山東省2014屆理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編：數(shù)列的綜合問題(教師版)

1、山東省2014屆理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編：數(shù)列的綜合問題一、選擇題 （山東省德州市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足,且(x)g(x),若有窮數(shù)列的前n項(xiàng)和等于126,則n等于（）A4B5C6D7【答案】C （山東省煙臺(tái)市2013屆高三3月診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)理試題）已知函數(shù)f(x)=,把函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）AB CD【答案】B 若0x1,則1x10,得f(x)=f(x1)+1=2x1, 若1x2,則0x11,得f(x)=f(x1)+1=2x2+1 若2x3,則1x12,得f(x)

2、=f(x1)+1=2x3+2 若3x4,則2x13,得f(x)=f(x1)+1=2x4+3 以此類推,若nxn+1(其中nN),則f(x)=f(x1)+1=2xn1+n, 下面分析函數(shù)f(x)=2x的圖象與直線y=x+1的交點(diǎn) 很顯然,它們有兩個(gè)交點(diǎn)(0,1)和(1,2), 由于指數(shù)函數(shù)f(x)=2x為增函數(shù)且圖象下凸,故它們只有這兩個(gè)交點(diǎn). 然后將函數(shù)f(x)=2x和y=x+1的圖象同時(shí)向下平移一個(gè)單位即得到函數(shù)f(x)=2x1和y=x的圖象, 取x0的部分,可見它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(0,0). 即當(dāng)x0時(shí),方程f(x)x=0有且僅有一個(gè)根x=0. 取中函數(shù)f(x)=2x1和y=x圖象1x0

3、的部分,再同時(shí)向上和向右各平移一個(gè)單位, 即得f(x)=2x1和y=x在0x1上的圖象,顯然,此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋€(gè)交點(diǎn)(1,1). 即當(dāng)0x1時(shí),方程f(x)x=0有且僅有一個(gè)根x=1. 取中函數(shù)f(x)=2x1和y=x在0x1上的圖象,繼續(xù)按照上述步驟進(jìn)行, 即得到f(x)=2x2+1和y=x在1x2上的圖象,顯然,此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋€(gè)交點(diǎn)(2,2). 即當(dāng)1x2時(shí),方程f(x)x=0有且僅有一個(gè)根x=2. 以此類推,函數(shù)y=f(x)與y=x在(2,3,(3,4,(n,n+1上的交點(diǎn)依次為(3,3),(4,4),(n+1,n+1). 即方程f(x)x=0在(2,3,(3,4,(n,n+1上的

4、根依次為3,4,n+1. 綜上所述方程f(x)x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為 0.,1,2,3,4, 其通項(xiàng)公式為,選B 二、填空題 （山東省濟(jì)南市2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）根據(jù)下面一組等式 可得 _.【答案】 【 解析】;,由歸納推理可知. （山東省煙臺(tái)市2013屆高三3月診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)理試題）對(duì)大于l的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”:23,仿此,若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是59,則m的值為_.【答案】8 即13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,m增加1,累加的奇數(shù)個(gè)數(shù)便多1,我們不難計(jì)算59是第30個(gè)奇數(shù),若它是m的

5、分解,則1至m-1的分解中,累加的奇數(shù)一定不能超過30個(gè),故可列出不等式,進(jìn)行求解,由且,解得. （山東省濟(jì)寧市2013屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) ）對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解式:22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+1124=7+9此規(guī)律,54的分解式中的第三個(gè)數(shù)為 _【答案】125 【解析】由題意可知,所以54的分解式中的第三個(gè)數(shù)為. （山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2013屆高三第一次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）對(duì)正整數(shù)n,設(shè)曲線在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則的前n項(xiàng)和是_.【答案】 【解析】曲線,曲線導(dǎo)數(shù)為,所以切線效率為,切點(diǎn)為,

