同濟大學-高等數學微積分教案設計

1、第一章：函數與極限1.1初等函數圖象及性質1.1.1幕函數函數 （m是常數） 叫做幕函數。幕函數的定頭域，要看m是什么數而定。例如，當m二3吋，y二x的定狡 域是（-8 ,+oo）；當m = 1/2時.y二x '的定狡域是0,）；當m二T/2時，y=x "的定狡域是（0, +oo ）。但不論m取什么值，彖函數在（0,+8）總有定義。最常見的無函數圖象如下圖所示：如圖1.1.2指數函數與對數函數1. 指數函數函數y二a，（a是常數且a>0,a*1）叫做指數函數，它的定艾域是區(qū)間（-8 ,+8）。因為對于任何實數值x,總有>0,又a°=1,所以指數函數的圖形

2、，總在x軸的上方.且通過點（0,1）o若a>1,指數函數是單調增加的。若0<a<1,指數函數是單調減少的。由于y=（1/a）"x=a x,所以尸才的圖形與y=（1/a）x的圖形是關于y軸對稱的（圖1-21）。如圖2. 對數函數指數函數y=ax的反函數，記作y= Iogax （a是常數且a>0. a$1）,叫做對數函數。它的定艾域是區(qū)間（0,+8）。對數函數的圖形與指數函數的圖形關于直線y二x對稱（圖1-22） oy= Iogax的圖形總在y軸上方，且通過點（1,0） o若a>1,對數函數lo&x是單調增加的，在開區(qū)間（0,1）函數值為負，而在區(qū)間

3、（1,+8）函數值為正。若0<a<1,對數函數log°x是單調減少的，在開區(qū)間（0,1）函數值為正，而在區(qū)間（1, +oo）函數值為負。如圖1.1.3三角函數與反三角函數1. 三角函數正弦函數和余弦函數都是以2TT為周期的周期函數，它們的定艾域都是區(qū)間（-8 ,+8）,值域都是必區(qū)間-1, Uo 正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數。正切函數和余切函數都是以TT為周期的周期函數，它們都是奇函數。2. 反三角函數及三角函數是三角函數的反函數，其圖形都可由相應的三角函數的圖形按反函數作圖法的一般規(guī)則作出。 這四個反三角函數都是多值函數。但是，我們可以選取這些函數的單值支。例如，

4、把Arcsinx的值限制在閉區(qū)間-,上，稱為反正弦函數的主值，并記作arcsinxo這樣，函數y = arcsinx就是定狡在閉區(qū)間-1, 1±的單值函數，且有。1.2數列極限的概念設是一個數列，a是實數，如果對于任意給定的，總存在一個正整數N,當n>N時都有，我們就稱a是數列 的極限，或者稱數列收斂，且收夕攵于a,記為，a即為的極限。數列極限的幾何解釋：以a為極限就是對任意給定的開區(qū)間，第N項以后的一切數全部落在這個區(qū)間。1.3函數極限的概念設函數f（x）在點附近（但可能除掉點本身）有定艾，設A為一個定數，如果對任意各定，一定存在，使得當時， 總有，我們就稱A是函數f（x）在

5、點的極限，記作，這時稱f（x）在點極限存在，這里我們不要求f（x）在點有定艾， 所以才有。 例如：，當xh時.函數是沒有定狡的.但在xh點函數的極限存在，為2。1.4單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限，是判斷極限存在的重要準則之一，具體敘述如下：如果數列滿足條件，就稱數列是單調增加的;反之則稱為是單調滅少的。在前面的幸節(jié)中曾證明：收斂的數列必有界。但也曾指出：有界的數列不一定收斂。現(xiàn)在這個準則表明：如果數 列不僅有界，而且是單調的，則其極限必定存在。對這一準則的直觀說明是，對應與單調數列的點只可能向一個方向移動，所以只有兩種可能情形：或者無限趙近 某一定點；或者沿數軸移向無窮遠（因為不趨

6、向于任何定點且遞增，已符合趁向無窮的定狡）。但現(xiàn)在數列又是 有界的，這就意味著移向無窮遠已經不可能，所以必有極限。從這一準則出發(fā)，我們得到一個重要的應用?？紤]數列，易證它是單調增加且有界（小于3）,故可知這個數列 極限存在，通常用字母e來表示它，即o可以證明，當x取實數而趨于或吋，函數的極限存在且都等于e,這 個e是無理數，它的值是 e = 2. 9045-1.5柯西(Cauchy)極限存在準則我們發(fā)現(xiàn)，有時候收斂數列不一定是單調的，因此，單調有界數列必有極限準則只是數列收斂的充分條件，而不 是必要的。當然，其中有界這一條件是必要的。下面敘述的柯西極限存在準則，它給出了數列收夕攵的充分必要條

7、件?？挛?Cauchy)極限存在準則 數列收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數，存在著這樣的正整數N,使得當m>N, n>N時，就有。必要性的證明 設，若任意給定正數，則也是正數，于是由數列極限的定狡，存在著正整數N,當n>N時，有； 同樣，當m>N吋，也有。因此，當m>N, n>N時,有氐L g -叭- g T 十-十氐-小產才 所以條件是必要的。充分性的證明從略。這準則的幾何意義麥示，數列收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數，在數軸上一切具有足夠大的點，任 意兩點間的距離小于?？挛鳂O限存在準則有時也叫做柯西審斂原理。1.6 連續(xù)函數1.6.1定義

