二項(xiàng)式定理典型例題含解答

1、精品文檔二項(xiàng)式定理典型例題典型例題一n例1在二項(xiàng)式q1的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng).x24x分析：典型的特定項(xiàng)問(wèn)題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過(guò)抓通項(xiàng)公式解決.r2n3r解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：Tr1c；（/x）nrC；X4rn24xn2r前三項(xiàng)的r0,1,2.得系數(shù)為：ti1上C；11n,t3C211n（n1），i2n3n2248由已知：2t2t1t3n11n（n1），'n8163r通項(xiàng)公式為T(mén)1C8Xr0128T1為有理項(xiàng)，故163r是4的倍數(shù)，r2r'''rr0,4,8.依次得到有理項(xiàng)為T(mén)1x4,T5C：x更x,T

2、gC88x2x2.24828256說(shuō)明：本題通過(guò)抓特定項(xiàng)滿足的條件，利用通項(xiàng)公式求出了r的取值，得到了有理項(xiàng).類(lèi)似地，（亞V3）100的展開(kāi)式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過(guò)抓通項(xiàng)中r的取值，得到共有典型例題四3.10516例4（1）求（1x）（1x）展開(kāi)式中x的系數(shù)；（2）求（x2）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).x分析：本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開(kāi)，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題，（1）可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式相乘；（2）可以經(jīng)過(guò)代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式.解：（1）（1x）.210用（1x）中的x乘以（1x）展開(kāi)式中的x3項(xiàng)乘以（1x）10展開(kāi)式中的x2項(xiàng)可得到（C；0C：03C：0C20）x563x5.2（2）

3、x-2x1（xxxr式的通項(xiàng)公式1C"）”:（1x）10展開(kāi)式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類(lèi)項(xiàng):用（1x）3展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)乘以（1x）10展開(kāi)式中的x5項(xiàng)，可以得到C10x；用（1x）3展開(kāi)式中的一次項(xiàng)乘以（1x）10展開(kāi)式中的x4項(xiàng)可得到（3x）（C40x4）3C40x5；3233353x可得到3xCi0x3c1°x；用（1x）中的3x3C"2dx5,合并同類(lèi)項(xiàng)得x5項(xiàng)為：1215:：112-2）vx-.由心工展開(kāi)xx.xax,，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C：2924.1歡在下載精品文檔說(shuō)明：?jiǎn)栴}(2)中將非二項(xiàng)式通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決.這時(shí)我

4、們還可以通過(guò)合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題來(lái)解決.典型例題五例5求(1xx)6展開(kāi)式中x5的系數(shù).26222分析：(1xx)不是二項(xiàng)式，我們通過(guò)1xx(1x)x或1(xx)展開(kāi).6斛：萬(wàn)法一：(1xx)(1x)x(1x)6(1x)x15(1x)x其中含x5的項(xiàng)為c6x56C5x515Clx56x5.含x5項(xiàng)的系數(shù)為6.方法二：(1xx2)61(xx2)622.22.32.42.5.2.616(xx)15(xx)20(xx)15(xx)6(xx)(xx)5555a一其中含x5的項(xiàng)為20(3)x15(4)x6x6x.，x5項(xiàng)的系數(shù)為6.方法3：本題還可通過(guò)把(1xx2)6看成6個(gè)1xx2相乘，每個(gè)因

5、式各取一項(xiàng)相乘可得到乘積的一項(xiàng)，x5項(xiàng)可由下列幾種可能得到.一.一555個(gè)因式中取x,一個(gè)取1得到C6x.3個(gè)因式中取x,一個(gè)取x2,兩個(gè)取1得到C6C3x2歡在下載(x2).1個(gè)因式中取x,兩個(gè)取x2,三個(gè)取1得到c6C2x(x2)2.合并同類(lèi)項(xiàng)為(c6c6c3c6c5)x56x5,x5項(xiàng)的系數(shù)為6.典型例題六例6求證：(1)C1n2C2nC：n2n1；(2)C01c：1c：工cn工(2n11).23n1n1分析：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值.解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過(guò)組合數(shù)公式將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來(lái)

6、，從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)_1_2CnCncn解：(1)kcnn!n!kk!(nk)!(k1)!(nk)!n(n1)!nC；1(k1)!(nk)!左邊nC01nC；1ncn1nd1C；1n1n1Cn1)n2右邊.精品文檔n!n!，左邊k!(n1c；k)!(k1)!(nk)!(n1)!(k1)!(nk)!工c；1.n11c2(C；1C21c；1)_Cn1Cn1n1(2n11)右邊.說(shuō)明：本題的兩個(gè)小題都是通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式,但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：求29c1028

