第1章_優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念

1、1 1 孫靖民孫靖民. .機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì). . 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，200220022 2 陳立周陳立周. .機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法. . 北京：冶金工業(yè)出版社，北京：冶金工業(yè)出版社，199719973 3 劉惟信劉惟信. .機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì). . 北京：清華大學(xué)出版社，北京：清華大學(xué)出版社，199419941-1 1-1 緒論緒論1-2 1-2 優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的示例優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的示例1-3 1-3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 1-4 1-4 優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋和基本解法優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋和基本解法 優(yōu)化是萬(wàn)物演化的自然選擇和必然

2、趨勢(shì)優(yōu)化是萬(wàn)物演化的自然選擇和必然趨勢(shì)。優(yōu)化作為一種觀念和意向，。優(yōu)化作為一種觀念和意向，人類(lèi)從很早開(kāi)始就一直在自覺(jué)與不自覺(jué)地追求與探索。而優(yōu)化作為一門(mén)人類(lèi)從很早開(kāi)始就一直在自覺(jué)與不自覺(jué)地追求與探索。而優(yōu)化作為一門(mén)學(xué)科與技術(shù)，則是一切科學(xué)與技術(shù)所追求的永恒主題，旨在從處理各種學(xué)科與技術(shù)，則是一切科學(xué)與技術(shù)所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。優(yōu)化的原理與方法，在科優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會(huì)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計(jì)學(xué)的、工程的和社會(huì)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計(jì)。 優(yōu)化設(shè)計(jì)是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基

3、礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一項(xiàng)新技術(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一項(xiàng)新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機(jī)配合方式或是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機(jī)配合方式或“自動(dòng)探索自動(dòng)探索”方式，在計(jì)方式，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的半自動(dòng)或自動(dòng)設(shè)計(jì)，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的半自動(dòng)或自動(dòng)設(shè)計(jì)，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計(jì)方案的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。方案的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。 優(yōu)化設(shè)計(jì)反映出人們對(duì)于設(shè)計(jì)規(guī)律這一客觀世界認(rèn)識(shí)的深化。優(yōu)化設(shè)計(jì)反映出人們對(duì)于設(shè)計(jì)規(guī)律這一客觀世界認(rèn)識(shí)的深化。1-1 1-1 緒論緒論例如，古代人類(lèi)在生產(chǎn)和生活活動(dòng)中經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次摸索認(rèn)識(shí)到，在使用同樣數(shù)量和質(zhì)量材料的條件下，

4、圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強(qiáng)度也最大。 （1 1）來(lái)源：優(yōu)化一語(yǔ)來(lái)自英文）來(lái)源：優(yōu)化一語(yǔ)來(lái)自英文OptimizationOptimization，其本意是尋優(yōu)的其本意是尋優(yōu)的過(guò)程；過(guò)程； （2 2）優(yōu)化過(guò)程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以）優(yōu)化過(guò)程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以maxmax表表示示) )或極小或極小( (以以minmin表示表示) )的過(guò)程。優(yōu)化方法也稱(chēng)數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方的過(guò)程。優(yōu)化方法也稱(chēng)數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)；法和手段進(jìn)行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)； （3 3）優(yōu)化設(shè)計(jì)：根據(jù)給定的設(shè)計(jì)要求和現(xiàn)

5、有的技術(shù)條件，應(yīng)用）優(yōu)化設(shè)計(jì)：根據(jù)給定的設(shè)計(jì)要求和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應(yīng)用專(zhuān)業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計(jì)算機(jī)上從滿足給定的設(shè)計(jì)要求的許多專(zhuān)業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計(jì)算機(jī)上從滿足給定的設(shè)計(jì)要求的許多可行方案中，按照給定的目標(biāo)自動(dòng)地選出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案?？尚蟹桨钢?，按照給定的目標(biāo)自動(dòng)地選出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 就是把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助就是把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。電子計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程優(yōu)化設(shè)計(jì)流程 常規(guī)設(shè)計(jì)流程常規(guī)設(shè)計(jì)流程 歷史上最