8、：若函數f(x)在xo點的附近包括xo點本身有定義，并且，則稱f(X)在Xo點連續(xù)，Xo為f(x)的連續(xù)點。如圖1.6.2充要條件：f(x)在X。點既是左連續(xù)又是右連續(xù)。初等函數如三角、反三角函數，指數、對數函數等都是在自定艾區(qū)間的連續(xù)函數。1.6.3三類不連續(xù)點：(1) 第一類不連續(xù)點：f (xo+0), f (xo-0)存在但不相等。如圖(2) 第二類不連續(xù)點:f(xo+O),f(xo-0)中至少有一個不存在。如圖(3) 第三類不連續(xù)點：f(xo+0),f(xo-0)存在且相等,但它不等于f(x°)或f(x)在X。點無定艾。如圖1.7 一致連續(xù)性的概念及它與連續(xù)的不同1.7.1定

9、義：對，可找到只與有關而與x無關的，使得對區(qū)間任意兩點xbx2,當時總有，就稱f(x)在區(qū)間一致 連續(xù)。1.7.2與連續(xù)的比較：(1) 連續(xù)可對一點來講，而一致連續(xù)必須以區(qū)間為對象。(2) 連續(xù)函數對于某一點xo,取決于xo和，而一致連續(xù)函數的只取決于，與x值無關。(3) 致連續(xù)的函數必定連續(xù)。例：函數y二1/x,當xG(0, 1 )吋非一致連續(xù)，當xe (C,1)時一致連續(xù)(4) 康托定理：閉區(qū)間a , b上的連續(xù)函數f(x)-定在a , b上一致連續(xù)。第二章：導數與微分微分學是微積分的重要組成部分，他的基本概念是導數與微分，其中導數反映出自變量的變化快慢程度，而微 分則指明當自變量有微小變

10、化時，函數大體上變化多少。2.1 導數的概念2.1.1導數的定義：設函數y=f (x)在點xo的某個鄰域有定艾，當自變在X。處取得增量x (點xox仍在該領 域)時，相應地函數取得增量；如果與之比當吋的極限存在，則稱函數在處可字，并稱這個極限為函數在點處的 導數，記為，即，也可記作。導數的定義式也可取不同的形式，常見的有和導數的概念就是函數變化率這一槪念的精確描述。2.1.2 求導舉例例求函數(n為正整數)在處的導數解把以上結果中的換成得，即更一般地,對于彖函數(為常數)，有這就是策函數的導數公式.例求函數的導數解5h5h即這就是說，正弦函數的導數是余弦函數.用類似的方法，可求得就是說，余弦函

11、數的導數是負的正弦函數。例求函數的導數.解=即這就是指數函數的導數公式，特殊地，當時，因，故有例求函數的導數.八巧-如二越二畑 -1 1。盼(廠-旬T昭“解0h5盹=作代換 即得這就是對數函數的導數公式，特殊地，當時，由上式得自然對數的數的導數公式：2.1.3 導數的幾何意義由導數的定艾可知：函數在點處的字數在幾何上表示曲線在點處的切線斜率，即，其中是切線的傾角如下圖：例 求等邊雙曲線y=1/x,在點(1/2,2)處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程。解根據導數的幾何意狡知道，所求切線的斜率為由于，于是從而所求切線方程為即4x+y-4=0所求法線的斜率為k2-1/ki=1/4,于

12、是所求法線方程為2x-8y+15=0.2.2 微分的概念2. 2.1微分的定義 設函數在某區(qū)間有定艾，及在這區(qū)間，如果函數的增量可表示為其中A是不依賴于的常數，而是比離階的無窮小，那末稱函數在點是可微的，而叫做函數在點相應于自變量增董的微分，記作，即例求函數y=x?在x=1和x=3處的微分.解函數在處的徹分為在處的微分為函數在任意點的微分.稱為函數的微分，記作或，即例如，函數的微分為 函數的微分為通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作dx,即于是函數y=f (x)的微分又可記作dy=f, (x)dx,從而有x=3 就是說，函數的微分dy與自變董的微分dx之商等于該函數的導數因此，導數也叫做&

13、quot;微商”.2. 2.2微分的幾何意義設是曲線y=f(x)上的點的縱坐標的增#,dy是曲線的切線上的縱坐標的相應的增量，當I Ax |很小時，| Ay-dy |比| Ax |小得多，因此在M點的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段.第三章：中值定理與導數的應用上一章里，從分析實際問題中因變量相對于自變童的變化快慢出發(fā)，引出了導數的概念，并討論了導數的計算 方法。本章中，我們將應用導數來研究函數以及曲線的某些性態(tài)，并利用這些知識解決一些實際問題。我們將 介紹微分學的幾個中值定理，他們是導數應用的理論基礎3.1三個中值定理3.1.1羅爾定理羅爾定理 如果函數f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，