7、c927c82C102C102C10_22C1010的結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與1010_0_1_2_2(12)10的展開(kāi)式接近，但要注意：(12)C10C102C102C9o29C10210121022C；o29c9o210c1012(102c2o28c9o29c10)從而可以得到：102cl202F29C：0歲典型例題七例7利用二項(xiàng)式定理證明:32n28n9是64的倍數(shù).分析：64是8的平方，問(wèn)題相當(dāng)于證明32n28n9是82的倍數(shù),為了使問(wèn)題向二項(xiàng)式定理貼近，變形32n29n1(81)n將其展開(kāi)后各項(xiàng)含有8k,與82的倍數(shù)聯(lián)系起來(lái).解：32n28n9n18nn1(81)8n8n

8、1C；8nc；182c；8n1C1n18ncn1828(n1)18n98n1C；18nc；182(8n1c；18n_n1_.、Cn1)64是64的倍數(shù).而且可以用此方程求一些說(shuō)明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)證明整除問(wèn)題,復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù).典型例題八例8展開(kāi)2x352x2.分析1:用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式.解法1:2x2x0C；(2x)53C5(2x)42x323京C5(2X)232x23歡在下載3C53(2x)2A532X1精品文檔4C；(2x)占C/2x32x5120x2180x135405243MR32x10分析2:對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).C535C5(4x3

9、)4(3)C；(4x3)3(3)23)5解法2：2x3(x13)-1yC5°(4x3)52x32x32xC3/zlx323C4(Ax3V4C5/132x1032x5C5(4x)(3)C5(4x)(3)C5(1024x153840x125760x94320x61620x32437)2180135405243120x47花.xx48x732x說(shuō)明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(ab)n的展開(kāi)式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條件.對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開(kāi)會(huì)更簡(jiǎn)便.典型例題九例9若將(xyz)10展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為().A.11B.33C.55D.661010分析：

10、(xyz)看作二項(xiàng)式(xy)z展開(kāi).解：我們把xyz看成(xy)z,按二項(xiàng)式展開(kāi)，共有11“項(xiàng)”，即101010i10k_k(xyz)(xy)zCxy)z.k0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)z的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式(xy)10k展開(kāi)，不同的乘積C10(xy)10kzk(k0,1,10)展開(kāi)后，都不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng).下面，再分別考慮每一個(gè)乘積C10(xy)10kzk(k0,1,10).其中每一個(gè)乘積展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)由(xy)10k決定，而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同,也不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng).故原式展開(kāi)后的總項(xiàng)數(shù)為11109166,.應(yīng)選D.典型例題十1例10若x12的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為20,求n.x4歡在下

11、載精品文檔分析：題中x0,當(dāng)x0時(shí)，把n2轉(zhuǎn)化為2n1；當(dāng)x0時(shí)，同理nx12xx1)n然后寫(xiě)出通項(xiàng)，令含x的哥指數(shù)為零，解出n.2n解:1,其通項(xiàng)為,xTr1C2n(-.x)2nr(1)rC2,n(、x)2n2r展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(1)nC；n；當(dāng)x0時(shí)，xn12x2nL，x同理可得，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為1)nC2n.無(wú)論哪一種情況,常數(shù)項(xiàng)均為(1"21n.令(1)nC21n20,以n1,2,3,，逐個(gè)代入，得n3.典型例題十一101例11yx-=的展開(kāi)式的第3項(xiàng)小于第4項(xiàng)，則x的取值范圍是,x分析：首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出展開(kāi)式的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可.1023解：jx聿

12、有意義必須x0;依題意有T3T4即C120Gq)8Jc30(v'x)7.3反3；x31rx1091098185Jx1尸(x0).解得0x-V648.213213.x9.x的取值范圍是x0x8v1648.應(yīng)填：0x85/648.99典型例題十二例12已知(xlog2x1)n的展開(kāi)式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為1：2：3,這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？若展開(kāi)式的倒數(shù)第二項(xiàng)為112,求x的值.解：設(shè)連續(xù)三項(xiàng)是第k、k1、k2項(xiàng)(kN且k1),則有C：1:C：C:1：2：3,即n:一n一:n123.1:一1一:-123.(k1)(nk1)!k!(nk)!(k1)(nk1)!(nk)(nk1)k(nk)k(k1)

