同濟(jì)大學(xué)-高等數(shù)學(xué)微積分教案設(shè)計(jì)

1、第一章：函數(shù)與極限1.1初等函數(shù)圖象及性質(zhì)1.1.1幕函數(shù)函數(shù) （m是常數(shù)） 叫做幕函數(shù)。幕函數(shù)的定頭域，要看m是什么數(shù)而定。例如，當(dāng)m二3吋，y二x的定狡 域是（-8 ,+oo）；當(dāng)m = 1/2時(shí).y二x '的定狡域是0,）；當(dāng)m二T/2時(shí)，y=x "的定狡域是（0, +oo ）。但不論m取什么值，彖函數(shù)在（0,+8）總有定義。最常見的無(wú)函數(shù)圖象如下圖所示：如圖1.1.2指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1. 指數(shù)函數(shù)函數(shù)y二a，（a是常數(shù)且a>0,a*1）叫做指數(shù)函數(shù)，它的定艾域是區(qū)間（-8 ,+8）。因?yàn)閷?duì)于任何實(shí)數(shù)值x,總有>0,又a°=1,所以指數(shù)函數(shù)的圖形

2、，總在x軸的上方.且通過(guò)點(diǎn)（0,1）o若a>1,指數(shù)函數(shù)是單調(diào)增加的。若0<a<1,指數(shù)函數(shù)是單調(diào)減少的。由于y=（1/a）"x=a x,所以尸才的圖形與y=（1/a）x的圖形是關(guān)于y軸對(duì)稱的（圖1-21）。如圖2. 對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)，記作y= Iogax （a是常數(shù)且a>0. a$1）,叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。它的定艾域是區(qū)間（0,+8）。對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形與指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線y二x對(duì)稱（圖1-22） oy= Iogax的圖形總在y軸上方，且通過(guò)點(diǎn)（1,0） o若a>1,對(duì)數(shù)函數(shù)lo&x是單調(diào)增加的，在開區(qū)間（0,1）函數(shù)值為負(fù)，而在區(qū)間

3、（1,+8）函數(shù)值為正。若0<a<1,對(duì)數(shù)函數(shù)log°x是單調(diào)減少的，在開區(qū)間（0,1）函數(shù)值為正，而在區(qū)間（1, +oo）函數(shù)值為負(fù)。如圖1.1.3三角函數(shù)與反三角函數(shù)1. 三角函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2TT為周期的周期函數(shù)，它們的定艾域都是區(qū)間（-8 ,+8）,值域都是必區(qū)間-1, Uo 正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)。正切函數(shù)和余切函數(shù)都是以TT為周期的周期函數(shù)，它們都是奇函數(shù)。2. 反三角函數(shù)及三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，其圖形都可由相應(yīng)的三角函數(shù)的圖形按反函數(shù)作圖法的一般規(guī)則作出。 這四個(gè)反三角函數(shù)都是多值函數(shù)。但是，我們可以選取這些函數(shù)的單值支。例如，

4、把Arcsinx的值限制在閉區(qū)間-,上，稱為反正弦函數(shù)的主值，并記作arcsinxo這樣，函數(shù)y = arcsinx就是定狡在閉區(qū)間-1, 1±的單值函數(shù)，且有。1.2數(shù)列極限的概念設(shè)是一個(gè)數(shù)列，a是實(shí)數(shù)，如果對(duì)于任意給定的，總存在一個(gè)正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)都有，我們就稱a是數(shù)列 的極限，或者稱數(shù)列收斂，且收夕攵于a,記為，a即為的極限。數(shù)列極限的幾何解釋：以a為極限就是對(duì)任意給定的開區(qū)間，第N項(xiàng)以后的一切數(shù)全部落在這個(gè)區(qū)間。1.3函數(shù)極限的概念設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)附近（但可能除掉點(diǎn)本身）有定艾，設(shè)A為一個(gè)定數(shù)，如果對(duì)任意各定，一定存在，使得當(dāng)時(shí)， 總有，我們就稱A是函數(shù)f（x）在

5、點(diǎn)的極限，記作，這時(shí)稱f（x）在點(diǎn)極限存在，這里我們不要求f（x）在點(diǎn)有定艾， 所以才有。 例如：，當(dāng)xh時(shí).函數(shù)是沒有定狡的.但在xh點(diǎn)函數(shù)的極限存在，為2。1.4單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限，是判斷極限存在的重要準(zhǔn)則之一，具體敘述如下：如果數(shù)列滿足條件，就稱數(shù)列是單調(diào)增加的;反之則稱為是單調(diào)滅少的。在前面的幸節(jié)中曾證明：收斂的數(shù)列必有界。但也曾指出：有界的數(shù)列不一定收斂?，F(xiàn)在這個(gè)準(zhǔn)則表明：如果數(shù) 列不僅有界，而且是單調(diào)的，則其極限必定存在。對(duì)這一準(zhǔn)則的直觀說(shuō)明是，對(duì)應(yīng)與單調(diào)數(shù)列的點(diǎn)只可能向一個(gè)方向移動(dòng)，所以只有兩種可能情形：或者無(wú)限趙近 某一定點(diǎn)；或者沿?cái)?shù)軸移向無(wú)窮遠(yuǎn)（因?yàn)椴悔?/p>

6、向于任何定點(diǎn)且遞增，已符合趁向無(wú)窮的定狡）。但現(xiàn)在數(shù)列又是 有界的，這就意味著移向無(wú)窮遠(yuǎn)已經(jīng)不可能，所以必有極限。從這一準(zhǔn)則出發(fā)，我們得到一個(gè)重要的應(yīng)用。考慮數(shù)列，易證它是單調(diào)增加且有界（小于3）,故可知這個(gè)數(shù)列 極限存在，通常用字母e來(lái)表示它，即o可以證明，當(dāng)x取實(shí)數(shù)而趨于或吋，函數(shù)的極限存在且都等于e,這 個(gè)e是無(wú)理數(shù)，它的值是 e = 2. 9045-1.5柯西(Cauchy)極限存在準(zhǔn)則我們發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候收斂數(shù)列不一定是單調(diào)的，因此，單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則只是數(shù)列收斂的充分條件，而不 是必要的。當(dāng)然，其中有界這一條件是必要的。下面敘述的柯西極限存在準(zhǔn)則，它給出了數(shù)列收夕攵的充分必要條