14、在開區(qū)間(a,b)可導，且在區(qū)間端點的函數值相等，即f(a) =f(b),那么在(a,b)至少有一點，使得函數f(x)在該點的導數等于零：。3.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導，那么在(a,b)至少有一點，使等式(1)成立。3.1.3柯西中值定理柯西中值定理 如果函數f(x)及F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導，且F' (x)在(a, b)的每一點 處均不為零，那么在(a, b)至少有一點，使等式(2)成立.3.2 洛必達法則3. 2.1洛必達法則的概念.定狡：求待定型的方法(與此同時)；定理：若f(x

15、)與g(x)在(a,a+)上有定艾，且f(x)二g(x)=O;并且f(x)與g' (x)在(a,a+)上存在.0且二A則二二A, (A可以是).證明思路：補充定狡x=a處f (x) =g (x) =0,則a, a+)上=即x時,x,于是=3. 2.2定理推廣：由證明過程顯然定理條件x可推廣到x, x,xo所以對于待定型，可利用定理將分子、分母同吋求導后再求極限。注意事項：1.對于同一算式的計算中，定理可以重復多次使用。2.當算式中出現(xiàn)Sin或Cos形式時，應慎重考慮 是否符合洛必達法則條件中f'(X)與(X)的存在性。向其他待定型的推廣。(下轉化過程中描述引用的僅為記 號)1.

16、 可化為=,爭實上可直接套用定理。2. 0=03.通分以后二 o4八取對數 OLnO、LnR OLnO、0、0。3. 3泰勒公式及其誤差圖示來源：實踐，常用導數進行近似運算.由于時所以，因此圍：在直接求f(x)困難，而在X附近X。處f(X。)與f'(X。)較易時應用.條件是X與X。充分接近，可達到一定的精度. 利用當為不同函數吋.有常用近似公式如下：(|x|很小時)Sinxxgxx, Ln (1+x) x泰勒公式來源：上述公式在|x|很小時，于是即，ph(0)+f，(0)x與f(x)在x=0處函數值相等，且一階導數相等. 為進一步提鬲精度欲使與在二階導數處也相等于是，得依此類推:/匕”

17、心仗)-/(0)十 f (OR八（嘰22!對于誤差，有定理：在x=0處有*1階連續(xù)導數，則上式誤差(在x與0之間) 由定理：此式為 在x=0處的關于x的泰勒展開公式即：7W = /(0) + 廣(Ok + f "+ + 吟 F +心(力 2!公式推廣：一般地在x=X。附近關于X。點的泰勒公式/(力叮+/(心)("列)+2(拓2+£(“20)。&|>)2!m 注意：雖然泰勒公式是在X 丁附近”展開，但是事實上X可以取f(x)定爻域任意值，只不過若|x-|過大(即X離過遠) 時，相應變大.即使用代替f(x)的誤差變大.可是，無論如何泰勒公式總是成立的，當

18、固定后，不同的X將使發(fā)生變 化，并使變化，從而影響對f(x)的近似精度.3.4函數圖形描繪示例定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，(a, b)可導.則f(x)在a,b單調上升(或單調下降)的充分必要條件為(a, b)(或)，推論：若f(x)在a,b連續(xù)，(a,b)可導，且不變號，則(或0)嚴格單調上升(下降).定理(極值的必要條件)：若X。為f(x)的極值點，那么X。只可能是(x)的零點或f(x)的不可導點.定埋(極值判別法)：則，f()為極大值，f0為極小值若不存在，但f(x)在與上可導 則若，則為極小點,反之為極大點定狡：若曲線在一點的一邊為上凸，另一邊為下凸，則稱此點為拐點，顯然拐點處定狡：

19、若則稱ax+b為f(x)的一條漸進線.定狡：若則稱x二c為f(x)的一條垂直漸進線.定理：若f (x)的一條漸進線為ax+b則，證明：由定狡知即所以即帶回定艾得函數圖象描述的基本步驟：1. 確定y=f (x)的定狡域并討論函數的基本性質，如奇偶性，對稱性周期性等.2. 求出與及與不存在的各點.3由2的結果函數的上升，下降區(qū)間，及圖形的上凸，下凸區(qū)間以及各極值點.4. 定出函數的漸近線.5.描點作用.3.5曲率的概念及計算公式3. 5.1概念：來源：為了平衡曲線的彎曲程度。平均曲率，這個定艾描述FAB曲線上的平均彎曲程度。其中表示曲線段AB上切線變化的角度，為AB弧長。 例：對于圓，。所以：圓周

20、的曲率為1/R,是常數。而直線上，所以，即直線“不彎曲”。對于一個點，如A點，為精確刻畫此點處曲線的彎曲程度，可令，即定狡，為了方便使用，一般令曲率為正數. 即：。3. 5.2計算公式的推導:由于，所以要推導與ds的表示法.ds稱為曲線弧長的微分(T5-28, P218)因為，所以。令，同時用代替得所以或具體表示：1、時，2、時，3、時，(令)再推導，因為，所以，兩邊對x求導，得，推出。下面將與ds代入公式中：，即為曲率的計算公式。3.5.3曲率半徑：一般稱為曲線在某一點的曲率半徑。幾何意義(T5-29)如圖為在該點做曲線的法線(在凹的一側)，在法線上取圓心，以p為半徑做圓，則此圓稱為 該點處