13、5歡在下載精品文檔k(nk)1(nk)(nk1)2k(k1)2k(nk)3k1nk12(k1)2(nk)3n14,k5所求連續(xù)三項(xiàng)為第5、67三項(xiàng).又由已知,C1143xlo92x112.即xlo92x8.兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，(log2x)23,log2xV3,，x2戶(hù)，或x2c.說(shuō)明：當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開(kāi)式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常利用二項(xiàng)式通項(xiàng),根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解.典型例題十三例13(12x)n的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).分析：根據(jù)已知條件可求出n,再根據(jù)n的奇偶性；確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).T5C84(2x)

14、41120x4.解：T6Cn(2x),T7Cn(2x)，依題意有Cn2Cn2n8.(12x)8的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則有C；2C；1215r6-1792x5,T71792x6.r5或r6Cr0,1,2,8).，系婁最大的項(xiàng)為：T6說(shuō)明：(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例題十四例14設(shè)f(x)(1x)m(1x)n(m,nN),若其展開(kāi)式中關(guān)于x的一

15、次項(xiàng)的系數(shù)和為11,問(wèn)m,n為何值時(shí)，含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值.分析：根據(jù)條件得到x2的系數(shù)關(guān)于n的二次表達(dá)式,然后用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值.解：CmCn11c2c21,22、11,CmCn(mmnn)222mn111102mn2211299n11n55(n)24n5或6,m6或5時(shí)，x2項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為25.6歡在下載精品文檔11t，即x5.5,由于5、6距5.5299,的取小值在n4說(shuō)明：二次函數(shù)y(x等距離，且對(duì)nN,5、取得.H)2處的對(duì)稱(chēng)軸方程為X24口1126距5.5最近，所以(n)22典型例題十五例15若(3x1)7ayx7a6X6aixa0,求a1a2a7;(

16、2)a1a3asa7;(3)aoa2a4a6.解：(1)令x0,則a01,令x1,則a7a6a1a027128.a1a2a7129.(2)令xa7a6a§ada3a2aa。(4)7a3a2a1a4a3a2a0)a1a0)由以上得：a1a3a52(3)由蟲(chóng)_巴得：a0a2217a7128(4)7825621rz(a?a6a5a4a4a62(a7a6a517嚴(yán)8(4)78128.anxn,g(x)的各項(xiàng)說(shuō)明：(1)根據(jù)問(wèn)題恒等式特點(diǎn)來(lái)用“特殊值”法.這是一種重要方法，它適用于恒等式.(2)一般地，對(duì)于多項(xiàng)式g(x)(pxq)na0a1xa2x21的系數(shù)和為g(1)：g(x)的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)

17、和為-g(1)g(1).g(x)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為11g(1)g(1).典型例題十六例16填空：(1)2303除以7的余數(shù);(2)555515除以8的余數(shù)是分析(1):將230分解成含7的因數(shù)，然后用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，不含7的項(xiàng)就是余數(shù).解：2303(23)103(8)103(71)103或710或79如7C；37C1o79Cw78C22又.余數(shù)不能為負(fù)數(shù)，需轉(zhuǎn)化為正數(shù)。，2303除以7的余數(shù)為5,應(yīng)填：57歡在下載精品文檔C5456C,15分析(2):將5555寫(xiě)成(561)55,然后利用二項(xiàng)式定理展開(kāi).解：555515(561)5515C555655C555654容易看出該式只有C；1514

18、不能被8整除，因此555515除以8的余數(shù)，即14除應(yīng)填:以8的余數(shù),典型例題十七例17求證：對(duì)于n證明:n展開(kāi)式的通項(xiàng)TrcnrPnrr!n1n(n1)(n2)(nr1)二(1r!1)(1n2)(1n展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr11(n1)rA：r!(n1)1rr(1(1由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)明顯看出1Tr說(shuō)明：本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)為正項(xiàng)，且有一項(xiàng)相同,用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明.n1n證明時(shí),根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)，采典型例題十八例18在(x23x2)5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為(A.160B.240C.360D.800分析：本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的運(yùn)用.應(yīng)想辦法將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解.解法1：由(x

19、23x2)5(x23x)25,得Tk1C；(x23x)5k2k-k-k,2=、5kk_kr-r102krC52(x3x)再一次使用通項(xiàng)公式得，Tr1G2c5k3x,這里0k5,0r5k.令102kr1,即2kr9.所以r1,k4,由此得到x的系數(shù)為C54243240.255554解法2：由(x3x2)(x1)(x2),知(x1)的展開(kāi)式中x的系數(shù)為C5,5445常數(shù)項(xiàng)為1,(x2)的展開(kāi)式中x的系數(shù)為C52,常數(shù)項(xiàng)為2.因此原式中x的系數(shù)為C；25C5424240.8歡在下載精品文檔解法3：將(x23x2)5看作5個(gè)三項(xiàng)式相乘，展開(kāi)式中x的系數(shù)就是從其中一個(gè)三項(xiàng)式中取3x的系數(shù)3,從另外4個(gè)三

