概率第1、2章

1、概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程課程名稱課程名稱概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程計(jì)劃學(xué)時(shí)計(jì)劃學(xué)時(shí)32學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)作業(yè)要求作業(yè)要求用大張的用大張的A4白紙書寫，姓白紙書寫，姓名、班級(jí)和序號(hào)寫在最上方名、班級(jí)和序號(hào)寫在最上方章次內(nèi)容講課時(shí)數(shù)習(xí)題講評(píng)或測(cè)驗(yàn)第一章隨機(jī)事件 20第二章事件的概率 21第三章條件概率與事件的獨(dú)立性 31第四章隨機(jī)變量及其分布 51第五章二維隨機(jī)變量及其分布 41第六章隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布 31第七章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 51總復(fù)習(xí)30 概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的學(xué)科規(guī)律的學(xué)科, , 理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，發(fā)展迅速理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，發(fā)展迅速. .

2、不僅高等學(xué)不僅高等學(xué)校各專業(yè)都開設(shè)了本課程校各專業(yè)都開設(shè)了本課程, ,而且在上世紀(jì)末，而且在上世紀(jì)末，此課程特意被教育部定為本科生考研的數(shù)學(xué)課此課程特意被教育部定為本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一。程之一。前前言言 概率統(tǒng)計(jì)可分為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，概概率統(tǒng)計(jì)可分為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，概率論嚴(yán)格地演繹研究大量隨機(jī)現(xiàn)象地?cái)?shù)量關(guān)系，率論嚴(yán)格地演繹研究大量隨機(jī)現(xiàn)象地?cái)?shù)量關(guān)系，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)則側(cè)重于歸納方法。它們的共同點(diǎn)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)則側(cè)重于歸納方法。它們的共同點(diǎn)都是研究隨機(jī)現(xiàn)象地統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。都是研究隨機(jī)現(xiàn)象地統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率論在物概率論在物理、化學(xué)、生物、生態(tài)、天文、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)等理、化學(xué)、生物、生態(tài)、天文、地質(zhì)、醫(yī)

3、學(xué)等學(xué)科中，在控制論、信息論、電子技術(shù)、預(yù)報(bào)、學(xué)科中，在控制論、信息論、電子技術(shù)、預(yù)報(bào)、運(yùn)籌等工程技術(shù)中的應(yīng)用都非常廣泛。運(yùn)籌等工程技術(shù)中的應(yīng)用都非常廣泛。 本學(xué)科的應(yīng)用本學(xué)科的應(yīng)用法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)說(shuō)說(shuō): “ 生活中最重要的問(wèn)題生活中最重要的問(wèn)題 , 其中絕大其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問(wèn)題多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問(wèn)題.”英國(guó)的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯曾英國(guó)的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯曾對(duì)對(duì)概率論概率論大加贊美：大加贊美：“ 概率論是生活真正概率論是生活真正的領(lǐng)路人的領(lǐng)路人, 如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì)如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì), 那那么我們就寸步難行么我們就寸

4、步難行, 無(wú)所作為無(wú)所作為.第一章第一章 隨機(jī)事件隨機(jī)事件第一節(jié)第一節(jié) 樣本空間和隨機(jī)事件樣本空間和隨機(jī)事件n 重點(diǎn)重點(diǎn) 1 1、隨機(jī)事件、隨機(jī)事件2 2、樣本空間、樣本空間 一般的，稱具有以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)為一般的，稱具有以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)：u 試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行u 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已知的或者是可以確定的。試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已知的或者是可以確定的。u每次試驗(yàn)將會(huì)發(fā)生什么結(jié)果是事先無(wú)法預(yù)知的。每次試驗(yàn)將會(huì)發(fā)生什么結(jié)果是事先無(wú)法預(yù)知的。實(shí)例拋一枚硬幣拋一枚硬幣,觀察正面或反面向上觀察正面或反面向上在一條生產(chǎn)線上，檢測(cè)在在一條生產(chǎn)線上，