21、的曲率圓。曲率圓與該點有相同的曲率，切線及一階、兩階稻樹。應用舉例：求上任一點的曲率及曲率半徑(T5-30)解：由于： 所以：，3.6方程的近似解法3. 6.1應用前提：方程f (x)=0,則f(x)應滿足：(1) f(x)在a, b連續(xù)，f(a)與f(b)不同號。(2)在(a, b)連續(xù)且不變號。(3)在(a, b)連續(xù)且不變號。3. 6.2應用步驟：首先：判斷方程是否滿足應用前提，先對端點a, b求f(a)、f(b),取與f"(x)同號的一點為是點。過是點做f(x)的切線，交x軸與。然后：過(，)做的切線，交x軸與。以次類推，直到滿足箱度要求。3. 6.3應用舉例：求：在1, 2

22、的根，誤差解：令，有：=9 >0,八希=3工+3 >0,八尢)=6x> °所以可應用上述方法，求得：=14x2 = 1.181,x3 =1.1545,x4 =1.15417, =1.15417由于.所以誤差國的近似解為3.6.4兩點說明:1. 祈提條件的作用：第一個條件顯然是為了保證區(qū)間上解的存在性。第二、第三個條件是為了保證各步迭代后，得到的交點仍落在區(qū)間上的2. 迭代公式：設第n步后的交點為，所以下一步過(，)做f(x)的切線，寫出其方程就是：，它與X軸交 點為，這就是迭代公式。第四章：不定積分在第二章中，我們討論了怎樣求一個函數的導函數問題，本章將討論他的反問

23、題，即要求一個導函數的原函數， 也就是求一個可導函數，使他的導函數等于已知函數。這是積分學的基本問題之一4.1不定積分的概念與性質4.1.1原函數與不定積分的概念定義1如果在區(qū)間I上，可導函數F(x)的導函數為f(x),即對任一 xWI,都有F' (x) = f(x).dF(x) = f(x)dx, 那末函數F(x)就禰為f(x)(或f (x)dx)在區(qū)間I上的原函數。例如，因(sin x) ' =cos x,故sin x是cos x的原函數。那一個函數具備何種條件，才能保證它的原函數一定存在呢？簡單的說就是，連續(xù)的函數一定有原函數。 下面還要說明兩點。第一，如果有，那么，對任

24、意常數C,顯然也有，即如果是的原函數，那F(x)+C也是于(x)的原函數。第二，當C為任意常數時，表達式F(x)-H),就可以表示f(x)的任意一個原函數。也就是說，f(x)的全體原函數所 紐成的集合，就是函數族。由以上兩點說明.我們引入如下定義。定義2在區(qū)間上，函數的帶有任意常數項的原函數稱為(或)在區(qū)間上的不定積分，記作.其中記號稱為積分 號，稱為被積函數，稱為被積表達式，稱為積分變量。由此定義及前面的說明可知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數，那么F (x) +C就是f(x)的不定積分， 即。 因而不定積分可以表示的任意一個原函數。例1求.解由于&所以是的一個原函數。

25、因此.例2求.解 當時，由于弓所以是在的一個原函數。因此，在，當時，由于=,由上同理，在，將結果合并起來，可寫作4.1.2不定積分的性質根據不定積分的定艾，可以推得它的如下兩個性質：性質1函數的和的不定積分等于各個函數的不定積分的和，即.性質2求不定積分時，被積函數中不為零的常數因子可提到積分號外面來，即(k是常數,kH0).例3求. 解=注意 檢臉積分結果是否正確，只要對結果求導，看它的導數是否等于被枳函數，相等時結果是正確的，否是錯誤 的。4.2兩類換元法及舉例利用基本積分表與積分的性質，所能計算的不定積分是非常有限的.因此，有必要進一步來研究不定積分的求法.把復合函數的微分法反過來求不定

26、積分，利用中間變董的代換，得到復合函數的積分法，稱為換元積分法，簡換元 法.換元法通常分成兩類.4. 2.1第一類換元法定理1設f(u)具有原函數，u=e(x)可導，則有換元公式例 *1 求 f 2cos2xdx.解 作變換 便有 /2cos2xdx =f cos2x 2dx = f cos2x (2x) ' dx =f cos u du = sin u+C、再以 u=2x 代、即得 f2cos2xdx =sin 2x+C例 2 求 / tan x dx.一 In 十 U = 一 In |cos 彳十 C解 f tan x dx =f sin x /cos x dx.因為-sin x

27、dx = d cos x,所以如果設 u 二cos x,那么 du=-sin xdx,即-du二sin xdx.ftan xdx = - | =因此JJ COS XJ 11類似地可得f cot x dx =/n/sin x+C.在對變董代換比較熟練以后，就不一定寫出中間變量”例 3 求 f ch(x/a) dx.at例 4 求(a>0).解J PF 行不百打質尹sire SLTL 十 U下面求積分的例子，它們的被積函數中含有三角函數，在計算這種積分的過程中，往往要用到一些三角恒等式. 例 5 求 / sin3 x dx. 解 / si/x dx =f sin x sinx dx=- f