6、早記載下來(lái)的最優(yōu)化問(wèn)題可追溯到古希臘的歐幾里得歷史上最早記載下來(lái)的最優(yōu)化問(wèn)題可追溯到古希臘的歐幾里得（EuclidEuclid，公元前公元前300300年左右），他指出：在周長(zhǎng)相同的一切矩形中，年左右），他指出：在周長(zhǎng)相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)微積分微積分的建立給出了求函數(shù)極的建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對(duì)最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的值的一些準(zhǔn)則，對(duì)最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個(gè)世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化兩個(gè)世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展緩慢，主要考慮了有約束條件

7、的最優(yōu)化問(wèn)題，發(fā)展了問(wèn)題，發(fā)展了變分法變分法。 直到本世紀(jì)直到本世紀(jì)4040年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)，并使優(yōu)化，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭(zhēng)中的實(shí)際問(wèn)題，例如轟炸機(jī)最佳俯沖軌跡的設(shè)技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭(zhēng)中的實(shí)際問(wèn)題，例如轟炸機(jī)最佳俯沖軌跡的設(shè)計(jì)等。計(jì)等。 50 50年代末年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來(lái)求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要

8、內(nèi)容。的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。 近十幾年來(lái)，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、近十幾年來(lái)，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車(chē)、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車(chē)、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機(jī)械設(shè)計(jì)方電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說(shuō)來(lái)，面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于工程設(shè)計(jì)問(wèn)題，所涉及的因素愈多，問(wèn)題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計(jì)

9、結(jié)對(duì)于工程設(shè)計(jì)問(wèn)題，所涉及的因素愈多，問(wèn)題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果所取得的效益就愈大。果所取得的效益就愈大。 最優(yōu)化設(shè)計(jì)是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，是最優(yōu)化設(shè)計(jì)是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，是6 6O O年代初電年代初電子計(jì)算機(jī)引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計(jì)方法。利用這子計(jì)算機(jī)引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計(jì)方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計(jì)周期大大縮短，計(jì)算精度顯著提高，而且可以解決種方法，不僅使設(shè)計(jì)周期大大縮短，計(jì)算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。大型電子計(jì)算傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。大型電子

10、計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。l第一階段第一階段人類(lèi)智能優(yōu)化人類(lèi)智能優(yōu)化：與人類(lèi)史同步，直接憑借人類(lèi)的直覺(jué)：與人類(lèi)史同步，直接憑借人類(lèi)的直覺(jué)或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等?；蜻壿嬎季S，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。l第二階段第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)推動(dòng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來(lái)得到迅速發(fā)展。電子計(jì)算機(jī)

11、的出現(xiàn)推動(dòng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來(lái)得到迅速發(fā)展。l第三階段第三階段工程優(yōu)化工程優(yōu)化：近二十余年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)：近二十余年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問(wèn)題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_(kāi)發(fā)了一些工程雜工程優(yōu)化問(wèn)題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_(kāi)發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問(wèn)題。在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問(wèn)題中，基于經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的方法得到了更多在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問(wèn)題中，基于經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過(guò)程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，的應(yīng)用。優(yōu)化過(guò)程和方法學(xué)研究

12、，尤其是建模策略研究引起重視，開(kāi)辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。開(kāi)辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。l第四階段第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、如遺傳算法、 模擬退火算法、模擬退火算法、 蟻群算蟻群算法、法、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專(zhuān)家系統(tǒng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動(dòng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專(zhuān)家系統(tǒng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動(dòng)選擇和優(yōu)化過(guò)程的自動(dòng)控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。選擇和優(yōu)化過(guò)程的自動(dòng)控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例 美國(guó)波音飛機(jī)公司對(duì)大型機(jī)翼用美國(guó)波音飛機(jī)公司對(duì)大型機(jī)翼用138138個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之

13、一；大型運(yùn)輸艦用重量減少了三分之一；大型運(yùn)輸艦用1010個(gè)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使成本個(gè)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使成本降低約降低約10%10%。 實(shí)踐證明，最優(yōu)化設(shè)計(jì)是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體實(shí)踐證明，最優(yōu)化設(shè)計(jì)是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計(jì)方法。同時(shí)也可使設(shè)計(jì)者從大量繁瑣積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計(jì)方法。同時(shí)也可使設(shè)計(jì)者從大量繁瑣和重復(fù)的計(jì)算工作中解脫出來(lái)，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，和重復(fù)的計(jì)算工作中解脫出來(lái)，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，并大大提高設(shè)計(jì)效率。并大大提高設(shè)計(jì)效率。 基礎(chǔ)：基礎(chǔ)：（1 1）最優(yōu)化數(shù)學(xué)理論最優(yōu)化數(shù)學(xué)理論 （2