5、檢測(cè)在24小時(shí)內(nèi)產(chǎn)出次品的數(shù)目小時(shí)內(nèi)產(chǎn)出次品的數(shù)目 向一目標(biāo)射擊，直至擊中為止，記錄射擊的次數(shù)向一目標(biāo)射擊，直至擊中為止，記錄射擊的次數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100 沸騰。沸騰。三角形中，任意兩邊之和一定大于第三邊。三角形中，任意兩邊之和一定大于第三邊。Cn 在隨機(jī)試驗(yàn)中，產(chǎn)生的各種結(jié)果叫做在隨機(jī)試驗(yàn)中，產(chǎn)生的各種結(jié)果叫做隨機(jī)事件隨機(jī)事件(random Events )，簡(jiǎn)稱事件（，簡(jiǎn)稱事件（Events) n 隨機(jī)事件通常用大寫英文字母、等表示隨機(jī)事件通常用大寫英文字母、等表示例： 投擲一個(gè)骰子，觀察其朝上的點(diǎn)數(shù)。投擲一個(gè)骰子，觀察其朝上的點(diǎn)數(shù)。 都是隨機(jī)事件。

6、都是隨機(jī)事件。A朝上的點(diǎn)數(shù)為朝上的點(diǎn)數(shù)為2B朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)C朝上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)朝上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4 如觀察馬路交叉口可能遇上的各種顏色交通燈，如觀察馬路交叉口可能遇上的各種顏色交通燈，這是隨機(jī)試驗(yàn)，而這是隨機(jī)試驗(yàn)，而“遇上紅燈遇上紅燈”則是一個(gè)隨機(jī)事件。則是一個(gè)隨機(jī)事件。 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為這個(gè)試驗(yàn)的一隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)個(gè) 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) ，記作，記作 全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，記作記作樣本空間是試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集樣本空間是試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合合. 樣本點(diǎn)與樣

7、本空間樣本點(diǎn)與樣本空間n樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) Sample Pointn 樣本空間樣本空間 Sample Space=|0 寫出下列事件的樣本空間寫出下列事件的樣本空間E4: 在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命E1: 射手向一目標(biāo)射擊，記錄射擊的次數(shù)射手向一目標(biāo)射擊，記錄射擊的次數(shù)E3: 擲一顆骰子，觀察向上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一顆骰子，觀察向上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)=1,2,=1,2,3,4,5,6 顯然，每次試驗(yàn)有且只有一個(gè)含在樣本空間中的顯然，每次試驗(yàn)有且只有一個(gè)含在樣本空間中的試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生。試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生。E2: 從四張撲克牌從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張任

8、意抽取兩張。=(J,Q),(J,K),(J,A),(Q,K),(Q,A),(K,A) 事件是由試驗(yàn)的某些可能結(jié)果構(gòu)成的，因此事件事件是由試驗(yàn)的某些可能結(jié)果構(gòu)成的，因此事件是樣本空間的子集。僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱是樣本空間的子集。僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為基本事件。為基本事件。 如前例：如前例： 投擲一個(gè)骰子，觀察其朝上的點(diǎn)數(shù)。投擲一個(gè)骰子，觀察其朝上的點(diǎn)數(shù)。記記 “出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為j”（j1,2,3,4,5,6）j則則16, A朝上的點(diǎn)數(shù)為朝上的點(diǎn)數(shù)為2B朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)C朝上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)朝上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)42A246,B 1234,C 必然事件必然事件Certai

9、nty Events “拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于6”n 例例 必然事件必然事件樣本空間本身也是事件,它包含了所有可能的試驗(yàn)結(jié)果，因此不論在哪一次試驗(yàn)它都發(fā)生，稱為必然事件。也將它記為。不可能事件不可能事件Impossible Event “拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”n 例例不可能事件不可能事件不包含任何樣本點(diǎn)的事件,記為 ,每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件.拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)例例 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)n 樣本空間樣本空間 （1，1），（），（1，2）,（1，3），（），（1，4），），（1，5），（