28、(1-cosx)d(cosx)- f d(cosx)+ / cos xd (cosx)二一cosx+ (1/3) cosxC.例 6 求 f cos2 x dx.Jeos2 xdx =F上："s 必寺(jdx + Jeos 2xx,類似地可得 f sin x dx=x/2-(s/n2x)/4C.利用定理1來求不定積分，一般卻比利用復合函數的求導法則求函數的導數要來的困難，因為其中需要一定的技 巧，而且如何適當的選擇變量代換u=<p Q沒有一般途徑可循，因此要掌握換元法，除熟悉一些典型的例子，需多 練習.4. 2.2 第二類換元法定理2設x=ip(x)是單調的、可導的函數,并且呎

29、(x)工0.又設fip(t)ip'(t)具有原函數.則有換元公式 ,其中69是x=lp O的反函數.例7求(a>0)解 求這個積分的困難在于有根式，但我們可以利用三角公式siSt+coVth來化去根式.設esK,-n/2<Kn/2,那么晶= 產藥兀=acosx =,于是根式化為了三角式,所求積分化為+ 。(°工1利用例6的結果得卜sin 2i )2a2sin L cqs£2axt = arc sin ,cos：f 由于 xs/nt,-n/2<t<n /2,所以°于是所求積分為具體解題時要分析具體情況，選簡捷的代換.第五章：定積分本章

30、將討論積分學的另一個基本問題一定積分問題。我們先從幾何與力學問題出發(fā)引進定積分的概念，再討 論他的性質和計算方法，關于定積分的應用，將在下一章討論。5.1定積分概念定義 設函數f(x)在a,b上有界，在a, b中任意插入若千個分點，把區(qū)間a, b分成n個小區(qū)間，設有常數I,如呆對于任意給定的正數e ,總存在一個正數d，使得對于區(qū)間a, b 的任何分法，不論在中怎樣取法，只要，總有成立，則稱I是f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作。接下來的問題是：函數f(x)在a, b上滿足怎樣的條件，f(x)在a,b上一定可積？以下給出兩個充分條件。 定理1設f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上可

31、積。定理2設f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在a,b上可積。對面積賦以正負號，在X軸上方的圖形面積賦以正號，在X軸下方的圖形面積賦以負號，則在一般情形下，定積 分的幾何意狡為：它是介于x軸、函數f(x)的圖形及兩條直線x = a. x = b之間的各部分面積的代數和。5.2牛頓一萊步尼茲公式及實例定理 如果函數F(x)是連續(xù)函數f(x)在區(qū)間a,b上的一個原旳數，則o (1)證 已知函數F(x)是連續(xù)函數f(x)的一個原函數，又根據前面的定理知道，積分上限的函數也是f(x)的一個原函數。于是這兩個原函數之差為菜個常數(第四幸第一節(jié))，即。(2) 在上式中令x二a,得。

32、又由F (x)的定義式及上節(jié)定積分的補充規(guī)定知F(a)=O,因此，C = F(a)o 以F(a)代入(2)式中的C,以代入(2)式中的F (x),可得，在上式中令x = b,就得到所要證明的公式(1)n由積分性質知，(1)式對a>b的情形同樣成立。為方便是見，以后把F(b) - F(a)記成。公式(1)叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，給定積分提供了一種簡便的計算方法，也稱為微積分基本 公式。例1計算定積分。解。例2計算。解。例3計算。解。例4計算正弦曲線y二sinx在0,p上與x軸所圍成的平面圖形的面積。解。例5求解 易知這是一個型的未定式，我們利用洛必達法則來

33、計算。因此。5.3定積分的近似計算在應用問題中常遇到要求定積分的數值，但f(x)的原函數根本不能普通的初等函數表示出來。例如等，所以提 出了積分的近似計算問題。定積分近似計算公式的原理：求定積分就是求面積，近似計算公式是對面積的近似求法。此處介紹拋揚線法廉理：實質上是用拋物線逼近曲線段.如圖由此可推出b _ a一o此公式稱為辛卜生公式。兒亠尹2艮乜山+亠如2)+401十+畑 近似計算方法很多，但實質上多是曲線逼近(見數值分析)。5.4廣義積分的概念5.4.1無窮限的廣義積分定義1設函數f(x)在區(qū)間a, +¥ )上連續(xù)，取b>a,若極限存在，則稱此極限為函數f(x)在無窮區(qū)間a

34、, +¥ ) 上的廣義積分，記作，即。(1)這時也稱廣義積分收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積分發(fā)散。類似地，若極限存在，則稱廣義積分收斂。設函數f(x)在區(qū)間(-¥ ,+¥ )上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數f(x)在無窮 區(qū)間(-¥ , +¥ )上的廣義積分，記作，也稱廣義積分收斂；否則就稱廣義積分發(fā)散。上述廣義積分統(tǒng)稱為無 窮限的廣艾積分。例1 證明廣義積分(a>0)當p>1時收斂，當p£ 1時發(fā)散。證當P = 1時，當pl 1時，因此，當p>1時，這廣狡積分收斂，其值為：當卩

35、3; 1時，這廣義積分發(fā)散。5.4.2無界函數的廣義積分現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數為無界函數的情形。定義2 設函數f(x)在(a,b上連續(xù)，而在點a的右領域無界，取，如果極限 存在，則稱此極限為函數f(x)在(a,b上的廣義積分，仍然記作，這時也稱廣義積分收斂。類似地，設函數f(x)在a, b±除點c(Xcb)外連續(xù)，而在點c的領域無界，如果兩個廣義積分與都收斂，則定義叮小"(如二輒)小輒否則，就稱廣義積分發(fā)散。例2 證明廣狡積分當q1時收斂，當吋發(fā)散。因此，當q C 1時，這廣狡積分收斂，其值為(b-a)f/(1-q);當時，這廣狡積分發(fā)散。第七章：空間解析幾何與向量