14、2）現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)）現(xiàn)代計(jì)算技術(shù) 內(nèi)容：（內(nèi)容：（1 1）將工程實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化（建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型）；將工程實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化（建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型）； （2 2）用最優(yōu)化計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型。）用最優(yōu)化計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型。 主要目的和任務(wù)： (1) (1) 了解和基本掌握機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識(shí)；了解和基本掌握機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識(shí)； (2) (2) 擴(kuò)大視野，并初步具有應(yīng)用機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本理論和擴(kuò)大視野，并初步具有應(yīng)用機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本理論和基本方法解決簡(jiǎn)單工程實(shí)際問(wèn)題的素質(zhì)?；痉椒ń鉀Q簡(jiǎn)單工程實(shí)際問(wèn)題的素質(zhì)。3. 本課程的任務(wù)本課程的任務(wù) 優(yōu)化設(shè)計(jì)就是借助最優(yōu)化數(shù)值計(jì)

15、算方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)，優(yōu)化設(shè)計(jì)就是借助最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)，求取工程問(wèn)題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。求取工程問(wèn)題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。 優(yōu)化設(shè)計(jì)包括：優(yōu)化設(shè)計(jì)包括： （1 1）必須將實(shí)際問(wèn)題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型；）必須將實(shí)際問(wèn)題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型； （2 2）選用適當(dāng)?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計(jì)算程序運(yùn)算）選用適當(dāng)?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計(jì)算程序運(yùn)算求解。求解。 已知：制造一體積為已知：制造一體積為100100m m3 3，長(zhǎng)度不小于長(zhǎng)度不小于5 5m m，不帶上不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長(zhǎng)蓋的箱盒，試確定箱盒的長(zhǎng)x x1 1，寬寬x x2 2，高高x x3 3，使箱盒用料使箱盒用料最省。最省

16、。 分析：分析： （1 1）箱盒的表面積的表達(dá)式；）箱盒的表面積的表達(dá)式； （2 2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：長(zhǎng)）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：長(zhǎng)x x1 1，寬寬x x2 2，高高x x3 3 ； （3 3）設(shè)計(jì)約束條件：）設(shè)計(jì)約束條件： （a a）體積要求；）體積要求； （b b）長(zhǎng)度要求；）長(zhǎng)度要求；x1x2x3123,x x x122313min2()Sx xx xx x123123500100 xxxx x x設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：約束條件： 某工廠生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)A 和和B 兩種產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品，A 產(chǎn)品單位價(jià)格為產(chǎn)品單位價(jià)格為PA 萬(wàn)元，萬(wàn)元， B 產(chǎn)品單位價(jià)格為產(chǎn)品單位價(jià)格為PB

17、 萬(wàn)元。每生產(chǎn)一個(gè)單位萬(wàn)元。每生產(chǎn)一個(gè)單位A 產(chǎn)品需消耗煤產(chǎn)品需消耗煤aC 噸，噸，電電aE 度，人工度，人工aL 個(gè)人日；每生產(chǎn)一個(gè)單位個(gè)人日；每生產(chǎn)一個(gè)單位B 產(chǎn)品需消耗煤產(chǎn)品需消耗煤bC 噸，噸，電電bE 度，人工度，人工bL 個(gè)人日。現(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤個(gè)人日?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤C 噸，電噸，電E 度，度，勞動(dòng)力勞動(dòng)力L 個(gè)人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。個(gè)人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。 分析：分析： （1）產(chǎn)值的表達(dá)式；）產(chǎn)值的表達(dá)式； （2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：）設(shè)計(jì)參數(shù)確定： A 產(chǎn)品產(chǎn)品xA， B 產(chǎn)品產(chǎn)品xB ； （3）設(shè)計(jì)約束條件：）設(shè)計(jì)約束條件： （a）生產(chǎn)

