高中數學競賽平面幾何基本定理

1、（高中）平面幾何基礎知識（基本定理、基本性質）1 勾股定理（畢達哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍(2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍2 射影定理（歐幾里得定理）3 中線定理（巴布斯定理）設ABC的邊BC的中點為P，則有；中線長：4 垂線定理：高線長：5 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例如ABC中，AD平分BAC，則；（外角平分線定理）角平分線長：（其中為周長一半）6 正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）

2、7 余弦定理：8 張角定理：9 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設已知ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半（圓外角如何轉化？）11 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角12 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內接四邊形ABCD中，ACBD，自對角線的交點P向一邊作垂線，其延長線必平分對邊14 點到圓的冪：設P為O所在平面上任意一點，PO=d，O的半徑為r，則d2r2就是點P對于O的冪過P任作一直

3、線與O交于點A、B，則PAPB= |d2r2|“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結論這條直線稱為兩圓的“根軸”三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”三個圓的根心對于三個圓等冪當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點15 托勒密（Ptolemy）定理：圓內接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即ACBD=ABCD+ADBC，(逆命題成立) （廣義托勒密定理）ABCD+ADBCACBD16 蝴蝶定理：AB是O的弦，M是其中點，弦CD、EF經過點M，CF、DE交AB

4、于P、Q，求證：MP=QM 17 費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離定理2 三角形每一內角都小于120時，在三角形內必存在一點，它對三條邊所張的角都是120，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有一內角不小于120時，此角的頂點即為費馬點18 拿破侖三角形：在任意ABC的外側，分別作等邊ABD、BCE、CAF，則AE、AB、CD三線共點，并且AEBFCD，這個命題稱為拿破侖定理 以ABC的三條邊分別向外作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C1 、A1

5、 、B1的圓心構成的外拿破侖的三角形，C1 、A1 、B1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；ABC的三條邊分別向ABC的內側作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C2 、A2 、B2的圓心構成的內拿破侖三角形，C2 、A2 、B2三圓共點，內拿破侖三角形也是一個等邊三角形這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心 19 九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質,例如: （1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; （2）九點圓的圓心在

6、歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點; （3）三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切費爾巴哈定理20 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上21 歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則d2=R22Rr22 銳角三角形的外接圓半徑與內切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和23 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；重心性質：（1）設G為ABC的重心，連結AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則；（2）設G為ABC的重心，則；（3）設G為ABC的重心，過G作D

7、EBC交AB于D，交AC于E，過G作PFAC交AB于P，交BC于F，過G作HKAB交AC于K，交BC于H，則；（4）設G為ABC的重心，則；（P為ABC內任意一點）；到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即最??； 三角形內到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為ABC的重心）24 垂心：三角形的三條高線的交點；垂心性質：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關于ABC的三邊的對稱點，均在ABC的外接圓上；（3）ABC的垂心為H，則ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓；（4）設O，H分別為ABC的外心和垂心，則25 內心：

8、三角形的三條角分線的交點內接圓圓心，即內心到三角形各邊距離相等； 內心性質：（1）設I為ABC的內心，則I到ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設I為ABC的內心，則；（3）三角形一內角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內心的距離相等；反之，若平分線交ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為ABC的內心；（4）設I為ABC的內心， 平分線交BC于D，交ABC外接圓于點K，則；（5）設I為ABC的內心，I在上的射影分別為，內切圓半徑為，令，則；26 外心：三角形的三條中垂線的交點外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；外心性質：（1）外心到三角形各頂點距離相等；

9、（2）設O為ABC的外心，則或；（3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和27 旁心：一內角平分線與兩外角平分線交點旁切圓圓心；設ABC的三邊令，分別與外側相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為旁心性質：（1）（對于頂角B，C也有類似的式子）；（2）；（3）設的連線交ABC的外接圓于D，則（對于有同樣的結論）；（4）ABC是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圓半徑等于ABC的直徑為2R28 三角形面積公式：，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內切圓半徑，29 三角形中內切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關系： 30 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設AB

