高三數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷及參考答案

1、鹽城市伍佑中學(xué)20192020學(xué)年春學(xué)期高三網(wǎng)上助學(xué)周練檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 3.13考試時(shí)間：120分鐘 總分：160分 命題人：陳忠一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共70分.不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案 直接寫在指定位置上.1 .已知 A=0, 1, B = x|ln xW1,則 AAB =.則數(shù)據(jù)x1 , x2,2 .若復(fù)數(shù)z=(1 + 3i)2,其中i為虛數(shù)單位，則z的模為3 .已知數(shù)據(jù) X1 , X2 ,，xn(n>2)的標(biāo)準(zhǔn)差為 xn(n>2)的均值為 .4 .在區(qū)間1,2內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則該數(shù)為正數(shù)的概率是 5 .執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出的結(jié)果的集合為 .x

2、26 .已知雙曲線C： 了一y2=1的左焦點(diǎn)為F1, P為分支上一M9 4一八八，IL ,9 r ,S T -i點(diǎn).若P到左準(zhǔn)線的距離為 d =，則PF1的長(zhǎng)為.后出§55鼻血兀.一一.L 一7 .若函數(shù)f(x) = 2sin w x(0 < w< 1)在閉區(qū)間0, 上的取大包1。3值為M2,則3的值為. ex a8 .若f(x) =ex+ a sin x為偶函數(shù)，且定義域不為R,則a的值為.9 .已知一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，側(cè)面積為 6兀，則該圓錐的體積等于 .10 .在 ABC 中，邊 BC, CA, AB 上的高分別是 ha, hb, hc,且 ha ： hb

3、 ： hc=6 ： 4 ： 3, 則 tan C=.x, x>y, 一一 .， 一一2x11 .設(shè) maxx , y=右te義域?yàn)?R 的函數(shù) f(x) , g(x)滿足：f(x) +g(x) = *2+彳,則maxf(x) , g(x)的最小小為.a的值的集合為12 .如圖，已知 ABC中，BC = 2,以BC為直徑的圓分別與 AB , AC 交于 M, N, MC 與 NB 交于 G.若 BM - BC= 2,則/ BGC = 105° ,則C N B C =.13 .函數(shù)f(x) = -在區(qū)間o, 2(1 < a< 2)上的最大值是 .ln x14 .若二次函

4、數(shù)f(x) =x2 ax+2a1存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)是整數(shù)，則實(shí)數(shù)二、解答題：本大題共 6小題，共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或 演算步驟.15 .(本小題滿分14分)已知向量 O)A = (3, 4), OB = (6, 3), (OC=(8+m, m).19 一，(1)當(dāng)m =?時(shí)，求證：點(diǎn)A, B, C是一個(gè)直角二角形的頂點(diǎn)；兀(2)在4ABC中，若/ ABC萬(wàn)，試求實(shí)數(shù) m的取值范圍.16 .(本小題滿分14分)如圖，直三棱柱 ABCA 1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為 2, D, E分別為棱B1C1, AC的中點(diǎn)，O 是側(cè)面ABB1A1的中心，過(guò) D作DGLA1B1于G,過(guò)E作E

5、FLAB于F,連結(jié)GF.求證：(1) G, O, F三點(diǎn)在一條直線上；(2) DE /平面 ABB 1A1.1617 .(本小題滿分14分)在正項(xiàng)數(shù)列bn中，若 4(1 q)(bi + b2+ bn)=1 qn(?nC N*, q*), b8= 8b5.(1)求bn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an滿足an=log2bn,數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,求數(shù)列nSn的最小項(xiàng)的18 .(本小題滿分16分)某開(kāi)發(fā)商在對(duì)某小區(qū)進(jìn)行規(guī)劃時(shí)，準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個(gè)圓形的活動(dòng)中心.為達(dá)到提高小區(qū)居民的滿意度，進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，4ABD所在的區(qū)域作為綠化區(qū)域， BCD所在的區(qū)域建一個(gè)兒童游樂(lè)場(chǎng)，其余的為休

6、閑區(qū)域，以上三種區(qū)域的建造費(fèi)用由國(guó)家貼補(bǔ).圖中 BC = 60 m, CD = 40 m.(1)若BD = 205 m, AD=2AB,求休閑區(qū)域的面積；(2)若AD = 40 m,設(shè)/ BCD =錢(0, -2),經(jīng)驗(yàn)表明：當(dāng) (>40時(shí)，該圓形活動(dòng)中心的舒適度指數(shù)最高.試求該圓形活動(dòng)中心的舒適度指數(shù)最高時(shí)cos 0的取值范圍.19.(本小題滿分16分)22已知橢圓C： a2+京=1(a>b>0), Ai, A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為F,橢圓C的離心率為e.1 -(1)設(shè)y= kx的傾斜角為依直線y = kx與橢圓交于 D, E兩點(diǎn)，DF,EF, e=-,求c