18、資源煤約束；）生產(chǎn)資源煤約束； （b）生產(chǎn)資源電約束；）生產(chǎn)資源電約束； （c）生產(chǎn)資源勞動(dòng)力約束；）生產(chǎn)資源勞動(dòng)力約束；,ABxxmaxAABBPP xP xCACBEAEBLALBa xb xCa xb xEa xb xL設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：約束條件： 已知：傳動(dòng)比已知：傳動(dòng)比i, 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n, 傳動(dòng)功率傳動(dòng)功率P，大小齒輪的材料，設(shè)計(jì)該，大小齒輪的材料，設(shè)計(jì)該齒輪副，使其重量最輕。齒輪副，使其重量最輕。 分析：分析： （1）圓柱齒輪的體積）圓柱齒輪的體積(v)與重量與重量(w)的表達(dá)；的表達(dá)； （2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：模數(shù)（）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：模數(shù)（m），齒寬（），

19、齒寬（b），齒數(shù)（），齒數(shù)（z1）；）； （3）設(shè)計(jì)約束條件：）設(shè)計(jì)約束條件： （a）大齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求；）大齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求； （b）小齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求；）小齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求； （c）齒輪副滿足接觸疲勞強(qiáng)度要求；）齒輪副滿足接觸疲勞強(qiáng)度要求； （d）齒寬系數(shù)要求；）齒寬系數(shù)要求； （e）最小齒數(shù)要求。）最小齒數(shù)要求。1, ,m z b2211min()() 4Wb mzmiz1122111 0 0 01.20170FFFFHHbmzz設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：約束條件： 一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來(lái)表示，這些基本參一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參

20、數(shù)的數(shù)值來(lái)表示，這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可以是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)數(shù)可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可以是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量。力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量。 在設(shè)計(jì)過(guò)程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立的基本參數(shù)，在設(shè)計(jì)過(guò)程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立的基本參數(shù)，稱(chēng)作設(shè)計(jì)變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。稱(chēng)作設(shè)計(jì)變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物

21、理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。 設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示。設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱(chēng)為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如變量的數(shù)目稱(chēng)為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱(chēng)為個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱(chēng)為n維設(shè)計(jì)問(wèn)維設(shè)計(jì)問(wèn)題。題。 1212 ,Tnnxxx xxxx 由由n n個(gè)設(shè)計(jì)變量個(gè)設(shè)計(jì)變量 為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱(chēng)作為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱(chēng)作。一個(gè)。一個(gè)“設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)”，可用設(shè)計(jì)空間中的一點(diǎn)表示。，可用設(shè)計(jì)空間中的一點(diǎn)表示。12,nxxx 設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱(chēng)為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱(chēng)為優(yōu)化設(shè)計(jì)

22、的維數(shù)，如n n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱(chēng)為個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱(chēng)為n n維設(shè)計(jì)問(wèn)題。維設(shè)計(jì)問(wèn)題。 按照產(chǎn)品設(shè)計(jì)變量的取值特點(diǎn)，按照產(chǎn)品設(shè)計(jì)變量的取值特點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量可分為可分為連續(xù)變量連續(xù)變量（例如軸（例如軸徑、輪廓尺寸等）和徑、輪廓尺寸等）和離散變量離散變量（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。 圖1-1 設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間（a a）二維設(shè)計(jì)問(wèn)題二維設(shè)計(jì)問(wèn)題 （b b）三維設(shè)計(jì)問(wèn)題三維設(shè)計(jì)問(wèn)題 只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖1-11-1（a a）所示的平面所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖直角坐

23、標(biāo)表示；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖1-11-1（b b）所所表示的空間直角坐標(biāo)表示。表示的空間直角坐標(biāo)表示。 設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。復(fù)雜。 小型設(shè)計(jì)問(wèn)題：小型設(shè)計(jì)問(wèn)題：一般含有一般含有210210個(gè)設(shè)計(jì)變量；個(gè)設(shè)計(jì)變量； 中型設(shè)計(jì)問(wèn)題：中型設(shè)計(jì)問(wèn)題：10501050個(gè)設(shè)計(jì)變量；個(gè)設(shè)計(jì)變量； 大型設(shè)計(jì)問(wèn)題：大型設(shè)計(jì)問(wèn)題：5050個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量。個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量。 目

24、前已能解決目前已能解決200200個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。如何選定設(shè)計(jì)變量如何選定設(shè)計(jì)變量？ 任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過(guò)大。所以設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：過(guò)大。所以設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1 1）抓主要，舍次要。）抓主要，舍次要。 對(duì)產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響小的可先根對(duì)產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響