7、件?？挛?Cauchy)極限存在準(zhǔn)則 數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)，存在著這樣的正整數(shù)N,使得當(dāng)m>N, n>N時(shí)，就有。必要性的證明 設(shè)，若任意給定正數(shù)，則也是正數(shù)，于是由數(shù)列極限的定狡，存在著正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，有； 同樣，當(dāng)m>N吋，也有。因此，當(dāng)m>N, n>N時(shí),有氐L g -叭- g T 十-十氐-小產(chǎn)才 所以條件是必要的。充分性的證明從略。這準(zhǔn)則的幾何意義麥?zhǔn)?，?shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)，在數(shù)軸上一切具有足夠大的點(diǎn)，任 意兩點(diǎn)間的距離小于。柯西極限存在準(zhǔn)則有時(shí)也叫做柯西審斂原理。1.6 連續(xù)函數(shù)1.6.1定義

8、：若函數(shù)f(x)在xo點(diǎn)的附近包括xo點(diǎn)本身有定義，并且，則稱f(X)在Xo點(diǎn)連續(xù)，Xo為f(x)的連續(xù)點(diǎn)。如圖1.6.2充要條件：f(x)在X。點(diǎn)既是左連續(xù)又是右連續(xù)。初等函數(shù)如三角、反三角函數(shù)，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等都是在自定艾區(qū)間的連續(xù)函數(shù)。1.6.3三類不連續(xù)點(diǎn)：(1) 第一類不連續(xù)點(diǎn)：f (xo+0), f (xo-0)存在但不相等。如圖(2) 第二類不連續(xù)點(diǎn):f(xo+O),f(xo-0)中至少有一個(gè)不存在。如圖(3) 第三類不連續(xù)點(diǎn)：f(xo+0),f(xo-0)存在且相等,但它不等于f(x°)或f(x)在X。點(diǎn)無(wú)定艾。如圖1.7 一致連續(xù)性的概念及它與連續(xù)的不同1.7.1定

9、義：對(duì)，可找到只與有關(guān)而與x無(wú)關(guān)的，使得對(duì)區(qū)間任意兩點(diǎn)xbx2,當(dāng)時(shí)總有，就稱f(x)在區(qū)間一致 連續(xù)。1.7.2與連續(xù)的比較：(1) 連續(xù)可對(duì)一點(diǎn)來(lái)講，而一致連續(xù)必須以區(qū)間為對(duì)象。(2) 連續(xù)函數(shù)對(duì)于某一點(diǎn)xo,取決于xo和，而一致連續(xù)函數(shù)的只取決于，與x值無(wú)關(guān)。(3) 致連續(xù)的函數(shù)必定連續(xù)。例：函數(shù)y二1/x,當(dāng)xG(0, 1 )吋非一致連續(xù)，當(dāng)xe (C,1)時(shí)一致連續(xù)(4) 康托定理：閉區(qū)間a , b上的連續(xù)函數(shù)f(x)-定在a , b上一致連續(xù)。第二章：導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)是微積分的重要組成部分，他的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分，其中導(dǎo)數(shù)反映出自變量的變化快慢程度，而微 分則指明當(dāng)自變量有微小變

10、化時(shí)，函數(shù)大體上變化多少。2.1 導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)xo的某個(gè)鄰域有定艾，當(dāng)自變?cè)赬。處取得增量x (點(diǎn)xox仍在該領(lǐng) 域)時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)吋的極限存在，則稱函數(shù)在處可字，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的 導(dǎo)數(shù)，記為，即，也可記作。導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式，常見的有和導(dǎo)數(shù)的概念就是函數(shù)變化率這一槪念的精確描述。2.1.2 求導(dǎo)舉例例求函數(shù)(n為正整數(shù))在處的導(dǎo)數(shù)解把以上結(jié)果中的換成得，即更一般地,對(duì)于彖函數(shù)(為常數(shù))，有這就是策函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解5h5h即這就是說(shuō)，正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù).用類似的方法，可求得就是說(shuō)，余弦函

11、數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦函數(shù)。例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解=即這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，特殊地，當(dāng)時(shí)，因，故有例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).八巧-如二越二畑 -1 1。盼(廠-旬T昭“解0h5盹=作代換 即得這就是對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，特殊地，當(dāng)時(shí)，由上式得自然對(duì)數(shù)的數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的定艾可知：函數(shù)在點(diǎn)處的字?jǐn)?shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線斜率，即，其中是切線的傾角如下圖：例 求等邊雙曲線y=1/x,在點(diǎn)(1/2,2)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意狡知道，所求切線的斜率為由于，于是從而所求切線方程為即4x+y-4=0所求法線的斜率為k2-1/ki=1/4,于

12、是所求法線方程為2x-8y+15=0.2.2 微分的概念2. 2.1微分的定義 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間有定艾，及在這區(qū)間，如果函數(shù)的增量可表示為其中A是不依賴于的常數(shù)，而是比離階的無(wú)窮小，那末稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增董的微分，記作，即例求函數(shù)y=x?在x=1和x=3處的微分.解函數(shù)在處的徹分為在處的微分為函數(shù)在任意點(diǎn)的微分.稱為函數(shù)的微分，記作或，即例如，函數(shù)的微分為 函數(shù)的微分為通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作dx,即于是函數(shù)y=f (x)的微分又可記作dy=f, (x)dx,從而有x=3 就是說(shuō)，函數(shù)的微分dy與自變董的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此，導(dǎo)數(shù)也叫做&