36、微分 在平面解析幾何中，通過坐標把平面上的點與一對有序實數對應起來，把平面上的圖形和方程對應起來，從而 可以用代數方法來研究幾何問題，空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來的。7.1幾種常見曲線：附錄U兒種當用的曲線：i> 二*會戲<紆*比嘟Ml卷燉<o9 - -XI4-S<n)(IS)三葉孜現(xiàn)皺UO三時玫理踐7.2 曲面方程如果曲面S與三元方程F(x, y, z)=0 (1),有下述關系：72.1曲面方程的概念及一般方程1. 曲面S上任一點的坐標都滿足方程(1);不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程(1), 那末，方程就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的圖形。

37、7. 2.2平面方程的幾種形式一般形式：Ax+By+Cy+D=O,其中A. B, C是平面法向,A2+B2+C2*Oo點法式方程：。截距式方程：O三點式方程：已知平面過空間三點,則平面方程為1.幾科特殊的曲面方程1. 獲轉曲面方程設平面曲線I :繞z軸旋轉，則旋轉曲線方程為2. 柱面方程母線平行與坐標軸的柱面方程為不完全的三元方程，如F(y, z)=0就表示母線平行與x軸，準線為 的柱面.二次曲面方程(見第七章知識點3)7.3 空間曲線7. 3.1 空間曲線一般方程空間曲線可以看作兩個曲面的交線。設F(x, y, z)二0和G(x, y, z)二0是兩個曲面的方程，它們的交線為C如 圖。因為曲

38、線C上的任何點的坐標應同時滿足這兩個曲面的方程，所以應滿足方程組(1)反過來，如果點M不在曲線C上，那末它不可能同吋在兩個曲面上，所以它的坐標不滿足方程組(1) o因此， 曲線C可以用方程組(1)來表示。方程組(1)叫做空間曲線C的一般方程。1.為空間曲線的一般方程，空間曲線的參數方程為t為參數.1.方程組表示怎樣的曲線？方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面，其準線是xOy面上的圓，圓心在原點0,半徑為1。方程組中 第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面，由于它的準線是zOx面上的直線，因此它是一個平面。方程組就表 示上述平面與圓柱面的交線，如圖。2. 方程組表示怎樣的曲線？方程組中第

39、一個方程表示球心在坐標原點0 .半徑為a的上半球面。第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面， 它的準線是xOy面上的圓，這圓的圓心在點(a/2, 0),半徑為a/2。方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線。7. 3.2 空間曲線在坐標上的投彩設空間曲線C的一般方程為由上述方程紐消去變量z, x, y后所得的方程分別為：H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0,表示曲線C在xOy面上的投影，表示曲線C在yOz面上的投影，表示曲線C在xOz面上的投影。例已知兩球面的方程為(a)和(b)求它們的交線C在xOy面上的投影方程。解 先求包含交線C而母線平行于z軸的柱面方程

40、。因此要由方程(a) , (b)消去z,為此可先從(a)式減去(b) 式并化簡，得到y(tǒng) + z = 1,再以z = 1 -y代入方程(a)或(b)即得所求的柱面方程為x2+2y-2y=0 易看出，這是交線C關于xOy面的投影柱面方程，于是兩球面的交線在xOy面上的投影方程是注：在重積分和曲線積分的計算中，往往需要確定一個立體或曲面在坐標面上的投影，這時要利用投影柱面和投影曲線。7.4 二次曲面 我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。為了 了解三元方程F (x , y ,z )二0所表示得的曲面的形狀.我們通常釆用截痕法。即用坐標面和平行于坐標面的平面與曲線相截，考察其交線(即截痕)的形狀

41、，然后加以 綜合，從而了解曲面的全貌。同學們可試用截痕法考察下面的二次曲面。7.4.1橢球面方程7.4.2拋物面方程7.4.3雙曲拋物面方程7.4.4雙曲面方程所表示的曲面叫做橢球面，截痕法漬示。(P和q同號)所表示的曲面叫做拋物面.截痕法演示。(P和q同號)所表示的曲面叫做雙曲拋物面，截痕法演示。 所表示的曲面叫做單葉雙曲面，裁痕法演示。方程 所麥示的曲面叫做雙葉雙曲面，截痕法演示。第八章：多元函數微分 在很多實際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數學上，就是一個變置依賴于幾個變量的情形，這就提出了多元函數微分和積分的問題，本章將在一元微分的基礎上，討論二元及二元以上的多元函數的微分。8

42、.1多元函數的極限與連續(xù)性8.1.1定義 設函數f (x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D有定艾，Po (xo, yo)是D的點或邊界點。如果對于任意給定 的正數E,總存在正數6,使得對于適合不等式的一切點P(x,y)GD,都有|f (x, y)-A|< E成立.則稱常數A為函數f (x, y)當xTxo,yTyo吋的極限，記作或 f(x,y) TA (pTO)，這里 p = |PPoh例設(x2+y2*0),求證。因為宀宀宀一° W可見，對任何E >0,取,則當時，總有成立，所以。我們必須注意，所謂二重極限存在，是指P (x,y)以任何方式趙于P。(xo, yo)吋，函數都無