10、C的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經過它們任一頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有 （逆定理也成立）31 梅涅勞斯定理的應用定理1：設ABC的A的外角平分線交邊CA于Q，C的平分線交邊AB于R，B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線32 梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線33 塞瓦(Ceva)定理：設X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于一點的充要條件是=134 塞瓦定理的應用定理：設平行于ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC

11、的交點分別是D、E，又設BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中點M35 塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線交于一點37 塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設ABC的內切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點38 西摩松（Simson）定理：從ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 關于西摩松線的定理1：ABC的外接圓的

12、兩個端點P、Q關于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上41 關于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點42 史坦納定理：設ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關于ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心43 史坦納定理的應用定理：ABC的外接圓上的一點P的關于邊BC、CA、AB的對稱點和ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上這條直線被叫做點P關于ABC的鏡象線44 牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線這條直線叫做這個四邊形的牛頓線 4

13、5 牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線46 笛沙格定理1：平面上有兩個三角形ABC、DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線47 笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形ABC、DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線48 波朗杰、騰下定理：設ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關于ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) 49 波朗杰、騰下定理推論1：設P、Q、R為ABC的外接圓上的三

14、點，若P、Q、R關于ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關于PQR的的西摩松線交于與前相同的一點50 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點51 波朗杰、騰下定理推論3：考查ABC的外接圓上的一點P的關于ABC的西摩松線，如設QR為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點P、Q、R的關于ABC的西摩松線交于一點52 波朗杰、騰下定理推論4：從ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在

15、同一個圓上，這時L、M、N點關于關于ABC的西摩松線交于一點53 卡諾定理：通過ABC的外接圓的一點P，引與ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線54 奧倍爾定理：通過ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在ABC的外接圓上取一點P，則PL、PM、PN與ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線55 清宮定理：設P、Q為ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、

16、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線56 他拿定理：設P、Q為關于ABC的外接圓的一對反點，點P的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQOP 則稱P、Q兩點關于圓O互為反點）57 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上 58 從三角形

17、各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心59 一個圓周上有n個點，從其中任意n1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點60 康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點61 康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關于四個三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上這條直線叫做M、N兩點關于四邊形ABCD的康托爾線62 康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾

18、線、L、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線交于一點這個點叫做M、N、L三點關于四邊形ABCD的康托爾點63 康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上這條直線叫做M、N、L三點關于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線64 費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切 65 莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形這個三角形常被稱作莫利正三角形66 布利安松定理：連

19、結外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點67 帕斯卡（Paskal）定理：圓內接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長線的）交點共線68 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點P，位于將線段AB分成m：n的內分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上這個圓稱為阿波羅尼斯圓69 庫立奇*大上定理：（圓內接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓70 密格爾（Miquel）點：

20、若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點，構成四個三角形，它們是ABF、AED、BCE、DCF，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點71 葛爾剛（Gergonne）點：ABC的內切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點 72 歐拉關于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點，過M向三邊作垂線，三個垂足形成的三角形的面積，其公式： 斯特瓦爾特定理斯特瓦爾特(stewart)定理設已知ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2DC+AC2BD-AD2BCBCDCBD。證明：在圖26中，作

21、AHBC于H。為了明確起見，設H和C在點D的同側，那么由廣勾股定理有AC2=AD2DC2-2DCDH，（1）AB2=AD2+BD2+2BDDH。 （2）用BD乘(1)式兩邊得AC2BD=AD2BD+DC2BD-2DCDHBD，（1）用DC乘(2)式兩邊得AB2DC=AD2DCBD2DC2BDDHDC。（2）由（1）+（2）得到AC2BD+AB2DC=AD2(BDDC)+DC2BDBD2DC=AD2BC+BDDCBC。AB2DCAC2BD-AD2BC=BCDCBD?；蛘吒鶕嘞叶ɡ淼肁B2=PB2+PA2-2PBPAcos角APCAC2=PA2+PC2-2PAPCcos角APC兩邊同時除以PBP

22、APC得AC2PB+AB2PC=(PB2+PA2)PC+(PA2+PA2)PB化簡即可（注：圖中2-7A點為P點，BDC點依次為ABC)托勒密定理一些圓定理.doc定理圖定理的內容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。 原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。 從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質 定理的提出一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。證明一、

