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1、數(shù)學競賽輔導三角形的五心Preview one一、外心的性質(zhì)ABCOExample one斜三角形的三個頂點與垂心這四個點中，任何三個為頂點的三角形的垂心就是第四個點所以把這樣的四個點稱為一個“垂心組”銳角三角形的垂心是以三個垂足為頂點的三角形的內(nèi)心。銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。二、垂心的性質(zhì)等價于證明等價于證明三、內(nèi)心的性質(zhì)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點,這點稱為三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于三角形內(nèi)切圓半徑設三角形面積為S，設I為ABC的內(nèi)心，則BIC = 90 +A/2,類似地還有兩式。IKHEFDABCM四、重心的性質(zhì)三角形的

2、三條中線交于一點,這點稱為三角形的重心三角形的重心到邊的中點與到相應頂點的距離之比為 1 2空間直角坐標系： 橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：(Z1+Z2+Z3)/3ABCDEFG五、旁心的性質(zhì)三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個外角平分線交于一點,稱為三角形的旁心(旁切圓圓心)三角形的三個旁心與內(nèi)心構成一垂心組，反過來，一個三角形的頂點與垂心是高的垂足三角形的旁心與內(nèi)心。ABCDEFIa六、三角形的五心的綜合性質(zhì)（1）三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構成的三角形的垂心；（2）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；（3）三角形的外心是它的中點三角形的垂心；（4）三角形的重心也是它的中點三角形的重心；（5）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心（6）雞爪定理（7）鴨爪定理Example sixABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點，E是ACD的重心.證明OE丄CD.Example sevenProof oneProof one五點共圓五點共圓Second tryExample eightExample

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