43、限接近于A。 定義 設函數f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D有定義，Po(xo, yo)是D的點或邊界點且P°WD。如果則稱函數f(x,y)在點Po (xo, yo)連續(xù)。&1.2 性質性質1 (最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數，在D上一定有最小值和最大值。性質2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得 介于這兩個值之間的任何值至少一次。一切多元初等函數在其定艾區(qū)域是連續(xù)的。所謂定狡區(qū)域，是指包含在定艾域的區(qū)域或閉區(qū)域。由多元初等函數的連續(xù)性，如果要求它在點P0處的極限，而該點又在此函數的定狡區(qū)域，則極限值就

44、是函數在 該點的函數值，即。8.2偏導數的定義及計算法8.2.1定義 設函數z=f (x, y)在點(xo, yo)的某一鄰域有定狡，當y固定在yo而x在x°處有增# Ax時，相應的 函數有增量f (xo+ Ax, yo)-f (xo, yo),如果存在，則稱此極限為函數z=f (x, y)在點(xo, yo)處對x的偏導數，記作或 化(xo, yo)o對于函數z=f (x, y)，求時，只要把y暫時看作常量而對y求導。例 求z=x2sin2y的偏導數。解。&2.2高階偏導數定理 如呆函數z二f (x,y)的兩個二階混合偏導數在區(qū)域D連續(xù).那末在該區(qū)域這兩個二階混合偏導數必相

45、等。8.3多元復合函數求導法則及實例定理如果函數u=0 (t)及屮(t)都在點t可字，函數Z=f (u, V)在對應點(u, V)具有連續(xù)偏導數,則復合函數Z=f 0 (t), m(t)在點t可導，且其導數可用下列公式計算：。例設 z二eusinv,而 u 二 xy, v = x+y。求。=e" sin 卩，+ q” cos v 1 =x y") + cos(x +dz alrxQz&r"孑、z- 卜e sin v a e cos v 1 sm( x 卜 y)斗 cosC木斗解 ay ou ay dv ay8.4隱函數的求導公式8.4.1 一個方程的情形隱

46、函數存在定理1 設函數F(x, y)在點P(xo, yo)的某一鄰域具有連續(xù)的僞導數，且F(x0, yo)=0, Fy(x0, yo) * 0, 則方程F(x,y) = 0在點(xo, yo)的菜一鄰域恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數的函數y = f(x),它滿足 條件y。= f (xo),并有。上面公式就是隱函數的求導公式。隱函數存在定理2 設函數F(x,y,z)在點P(xo, yo, z0)的某一鄰域具有連續(xù)的偏導數，且F(x0, yo, z0) = 0, F.(xo, yo, zo) *0,則方程F(x,y,z) = 0在點(x。, y。, z。)的某一鄰域恒能唯一確定一個單值連續(xù)

47、且具有連續(xù)導數 的函數z = f (x, y),它滿足條件zo = f (xo, yo),并有。例設 x2+y2+z2-4z = 0,求，解 設 F (x,y,z) = x2+y2+z2-4z ,則 Fx = 2x, & = 2z-4° 應同上面公式，得。宀_ CFf譬_ C(是)_2么屮+戶再一次對X求偏導數，得臼/C2 -27)2(2-乙)2(2-士尸。二.方程組的情形隱函數存在定理3設F (x, y, u, v)> G (x, y, u, v)在點P (x0, yo, u0, v0)的某一鄰域具有對各個變量的連續(xù)偏導 數，又F (xo, yo, uo, vo) =

48、 0, G (xo, yo, u0, v0) = 0,且偏導數所組成的函數行列式(或稱雅可比(Jacobi )式)： 在點 P (xo, yo, uo, vo)不等于零，則方程組 F (x, y, u, v) = 0, G (x, y, u, v) = 0 在點(x°, y0, u0, v0)的某一鄰域 恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)導數的函數u = u (x, y), v = v (x, y),它們滿足條件uo = u (xo, yo), vo = v (xo, yo),并有_ 1 3（鳳G）du-1 一Ovdv 1 WG） 巧J a（A,v）巧aJ耳J巧J盹，刃q6&

49、 5微分法在幾何上的應用&5.1空間曲線的切線與法平面設空間曲線的參數方稱為x= 0 (t), y=w仕)，Z=w (t),這里假定上式的三個函數都可導。插圖1在曲線上取對應于t=to的一點M (xo, yo, z0)o根搖解析幾何，可得曲線在點M處的切線方程為O切線的方向向董稱為曲線的切向董。向# T= 0(to), ip * (to), U)' (to) 就是曲線在點M處的一個切向量。 通過點而與切線垂直的平面稱為曲線在點M處的法平面，它是通過點M (xo, yo, Z0)而以T為法向量的平面， 因此這法平面的方程為 (to) (x-xo) +屮(to) (y-yo) +3