25、小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2 2）根據(jù)要解決設(shè)計(jì)問(wèn)題的特殊性來(lái)選擇設(shè)計(jì)變量。）根據(jù)要解決設(shè)計(jì)問(wèn)題的特殊性來(lái)選擇設(shè)計(jì)變量。 例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計(jì)變量有例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計(jì)變量有4 4個(gè)，即鋼絲直徑個(gè)，即鋼絲直徑d d，彈簧彈簧中徑中徑D D，工作圈數(shù)工作圈數(shù)n n和自由高度和自由高度H H。在設(shè)計(jì)中，將材料的許用剪切應(yīng)力在設(shè)計(jì)中，將材料的許用剪切應(yīng)力 和和剪切模量剪切模量等作為設(shè)計(jì)常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計(jì)彈簧，則可把彈簧等作為設(shè)計(jì)常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計(jì)彈簧，則可把彈簧中徑中徑D D作為設(shè)計(jì)常量。作為設(shè)

26、計(jì)常量。 設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對(duì)它提出的要求，就稱(chēng)為可行設(shè)所不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對(duì)它提出的要求，就稱(chēng)為可行設(shè)計(jì)。計(jì)。 一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱(chēng)作約一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱(chēng)作約束條件，簡(jiǎn)稱(chēng)約束。束條件，簡(jiǎn)稱(chēng)約束。 約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類(lèi)型：類(lèi)型：(1)(1)等式約束等式約束(2)(2)不等式約束不等式約束( )0hx( )0g

27、x顯式約束顯式約束 隱式約束隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式 , ,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過(guò)有限元等方法計(jì)算求得。（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過(guò)有限元等方法計(jì)算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束性能約束針對(duì)性能要求而提出的限制條件稱(chēng)作性能約束。例如，選針對(duì)性能要求而提出的限制條件稱(chēng)作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛

28、度或穩(wěn)定性等要求擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束邊界約束只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱(chēng)作只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱(chēng)作邊界邊界約束。約束。例如，允許例如，允許機(jī)床主軸機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對(duì)選擇的尺寸范圍，對(duì)軸段長(zhǎng)度軸段長(zhǎng)度的限定范圍就屬于的限定范圍就屬于邊邊界界約束。約束。圖圖1-2 設(shè)計(jì)空間中的約束面（或約束線）設(shè)計(jì)空間中的約束面（或約束線） ( (a)a)二變量設(shè)計(jì)空間中的約束線二變量設(shè)計(jì)空間中的約束線 ( (b) b) 三變量設(shè)計(jì)空間中的約束面三變量設(shè)計(jì)空間中的約束面 如圖如圖1-41-4上畫(huà)出了滿足兩項(xiàng)約束條件上畫(huà)出了滿足兩項(xiàng)約束條件

29、g g1 1(X)=x(X)=x1 12 2x x2 22 216 O16 O和和g g2 2(X)(X)2X2X2 200的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題的可行域的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題的可行域D D，它位于它位于X X2 2=2=2的上面和圓的上面和圓 x x1 12 2x x2 22 2=16=16的圓弧的圓弧ABCABC下面并包括線段下面并包括線段ACAC和圓弧和圓弧ABCABC在內(nèi)。在內(nèi)。圖圖1-3 約束條件規(guī)定的可行域約束條件規(guī)定的可行域D 在設(shè)計(jì)空間中，滿足在設(shè)計(jì)空間中，滿足所有約束條件的所有約束條件的所構(gòu)成的空間所構(gòu)成的空間 。 在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)設(shè)計(jì)變量的不斷向在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)設(shè)計(jì)變量的不斷向F F(

30、 (X X) )值改善的方向自動(dòng)調(diào)值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得整，最后求得F F( (X X) )值最好或最滿意的值最好或最滿意的X X值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量，所有的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量，所有的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束函數(shù)中。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：函數(shù)中。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。最高、振幅或噪聲最小、成本

31、最低、耗能最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。 12( )()nF xF xxx， ， 為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)，以它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)F(X)表示。表示。 在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱(chēng)為單目標(biāo)函數(shù)。在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱(chēng)為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱(chēng)為多目標(biāo)函數(shù)的最當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱(chēng)為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。在一般的