13、quot;微商”.2. 2.2微分的幾何意義設(shè)是曲線y=f(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增#,dy是曲線的切線上的縱坐標(biāo)的相應(yīng)的增量，當(dāng)I Ax |很小時(shí)，| Ay-dy |比| Ax |小得多，因此在M點(diǎn)的鄰近，我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段.第三章：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用上一章里，從分析實(shí)際問題中因變量相對(duì)于自變童的變化快慢出發(fā)，引出了導(dǎo)數(shù)的概念，并討論了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 方法。本章中，我們將應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)以及曲線的某些性態(tài)，并利用這些知識(shí)解決一些實(shí)際問題。我們將 介紹微分學(xué)的幾個(gè)中值定理，他們是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)3.1三個(gè)中值定理3.1.1羅爾定理羅爾定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，

14、在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a) =f(b),那么在(a,b)至少有一點(diǎn)，使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：。3.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，那么在(a,b)至少有一點(diǎn)，使等式(1)成立。3.1.3柯西中值定理柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，且F' (x)在(a, b)的每一點(diǎn) 處均不為零，那么在(a, b)至少有一點(diǎn)，使等式(2)成立.3.2 洛必達(dá)法則3. 2.1洛必達(dá)法則的概念.定狡：求待定型的方法(與此同時(shí))；定理：若f(x

15、)與g(x)在(a,a+)上有定艾，且f(x)二g(x)=O;并且f(x)與g' (x)在(a,a+)上存在.0且二A則二二A, (A可以是).證明思路：補(bǔ)充定狡x=a處f (x) =g (x) =0,則a, a+)上=即x時(shí),x,于是=3. 2.2定理推廣：由證明過(guò)程顯然定理?xiàng)l件x可推廣到x, x,xo所以對(duì)于待定型，可利用定理將分子、分母同吋求導(dǎo)后再求極限。注意事項(xiàng)：1.對(duì)于同一算式的計(jì)算中，定理可以重復(fù)多次使用。2.當(dāng)算式中出現(xiàn)Sin或Cos形式時(shí)，應(yīng)慎重考慮 是否符合洛必達(dá)法則條件中f'(X)與(X)的存在性。向其他待定型的推廣。(下轉(zhuǎn)化過(guò)程中描述引用的僅為記 號(hào))1.

16、 可化為=,爭(zhēng)實(shí)上可直接套用定理。2. 0=03.通分以后二 o4八取對(duì)數(shù) OLnO、LnR OLnO、0、0。3. 3泰勒公式及其誤差圖示來(lái)源：實(shí)踐，常用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似運(yùn)算.由于時(shí)所以，因此圍：在直接求f(x)困難，而在X附近X。處f(X。)與f'(X。)較易時(shí)應(yīng)用.條件是X與X。充分接近，可達(dá)到一定的精度. 利用當(dāng)為不同函數(shù)吋.有常用近似公式如下：(|x|很小時(shí))Sinxxgxx, Ln (1+x) x泰勒公式來(lái)源：上述公式在|x|很小時(shí)，于是即，ph(0)+f，(0)x與f(x)在x=0處函數(shù)值相等，且一階導(dǎo)數(shù)相等. 為進(jìn)一步提鬲精度欲使與在二階導(dǎo)數(shù)處也相等于是，得依此類推:/匕”

17、心仗)-/(0)十 f (OR八（嘰22!對(duì)于誤差，有定理：在x=0處有*1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則上式誤差(在x與0之間) 由定理：此式為 在x=0處的關(guān)于x的泰勒展開公式即：7W = /(0) + 廣(Ok + f "+ + 吟 F +心(力 2!公式推廣：一般地在x=X。附近關(guān)于X。點(diǎn)的泰勒公式/(力叮+/(心)("列)+2(拓2+£(“20)。&|>)2!m 注意：雖然泰勒公式是在X 丁附近”展開，但是事實(shí)上X可以取f(x)定爻域任意值，只不過(guò)若|x-|過(guò)大(即X離過(guò)遠(yuǎn)) 時(shí)，相應(yīng)變大.即使用代替f(x)的誤差變大.可是，無(wú)論如何泰勒公式總是成立的，當(dāng)

18、固定后，不同的X將使發(fā)生變 化，并使變化，從而影響對(duì)f(x)的近似精度.3.4函數(shù)圖形描繪示例定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，(a, b)可導(dǎo).則f(x)在a,b單調(diào)上升(或單調(diào)下降)的充分必要條件為(a, b)(或)，推論：若f(x)在a,b連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且不變號(hào)，則(或0)嚴(yán)格單調(diào)上升(下降).定理(極值的必要條件)：若X。為f(x)的極值點(diǎn)，那么X。只可能是(x)的零點(diǎn)或f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn).定埋(極值判別法)：則，f()為極大值，f0為極小值若不存在，但f(x)在與上可導(dǎo) 則若，則為極小點(diǎn),反之為極大點(diǎn)定狡：若曲線在一點(diǎn)的一邊為上凸，另一邊為下凸，則稱此點(diǎn)為拐點(diǎn)，顯然拐點(diǎn)處定狡：

19、若則稱ax+b為f(x)的一條漸進(jìn)線.定狡：若則稱x二c為f(x)的一條垂直漸進(jìn)線.定理：若f (x)的一條漸進(jìn)線為ax+b則，證明：由定狡知即所以即帶回定艾得函數(shù)圖象描述的基本步驟：1. 確定y=f (x)的定狡域并討論函數(shù)的基本性質(zhì)，如奇偶性，對(duì)稱性周期性等.2. 求出與及與不存在的各點(diǎn).3由2的結(jié)果函數(shù)的上升，下降區(qū)間，及圖形的上凸，下凸區(qū)間以及各極值點(diǎn).4. 定出函數(shù)的漸近線.5.描點(diǎn)作用.3.5曲率的概念及計(jì)算公式3. 5.1概念：來(lái)源：為了平衡曲線的彎曲程度。平均曲率，這個(gè)定艾描述FAB曲線上的平均彎曲程度。其中表示曲線段AB上切線變化的角度，為AB弧長(zhǎng)。 例：對(duì)于圓，。所以：圓周