10、），（1，6），），.，（，（6，1），（），（6，2），），.，（，（6，6）拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A=點(diǎn)數(shù)之和等于點(diǎn)數(shù)之和等于3=（1 1，2 2），（），（2 2，1 1） B=B=點(diǎn)數(shù)之和大于點(diǎn)數(shù)之和大于1111=6=6，66C=C=點(diǎn)數(shù)之和不小于點(diǎn)數(shù)之和不小于22D=D=點(diǎn)數(shù)之和大于點(diǎn)數(shù)之和大于1212 = = =第二節(jié)第二節(jié) 事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算用簡(jiǎn)單事件表示復(fù)雜事件用簡(jiǎn)單事件表示復(fù)雜事件事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系與運(yùn)算事件的關(guān)系與運(yùn)算事件事件事件之間的關(guān)系與事件的運(yùn)算事件之間的關(guān)系與事件的運(yùn)算集合集合集合之間的關(guān)系與集

11、合的運(yùn)算集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算u 事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生 1、事件的包含、事件的包含ABBABA( (事件的樣本點(diǎn)都是事件的樣本點(diǎn)事件的樣本點(diǎn)都是事件的樣本點(diǎn)) )例如例如拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A=A=出現(xiàn)出現(xiàn)1 1點(diǎn)點(diǎn) B=B=出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn) 2、事件的相等事件的相等BAAB且A=BBAu 事件事件A A與事件與事件B B至少至少有一個(gè)發(fā)生有一個(gè)發(fā)生（或）（或）ABAB3、事件的并、事件的并(和和)121nniiAAAA=121niiAAAA=AB( 由事件由事件A A與事件與事件B B所有樣本點(diǎn)組成所有樣本點(diǎn)組成) )u

12、 多個(gè)事件的和多個(gè)事件的和4、事件的交、事件的交(積積)u 事件和事件事件和事件同時(shí)同時(shí)發(fā)生發(fā)生（都）（都）BAn1iin21AAAA1iin21AAAAu 多個(gè)事件的交多個(gè)事件的交( (由事件和事件公共的樣本點(diǎn)組成由事件和事件公共的樣本點(diǎn)組成) ) 5、事件的差、事件的差A(yù)Bu 事件事件A A發(fā)生且事件發(fā)生且事件B B不發(fā)生不發(fā)生（由事件（由事件A A的樣本點(diǎn)去掉事件的樣本點(diǎn)去掉事件B B的樣本點(diǎn)組成）的樣本點(diǎn)組成）ABAAB A 與B 互斥ABA、 B不可能同時(shí)發(fā)生（不含公共的樣本點(diǎn)）AB6. 事件的互斥(互不相容) A 與B 互相對(duì)立BAAB,AB注意：“A 與B 互相對(duì)立”與“A 與B

13、 互斥”是不同的概念7. 事件的對(duì)立AAAB 稱B 為A的對(duì)立事件(or補(bǔ)事件)，記為 ，可知A u 交換律交換律 ABBAABBAu 結(jié)合律結(jié)合律 ()()()A BC AB CA B CA BC AB CA B C u 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 對(duì)偶律對(duì)偶律 （德摩根律）（德摩根律）BAABBABA運(yùn)算律運(yùn)算律對(duì)應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算某射手向目標(biāo)射擊三次，用某射手向目標(biāo)射擊三次，用 表示第表示第 次次擊中目標(biāo)擊中目標(biāo)iAi試用試用 及其運(yùn)算符表示下列事件及其運(yùn)算符表示下列事件：1,2,3,i iA（1 1） 三次都擊中目標(biāo)：三次都擊中目標(biāo)： 123