7、os2 9-4-sin2 93的值;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與橢圓交于 P, Q(其中P, Q分別在x軸的上、下方),.SA PA2F .一 .1 .一一 一當(dāng)3F的最小值為1時(shí)，求證：e2-3(1 +J2)e +J2>0.SAQA1F2' Y， Y20.(本題滿分16分)已知函數(shù) f(x) = e x(x2 + ax 2a2 + 3a). 若f(x)在區(qū)間0, 2上有極值，求a的取值范圍；(2a+4) In (x+1) 2a2 + 3a(2)若a6,討論方程 f(x)=-x在區(qū)間(0, 2的實(shí)根個(gè)數(shù)l與直線l重合，求k的p= 2sin 0的交點(diǎn) Q的極坐附加題21. A.

8、 （ 選修42：矩陣與變換）11若直線l: x= ky在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的直線0k值8. （選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系（0 ）（0< 0 <2t ）中，求曲線pcos 0 = 1與曲線【必做題】第 22題、第23題，每小題10分，共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、 證明過(guò)程或演算步驟.22 .如圖，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，AAi=AB=AC = 2, ABXAC , M是棱 BC的中 點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AiB上.(1)若P是線段AiB的中點(diǎn)，求直線 MP與直線AC所成角的大??；(2)若N是CCi的中點(diǎn)，直線 AiB與平面PMN所成角的正弦值為 7,求線

9、段BP的長(zhǎng) 度.23 . (i)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋n(nC N*)次，求正面向上為奇數(shù)次的概率；(2)將一枚有瑕疵的硬幣連續(xù)拋n(nCN*)次，若出現(xiàn)正面的概率是p(pw2),求正面向上為奇數(shù)次的概率(用含有n的最簡(jiǎn)式子表示).1.(0, 1解析：由條件得 B = (0, e,所以 AH B= (0 1.2.10 解析：由題知 z=(1 + 3i)2=8+6i,所以 |z|=，( 8) 2 + 62 =10./-5-2”j «!3. 2解析：因?yàn)閿?shù)據(jù)X1, X2,，xn(n>2)的標(biāo)準(zhǔn)差為 弋 " 所以數(shù)據(jù)X1, X2,，xn(n>2)的均值為 2.4.

10、2解析：易得正數(shù)的取值區(qū)間長(zhǎng)度是2,總長(zhǎng)度是3,由幾何概型得所求概率為 1.335. 49, 45, 38, 28 解析：i = 1 時(shí)，輸出 S=501=49; i=4 時(shí)，輸出 S=49 4 = 45;i = 7 時(shí)，輸出 S= 45 7= 38;i = 10時(shí)，輸出 S= 38- 10= 28,所以輸出的結(jié)果的集合為49, 45, 38, 28.9 一一6.2解析：7.3解析：7t 0)-=V2,所以3雙曲線的離心率為e一言因?yàn)楸垡?，兀因?yàn)?V 3c 1, x e 0,所以3兀wsin8. 1解析:£，所以ex a因?yàn)?f(x)=e7a sin x為偶函數(shù),=e,0<所以

11、 PF1=ed=5x-95=1.兀CO CO X< -3的值為3.< ，所以 f(x)max=2sin 3ex a且尸sin x為奇函數(shù)，所以片齊為奇函數(shù).令ex ae x a ex a 1 aex ex ag(x)=exT；, 則 g(x)+g(x)=F+卡=百蕊+百=0,所以屋/a?"因?yàn)樗詀= 1.ex(ex+ a) ( 1 + aex)W0,所以a=±1.因?yàn)閒(x)的定義域不為 R,9. 3兀 解析：設(shè)圓錐的底面半徑為 r,高為h.因?yàn)閳A錐的軸截面是等邊三角形，所以 h=,3r.又由圓錐的側(cè)面積為16兀,可得2 , 2兀r 2r= 6兀,斛得r=。3