20、項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘所得的積，即C53C424240.典型例題十九一9例19已知-J-的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為9,常數(shù)a的值為.x.24分析：利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式.9rr99rr312二r9解：在a戶(hù)的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為T(mén)r1C9aCT(1)ra-x2x2x22393根據(jù)題設(shè)，一r93,所以r8.代入通項(xiàng)公式，得T9ax.21699根據(jù)題忌，一a一，所以a4.，應(yīng)填：4.164典型例題二十例20(1)求證：13C：32Cn33C3(1)n3n(2)n(2)若(2x<3)4a0axa2x2a3x3a4x4,求(a0a2a4)2(a1a3)2的值.分析：(1)注意觀察(1x)n1C：xC2x2

21、C：xn的系數(shù)、指數(shù)特征，即可通過(guò)賦值法得到證明.(2)注意到(a。a2a4)2(a1a3)2(a。a1a2a3a)(a0a1a2a324),再用賦值法求之.解：(1)在公式(1x)n1C：xC：x2(13)n1C：(3)1C2(3)2C：(3)n(2)在展開(kāi)式(2x，3)4a0為xa2x2令x1,得a0aa2a3a4(2x<3)4；原式(a0a1a2a3a4)(a0a1(C；xn中令x3,即有13C132C2(1)n3n34a3xa4x中，4令x1,得比&aa84(2、3).2a3a4)(2<3)4(2而)41.(abx)na0axa?x2C；bn中，對(duì)任意的x說(shuō)明：注意

22、“賦值法”在證明或求值中的應(yīng)用.賦值法的模式是，在某二項(xiàng)展開(kāi)式，如nn_0n_1n12n22anx或(ab)CnaCnabCnabA(a,bA)該式恒成立，那么對(duì)A中的特殊值，該工也9歡在下載精品文檔一定成立.特殊值x如何選取，沒(méi)有一成不變的規(guī)律，需視具體情況而定，其靈活性較強(qiáng).般取x0,1,1較多.一般地，多項(xiàng)式f(x)的各項(xiàng)系數(shù)和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為1f(1)f(1),偶次項(xiàng)系數(shù)和為1f(1)f(1).二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)CnChCnCn222及C0dC4ChC3C52n1的證明就是賦值法應(yīng)用的范例.典型例題二十一例21若nN，求證明：32n324n37能被64整除.n1一3(81)24

23、n37分析：考慮先將32n3拆成與8的倍數(shù)有關(guān)的和式，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).解：32n324n37332n224n3739n124n370n11n2n13Cn18Cn18Cn18n11n2n138Cn18Cn18qrQn1C1QnC2qn138Cn18Cn18CnQCn1n18Cn124n37(n1)8124n37Cn1182(8n9)24n373828n1C：18n2C：18n3C：；3(8n9)24n37n1Tn22n3n11n22n33648Cn18Cn1864,.8,Cn18,Cn18,均為自然數(shù)，上式各項(xiàng)均為64的整數(shù)倍.，原式能被64整除.說(shuō)明：用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，大體上就是這

24、一模式，先將某項(xiàng)湊成與除數(shù)有關(guān)的和式，再展開(kāi)證之.該類(lèi)題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但不如用二項(xiàng)式定理證明簡(jiǎn)捷.典型例題二十二2例22已知(x33x2)n的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).分析：先由條件列方程求出n.(1)需考慮二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；(2)需列不等式確定r.解：令x1得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為(13)n22n，而展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為C0CnCnCn2n，有22n2n992.n5.(1).n5,故展開(kāi)式共有6,其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、第四兩項(xiàng).2222,TC2/x3)3/3x2)290x6TC3/x3)2/3x2)3270x313C5(x)(3x)90x14C5(x)(3x)270x.2104r(2)設(shè)展開(kāi)式中第r1項(xiàng)的系數(shù)最大.Tr1C5(x*)5r(3x2)rC53rx-,10欠0迎下載精品文檔故有C53rC5rC；3rC；3r3r3r15rr4,即展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大.T5C542/312.4(x3)(3x)26405x萬(wàn)因此其求法亦說(shuō)明：展開(kāi)