中國(guó)就派遣蔡镕到西域?qū)で蠓鸱āＨ龂?guó)時(shí)有印度僧人來(lái)華。隋唐時(shí)期交往漸多。八世紀(jì)以后，水路交通更為便利，中印來(lái)往更頻。當(dāng)時(shí)兩國(guó)各種學(xué)術(shù)，應(yīng)互有傳授，算學(xué)也不例外。

印度算學(xué)，除吠陀時(shí)期外，諸家撰述，俱在祖沖之《綴術(shù)》后，與中國(guó)古算相同之術(shù)，如勾股、圓周率、弧團(tuán)術(shù)、開(kāi)立圓術(shù)、求一術(shù)等，皆與希臘算學(xué)迥異，可為印度算學(xué)取法中算之證。又印度算學(xué)，類(lèi)皆因題立術(shù)，鮮事證明，數(shù)與量無(wú)顯明之界限，算法可通于數(shù)者，即可應(yīng)用于量，皆與中算相似。中國(guó)數(shù)碼的產(chǎn)生以及0號(hào)的使用，具體時(shí)間不可考證，應(yīng)該與八、九世紀(jì)的中印文化交流有關(guān)．隋唐時(shí)期及之后，隨著中印文化交流的加深，中印數(shù)學(xué)交流更為廣泛。中國(guó)數(shù)學(xué)對(duì)印度數(shù)學(xué)的影響：位置制數(shù)碼；四則運(yùn)算；分?jǐn)?shù)；三項(xiàng)法（今有術(shù)）；弓形面積與球體積；聯(lián)立一次方程組；負(fù)數(shù)；勾股問(wèn)題；圓周率；重差術(shù)；一次同余式；不定方程問(wèn)題；開(kāi)方法等。印度數(shù)學(xué)對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)的影響：數(shù)碼；圓弧的量法等中國(guó)與阿拉伯世界的數(shù)學(xué)交流中阿文化交流概述

阿拉伯帝國(guó)與中國(guó)的科學(xué)與文化交流在帝國(guó)建立之前的很長(zhǎng)時(shí)間就已經(jīng)存在了。以伊斯蘭文