6、所以切線方程為,令得,即,所以,所以,是以2為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以. （山東省淄博市2013屆高三復(fù)習(xí)階段性檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,一個(gè)類似楊輝三角的數(shù)陣,請(qǐng)寫出第行的第2個(gè)數(shù)為_.【答案】 每行的第二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,由題意知,所以 ,等式兩邊同時(shí)相加得 , 所以. （2011年高考（山東理）設(shè)函數(shù),觀察:,根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)且時(shí),_.【答案】解析:, ,以此類推可得. 答案應(yīng)填: 三、解答題 （山東省濰坊市2013屆高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）(本小題滿分】2分)某工廠為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,今年年初新購(gòu)置了一條高性能的生產(chǎn)線,該生產(chǎn)線在使用過程中的維護(hù)費(fèi)用會(huì)逐年增

7、加,第一年的維護(hù)費(fèi)用是4萬元,從第二年到第七年,每年的維護(hù)費(fèi)用均比上年增加2萬元,從第八年開始,每年的維護(hù)費(fèi)用比上年增加25%(I)設(shè)第n年該生產(chǎn)線的維護(hù)費(fèi)用為,求的表達(dá)式;()若該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護(hù)費(fèi)用大于12萬元時(shí),需要更新生產(chǎn)線,求該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護(hù)費(fèi)用,并判斷第幾年年初需要更新該生產(chǎn)線?【答案】 （2011年高考（山東理）等比數(shù)列中,分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】解析:()由題意可知,公比, 通項(xiàng)公式為; () 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí) 故 另解:令,即 則 故 . （山

8、東省菏澤市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)f(x)=ax的圖象過點(diǎn)(1,),且點(diǎn)(n-1,)(nN*)在函數(shù)f(x)=ax的圖象上.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn=an+1-an,若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn5.【答案】(1)函數(shù)f(x)=ax的圖象過點(diǎn)(1,), a=,f(x)=()x. 又點(diǎn)(n-1,)(nN*)在函數(shù)f(x)=ax的圖象上,從而=,即an=. (2)證明:由bn=-=得, (3)Sn=+, 則Sn=+, 兩式相減得:Sn=+2(+)-, Sn=5-, Sn5 （2013年山東臨沂市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足

9、,設(shè).(I)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)按以下規(guī)律構(gòu)造數(shù)列,具體方法如下:,第n項(xiàng)bn由相應(yīng)的中2n-1項(xiàng)的和組成,求數(shù)列的通項(xiàng).【答案】 （山東省濰坊市2013屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）已知數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣,數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,是的前n項(xiàng)和,且( I )若數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,已知,求的值;()設(shè),當(dāng)時(shí),對(duì)任意,不等式恒成立,求t的取值范圍.【答案】解: ()為等差數(shù)列,設(shè)公差為 設(shè)從第3行起,每行的公比都是,且, 1+2+3+9=45,故是數(shù)陣中第10行第5個(gè)數(shù), 而

10、() 令, 當(dāng)時(shí)上為減函數(shù), 為遞減數(shù)列,的最大值為 不等式變?yōu)楹愠闪?設(shè) 則,解得 （山東省青島市2013屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)的圖象是曲線,點(diǎn)是曲線上的一系列點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn). 若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且.()分別求出數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),表示的面積,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】解:(), 曲線在點(diǎn)處的切線方程: 令, 該切線與軸交于點(diǎn), （山東省菏澤市2013屆高三5月份模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=5,前n項(xiàng)和為Sn,且.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列;(2)令是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;(3)若成立,試求n

11、的最大值.【答案】 （山東省2013屆高三高考模擬卷（一）理科數(shù)學(xué)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列為等差數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)若,求的值.【答案】【解析】(1)由題意得, 當(dāng)時(shí), 又,所以 設(shè)等差數(shù)列的公差為.由, 可得,解得. 所以,所以. (2)由(1)得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 所以當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), . 記, , -得, 故, 則. 因?yàn)?所以. （2013山東高考數(shù)學(xué)（理）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】解:()設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為, 由,得 , 解得, 因此 ()由題意知: 所