32、機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問(wèn)題的求解亦愈復(fù)雜。函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問(wèn)題的求解亦愈復(fù)雜。 在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。 ()Fcx 目標(biāo)函數(shù)是目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描維空間中描述出來(lái)。為了在述出來(lái)。為了在n維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)維設(shè)計(jì)空間中

33、反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。函數(shù)等值面的方法。 目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為：目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為： c為一系列常數(shù)，代表一族為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中，維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中，F(xiàn)(x1,x2)=c 代表代表x-x設(shè)計(jì)平面上的一族曲線。設(shè)計(jì)平面上的一族曲線。 對(duì)于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面稱(chēng)為對(duì)于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面稱(chēng)為等等值線值線或或等值面等值面。圖圖1-4 等值線等值線 圖圖1-51-5表示目標(biāo)函數(shù)表示目標(biāo)函數(shù)f f（X X）與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量x x1 1，x

34、 x2 2階所構(gòu)成的關(guān)系階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時(shí)，等值線愈稀疏說(shuō)明目值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時(shí)，等值線愈稀疏說(shuō)明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出標(biāo)函

35、數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。 從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中F F=40=40的的等值線就是使等值線就是使F(xF(x1 1,x,x2 2)=40)=40的各點(diǎn)的各點(diǎn) x x1 1,x,x2 2 T T所組成的連線。所組成的連線。 如圖函數(shù)如圖函數(shù) 的等值線圖。的等值線圖。2212121212(,)60104F xxxxxxx x圖圖1-5 等值線等值線滿足約束條件滿足約束條件 ：12,TnXx xx()minF X()0(1,2, )khXkl()0(1,2

36、,)jgXjm12min()(),. .()01,2,()01,2,nnjkF XF xxxXRst gXjmh Xkl， ， ，求設(shè)計(jì)變量向量求設(shè)計(jì)變量向量使目標(biāo)函數(shù)使目標(biāo)函數(shù) 對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，要建立能反映客觀工程實(shí)際的、完善的數(shù)學(xué)模對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，要建立能反映客觀工程實(shí)際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會(huì)遇到很多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。這時(shí)要抓住關(guān)鍵型往往會(huì)遇到很多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。這時(shí)要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問(wèn)題合理簡(jiǎn)化，以易于列出數(shù)學(xué)模因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問(wèn)題合理簡(jiǎn)化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時(shí)間，有時(shí)也會(huì)改善優(yōu)化結(jié)果。型，這樣不僅可節(jié)省時(shí)間

37、，有時(shí)也會(huì)改善優(yōu)化結(jié)果。 最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值時(shí)，則可看成是求數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值時(shí)，則可看成是求- -F F（X X）的的最小值，因?yàn)樽钚≈担驗(yàn)閙inmin-F-F（X X）與與maxFmaxF（X X）是等價(jià)的。當(dāng)然，也可是等價(jià)的。當(dāng)然，也可看成是求看成是求1 1F F（X X）的極小值。的極小值。1）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專(zhuān)業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)優(yōu)化對(duì)）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專(zhuān)業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行分析。必要時(shí)，需要對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中的公式進(jìn)行改進(jìn)，

38、并盡可以象進(jìn)行分析。必要時(shí)，需要對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中的公式進(jìn)行改進(jìn)，并盡可以反映該專(zhuān)業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。反映該專(zhuān)業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。2）對(duì)結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)常數(shù)和設(shè)）對(duì)結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)常數(shù)和設(shè)計(jì)變量。計(jì)變量。3）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時(shí)要）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時(shí)要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4）必要時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項(xiàng)間由于量綱不同）必要時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項(xiàng)間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響

39、。由兩根空心圓桿組成對(duì)稱(chēng)的兩桿桁架，其頂點(diǎn)承受負(fù)載為由兩根空心圓桿組成對(duì)稱(chēng)的兩桿桁架，其頂點(diǎn)承受負(fù)載為2p，兩支座之間的水平距離為兩支座之間的水平距離為2L，圓桿的壁厚為圓桿的壁厚為B，桿的比重為桿的比重為，彈彈性模量為性模量為E，屈服強(qiáng)度為屈服強(qiáng)度為 。求在桁架不被破壞的情況下使桁架求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度重量最輕的桁架高度h及圓桿平均直徑及圓桿平均直徑d。p21p2pp2hL2 受力分析圖圓桿截面圖BhL2桁桿示意圖d解：桁桿的截面積為解：桁桿的截面積為 ：dBS222hLdBWhhLppp221cosdhBhLsp2211dhBhLp22222228hLBdE08