23、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意四邊形ABCD中，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD 因為ABEACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 而BAC=DAE，ACB=ADE 所以ABCAED相似. BC/ED=AC/AD即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因為BE+EDBD （僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 復數證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復數，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)

24、、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復數恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 四點不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、設ABCD是圓內接四邊形。 在弦BC上，圓周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一點K，使得ABK = CBD； 因為ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。

25、因此ABK與DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBD = ABCD，且CKBD = BCDA； 兩式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABCD + BCDA。證畢。 三、 托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)已知：圓內接四邊形ABCD，求證：ACBDABCDADBC 證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=

26、AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。得 AC(BPDP)=ABCDADBC即ACBD=ABCDADBC 推論1.任意凸四邊形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接于一圓、 推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。 簡單的證明：復數恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式

27、ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 注意： 1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 2.四點不限于同一平面。 歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則ADBC+ABCD=ACBD塞瓦定理簡介 塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程師，數學家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的直線論一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現。 具體內容塞瓦定理 在ABC內任取一點O， 直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(

28、AF/FB)=1 證法簡介 （）本題可利用梅涅勞斯定理證明： ADC被直線BOE所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由ABD被直線COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面積關系證明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點: 設三邊AB、

29、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。 可用塞瓦定理證明的其他定理; 三角形三條中線交于一點（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因為AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點 此外，可用定比分點來定義塞瓦定理： 在ABC的三邊BC、CA、AB或其

30、延長線上分別取L、M、N三點，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是=-1） 塞瓦定理推論1.設E是ABD內任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因為(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/

31、BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是： (sinBAD/sinDAC)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 3.如圖，對于圓周上順次6點A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關系易證。 4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點 設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據塞瓦定理逆定 理，因為(AD:DB)*(BE:EC

32、)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：設X、Y、Z分別在ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一：過點A作AGBC交DF的延長線

33、于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 證明二：過點C作CPDF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。 梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三：過ABC三

34、點向三邊引垂線AABBCC， 所以AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 證明四：連接BF。 （AD：DB）（BE：EC）（CF:FA) =（SADF：SBDF）（SBEF：SCEF）（SBCF：SBAF） =（SADF：SBDF）（SBDF：SCDF）（SCDF：SADF） =1 此外，用定比分點定義該定理可使其容易理解和記憶： 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N三點共線的充要條件是=1。 第一角元形式的梅涅勞斯定理

35、 如圖：若E，F，D三點共線，則 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBA/sinABE)=1 即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點O，且EDF共線，則（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=1。(O不與點A、B、C重合) 記憶ABC為三個頂點，DEF為三個分點 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 （頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）=1 空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2

36、/上2）=1 實際應用為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。我們乘直升機飛到這些景點的上空，然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發(fā)點，直升機就停在那里等待我們回去。 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷”。 例如直升機降落在A點，我們從A點出發(fā)，“游歷”了其它五個字母所代表的景點后，最終還要回到出發(fā)點A。 另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。 從A點出發(fā)的旅游方

37、案共有四種，下面逐一說明： 方案 從A經過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經過C（不停留）回到出發(fā)點A。 按照這個方案，可以寫出關系式： （AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 現在，您知道應該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 從A點出發(fā)的旅游方案還有： 方案 可以簡記為：ABFDECA，由此可寫出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 方案 ACEDFBA，由此可寫出公式： （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。

38、從A出發(fā)還有最后一個方案： 方案 AECDBFA，由此寫出公式： （AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 我們的直升機還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當直升機降落在B點時，就會有四項因式。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點會游覽了兩次。 不知道梅涅勞斯當年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。 還可以從逆時針來看，從第一個頂點到逆時針的第一個交點比上到下一個頂點的距離，以此類推，可得到三個比例，它們的乘積為1.