12、,所以圓錐的體積 V =-% r2 , h= " % r2 , x/3r =兀 r3= 3 兀.33310. - V15 解析：設(shè)三邊分別是 a, b, 因?yàn)?ha ： hb ： hc=6 ： 4 ： 3,所以 a ： b ： 所以 sin C=4,所以 tan C = a/15.c,面積為 s,則 a= 2s, b=2s, c=2s. hahb hc一 一.一 a2+b2-c2c= 2 - 3 - 4,所以 cos C=_ , 一2ab1 一一 11. -2解析：不妨設(shè)x 一 ,=x2+ 1 .因?yàn)閤C R,且要求f(x) < g(x)( ?x C R),則 maxf(x)g

13、(x)的最小值，所以必須 x<0,，g(x) = g(x) >x所以二f (x) + g (x)2.x2- 11且僅當(dāng)x= 1時(shí)取等3，所以 maxf(x) , g(x)的取小值為一2.12. 1 解析：由已知得/ BMC =/ BNC =90 .因?yàn)?BM BC=|BM|2, BM BC = 2,所以 |諦|=啦.因?yàn)?BC = 2,所以/ BCG = 45° .因?yàn)? BGC=105° ,所以/ CBG = 30° , 即/ CBN =30° ,所以 CN = 1,所以 CN BC = - CN - CB=- |CN|2=- 1.1l ,

14、(x1) (2xln xx+1) 人,13. 1n_2 解析：f (x)x(皿 x)2，令 g(x) =2xln x-x+ 1,因?yàn)?x C 內(nèi)2(1<av 2),所以 g' (x)2ln x+1>0,所以 xC a 2(1 < a< 2)時(shí)，g(x) = 2xln x-x+ 1>0,b，(x1) (2xln x x+1)u-、，(x1) J3所以f(x)E了 >0,所以f(x)在區(qū)間 % 2(1 <儀2)上的最大值是f(2)=.In 214. 0, 8 解析：若二次函數(shù) f(x) =x2ax+2a 1 存在零點(diǎn) x1，x2,則 xi + x2

15、=a.因?yàn)榱泓c(diǎn)是整數(shù)，所以a是整數(shù).因?yàn)?1,2 = 溝才28"4,所以a28a+4是完全平方數(shù)，且 a>4+ 2y3或a <4-2/3.令 a2-8a+4=b2(b Z), (a-4)2- b2=12(bZ), 當(dāng) a>4+243時(shí)，不妨設(shè) b>0, (a 4+ b)(a-4-b)= 12,a-4+b=12, a-4+b=6, a-4+b= 4,a4b=1,a4b=2, a 4 b= 3,所以a= 8.同理得，當(dāng)aw 4 243時(shí)，不妨設(shè)b<0,a- 4+b= 12,a 4 b = - 1,a 4+ b= 6)a 4一b = 一 2,所以a=0.a 4

16、+ b= 4,a 4 一 b= 一 3,19、 一力15. (1)證明：因?yàn)?oA = (3, 4), (OB=(6, 3), OC=(143,所以 AB = (3, 1), AC =(4', 4),所以AB - AC = 3x4+ 1x(_3) = 0,所以/ A為直角，即點(diǎn) A, B, C是一個(gè)直角三角形的頂點(diǎn).(4分)(2)解：因?yàn)橄蛄?OA = (3, 4), OB=(6, 3), OC=(8+m, m),所以 BA=(-3, 1), E3C = (m+2, m + 3).，.一， 一. 一 兀在4ABC中，因?yàn)? ABC > ,所以 BA = (-3, 1)與BC= (

17、m+2, m+3)不平行，且 BA - BC<0, -3-179所以 m+2 m + 3解得m_2且m>_*3 (m + 2) + 1 1) (m+3) <0,1 .一一9.所以頭數(shù)m的取值氾圍是(一,+ 8). (14分)16 .證明：(1)連結(jié)AG, BiF, AB 1,在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 因?yàn)?AAi,平面 A1B1C1, DG?平面 A1B1C1, 所以 AA 1±DG.因?yàn)?AAiAAiBi=Ai,所以 DGL平面 ABBiAi.同理EFL平面ABBiAi,所以DG/ EF,所以D, E, F, G四點(diǎn)共 面.設(shè) AiBiCi的AiBi邊上

18、的高為h,因?yàn)橹比庵?ABCA 1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2,所以h= ：3.因?yàn)镈為直三棱柱 ABCAiBiCi的棱BiCi的中點(diǎn)， 所以DG=；=興，同理EF = §,所以DG = EF, 所以四邊形DEFG為平行四邊形.1在正萬(wàn)形 ABBiAi 中，因?yàn)?GBi = AF = 2，GB1/AF, 所以四邊形AFBiG為平行四邊形，所以 AB1, GF互相平分.因?yàn)椤Ｊ钦叫蜛BBiAi的中心，即ABi的中點(diǎn)，所以GF經(jīng)過(guò)。點(diǎn)，所以G, O, F三點(diǎn)在一條直線上.(8分)(2)由(1)知四邊形DEFG為平行四邊形，所以 DE II FG.因?yàn)镈E?平面ABB', FG?平