20、的曲率為1/R,是常數(shù)。而直線上，所以，即直線“不彎曲”。對(duì)于一個(gè)點(diǎn)，如A點(diǎn)，為精確刻畫此點(diǎn)處曲線的彎曲程度，可令，即定狡，為了方便使用，一般令曲率為正數(shù). 即：。3. 5.2計(jì)算公式的推導(dǎo):由于，所以要推導(dǎo)與ds的表示法.ds稱為曲線弧長(zhǎng)的微分(T5-28, P218)因?yàn)?，所以。令，同時(shí)用代替得所以或具體表示：1、時(shí)，2、時(shí)，3、時(shí)，(令)再推導(dǎo)，因?yàn)?，所以，兩邊?duì)x求導(dǎo)，得，推出。下面將與ds代入公式中：，即為曲率的計(jì)算公式。3.5.3曲率半徑：一般稱為曲線在某一點(diǎn)的曲率半徑。幾何意義(T5-29)如圖為在該點(diǎn)做曲線的法線(在凹的一側(cè))，在法線上取圓心，以p為半徑做圓，則此圓稱為 該點(diǎn)處

21、的曲率圓。曲率圓與該點(diǎn)有相同的曲率，切線及一階、兩階稻樹。應(yīng)用舉例：求上任一點(diǎn)的曲率及曲率半徑(T5-30)解：由于： 所以：，3.6方程的近似解法3. 6.1應(yīng)用前提：方程f (x)=0,則f(x)應(yīng)滿足：(1) f(x)在a, b連續(xù)，f(a)與f(b)不同號(hào)。(2)在(a, b)連續(xù)且不變號(hào)。(3)在(a, b)連續(xù)且不變號(hào)。3. 6.2應(yīng)用步驟：首先：判斷方程是否滿足應(yīng)用前提，先對(duì)端點(diǎn)a, b求f(a)、f(b),取與f"(x)同號(hào)的一點(diǎn)為是點(diǎn)。過(guò)是點(diǎn)做f(x)的切線，交x軸與。然后：過(guò)(，)做的切線，交x軸與。以次類推，直到滿足箱度要求。3. 6.3應(yīng)用舉例：求：在1, 2

22、的根，誤差解：令，有：=9 >0,八希=3工+3 >0,八尢)=6x> °所以可應(yīng)用上述方法，求得：=14x2 = 1.181,x3 =1.1545,x4 =1.15417, =1.15417由于.所以誤差國(guó)的近似解為3.6.4兩點(diǎn)說(shuō)明:1. 祈提條件的作用：第一個(gè)條件顯然是為了保證區(qū)間上解的存在性。第二、第三個(gè)條件是為了保證各步迭代后，得到的交點(diǎn)仍落在區(qū)間上的2. 迭代公式：設(shè)第n步后的交點(diǎn)為，所以下一步過(guò)(，)做f(x)的切線，寫出其方程就是：，它與X軸交 點(diǎn)為，這就是迭代公式。第四章：不定積分在第二章中，我們討論了怎樣求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)問題，本章將討論他的反問

23、題，即要求一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)， 也就是求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使他的導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù)。這是積分學(xué)的基本問題之一4.1不定積分的概念與性質(zhì)4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念定義1如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),即對(duì)任一 xWI,都有F' (x) = f(x).dF(x) = f(x)dx, 那末函數(shù)F(x)就禰為f(x)(或f (x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。例如，因(sin x) ' =cos x,故sin x是cos x的原函數(shù)。那一個(gè)函數(shù)具備何種條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？簡(jiǎn)單的說(shuō)就是，連續(xù)的函數(shù)一定有原函數(shù)。 下面還要說(shuō)明兩點(diǎn)。第一，如果有，那么，對(duì)任

24、意常數(shù)C,顯然也有，即如果是的原函數(shù)，那F(x)+C也是于(x)的原函數(shù)。第二，當(dāng)C為任意常數(shù)時(shí)，表達(dá)式F(x)-H),就可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。也就是說(shuō)，f(x)的全體原函數(shù)所 紐成的集合，就是函數(shù)族。由以上兩點(diǎn)說(shuō)明.我們引入如下定義。定義2在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為(或)在區(qū)間上的不定積分，記作.其中記號(hào)稱為積分 號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。由此定義及前面的說(shuō)明可知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么F (x) +C就是f(x)的不定積分， 即。 因而不定積分可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)。例1求.解由于&所以是的一個(gè)原函數(shù)。

25、因此.例2求.解 當(dāng)時(shí)，由于弓所以是在的一個(gè)原函數(shù)。因此，在，當(dāng)時(shí)，由于=,由上同理，在，將結(jié)果合并起來(lái)，可寫作4.1.2不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的定艾，可以推得它的如下兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即.性質(zhì)2求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號(hào)外面來(lái)，即(k是常數(shù),kH0).例3求. 解=注意 檢臉積分結(jié)果是否正確，只要對(duì)結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被枳函數(shù)，相等時(shí)結(jié)果是正確的，否是錯(cuò)誤 的。4.2兩類換元法及舉例利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分是非常有限的.因此，有必要進(jìn)一步來(lái)研究不定積分的求法.把復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)求不定