14、A A A（2 2） 至少有一次擊中目標(biāo)：至少有一次擊中目標(biāo)： 123AAA（3 3）至少有一次沒(méi)有擊中目標(biāo)：）至少有一次沒(méi)有擊中目標(biāo)： 123123AAAA A A（4 4）三次都沒(méi)有擊中目標(biāo)：）三次都沒(méi)有擊中目標(biāo)： 123123A A AAAA例：復(fù)合事件的表示例：復(fù)合事件的表示,kkkkkkkkAAAA可推廣A,B,CA,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，為同一樣本空間的隨機(jī)事件，試用試用A A，B B，C C的運(yùn)算表示下列事件的運(yùn)算表示下列事件1 1） A A，B B，C C 都不發(fā)生都不發(fā)生2 2） A A與與B B發(fā)生，發(fā)生，C C不發(fā)生不發(fā)生3 3） A A，B B，C C 至少有

15、一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生4 4） 事件事件3 3）的對(duì)立事件）的對(duì)立事件作業(yè) P5 習(xí)題一 2、 3、 4（1）（2）（3）（4） 5（1）（2）（3）（4）第二章第二章 事件的概率事件的概率排列組合有關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)排列組合有關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)加法原理：完成一件事情有n 類方法，第 i 類方法中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 個(gè)步驟，第 i 個(gè)步驟中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法121ninimmmm121ninimmmm排列排列 從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè) (不放 回地）按一定的次序排成一排,不同的 排法共有全排列全排列

16、(1)(2)(1)mnAn nnnm(1)(2)2 1!nnAn nnn !nnm種。mn可重復(fù)排列可重復(fù)排列 從 n 個(gè)不同的元素中可重復(fù)地 取出 m 個(gè)排成一排, 不同的排法有!()!(1)(2)(1)!mnnCm nmn nnnmm組合組合 從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè)(不放 回地）組成一組， 不同的組合數(shù)記為mnnCm或!mmnnAC m例例1 10人中有人中有6人是男性，問(wèn)組成人是男性，問(wèn)組成4人組，三男一人組，三男一女的組合數(shù)。女的組合數(shù)。例例2 兩線段兩線段MN和和PQ不相交，線段不相交，線段MN上有上有6個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，線段，線段PQ上有上有7 個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 。若將每一個(gè)若將每一

17、個(gè) 和每一個(gè)和每一個(gè) 連成不作延長(zhǎng)的線段連成不作延長(zhǎng)的線段 ,則由這些線段則由這些線段 相交而得到的交點(diǎn)最多有相交而得到的交點(diǎn)最多有A 315個(gè)個(gè) B 316個(gè)個(gè) C 317個(gè)個(gè) D 318個(gè)個(gè)126,A AA127,B BBijABijABjBiAA例例3：3封不同的信，有封不同的信，有4個(gè)信箱可供投遞，共有多少個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？種投信的方法？ 343164C C第一節(jié)第一節(jié) 概率的概念概率的概念歷史上概率的三次定義歷史上概率的三次定義 公理化定義 統(tǒng)計(jì)定義 古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出設(shè)在 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生了

18、m 次， 頻率頻率nmfn則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率頻率 大量試驗(yàn)表明，在多次重復(fù)試驗(yàn)中，同一事大量試驗(yàn)表明，在多次重復(fù)試驗(yàn)中，同一事件發(fā)生的頻率盡管不一定相同，然而卻在某一固定件發(fā)生的頻率盡管不一定相同，然而卻在某一固定的常數(shù)附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)出相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。隨著試的常數(shù)附近擺動(dòng)，呈現(xiàn)出相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，這種現(xiàn)象越顯著，我們把這種驗(yàn)次數(shù)的增加，這種現(xiàn)象越顯著，我們把這種“頻頻率穩(wěn)定性率穩(wěn)定性”稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。如歷史上，蒲豐、皮稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。如歷史上，蒲豐、皮爾遜等先后做過(guò)拋擲硬幣的試驗(yàn)：爾遜等先后做過(guò)拋擲硬幣的試驗(yàn)：德.摩 根 試 驗(yàn) 者 拋 擲 次 數(shù)n 出現(xiàn)正面的次