39、 現在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復雜的相除相乘的關系式，不會再寫錯或是記不住吧。西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。 西姆松定理說明相關的結果有： （1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。 （2）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。 （3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置

40、無關。 （4）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 證明證明一： ABC外接圓上有點P，且PEAC于E，PFAB于F，PDBC于D，分別連DE、DF. 易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是FDP=ACP ，（都是ABP的補角） 且PDE=PCE 而ACP+PCE=180 FDP+PDE=180 即F、D、E共線. 反之，當F、D、E共線時，由可見A、B、P、C共圓. 證明二： 如圖，若L、M、N三點共線，連結BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點共圓，有 PB

41、N = PLN = PLM = PCM. 故A、B、P、C四點共圓。 若A、B、P、C四點共圓，則PBN = PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有 PBN =PLN =PCM=PLM. 故L、M、N三點共線。 相關性質的證明連AH延長線交圓于G, 連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關線段 AHBC,PFBC=AG/PF=1=2 A.G.C.P共圓=2=3 PEAC,PFBC=P.E.F.C共圓=3=4 =1=4 PFBC =PR=RQ BHAC,AHBC=5=6 A.B.G.C共圓=6=7 =5=7 AGBC=BC垂直

42、平分GH =8=2=4 8+9=90,10+4=90=9=10 =HQ/DF =PM=MH 第二個問，平分點在九點圓上，如圖：設O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 則O是,確定九點圓的中點三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中點。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2 所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點圓)的反位似中心(相似點在位似中心的兩邊),H 是正位似中心(相似點在位似中心的同一邊).

43、所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點必在三角形DEF的外接圓上. 圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結果。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4 定義圓冪=PO2-R2| 所以圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點

44、P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD。 進一步升華（推論）過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PAPB=PCPD。若圓半徑為r，則PCPD=(PO-r)(PO+r)=PO2-r2=|PO2-r2| （要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值） 若點P在圓內，類似可得定值為r2-PO2=|PO2-r2| 故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這

45、一點引任意直線交圓于A、B，那么PAPB等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪”的由來） 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1相交弦定理：圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的乘積相等。 證明：連結AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。 PACPDB，PA:PD=PC:PB，PAPB=PCPD 問題2割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PAPB=PCPD，當PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA2=PCPD 證明：（令A在P、B之間，C在P、D之間）因為ABCD為圓內接四邊形，所以角CAB

46、+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 幾何語言：PT切O于點T，PBA是O的割線 PT2=PAPB（切割線定理） 推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言：PBA、PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論） 問題3過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證明PAPB為定值（圓冪定理）。 證：以P為原點，設圓

47、的方程為 (x-xO)2+(y-yO)2=a 過P的直線為 x=k1t y=k2t 則A、B的橫坐標是方程 (k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0 的兩個根t1、t2。由韋達定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫成 x2+y2-2xOx-2yOy

48、+xO2+yO2-a=0 其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當P在圓外時，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點P到這圓的冪。 在上面證明的過程中，我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。 如果給定點O，未必是原點，要求出P關于圓的冪（即OP2-r2），我們可以設直線AB的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個根，所以由韋達定理 是定值 是 關于的冪（當 是原點時，這個值就是 ）它也可以寫成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當P在圓內時，冪值是負值；P在圓上時，冪為0；P在圓外時，冪為正值，

49、這時冪就是自P向圓所引切線長的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應用 問題4自圓外一點 向圓引割線交圓于 、 兩點，又作切線 、 ， 、 為切點， 與 相交于 ，如圖求證 、 、 成調和數列，即 證：設圓的方程為 點 的坐標為 ， 的參數方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個根，由韋達定理 另一方面，直線 是圓的切點弦，利用前邊的結論， 的方程為 代入得 因此，這個方程的根 滿足 綜合，結論成立。 可以證明，當 在圓內時，上述推導及結論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題1、問題2的內在聯系。圓冪

50、定理 圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結果。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4 定義圓冪=PO2-R2| 所以圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于

51、C、D（可重合），則有PAPB=PCPD。 進一步升華（推論）過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PAPB=PCPD。若圓半徑為r，則PCPD=(PO-r)(PO+r)=PO2-r2=|PO2-r2| （要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值） 若點P在圓內，類似可得定值為r2-PO2=|PO2-r2| 故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點引任意直線交圓于A、B，那么PAPB等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪”的由來） 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1相交弦定理：圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的乘積相等。 證明：連結AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。 PACPDB，PA:PD=PC: