中考數(shù)學中的幾何最值問題

1、中考數(shù)學中的幾何最值問題在近幾年各地中考中，幾何最值問題屢屢受到命題者關(guān)注，此類問題不僅涉及平面幾何的基礎(chǔ)知識，還涉及幾何圖形的性質(zhì)、平面直角坐標系、方程與不等式、函數(shù)知識等。因此一批立意新穎、構(gòu)造精巧、考點突出的新題、活題脫穎而出。這類試題較好地考查了同學們的幾何探究、推理能力的要求及數(shù)學思想方法的運用。本節(jié)課以近幾年的全國各地的中考題為例加以講解，希對同學們的備考有所幫助。OyxACB1（2009年濰坊市）已知邊長為的正三角形，兩頂點分別在平面直角坐標系的軸、軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連結(jié)OC，則OC的長的最大值是_ 解：取AB的中點D，連結(jié)OD、CD、OC，則OD=，且CDAB，

2、CD=，當C，D，O三點共線時，OC=OD+CD，否則OCOD+CD，OC長的最大值是+。點評 本題求一條線段的最大值，關(guān)鍵是抓住斜邊長度確定，斜邊上的中線長也確定，利用三角形兩邊之和大于第三邊，尋找突破口從而求解。2（2008年蘭州）如圖，在中，經(jīng)過點且與邊相切的動圓與分別相交于點，則線段長度的最小值是（ ）A B C5 D4.8解：易知ABC是直角三角形，所以EF是圓的直徑，設(shè)切點是D，因為直徑是圓中最長的弦，所以EFCD，作CHAB于點H，則CDCH，所以有EFCH，即長度的最小值是CH，利用面積方法易得CH=4.8。所以線段長度的最小值是4.8，故選D。點評 本題求一條線段的最小值，通

3、過轉(zhuǎn)化后利用垂線段最短求解。3（2009年四川達州）在邊長為2的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小值為_（結(jié)果不取近似值）。解：B、Q在直線AC同側(cè)，動點P只能在AC上運動。PBQ中，B、Q為定點，故BQ長度不變，要使PBQ周長最小，應(yīng)使動點P到兩定點B、Q之和PB+PQ最小。直線AC是正方形的對稱軸，點Q關(guān)于對角線AC的對稱點Q一定落在邊CD上，如圖所示，當B、P、 Q共線時PB+PQ=PB+PQ=BQ=取最小值，則PBQ周長的最小值為+1。點評 本題有一定的難度，PBQ周長的最小值問題轉(zhuǎn)為求一個動點到兩個定點的距離和的最小值問

4、題，通過作對稱點的方法，當三點共線時，兩條線段和PBQ周長的最小。4（2010年蘇州）如圖，已知A、B兩點的坐標分別為(2，0)、(0，2)，C的圓心坐標為(1，0)，半徑為1若D是C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則ABE面積的最小值是（ ） A2 B1 C D解：當AD為C的切線，切點為D時，OE最長，BE最短，此時ABE面積最小，易證AOEADC，所以，可求得OE=，于是BE=2-，從而ABE面積的最小值是。選D。點評 本題求面積的最小值，由于三角形的高確定，因此只要求底（即一條線段）的最小值即可，根據(jù)圓的性質(zhì)，易知AD處于極端位置（切線）時，所求三角形的面積最小。5（2010年天

5、津市）在平面直角坐標系中，矩形的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在軸、軸的正半軸上，D為邊OB的中點.（1）若為邊上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求點的坐標；（2）若、為邊上的兩個動點，且，當四邊形的周長最小時，求點、的坐標.溫馨提示 如圖可以作點D關(guān)于x軸的對稱點D，連接C D與x軸交于點E，的周長是最小的。這樣，你只需要求出OE的長，就可以確定點E的坐標了。yBODCAxEyBODCAx解：（1）如圖，作點D關(guān)于軸的對稱點，連接與軸交于點E，連接.若在邊上任取點（與點E不重合），連接、.由，可知的周長最小. 在矩形中，為的中點，yBODCAxE ，. OEBC， RtRt，有. . 點的坐標