26、積分，利用中間變董的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱為換元積分法，簡(jiǎn)換元 法.換元法通常分成兩類.4. 2.1第一類換元法定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù)，u=e(x)可導(dǎo)，則有換元公式例 *1 求 f 2cos2xdx.解 作變換 便有 /2cos2xdx =f cos2x 2dx = f cos2x (2x) ' dx =f cos u du = sin u+C、再以 u=2x 代、即得 f2cos2xdx =sin 2x+C例 2 求 / tan x dx.一 In 十 U = 一 In |cos 彳十 C解 f tan x dx =f sin x /cos x dx.因?yàn)?sin x

27、dx = d cos x,所以如果設(shè) u 二cos x,那么 du=-sin xdx,即-du二sin xdx.ftan xdx = - | =因此JJ COS XJ 11類似地可得f cot x dx =/n/sin x+C.在對(duì)變董代換比較熟練以后，就不一定寫出中間變量”例 3 求 f ch(x/a) dx.at例 4 求(a>0).解J PF 行不百打質(zhì)尹sire SLTL 十 U下面求積分的例子，它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù)，在計(jì)算這種積分的過(guò)程中，往往要用到一些三角恒等式. 例 5 求 / sin3 x dx. 解 / si/x dx =f sin x sinx dx=- f

28、(1-cosx)d(cosx)- f d(cosx)+ / cos xd (cosx)二一cosx+ (1/3) cosxC.例 6 求 f cos2 x dx.Jeos2 xdx =F上："s 必寺(jdx + Jeos 2xx,類似地可得 f sin x dx=x/2-(s/n2x)/4C.利用定理1來(lái)求不定積分，一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來(lái)的困難，因?yàn)槠渲行枰欢ǖ募?巧，而且如何適當(dāng)?shù)倪x擇變量代換u=<p Q沒有一般途徑可循，因此要掌握換元法，除熟悉一些典型的例子，需多 練習(xí).4. 2.2 第二類換元法定理2設(shè)x=ip(x)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù),并且呎

29、(x)工0.又設(shè)fip(t)ip'(t)具有原函數(shù).則有換元公式 ,其中69是x=lp O的反函數(shù).例7求(a>0)解 求這個(gè)積分的困難在于有根式，但我們可以利用三角公式siSt+coVth來(lái)化去根式.設(shè)esK,-n/2<Kn/2,那么晶= 產(chǎn)藥兀=acosx =,于是根式化為了三角式,所求積分化為+ 。(°工1利用例6的結(jié)果得卜sin 2i )2a2sin L cqs£2axt = arc sin ,cos：f 由于 xs/nt,-n/2<t<n /2,所以°于是所求積分為具體解題時(shí)要分析具體情況，選簡(jiǎn)捷的代換.第五章：定積分本章

30、將討論積分學(xué)的另一個(gè)基本問題一定積分問題。我們先從幾何與力學(xué)問題出發(fā)引進(jìn)定積分的概念，再討 論他的性質(zhì)和計(jì)算方法，關(guān)于定積分的應(yīng)用，將在下一章討論。5.1定積分概念定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界，在a, b中任意插入若千個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間a, b分成n個(gè)小區(qū)間，設(shè)有常數(shù)I,如呆對(duì)于任意給定的正數(shù)e ,總存在一個(gè)正數(shù)d，使得對(duì)于區(qū)間a, b 的任何分法，不論在中怎樣取法，只要，總有成立，則稱I是f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作。接下來(lái)的問題是：函數(shù)f(x)在a, b上滿足怎樣的條件，f(x)在a,b上一定可積？以下給出兩個(gè)充分條件。 定理1設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上可

31、積。定理2設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在a,b上可積。對(duì)面積賦以正負(fù)號(hào)，在X軸上方的圖形面積賦以正號(hào)，在X軸下方的圖形面積賦以負(fù)號(hào)，則在一般情形下，定積 分的幾何意狡為：它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x = a. x = b之間的各部分面積的代數(shù)和。5.2牛頓一萊步尼茲公式及實(shí)例定理 如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原旳數(shù)，則o (1)證 已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，又根據(jù)前面的定理知道，積分上限的函數(shù)也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。于是這兩個(gè)原函數(shù)之差為菜個(gè)常數(shù)(第四幸第一節(jié))，即。(2) 在上式中令x二a,得。

32、又由F (x)的定義式及上節(jié)定積分的補(bǔ)充規(guī)定知F(a)=O,因此，C = F(a)o 以F(a)代入(2)式中的C,以代入(2)式中的F (x),可得，在上式中令x = b,就得到所要證明的公式(1)n由積分性質(zhì)知，(1)式對(duì)a>b的情形同樣成立。為方便是見，以后把F(b) - F(a)記成。公式(1)叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，給定積分提供了一種簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，也稱為微積分基本 公式。例1計(jì)算定積分。解。例2計(jì)算。解。例3計(jì)算。解。例4計(jì)算正弦曲線y二sinx在0,p上與x軸所圍成的平面圖形的面積。解。例5求解 易知這是一個(gè)型的未定式，我們利用洛必達(dá)法則來(lái)

33、計(jì)算。因此。5.3定積分的近似計(jì)算在應(yīng)用問題中常遇到要求定積分的數(shù)值，但f(x)的原函數(shù)根本不能普通的初等函數(shù)表示出來(lái)。例如等，所以提 出了積分的近似計(jì)算問題。定積分近似計(jì)算公式的原理：求定積分就是求面積，近似計(jì)算公式是對(duì)面積的近似求法。此處介紹拋揚(yáng)線法廉理：實(shí)質(zhì)上是用拋物線逼近曲線段.如圖由此可推出b _ a一o此公式稱為辛卜生公式。兒亠尹2艮乜山+亠如2)+401十+畑 近似計(jì)算方法很多，但實(shí)質(zhì)上多是曲線逼近(見數(shù)值分析)。5.4廣義積分的概念5.4.1無(wú)窮限的廣義積分定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, +¥ )上連續(xù)，取b>a,若極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間a