12、以時(shí), 故, 所以, 則 兩式相減得 整理得 所以數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和 （山東省青島市2013屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）已知,數(shù)列滿足,數(shù)列滿足;又知數(shù)列中,且對(duì)任意正整數(shù),.()求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式;()將數(shù)列中的第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng),刪去后,剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】解:, 又由題知:令 ,則, 若,則,所以恒成立 若,當(dāng),不成立,所以 ()由題知將數(shù)列中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)刪去后構(gòu)成的新數(shù)列中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列,首項(xiàng)分別是,公比均是 （山東省濟(jì)寧市2013屆高三4月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)）已知數(shù)列中,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)若數(shù)列滿足數(shù)列的

13、前項(xiàng)和為若不等式對(duì)一切恒成立,求的取值范圍.【答案】 （山東省德州市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,已知a1=2,a5=512,Tn是數(shù)列l(wèi)og2an的前n項(xiàng)和.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()求Tn;()求滿足的最大正整數(shù)n的值.【答案】 所以數(shù)列是以為首項(xiàng),公比為4的等比數(shù)列 （山東省淄博市2013屆高三復(fù)習(xí)階段性檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)（理）試題）等比數(shù)列滿足的前n項(xiàng)和為,且(I)求;(II)數(shù)列的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)m,使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(本小題滿分12分) 解: (),所以公比 得 所以 ()由(

14、)知 于是 假設(shè)存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列,則 , 可得, 所以 從而有, 由,得 此時(shí). 當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),成等比數(shù)列 （山東省濱州市2013屆高三第一次（3月）模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利元的前提下,可賣出千克.若做廣告宣傳,廣告費(fèi)為()千元時(shí)比廣告費(fèi)為()千元時(shí)多賣出千克.()當(dāng)廣告費(fèi)分別為1千元和2千元時(shí),用表示銷售量;()試寫出銷售量與的函數(shù)關(guān)系式;()當(dāng)時(shí),要使廠家獲利最大,銷售量和廣告費(fèi)分別應(yīng)為多少?【答案】 （山東省煙臺(tái)市2013屆高三3月診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)理試題）已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,且滿足:a2a4=65,a1+a5=18.(1)若

15、1i21,a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng),求i的值;(2)設(shè),是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m使得b1+b2+bnm對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立,若存在,求出常數(shù)m;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】 （2009高考(山東理)）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立【答案】解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式

16、成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.由、可得不等式恒成立. （山東省臨沂市2013屆高三5月高考模擬理科數(shù)學(xué)）已知數(shù)列滿足(為常數(shù)),成等差數(shù)列.()求p的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)數(shù)列滿足,證明:.【答案】解:()由 得 成等差數(shù)列, 即得 依題意知, 當(dāng)時(shí), 相加得 又適合上式, 故 ()證明: 若則 即當(dāng)時(shí),有 又因?yàn)?故 ()法二:要證 只要證 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)時(shí),左邊=12,右邊=9,不等式成立; 當(dāng)時(shí),左邊=36,右邊=36,不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí),成立. 則當(dāng)時(shí),左邊=43k+1=343k39k2, 要證39k29(k+1)2 , 只要正3k2(k+1)2 , 即證2k2-2k-10. 而當(dāng)k即且時(shí),上述不等式成立. 由可知,對(duì)任意,所證不等式成立. （山東省臨沂市2013屆高三第三次模擬考試 理科數(shù)學(xué)）已知當(dāng)時(shí),二次函數(shù)取得最小值,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()數(shù)列的前n項(xiàng)和為且,證明.【答案】()當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 又適合上式,得 . 由已知 解方程組得 . (), -得 , . 則, , , 當(dāng)時(shí), , 綜上,得. （2011年高考（山東理） 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長(zhǎng)度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米,且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積