19、面ABB 1A1,所以DE/平面ABB iAi.(14分)17 .解:(1)因?yàn)?4(1q)(b + b2+ + bn)= 1 qn(?nC N*, q*),所以 4(1 q)(b+b2+ bn 1)= 1 qn1(？nC N*, n>2, q*1),所以 4(1 q)bn=qn1一qn(?nC N*, n>2, q*1),所以 bn = 4qn(?n N*, n>2, q*1).又 4(1-q)b1= 1-q1(q1),所以 b1 = 4,所以 bn= ；qn1(？n C N*, q*).因?yàn)?b8=8b5,所以 q3=8,故 q=2,一.一 1 一 一 ，所以 bn=bq

20、n=4><2n=2n 3, nCN*.(6分)(2)由(1)可知an=log2bn= n 3,則數(shù)列an是首項(xiàng)為一2,公差為1的等差數(shù)列，其前 n2233項(xiàng)的和為 Sn=na +2= y-2n,所以 nSn= n(y 2n)=萬(wàn)一2n2,所以(nSn)二(萬(wàn)一22n2) = 5n.八一, 一 10令(nSn) =0,得 n=,3所以nSn在1,當(dāng) 上單調(diào)遞減，在手，+ 8 ）上單調(diào)遞增. 33因?yàn)?s3=_ 9, 4s4=8,所以數(shù)列nSn最小項(xiàng)的值是一9.（14分）18.解：(1)在 BCD 中，BD=20S，BC=60, CD=40,由余弦定理得cos / BCD =bc2+c

21、d2-bd22BC - CD602 + 402 ( 20/7)2 60 4012.因?yàn)? BCD (0° , 180° ),所以/ BCD =60° .因?yàn)锳, B, C, D四點(diǎn)共圓，所以/ bad =120° .在AABD 中，由余弦定理得 BD2 = AB2+AD22AB ADcos /BAD ,將AD = 2AB , BD = 2也代入化簡(jiǎn)，得 AB =20,1.1所以 S 四邊形 abcd =2AB - ADsin / BAD + 2CB - CD - sin / BCD = 800V3 m2.設(shè)AABD的外接圓的半徑為 R,則n BD20，7

22、_ 20 ,21R =,2sin Z BAD 2sin 120°3所以休閑區(qū)域的面積為兀R2 80073=兀(20321)2- 8003= (2 830兀_ 800/3) m2.(8分)(2)在ABCD, AABD中分別利用余弦定理，得BD2=602+4022X 60X 40cos 0，BD2=AB2+ 4022X 40 ABcos(兀一。)，聯(lián)立消去 BD,得 AB2+80cos 0 - AB+(4 800cos 0 - 3 600) = 0, 解得 AB =60- 80cos 0 (AB = - 60 舍去).因?yàn)?AB >0,所以 60- 80cos 0 >0,即

23、cos 0 v 3,Sa ABD所以S一>40?tan 012AB ADsin (兀一 9)tan 01>40? 2(60 80cos 0 ) 40 cos 0 >40? 40cos2 930cos 0 + 1 < 0? 15W85w cos 0 & 15 + y18515 中85405.(16 分)4040因?yàn)閏os 0 < 3,所以此時(shí)cos 0的取值范圍是 419.(1)解：不妨設(shè)D在x軸上方，因?yàn)橹本€y=kx與橢圓交于 D, E兩點(diǎn)，所以O(shè)D = OE.因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為 F,且DFXEF,所以O(shè)F=OD.設(shè)橢圓的半焦距為 c,則D(ccos%cs

24、in 0 ),x2 v2c2cos2 0代入。+匕=1,得c s Ta bac2sin2 9b2=1.因?yàn)閑= *所以a= 2c, b=0,所以"9 +嗎2=1.(6分) 243x,(2)證明：設(shè)直線PQ的方程為x= y+c(c為橢圓的半焦距),與x2 + y2=1聯(lián)立消去 a b得(a2 + b2)y2+ 2cb2y b4= 0.設(shè)P, Q的坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x2, y2),所以y =-2cb2± 7 (2cb2) 2+4 (a2+b2) b4 b2 (- c/2a)2 (a2+b2)=a2+b2所以b2 c 2a y1= a2+ b2y2=b2 ( c .