6、為（1，0）. （2）如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，在邊上截取，連接與軸交于點，在上截取. GCEF， 四邊形為平行四邊形，有.又 、的長為定值，yBODCAxEGF 此時得到的點、使四邊形的周長最小. OEBC， RtRt, 有 . . . 點的坐標為（，0），點的坐標為（，0）點評 本題（1）有一個溫馨提示，而問題（2）要使四邊形CDEF的周長最小，注意到DC、EF的長為定值，故只需DE+CF最小，用軸對稱及平移方法設(shè)法將DE、CF集中到一條直線上解決問題。6（2009年郴州市）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點M（2，1），且P（1，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，

7、PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B （1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得OBQ與OAP面積相等？如果存在，請求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由； （3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值圖2圖1解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為，將點M（，）坐標代入得，所以正比例函數(shù)解析式為 2分同樣可得，反比例函數(shù)解析式為 3分（2）當點Q在直線DO上運動時，設(shè)點Q的坐標為， 4分于是，而，所以有，解得 6分所以點Q的坐標為和 7分（3）因

8、為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以O(shè)PCQ，OQPC，而點P（，）是定點，所以O(shè)P的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值8分因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點Q的坐標為，由勾股定理可得，所以當即時，有最小值4，又因為OQ為正值，所以O(shè)Q與同時取得最小值，所以O(shè)Q有最小值2 9分 由勾股定理得OP，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是10分點評 本題中的（1）、（2）小題相對較簡單，問題（3）求平行四邊形周長的最小值，注意到OP的長為定長，只需求鄰邊OQ的最小值，通過勾股定理、配方求解。其實本題還有另外兩種解法：，即OQ的最小值為4。反比例函數(shù)的一條對稱軸

9、為一、三象限的角平分線，即直線y=x，所以取到最小值的點Q只能是反比例函數(shù)與直線y=x在第一象限的交點，同樣可求得OQ的最小值為4。7（2010年寧德市）如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當M點在何處時，AMCM的值最??；當M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.EA DB CNM解：ABE是等邊三角形，BABE，ABE60°.MBN60°，MBNABNABEABN.即ABM

10、EBN.又MBNB，AMBENB（SAS）. 5分當M點落在BD的中點時，AMCM的值最小. 7分如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AMBMCM的值最小. 9分FEA DB CNM理由如下：連接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60°，MBNB，BMN是等邊三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 10分根據(jù)“兩點之間線段最短”，得ENMNCMEC最短當M點位于BD與CE的交點處時，AMBMCM的值最小，即等于EC的長.11分過E點作EFBC交CB的延長線于F，EBF90°60°30°.設(shè)正方形的邊長為x，則BFx，EF.在Rt

11、EFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 12分解得，x（舍去負值）.正方形的邊長為. 13分點評 此題中第（2）小題將線段和的最小值問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題，特別是第（2）小題，更是利用了BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BMN是等邊三角形的特殊結(jié)構(gòu)，將三條線段的和轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題，再結(jié)合圖形的特殊對應(yīng)結(jié)構(gòu)進行分析，從而確定AMBMCM取最小值時，點M的位置，在第（2）小題的基礎(chǔ)上，第（3）小題顯而易見可轉(zhuǎn)化為RtEFC來解決。在動轉(zhuǎn)化為靜的過程中，對同學們的思維能力提出了更高的要求。8（2010年通化市）如圖，四邊形ABCD中，ADCD，DABAC

12、B90°，過點D作DEAC，垂足為F，DE與AB相交于點E（1）求證：AB·AFCB·CD；（2）已知AB15 cm，BC9 cm，P是射線DE上的動點設(shè)DPx cm（），四邊形BCDP的面積為y cm2求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；當x為何值時，PBC的周長最小，并求出此時y的值解： AD=CD，DEAC， DE垂直平分AC，AF=CF， DFA=DFC=90°，DAF=DCF。 DAB=DAF+CAB=90°ABCDEFP· CAB+B=90°，DCF=DAF=B 在RtDCF和RtABC中，DFC=ACB=90°，