34、, +¥ ) 上的廣義積分，記作，即。(1)這時(shí)也稱廣義積分收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積分發(fā)散。類似地，若極限存在，則稱廣義積分收斂。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥ ,+¥ )上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無(wú)窮 區(qū)間(-¥ , +¥ )上的廣義積分，記作，也稱廣義積分收斂；否則就稱廣義積分發(fā)散。上述廣義積分統(tǒng)稱為無(wú) 窮限的廣艾積分。例1 證明廣義積分(a>0)當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p£ 1時(shí)發(fā)散。證當(dāng)P = 1時(shí)，當(dāng)pl 1時(shí)，因此，當(dāng)p>1時(shí)，這廣狡積分收斂，其值為：當(dāng)卩

35、3; 1時(shí)，這廣義積分發(fā)散。5.4.2無(wú)界函數(shù)的廣義積分現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)的情形。定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b上連續(xù)，而在點(diǎn)a的右領(lǐng)域無(wú)界，取，如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b上的廣義積分，仍然記作，這時(shí)也稱廣義積分收斂。類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在a, b±除點(diǎn)c(Xcb)外連續(xù)，而在點(diǎn)c的領(lǐng)域無(wú)界，如果兩個(gè)廣義積分與都收斂，則定義叮小"(如二輒)小輒否則，就稱廣義積分發(fā)散。例2 證明廣狡積分當(dāng)q1時(shí)收斂，當(dāng)吋發(fā)散。因此，當(dāng)q C 1時(shí)，這廣狡積分收斂，其值為(b-a)f/(1-q);當(dāng)時(shí)，這廣狡積分發(fā)散。第七章：空間解析幾何與向量

36、微分 在平面解析幾何中，通過(guò)坐標(biāo)把平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，把平面上的圖形和方程對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而 可以用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問題，空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來(lái)的。7.1幾種常見曲線：附錄U兒種當(dāng)用的曲線：i> 二*會(huì)戲<紆*比嘟Ml卷燉<o9 - -XI4-S<n)(IS)三葉孜現(xiàn)皺UO三時(shí)玫理踐7.2 曲面方程如果曲面S與三元方程F(x, y, z)=0 (1),有下述關(guān)系：72.1曲面方程的概念及一般方程1. 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(1);不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1), 那末，方程就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的圖形。

37、7. 2.2平面方程的幾種形式一般形式：Ax+By+Cy+D=O,其中A. B, C是平面法向,A2+B2+C2*Oo點(diǎn)法式方程：。截距式方程：O三點(diǎn)式方程：已知平面過(guò)空間三點(diǎn),則平面方程為1.幾科特殊的曲面方程1. 獲轉(zhuǎn)曲面方程設(shè)平面曲線I :繞z軸旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)曲線方程為2. 柱面方程母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程為不完全的三元方程，如F(y, z)=0就表示母線平行與x軸，準(zhǔn)線為 的柱面.二次曲面方程(見第七章知識(shí)點(diǎn)3)7.3 空間曲線7. 3.1 空間曲線一般方程空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線。設(shè)F(x, y, z)二0和G(x, y, z)二0是兩個(gè)曲面的方程，它們的交線為C如 圖。因?yàn)榍?/p>

38、線C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組(1)反過(guò)來(lái)，如果點(diǎn)M不在曲線C上，那末它不可能同吋在兩個(gè)曲面上，所以它的坐標(biāo)不滿足方程組(1) o因此， 曲線C可以用方程組(1)來(lái)表示。方程組(1)叫做空間曲線C的一般方程。1.為空間曲線的一般方程，空間曲線的參數(shù)方程為t為參數(shù).1.方程組表示怎樣的曲線？方程組中第一個(gè)方程表示母線平行于z軸的圓柱面，其準(zhǔn)線是xOy面上的圓，圓心在原點(diǎn)0,半徑為1。方程組中 第二個(gè)方程表示一個(gè)母線平行于y軸的柱面，由于它的準(zhǔn)線是zOx面上的直線，因此它是一個(gè)平面。方程組就表 示上述平面與圓柱面的交線，如圖。2. 方程組表示怎樣的曲線？方程組中第

39、一個(gè)方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)0 .半徑為a的上半球面。第二個(gè)方程表示母線平行于z軸的圓柱面， 它的準(zhǔn)線是xOy面上的圓，這圓的圓心在點(diǎn)(a/2, 0),半徑為a/2。方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線。7. 3.2 空間曲線在坐標(biāo)上的投彩設(shè)空間曲線C的一般方程為由上述方程紐消去變量z, x, y后所得的方程分別為：H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0,表示曲線C在xOy面上的投影，表示曲線C在yOz面上的投影，表示曲線C在xOz面上的投影。例已知兩球面的方程為(a)和(b)求它們的交線C在xOy面上的投影方程。解 先求包含交線C而母線平行于z軸的柱面方程

40、。因此要由方程(a) , (b)消去z,為此可先從(a)式減去(b) 式并化簡(jiǎn)，得到y(tǒng) + z = 1,再以z = 1 -y代入方程(a)或(b)即得所求的柱面方程為x2+2y-2y=0 易看出，這是交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程，于是兩球面的交線在xOy面上的投影方程是注：在重積分和曲線積分的計(jì)算中，往往需要確定一個(gè)立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影，這時(shí)要利用投影柱面和投影曲線。7.4 二次曲面 我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。為了 了解三元方程F (x , y ,z )二0所表示得的曲面的形狀.我們通常釆用截痕法。即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲線相截，考察其交線(即截痕)的形狀