50、 (to) (z-z°) = 0。8.5.2曲面的切平面與法線插圖2設曲面由方程F (x, y,z) =0給出，M (xo, yo, zo)是曲面上的一點，并設函數F (x,y,z)的偏導數在該點 連續(xù)且不同時為零。則根損解析幾何，可得曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上。這個平 面稱為曲面工在點M的切平面。這切平面的方程是Fx (xo, yo, Zo) (x-xo) +Fy (xo, yo, z0) (y-yo) +FZ (x0, yo, zo) (z-z。)= 0通過點M (xo, y0, zo)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線。法線方程是x=3垂直于曲面

51、上切平面的向量稱為曲面的法向量。向量n = F, (xo, yo, zo), Fy (x0, yo, z0), F2 (x0, yo, z0) 就是曲面在點M處的一個法向量。&6多元函數極值的求法& 6.1多元函數的極值二元函數的極值問題.一般可以利用僞導數來解決。定理1 (必要條件)設函數z = f(x, y)在點(Xo, yo)具有偏導數，且在點(Xo,yo)處有極值，則它在該點的偏導數必然為零：f«(xo, yo) = 0, fy(xo, yo) = 0o定理2 (充分條件)設函數z = f(x,y)在點(xo, yo)的某領域連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數，又f

52、x(x0,y0) = 0, f y(Xo, yo) =0,令 fxx(xo.yo) = A, f (x0, yo) = B, f yy (x0, yo) = C,則 f(x.y)在(x0, yo)處是否取得極值的條 件如下：(1) AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0吋有極小值：(2) AC-B2<0時沒有極值： (3) AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。利用定理1、2,我們把具有二階連續(xù)徧導數的函數z = f(x,y)的極值的求法敘述如下：第一步解方程組fx(x,y) = 0, fy(x,y) = 0,求得一切實數解，即可求

53、得一切駐點。第二步 對于每一個駐點(Xo, y0),求出二階偏導數的值A、B和C。第三步 定出AC-B2的符號，按定理2的結論判定f (xo, yo)是否是極值、是極大值還是極小值。8. 6.2條件極值 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法 要找函數z = f(x, y)在附加條件4)(x, y) = 0下的可能極值點，可以先構成輔助函數F (x,y) =f(x,y) + X 0 (x,y),其中入為某一常數。求其對x與y的一階僞導數，并使之為零，然后與方程0 (x, y) = 0 聯(lián)立起來：有這方程組解出X, y及入，則其中X, y就是函數f (x,y)在附加條件4> (x, y)二0下的可能

54、極值點的坐標。 這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。至于如何確定所求得的點是否極值點，在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定。第九章：重積分本章和下一章是多元函數積分的容。在一元函數積分學中，定積分是某種確定形式的和的極限。這種和的極限 的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線、曲面上的多元函數的情形，得到重積分、曲線積分、曲面積分的概念。9.1二重積分的概念與性質9.1>1二重積分的概念為引出二重積分的概念，我們先來討論兩個實際問題。設有一平面薄片占有”如面上的閉區(qū)域2它在點(x. y)處的面密度為p (x, y),這里p (x, 丫)>0且在 上連續(xù)?，F(xiàn)在要計算該薄片

55、的質量饑由于面密度p (x, y)是變量，薄片的質量不能直接用密度公式(二pS)來計算。但p(X, y)是連續(xù)的，利 用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域Dsi的直徑很小，這些小塊就可以近似地看 作均勻薄片。在D s i (這小閉區(qū)域的面積也記作D s i)上任取一點(x山h i),則p (x i, h D D s i (i = 1, 2,，n)可看作第i個小塊的質量的近似值插圖1o通過求和，再令n個小區(qū)域的直徑中的最大值(記作入) 趨于零，取和的極限，便自熱地得出薄片的質量饑 即。再設有一立體，它的底是”如面上的閉區(qū)域2它的側面是以的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面

56、，它 的頂是曲面z = f (x, y),這里f (x, y) M 0且在D上連續(xù)。這種立體叫做曲頂柱體?，F(xiàn)在要計算上述曲頂柱體的體積V.由于曲頂柱體的離f (x, y)是變量，它的體積不能直接用體積公式來計算。但仍可釆用上面的思想方法，用一 紐曲線網把。分成n個小閉區(qū)域D s 1 , D s 2,，D s n,在每個D s i上任取一點(x h »),則f (x “ h .)D s i (i = 1, 2, n)可看作以f (x山h i)為離而底為D s i的平頂柱體的體積插圖2。通過求和，取極限，便得出。上面兩個問題所要求的，都歸結為同一形式的和的極限。在其他學科中，由許多物理董

57、和幾何董也可歸結為這一 形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定艾。定義 設f (x, y)是有界閉區(qū)域Q上的有界函數。將閉區(qū)域。任意分成個小閉區(qū)域D s 1 , D s 2,，D s 其中D s .表示第/個小閉區(qū)域，也表示它的面積。在每個D s i上任取一點(x ” h i),作乘積f (x ” h J D s i (/ = 1, 2,，卩)，并作和。如果當各小閉區(qū)域的直徑中的董大值I趨于零時，這和的極限總存在，則 稱此極限為函數f (x, y)在閉區(qū)域。上的二重積分，記作，即。其中f (x, y)叫做被積函數，f (x, y) ds叫做被積表達式，ds叫