19、數(shù)m 出現(xiàn)正面的頻率m/n 2048 1061 0.518 蒲 豐 4040 2048 0.5069 皮爾遜 12000 6019 0.5016 皮爾遜 24000 12012 0.5005 維 尼 0.4998 14994 30000 拋擲硬幣的試驗(yàn)拋擲硬幣的試驗(yàn)Experiment of tossing coinu歷史紀(jì)錄歷史紀(jì)錄 概率的概率的統(tǒng)計(jì)定義統(tǒng)計(jì)定義 在大量重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，則把這個(gè)數(shù)p稱為事件 A 的概率, 記作 P(A)p.對(duì)本定義的評(píng)價(jià)對(duì)本定義的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀 易懂缺點(diǎn)：粗糙 模糊不便使用 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，可以用事件當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大

20、時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻發(fā)生的頻率近似的代替事件率近似的代替事件A的概率。的概率。從頻率的性質(zhì)可知概率滿足：從頻率的性質(zhì)可知概率滿足： 1 0( )1;P A 21;P 12113,nnnkkkkA AAPAP A互斥，則第二節(jié)第二節(jié) 古典概型古典概型理解概率的古典定義，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的理解概率的古典定義，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的 古典概率古典概率設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)具有如下特征：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)具有如下特征：（1）試驗(yàn)的可能結(jié)果只有有限個(gè)；）試驗(yàn)的可能結(jié)果只有有限個(gè)；（2）各個(gè)可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的。）各個(gè)可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的。則稱此試驗(yàn)為古典（等可能）概型。則稱此試驗(yàn)為古典（等可能）概型。 概率的概率的古典定義古典定義

21、1 n21,2 nPPPn1)()()(21 設(shè)任一事件設(shè)任一事件A，它是由，它是由 組成的，組成的，則有則有m21, 12()()()mP A12()()()mPPPnm基本事件總數(shù)所包含的基本事件數(shù)A例例1 設(shè)有批量為設(shè)有批量為100的同型號(hào)產(chǎn)品，其中次品有的同型號(hào)產(chǎn)品，其中次品有30件?，F(xiàn)按以下兩種方式隨機(jī)抽取件。現(xiàn)按以下兩種方式隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品件產(chǎn)品（a）有放）有放回抽取，即先任意抽取一件，觀察后放回批中，再回抽取，即先任意抽取一件，觀察后放回批中，再?gòu)闹腥稳∫患?；（從中任取一件；（b）不放回抽取，即先任抽一件，）不放回抽取，即先任抽一件，抽后不放回，從剩下的產(chǎn)品中再任取一件。試分別抽

22、后不放回，從剩下的產(chǎn)品中再任取一件。試分別按這兩種抽樣方式求按這兩種抽樣方式求（1）兩件都是次品的概率；）兩件都是次品的概率；（2）第一件是次品，第二件是正品的概率。）第一件是次品，第二件是正品的概率。解解 本題為古典概型。記本題為古典概型。記A兩件都是次品兩件都是次品 B第第1件是次品，第二件是次品，第二 件是正品件是正品（a）30 309( )100 100100P A30 7021( )100 100100P B在方式（在方式（b）下，）下，30 2929( )100 99330P A30 707( )100 9933P B例例2 某城市電話號(hào)碼升位為六位數(shù)，且第一位某城市電話號(hào)碼升位為

23、六位數(shù)，且第一位為為6或或8，求，求（1）隨機(jī)抽取的一個(gè)電話號(hào)碼為不重復(fù)的六位）隨機(jī)抽取的一個(gè)電話號(hào)碼為不重復(fù)的六位數(shù)的概率；數(shù)的概率；（2）隨機(jī)抽取的電話號(hào)碼末位數(shù)是）隨機(jī)抽取的電話號(hào)碼末位數(shù)是8的概率。的概率。52 9 8 7 6 5( )0.15122 10P A 452 10( )0.12 10P B例例3 （女士品茶問(wèn)題）一位常飲牛奶加茶的女士稱：（女士品茶問(wèn)題）一位常飲牛奶加茶的女士稱：她能從一杯沖好的飲料中辨別出先放茶還是先放牛她能從一杯沖好的飲料中辨別出先放茶還是先放牛奶。并且她在奶。并且她在10次試驗(yàn)中都正確地辨別出來(lái)，問(wèn)該次試驗(yàn)中都正確地辨別出來(lái)，問(wèn)該女士的說(shuō)法是否可信？女