41、，然后加以 綜合，從而了解曲面的全貌。同學(xué)們可試用截痕法考察下面的二次曲面。7.4.1橢球面方程7.4.2拋物面方程7.4.3雙曲拋物面方程7.4.4雙曲面方程所表示的曲面叫做橢球面，截痕法漬示。(P和q同號(hào))所表示的曲面叫做拋物面.截痕法演示。(P和q同號(hào))所表示的曲面叫做雙曲拋物面，截痕法演示。 所表示的曲面叫做單葉雙曲面，裁痕法演示。方程 所麥?zhǔn)镜那娼凶鲭p葉雙曲面，截痕法演示。第八章：多元函數(shù)微分 在很多實(shí)際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個(gè)變置依賴于幾個(gè)變量的情形，這就提出了多元函數(shù)微分和積分的問題，本章將在一元微分的基礎(chǔ)上，討論二元及二元以上的多元函數(shù)的微分。8

42、.1多元函數(shù)的極限與連續(xù)性8.1.1定義 設(shè)函數(shù)f (x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D有定艾，Po (xo, yo)是D的點(diǎn)或邊界點(diǎn)。如果對(duì)于任意給定 的正數(shù)E,總存在正數(shù)6,使得對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)P(x,y)GD,都有|f (x, y)-A|< E成立.則稱常數(shù)A為函數(shù)f (x, y)當(dāng)xTxo,yTyo吋的極限，記作或 f(x,y) TA (pTO)，這里 p = |PPoh例設(shè)(x2+y2*0),求證。因?yàn)殄插插惨?#176; W可見，對(duì)任何E >0,取,則當(dāng)時(shí)，總有成立，所以。我們必須注意，所謂二重極限存在，是指P (x,y)以任何方式趙于P。(xo, yo)吋，函數(shù)都無(wú)

43、限接近于A。 定義 設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D有定義，Po(xo, yo)是D的點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P°WD。如果則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)Po (xo, yo)連續(xù)。&1.2 性質(zhì)性質(zhì)1 (最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最小值和最大值。性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得 介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。一切多元初等函數(shù)在其定艾區(qū)域是連續(xù)的。所謂定狡區(qū)域，是指包含在定艾域的區(qū)域或閉區(qū)域。由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn)P0處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定狡區(qū)域，則極限值就

44、是函數(shù)在 該點(diǎn)的函數(shù)值，即。8.2偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算法8.2.1定義 設(shè)函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)的某一鄰域有定狡，當(dāng)y固定在yo而x在x°處有增# Ax時(shí)，相應(yīng)的 函數(shù)有增量f (xo+ Ax, yo)-f (xo, yo),如果存在，則稱此極限為函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作或 化(xo, yo)o對(duì)于函數(shù)z=f (x, y)，求時(shí)，只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)。例 求z=x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)。解。&2.2高階偏導(dǎo)數(shù)定理 如呆函數(shù)z二f (x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D連續(xù).那末在該區(qū)域這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相

45、等。8.3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及實(shí)例定理如果函數(shù)u=0 (t)及屮(t)都在點(diǎn)t可字，函數(shù)Z=f (u, V)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, V)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)Z=f 0 (t), m(t)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。例設(shè) z二eusinv,而 u 二 xy, v = x+y。求。=e" sin 卩，+ q” cos v 1 =x y") + cos(x +dz alrxQz&r"孑、z- 卜e sin v a e cos v 1 sm( x 卜 y)斗 cosC木斗解 ay ou ay dv ay8.4隱函數(shù)的求導(dǎo)公式8.4.1 一個(gè)方程的情形隱

46、函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x, y)在點(diǎn)P(xo, yo)的某一鄰域具有連續(xù)的僞導(dǎo)數(shù)，且F(x0, yo)=0, Fy(x0, yo) * 0, 則方程F(x,y) = 0在點(diǎn)(xo, yo)的菜一鄰域恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y = f(x),它滿足 條件y。= f (xo),并有。上面公式就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(xo, yo, z0)的某一鄰域具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0, yo, z0) = 0, F.(xo, yo, zo) *0,則方程F(x,y,z) = 0在點(diǎn)(x。, y。, z。)的某一鄰域恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)

47、且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 的函數(shù)z = f (x, y),它滿足條件zo = f (xo, yo),并有。例設(shè) x2+y2+z2-4z = 0,求，解 設(shè) F (x,y,z) = x2+y2+z2-4z ,則 Fx = 2x, & = 2z-4° 應(yīng)同上面公式，得。宀_ CFf譬_ C(是)_2么屮+戶再一次對(duì)X求偏導(dǎo)數(shù)，得臼/C2 -27)2(2-乙)2(2-士尸。二.方程組的情形隱函數(shù)存在定理3設(shè)F (x, y, u, v)> G (x, y, u, v)在點(diǎn)P (x0, yo, u0, v0)的某一鄰域具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)，又F (xo, yo, uo, vo) =

48、 0, G (xo, yo, u0, v0) = 0,且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi )式)： 在點(diǎn) P (xo, yo, uo, vo)不等于零，則方程組 F (x, y, u, v) = 0, G (x, y, u, v) = 0 在點(diǎn)(x°, y0, u0, v0)的某一鄰域 恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u = u (x, y), v = v (x, y),它們滿足條件uo = u (xo, yo), vo = v (xo, yo),并有_ 1 3（鳳G）du-1 一Ovdv 1 WG） 巧J a（A,v）巧aJ耳J巧J盹，刃q6&

49、 5微分法在幾何上的應(yīng)用&5.1空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方稱為x= 0 (t), y=w仕)，Z=w (t),這里假定上式的三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)。插圖1在曲線上取對(duì)應(yīng)于t=to的一點(diǎn)M (xo, yo, z0)o根搖解析幾何，可得曲線在點(diǎn)M處的切線方程為O切線的方向向董稱為曲線的切向董。向# T= 0(to), ip * (to), U)' (to) 就是曲線在點(diǎn)M處的一個(gè)切向量。 通過(guò)點(diǎn)而與切線垂直的平面稱為曲線在點(diǎn)M處的法平面，它是通過(guò)點(diǎn)M (xo, yo, Z0)而以T為法向量的平面， 因此這法平面的方程為 (to) (x-xo) +屮(to) (y-yo) +3