40、2222222dhBhLphLBdE 由此得穩(wěn)定約束：由此得穩(wěn)定約束：圓桿中應(yīng)力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。由材料力學(xué)知：壓桿穩(wěn)圓桿中應(yīng)力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。由材料力學(xué)知：壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力為定的臨界應(yīng)力為此應(yīng)力要求小于材料的屈服極限，即：此應(yīng)力要求小于材料的屈服極限，即： 于是桿截面的應(yīng)力為：于是桿截面的應(yīng)力為： 負(fù)載負(fù)載2p在每個(gè)桿上的分力為：在每個(gè)桿上的分力為： 桁桿的總重量為：桁桿的總重量為： 另外還要考慮到設(shè)計(jì)變量另外還要考慮到設(shè)計(jì)變量d和和h有界。有界。 從而得到兩桿桁架最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：從而得到兩桿桁架最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：22222222222maxminmax

41、minmin2. .008dB Lhp LhstdhBE dBp LhdhBLhdddhhh 以最低成本確定滿足動(dòng)物所需營(yíng)養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混以最低成本確定滿足動(dòng)物所需營(yíng)養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批量為合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過(guò)而不超過(guò)1.2%的的鈣鈣;至少至少22%的蛋白質(zhì)的蛋白質(zhì);至多至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營(yíng)養(yǎng)成分為：谷物、大豆粉。這些配料的主要營(yíng)養(yǎng)成分為：1231231231232323123min0.01640.04630.1

42、250. .1000.3800.0010.0020.012 1000.3800.0010.0020.008 1000.090.500.22 1000.020.080.05 100000Zxxxstxxxxxxxxxxxxxxxx解解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下:設(shè)設(shè) 是生產(chǎn)是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。粉的量（磅）。321xxx對(duì)于最優(yōu)化問(wèn)題一般可作如下分類(lèi)：對(duì)于最優(yōu)化問(wèn)題一般可作如下分類(lèi)：還有其它的一些劃分方法：還有其它的一些劃分方法： 如按設(shè)計(jì)變量的性質(zhì)分：連續(xù)

43、變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問(wèn)題；如按設(shè)計(jì)變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問(wèn)題； 二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等。二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等。約束無(wú)約束動(dòng)態(tài)問(wèn)題非線性規(guī)劃線性規(guī)劃約束問(wèn)題維問(wèn)題一維問(wèn)題非線性問(wèn)題線性問(wèn)題無(wú)約束問(wèn)題靜態(tài)問(wèn)題最優(yōu)化問(wèn)題n2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx例例1：如下二維非線性規(guī)劃問(wèn)題：如下二維非線性規(guī)劃問(wèn)題 通過(guò)二維優(yōu)化問(wèn)題的幾何求解來(lái)直觀地描述優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思通過(guò)二維優(yōu)化問(wèn)題的幾何求解來(lái)直觀地描述優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想。想。22121112221231

44、42min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx 目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)（目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)（2，0）為圓心的一組同心圓。）為圓心的一組同心圓。 如不考慮約束，本例的無(wú)約束最優(yōu)解是：如不考慮約束，本例的無(wú)約束最優(yōu)解是：*(2,0)x，*()0Fx約束方程所圍成的可行域是約束方程所圍成的可行域是D。01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=0.58, 1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0221212min21. .50 s txxxxl由圖易見(jiàn)約束直線與等值線的切點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)，利用解析幾何的方法得由圖

45、易見(jiàn)約束直線與等值線的切點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)，利用解析幾何的方法得該切點(diǎn)為該切點(diǎn)為 ， 對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值為對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值為 l (見(jiàn)圖）見(jiàn)圖）*3,2TX2fXx2x12f 1f Ol解：先畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫(huà)出約束曲線，本處約束曲線是一條解：先畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫(huà)出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點(diǎn)就是容許集上使等值線具有最小直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點(diǎn)就是容許集上使等值線具有最小值的點(diǎn)。值的點(diǎn)。122122122122m in21.5050,0 xxs txxxxxxxl解：先畫(huà)出等式約束曲線解：先畫(huà)出等式約束曲線 的圖形。的圖形。 這是一條拋這是一條拋物線，如圖