24、士的說(shuō)法是否可信？分析：判斷分析：判斷10試驗(yàn)中每一次她都猜對(duì)的可能性有試驗(yàn)中每一次她都猜對(duì)的可能性有多大，多大，A在在10次試驗(yàn)中都能猜出放置牛奶和茶的先后次試驗(yàn)中都能猜出放置牛奶和茶的先后次序次序每次試驗(yàn)的結(jié)果：先放牛奶后放茶；先放茶后放每次試驗(yàn)的結(jié)果：先放牛奶后放茶；先放茶后放牛奶。牛奶。 有兩種可能。有兩種可能。10次試驗(yàn)結(jié)果的可能性（樣本點(diǎn)總數(shù)）：次試驗(yàn)結(jié)果的可能性（樣本點(diǎn)總數(shù)）：10210次都猜對(duì)的概率為：次都猜對(duì)的概率為： 1010.00097662P A 該女士猜對(duì)的概率非常小，所以她的說(shuō)法是該女士猜對(duì)的概率非常小，所以她的說(shuō)法是可信的?？尚诺?。例例4（抽獎(jiǎng)問(wèn)題）設(shè)某超市有獎(jiǎng)銷

25、售，投放（抽獎(jiǎng)問(wèn)題）設(shè)某超市有獎(jiǎng)銷售，投放n張獎(jiǎng)券張獎(jiǎng)券只有只有1張有獎(jiǎng)。每位顧客可抽一張。求第張有獎(jiǎng)。每位顧客可抽一張。求第k位顧客中位顧客中獎(jiǎng)的概率獎(jiǎng)的概率 。1kn解解 抽獎(jiǎng)券是不放回抽樣。記抽獎(jiǎng)券是不放回抽樣。記A為所求事件的概率，為所求事件的概率，到第到第k個(gè)顧客為止試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)為：個(gè)顧客為止試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)為：(1)(1)n nnkA所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為：所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為：(1)(2)(1) 1nnnk于是：于是： 11 111nnkP An nnk1n第三節(jié)第三節(jié) 幾何概型幾何概型 古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型，下

26、面我們進(jìn)一步研究樣本空間為一線的概率模型，下面我們進(jìn)一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型幾何概型。率模型幾何概型。SA1、設(shè)樣本空間、設(shè)樣本空間S是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積記為是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積記為 s2、向區(qū)域、向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是指該點(diǎn)落入的含義是指該點(diǎn)落入S內(nèi)任何部分內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)。區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)。3、設(shè)事件、設(shè)事

27、件A是是S的某個(gè)區(qū)域，它的某個(gè)區(qū)域，它的面積為的面積為 ，則向區(qū)域，則向區(qū)域S隨機(jī)隨機(jī) A投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為的概率為 AP AS幾何概率幾何概率 (*)注注 若樣本空間若樣本空間S為一線段或空間立體，則向?yàn)橐痪€段或空間立體，則向S“投點(diǎn)投點(diǎn)”的相應(yīng)概率仍可用的相應(yīng)概率仍可用(*)式確定，但式確定，但 應(yīng)理解為長(zhǎng)度應(yīng)理解為長(zhǎng)度或體積?；蝮w積。 例例1 某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，設(shè)電臺(tái)每正點(diǎn)報(bào)時(shí)一次，他打開收音機(jī)聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，設(shè)電臺(tái)每正點(diǎn)報(bào)時(shí)一次，他打開收音機(jī)時(shí)電臺(tái)還沒(méi)有報(bào)時(shí)，求他等待時(shí)間短于時(shí)