50、 (to) (z-z°) = 0。8.5.2曲面的切平面與法線插圖2設(shè)曲面由方程F (x, y,z) =0給出，M (xo, yo, zo)是曲面上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)F (x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn) 連續(xù)且不同時(shí)為零。則根損解析幾何，可得曲面上通過(guò)點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個(gè)平面上。這個(gè)平 面稱為曲面工在點(diǎn)M的切平面。這切平面的方程是Fx (xo, yo, Zo) (x-xo) +Fy (xo, yo, z0) (y-yo) +FZ (x0, yo, zo) (z-z。)= 0通過(guò)點(diǎn)M (xo, y0, zo)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線。法線方程是x=3垂直于曲面

51、上切平面的向量稱為曲面的法向量。向量n = F, (xo, yo, zo), Fy (x0, yo, z0), F2 (x0, yo, z0) 就是曲面在點(diǎn)M處的一個(gè)法向量。&6多元函數(shù)極值的求法& 6.1多元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值問題.一般可以利用僞導(dǎo)數(shù)來(lái)解決。定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)z = f(x, y)在點(diǎn)(Xo, yo)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(Xo,yo)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：f«(xo, yo) = 0, fy(xo, yo) = 0o定理2 (充分條件)設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(xo, yo)的某領(lǐng)域連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又f

52、x(x0,y0) = 0, f y(Xo, yo) =0,令 fxx(xo.yo) = A, f (x0, yo) = B, f yy (x0, yo) = C,則 f(x.y)在(x0, yo)處是否取得極值的條 件如下：(1) AC-B2>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0吋有極小值：(2) AC-B2<0時(shí)沒有極值： (3) AC-B2=0時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。利用定理1、2,我們把具有二階連續(xù)徧導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f(x,y)的極值的求法敘述如下：第一步解方程組fx(x,y) = 0, fy(x,y) = 0,求得一切實(shí)數(shù)解，即可求

53、得一切駐點(diǎn)。第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(Xo, y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C。第三步 定出AC-B2的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定f (xo, yo)是否是極值、是極大值還是極小值。8. 6.2條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)z = f(x, y)在附加條件4)(x, y) = 0下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)F (x,y) =f(x,y) + X 0 (x,y),其中入為某一常數(shù)。求其對(duì)x與y的一階僞導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程0 (x, y) = 0 聯(lián)立起來(lái)：有這方程組解出X, y及入，則其中X, y就是函數(shù)f (x,y)在附加條件4> (x, y)二0下的可能

54、極值點(diǎn)的坐標(biāo)。 這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。至于如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來(lái)判定。第九章：重積分本章和下一章是多元函數(shù)積分的容。在一元函數(shù)積分學(xué)中，定積分是某種確定形式的和的極限。這種和的極限 的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線、曲面上的多元函數(shù)的情形，得到重積分、曲線積分、曲面積分的概念。9.1二重積分的概念與性質(zhì)9.1>1二重積分的概念為引出二重積分的概念，我們先來(lái)討論兩個(gè)實(shí)際問題。設(shè)有一平面薄片占有”如面上的閉區(qū)域2它在點(diǎn)(x. y)處的面密度為p (x, y),這里p (x, 丫)>0且在 上連續(xù)?，F(xiàn)在要計(jì)算該薄片

55、的質(zhì)量饑由于面密度p (x, y)是變量，薄片的質(zhì)量不能直接用密度公式(二pS)來(lái)計(jì)算。但p(X, y)是連續(xù)的，利 用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域Dsi的直徑很小，這些小塊就可以近似地看 作均勻薄片。在D s i (這小閉區(qū)域的面積也記作D s i)上任取一點(diǎn)(x山h i),則p (x i, h D D s i (i = 1, 2,，n)可看作第i個(gè)小塊的質(zhì)量的近似值插圖1o通過(guò)求和，再令n個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值(記作入) 趨于零，取和的極限，便自熱地得出薄片的質(zhì)量饑 即。再設(shè)有一立體，它的底是”如面上的閉區(qū)域2它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面

56、，它 的頂是曲面z = f (x, y),這里f (x, y) M 0且在D上連續(xù)。這種立體叫做曲頂柱體?，F(xiàn)在要計(jì)算上述曲頂柱體的體積V.由于曲頂柱體的離f (x, y)是變量，它的體積不能直接用體積公式來(lái)計(jì)算。但仍可釆用上面的思想方法，用一 紐曲線網(wǎng)把。分成n個(gè)小閉區(qū)域D s 1 , D s 2,，D s n,在每個(gè)D s i上任取一點(diǎn)(x h »),則f (x “ h .)D s i (i = 1, 2, n)可看作以f (x山h i)為離而底為D s i的平頂柱體的體積插圖2。通過(guò)求和，取極限，便得出。上面兩個(gè)問題所要求的，都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限。在其他學(xué)科中，由許多物理董

57、和幾何董也可歸結(jié)為這一 形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定艾。定義 設(shè)f (x, y)是有界閉區(qū)域Q上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域。任意分成個(gè)小閉區(qū)域D s 1 , D s 2,，D s 其中D s .表示第/個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積。在每個(gè)D s i上任取一點(diǎn)(x ” h i),作乘積f (x ” h J D s i (/ = 1, 2,，卩)，并作和。如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的董大值I趨于零時(shí)，這和的極限總存在，則 稱此極限為函數(shù)f (x, y)在閉區(qū)域。上的二重積分，記作，即。其中f (x, y)叫做被積函數(shù)，f (x, y) ds叫做被積表達(dá)式，ds叫