25、 2a)a2+b2SAPA2F(a c) y1(ac) b2 (c+2a) (a-c) ( c+，2a)SAQAiF(a+c)(y2)(a+ c)b2(c+/2a)(a+c)( c+ /2a)(1 e) ( e+吏)(e 1) (e 一&)(1 + e) ( e+ 2)(e+ 1) ( e+ V2)SPA2Fm曰一古* 1 d (e 1) (e V2)、1 因?yàn)?KT；的最小值為所以= VSA QAiF2'(e+ 1) (e+Q2'化簡(jiǎn)得 e23(1+/2)e+y2>0.(16 分)=0 在(0, 2)上有解,即 x2+(a 2)x20.解：(1)由題意知f &#

26、39; (x)exx2 ax+ 2x + 2 a2 2a -2a2+2a=0 在(0, 2)上有解，即(x a)x ( 2a+2) = 0 在(0 , 2)上有解，又 a-2a+2,a(E (0，3) U (3, 2). (4 分)解得aC (0, 2)或aC (0, 1)且aw2,即a的取值范圍是3(2)因?yàn)?e x>0,所以f(x)=(2a+4) ln (x+1) 2a2+3aexx2 + ax (2a+ 4)ln(x + 1)=0.設(shè) g(x) =x2 + ax (2a + 4)ln(x + 1), , /12x2+ (a+ 2) x- (a+4)(x1) 2x (a4)則 g (

27、x)=x+1x+1- a4 一 一，當(dāng)一2= 1，即 a= 6 時(shí)，g' (x) >0, g(x)在(0, 2上單調(diào)遞增.又 g(0) = 0,，xC(0, 2時(shí)，g(x) >0,則此時(shí)原方程無(wú)實(shí)根.一 ,a - 4 一. . 當(dāng)一2一W0,即a> 4時(shí)，g(x)在(0, 1上單倜遞減，在1, 2上單倜遞增.由 g(0) =0,則(i )當(dāng) g(2)=(1 ln 3) (2a+4)>0,即一4W aw 2 時(shí)，原方程在(0, 2上有且只有 1個(gè)實(shí)根；(ii)當(dāng)g(2)=(1-ln 3) (2a + 4)<0,即a>2時(shí)，原方程在(0, 2上無(wú)實(shí)根.當(dāng)

28、0 v a4 v 1 ,即一6vav4時(shí)，g(x)在一a24, 1上單調(diào)遞減，在0,一彗，1 , 2上單調(diào)遞增,1g(1) = a+ 1-(2a+4)1n 2v0 且 g(2)>0,則原萬(wàn)程有兩實(shí)根，解得 a>- 2,21n 2 11 一16 V 2V 4, 即 一 2v av 4, 故止匕時(shí)原方程有兩頭根;21n 2-12ln 2-1g(1) = a+ 1 (2a + 4)1n 2 <0,且g(2)v0,原方程有一實(shí)根，解得 a無(wú)解；1g(1) = a+ 1-(2a + 4)1n 2=0,即 a= 2 1一時(shí)，原萬(wàn)程有一個(gè)實(shí)根；21n 2-1若 g(1) = a+ 1 (2

29、a + 4)1n 2>0,即一6V av 2時(shí)，原方程在(0, 2無(wú)實(shí)根.21n 2-11綜上可得，當(dāng)2 21n 2_1 vav 4時(shí)，原方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為2;1當(dāng)4waw 2或a= 2 癡匕時(shí)，原方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為 1;1當(dāng)一6Wav2 或a>2時(shí)，原萬(wàn)程的實(shí)根個(gè)數(shù)為0.(16分)21n 2-1附加:T:21 . A.解：設(shè)M(x, y)是直線1: x=ky上的任意一點(diǎn)，變換x則 =y，x+yx'=x+y,，即kyy = ky.(4分)因?yàn)橹本€1與直線1重合,所以1的方程是x'= ky',將x = x + y, y = ky代入 x'= ky ',得 x + y=k2y,即 x=(k21)y.由M(x , y)的任意性得k21 = k,解得k=l手.(10分)B.解：將直線pcos。= 1與圓p= 2sin。分別化為普通方程得 x=1, x2+(y 1)2=1,(6分)易得直線x=1與圓x2+(y 1)2=1切于點(diǎn)Q(1, 1),所以交點(diǎn)Q的極坐標(biāo)是(卷 十).(10分)A(0 , 0,22 .解：以AB , AC, AA1為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 0), B(2,