28、電臺(tái)還沒(méi)有報(bào)時(shí)，求他等待時(shí)間短于10分鐘的概率。分鐘的概率。解解 以分鐘為單位，記上一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為以分鐘為單位，記上一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為0，下一次，下一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為報(bào)時(shí)時(shí)刻為60，于是這個(gè)人打開收音機(jī)的時(shí)間必在，于是這個(gè)人打開收音機(jī)的時(shí)間必在(0,60)，記記“等待時(shí)間少于等待時(shí)間少于10分鐘分鐘”為事件為事件A，則，則有有(0,60),(50,60)SAS于是于是 101606P A 例例2 甲乙兩人相約在甲乙兩人相約在7點(diǎn)到點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等待對(duì)方到者等待對(duì)方20分鐘，過(guò)時(shí)就離開。如果每個(gè)人可分鐘，過(guò)時(shí)就離開。如果每個(gè)人可在一小時(shí)內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)，求甲乙雙方見面

29、的概在一小時(shí)內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)，求甲乙雙方見面的概率。率。解解 記記7點(diǎn)為計(jì)算時(shí)刻的點(diǎn)為計(jì)算時(shí)刻的0時(shí)，以分鐘為單位，時(shí)，以分鐘為單位，x，y分分別記為甲乙到達(dá)指定地點(diǎn)的時(shí)刻，則樣本空間為別記為甲乙到達(dá)指定地點(diǎn)的時(shí)刻，則樣本空間為,060,060Sx yxy以以A表示事件表示事件“兩人會(huì)面兩人會(huì)面”，則有，則有 ,20Ax yx yS xy這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題，于是：這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題，于是： ( )AP AS22260405609練習(xí)練習(xí) 在區(qū)間（在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于兩數(shù)之和小于6/5”的概率為的概率為。1725第四節(jié)第四節(jié) 概率的

30、公理化定義概率的公理化定義概率的公理化定義概率的公理化定義掌握概率的基本性質(zhì)及概率加法定理掌握概率的基本性質(zhì)及概率加法定理 數(shù)學(xué)上所說(shuō)的數(shù)學(xué)上所說(shuō)的“公理公理”，就是一些不加證明，就是一些不加證明而承認(rèn)的前提，這些前提規(guī)定了所討論對(duì)象的一而承認(rèn)的前提，這些前提規(guī)定了所討論對(duì)象的一些基本關(guān)系和所滿足的條件，然后以之為基礎(chǔ)，些基本關(guān)系和所滿足的條件，然后以之為基礎(chǔ)，推演出所討論對(duì)象的進(jìn)一步內(nèi)容。推演出所討論對(duì)象的進(jìn)一步內(nèi)容。 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為 ，若對(duì)每一事件，若對(duì)每一事件A，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)以之對(duì)應(yīng)，滿足如下公理：以之對(duì)應(yīng)，滿足如下公理：公理公理

31、1（非負(fù)性）（非負(fù)性） 0( )1P A公理公理2（規(guī)范性）（規(guī)范性） 1P 公理公理3（完全可加性）對(duì)任意一列兩兩互斥事件（完全可加性）對(duì)任意一列兩兩互斥事件12,A A 有有11knnnPAP A則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率。的概率。概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)q 有限可加性: 設(shè) nAAA,21兩兩互斥,有niiniiAPAP11)( )1( )P AP A q q ()0P )(ABAB( )()( )()P BP ABAP AP BA （）（）（）（）（）（） ABq 若AB()( )( )P BAP BP A( )( )P AP B(包含包含)（互斥）（互斥）推廣：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有 ()P BA BAB-A=B-ABP(B-A)=P(B-AB)= B-A=B-ABAB( )()P BP ABP(B)-P(AB)對(duì)任意兩個(gè)事件、對(duì)任意兩個(gè)事件、 ，有，有 ()()P ABP ABABAn 加法定理加法定理)()()()(ABPBPAPBAP( )()P AP BA( )()P AP BAB ( )()P AP BP AB(互斥互斥)(包含包含) P ABP AP BP AB變形：變形：例例7 已知已知P(A)0.9，P(B)=0.8，試證：，試證：0.7P AB 解：由性質(zhì)解：由性質(zhì)4得：得：