46、物線，如圖052221xxxl再畫(huà)出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）再畫(huà)出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）l最后畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點(diǎn)，最后畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點(diǎn)，x1x2123456135ABCD 以及等值線與可行集的切點(diǎn)，易見(jiàn)可行域?yàn)橐约暗戎稻€與可行集的切點(diǎn)，易見(jiàn)可行域?yàn)榍€段曲線段ABCD。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿拋物曲線段當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿拋物曲線段ABCD由由A點(diǎn)出發(fā)時(shí)，點(diǎn)出發(fā)時(shí)，AB段目標(biāo)函數(shù)值下降。過(guò)點(diǎn)段目標(biāo)函數(shù)值下降。過(guò)點(diǎn)B后，后，在在BC段目標(biāo)函數(shù)值上升。過(guò)段目標(biāo)函數(shù)值上升。過(guò)C點(diǎn)后，在點(diǎn)后，在CD段段目標(biāo)函數(shù)值再次下降。目標(biāo)函數(shù)值再次下降。D點(diǎn)是使目標(biāo)函數(shù)

47、值最點(diǎn)是使目標(biāo)函數(shù)值最小的可行點(diǎn)，其坐標(biāo)可通過(guò)解方程組：小的可行點(diǎn)，其坐標(biāo)可通過(guò)解方程組：2122125050 xxxxx( 4 1 )TX，4fXl得出：得出：x1x2123456135ABCDl 由以上三個(gè)例子可見(jiàn)，對(duì)二維最優(yōu)化問(wèn)題。我們總可由以上三個(gè)例子可見(jiàn)，對(duì)二維最優(yōu)化問(wèn)題。我們總可以用圖解法求解，而對(duì)三維或高維問(wèn)題，已不便在平面以用圖解法求解，而對(duì)三維或高維問(wèn)題，已不便在平面上作圖，此法失效。上作圖，此法失效。l 在三維和三維以上的空間中，使目標(biāo)函數(shù)取同一常數(shù)在三維和三維以上的空間中，使目標(biāo)函數(shù)取同一常數(shù)值的是值的是 X| f(X)=C, C是常數(shù)是常數(shù)稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)的等值面。稱(chēng)為目標(biāo)

48、函數(shù)的等值面。l等值面具有以下性質(zhì)：等值面具有以下性質(zhì)：l（1）不同值的等值面之間不相交，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是單值）不同值的等值面之間不相交，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是單值函數(shù)；函數(shù)；l（2）等值面稠的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化得較快，而稀疏）等值面稠的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；的地方變化得比較慢；l（3）一般地，在極值點(diǎn)附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)）一般地，在極值點(diǎn)附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。為同心橢球面族（橢圓族）。求解優(yōu)化問(wèn)題的基本解法有：求解優(yōu)化問(wèn)題的基本解法有： 即利用數(shù)學(xué)分析即利用數(shù)學(xué)分析( (微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)微分、變分等）的方法，根據(jù)函

49、數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方求解方法法 。在目標(biāo)函數(shù)比較簡(jiǎn)單時(shí)，求解還可以。在目標(biāo)函數(shù)比較簡(jiǎn)單時(shí)，求解還可以。 局限性：局限性：工程優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有工程優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時(shí)甚至還無(wú)法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就時(shí)甚至還無(wú)法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會(huì)帶來(lái)麻煩。會(huì)帶來(lái)麻煩。 最優(yōu)化方法是與近代電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計(jì)算法最優(yōu)化方法是與近代電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計(jì)算法比解析法更能適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)值計(jì)算的迭代方法具比解析法更能適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)值計(jì)算的迭代方法具有以下特點(diǎn)：有以下特點(diǎn)： 1 1）是數(shù)值計(jì)算而不是數(shù)學(xué)分析方法；）是數(shù)值計(jì)算而不是數(shù)學(xué)分析方法； 2 2）具有簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計(jì)算；）具有簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計(jì)算； 3 3）最后得出的是逼近精確解的近似解。）最