13、DCF=BDCFABC. AB·AF=CB·CD AB=15, BC=9, ACB=90°, AC=CF=AF=6. y=(x+9)×6=3x+27(x0). BC=9(定值)，PBC的周長最小，就是PB+PC最小.由知,點C關(guān)于直線DE的對稱點是A, PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小. 顯然當P,A,B三點共線時PA+PB最小.此時DP=DE, PA+PB=AB. 由知ADF=FAE, DFA=ACB=90° 得DAFABC. 由EFBC,得AE=BE=AB=,EF=.AFBC=ADAB,即69=AD15. AD=10. 在Rt

14、ADF中,AD=10,AF=6, DF=8. DE=DF+FE=8+= 當x=時，PBC的周長最小，此時y=. 點評 此題中的第小題對學生有較大的迷惑性，問題是用函數(shù)研究運動變化圖形中的數(shù)量關(guān)系，進而建立函數(shù)關(guān)系式；問題從表面上看似乎要用到問題的結(jié)論，易使學生的思維從函數(shù)關(guān)系式入手探求PBC的周長最小值的陷阱，此問構(gòu)思巧妙，需要學生利用幾何方法探求PBC的周長最小值，并求出x和y的值.問題動靜結(jié)合，較好地考查了學生分析問題、解決問題的能力.9（2010年濟南）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，直線BD的函數(shù)表達式為，拋物線的對稱軸l與直線BD交于點C、與x軸交于點E求A、B、C三個點的坐標

15、點P為線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），以點A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點M，以點B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點N，分別連接AN、BM、MN求證：AN=BMDCMNOABPlyE在點P運動的過程中，四邊形AMNB的面積有最大值還是有最小值？并求出該最大值或最小值.x解：令，解得：， A(1，0)，B(3，0)2分=，拋物線的對稱軸為直線x=1，將x=1代入，得y=2，C（1，2）. 3分在RtACE中，tanCAE=，CAE=60º，由拋物線的對稱性可知l是線段AB的垂直平分線，AC=BC，ABC為等邊三角形， 4分AB= BC =AC = 4，

16、ABC=ACB= 60º，又AM=AP，BN=BP，BN = CM， ABNBCM， AN=BM. 5分四邊形AMNB的面積有最小值 6分設(shè)AP=m，四邊形AMNB的面積為S，由可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，SABC=×42=，CM=BN= BP=4m，CN=m， 過M作MFBC,垂足為F,則MF=MCsin60º=，SCMN=，7分S=SABCSCMN=（）= 8分m=2時，S取得最小值3. 9分點評 此題的第小題將函數(shù)與圓的有關(guān)知識蘊涵于幾何圖形中,以較為新穎的方式出現(xiàn),使問題更具有綜合性.將不規(guī)則的四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解決,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想

17、在解題中的應(yīng)用,由于四邊形AMNB的面積隨著點P的位置變化而變化,所以用函數(shù)的觀點,從函數(shù)關(guān)系式入手探求四邊形AMNB的最小值.本題較好地體現(xiàn)了對學生合情理及轉(zhuǎn)化能力的考查,通過建立面積與動點坐標之間的函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)知識求解.10（2009年恩施）恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km,A、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運送游客.小民設(shè)計了兩種方案，圖11（1）是方案一的示意圖(AP與直線X垂直，垂足為P),P到

18、A、B的距離之和S1=PA+PB； 圖11（2）是方案二的示意圖(點A關(guān)于直線X的對稱點是A'，連接BA'交直線X于點P),P到A、B的距離之和S2=PA+PB. (1).求S1 、S2 ,并比較它們的大小.(2).請你說明S2=PA+PB的值為最小.(3).擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km,請你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q,使P、A、B、Q 組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值. 解：圖11（1）中過B作BCAP,垂足為C,則PC=40,又AP=10,AC=30 1分在RtABC 中，AB=50 AC=30 BC=40 BP=S1= 2分圖11（2）中，過B作BCAA垂足為C，則AC=50，又BC=40BA'=由軸對稱知：PA=PA'S2=BA'= 3分 4分(2)如 圖11（2），在公路上任找一點