不可壓Navier-Stokes方程解的定性研究正則性 外區(qū)域中解的適定性與漸近性態(tài)

1、.摘要摘要該論文分成兩個(gè)部分第一部分討論Navier-Stokes方程弱解的正則性問題；第 二部分討論的是外區(qū)域中Navier-Stokes流的存在唯一性與漸近性問題三維不可壓 Navier-Stokes方程弱解的正則性是一個(gè)極具有挑戰(zhàn)性的公開問題目前在這個(gè)領(lǐng)域有兩 個(gè)主要的研究方向其一就是考慮奇異集合的大小(所謂的部分正則性)，另一個(gè)方向是尋求弱解的充分條件以保證沒有奇性發(fā)生(所謂的正則性準(zhǔn)則)本文考慮的正是第二個(gè)方向我們將給出有意義的互不相同的正則性條件來確保解的光滑性第二部分是本論 文的主要部分也是作者在這個(gè)方向的主要貢獻(xiàn)外區(qū)域中的Navier-Stokes流體也是一 個(gè)富有意義的問題具

2、體說來，當(dāng)一個(gè)物體以恒定的速度經(jīng)過一雷諾數(shù)小于50的流體的 時(shí)候，該物體周圍流體的運(yùn)動呈現(xiàn)的是層流Stokes方程對于雷諾數(shù)小于1的流體運(yùn)動 提供了很好的刻畫，但對于較大的雷諾數(shù)我們需要借助Navier-Stokes方程來獲得精確的 結(jié)果我們考慮一個(gè)物體在雷諾數(shù)小于50的不可壓縮流體中沿著平行于一墻狀障礙物 以恒定的速度在一無界的區(qū)域里運(yùn)動，那么該物體周圍流體的運(yùn)動可以用外區(qū)域中不可 壓縮的Navier-Stokes方程和一定的邊界條件來進(jìn)行刻畫，這里的邊界我們一般考慮的是 墻壁、物體的表面和無窮遠(yuǎn)處該模型一個(gè)很重要的實(shí)際應(yīng)用就是用來描述產(chǎn)生于液體 中的氣泡沿著平行于墻壁運(yùn)動的情形本文考慮具有

3、固定形狀的單個(gè)氣泡在不可壓縮流 體中沿著平行于墻壁的方向運(yùn)動，運(yùn)用截?cái)嗪瘮?shù)的技巧我們將以一具有緊支集的源項(xiàng)來 取代該氣泡得到一個(gè)穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程，實(shí)際上亦是氣泡問題的一個(gè)簡化模型 然后選取適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛椤皶r(shí)間打變量，運(yùn)用動力系統(tǒng)和傅里葉變換的方法旨在證明該 問題解的存在性與唯一性并得到方程解的一致估計(jì)在有了解的存在性后，我們試圖進(jìn) 一步具體刻畫該解在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為為了達(dá)到這一目的，在所構(gòu)造的函數(shù)空間中， 通過仔細(xì)分析速度場每個(gè)分量的具體構(gòu)成，我們找出其主導(dǎo)項(xiàng)，然后在傅里葉空間中提 取這些主導(dǎo)項(xiàng)的漸近信息去描述速度場的每個(gè)分量的漸近性態(tài)，最后運(yùn)用反傅里葉變換 可獲得速度場

4、的漸近表達(dá)式關(guān)鍵訊Navier-Stokes方程；正則性準(zhǔn)則；穩(wěn)態(tài)解；流體結(jié)構(gòu)的相互作用；漸近行為華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文：AbstractAbstractThere are two parts in this articleThe first part concerns the regularity issue while the second one considers the existence，uniqueness and asymptotic behavior for exterior Navier-Stokes flow蹄乃ether the weak solution to th

5、e 3D incompressible Navier-Stokes equations is regular or not is a challenging open problem in this fieldAt present，thereare two main directions in this fieldOne is to study the size of the singular set(SOcalled partial regularity)，the other one is to find sufficient conditions to guarantee no singu

6、larity formation(SO called regularity criteria)The present paper is the second di- rectionb will present SOme interesting and different regularity conditions to guarantee the smoothness of solutionThe second part is viewed as the main ingredients of this article and contributions in this areaExterio

7、r Navier-Stokes flow is also a meaningful issuePrecisely,when a body moves through a fluid with constant velocity in a regime of Reynolds numbers of less than about丘f帆the resulting fluid flow is then laminarThestokes equations provide a good quantitative description for Reynolds numbers signifi-cant

8、ly less than oneFor larger Reynolds numbers the Navier-Stokes equations need tobe solved in order to obtain precise resultsWe consider a body which is moving withconstant speed in an incompressible fluid with Reynolds numbers less than岱哆parallel toa wall in an unbounded domain，the flow around this b

9、ody Can be modeled by the incom-pressible Navier-Stokes equations in an exterior domain with the boundary conditions onthe wall，the surface of the body and at infinityA very important application is that it Can model the case of bubbles rising in a liquid which are moving parallel to the wallIn this

10、 thesiswe are concerned with the situation that a bubble with政ed shape is moving parallel to the wall in an otherwise unbounded domain filled with fluidWe introduce asmooth cuto任function to simplify the case where the bubble is replaced by a SOurce term with compact support and obtain a stationary N

11、avier-Stokes equations，which actually is a simplified model of the bubble problem，then choose a suitable variable as thetime” variable to show the existence and obtain a uniforIn bound for stationary solutions by u8- ing the dynamical system method and Fourier transfornl methodBased on this existenc

12、e result，we analyze the components of each velocity component in the framework of Ourfunction space in order to find the leading order term to extract asymptotics from themas the asymptotics of Our velocity component in Fourier spaceFinally,by taking inverseFourier transform we call get the asymptot

13、ic behavior of strong solutionsKeywords：Navier-Stokes flow；Regularity criteria；Stationary SOlutions；Fluid structureinteraction；Asymptotic behavior一U一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文郭正光博士學(xué)位論文答辯委員會成員名單姓名 職稱 單位 備注 陸云光 教授 杭州師范大學(xué) 主席 樊繼山 教授 南京林業(yè)大學(xué)黎野平教授上海師范大學(xué) 茅德康教授上海大學(xué) 張永前教授復(fù)旦大學(xué)第一部分正則性問題一1一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文第一章引言18世紀(jì)上半葉，瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾伯努利

14、展示了如何讓微積分方法適用于分析流 體在受到多個(gè)力作用下的運(yùn)動方式在這一工作的基礎(chǔ)上，歐拉建立了一組方程，它們 的解精確地描述了假設(shè)的無黏性流體的運(yùn)動1822年，Navier改進(jìn)了歐拉的方程，使之 能適用于有一定黏性的流體這一更為實(shí)際的情況，但是Navier的數(shù)學(xué)推論是有缺陷的 由于運(yùn)氣好，他最后得出的方程是正確的幾年之后，愛爾蘭數(shù)學(xué)家Stokes作出了正確 的推導(dǎo)至今，我們就用這兩位數(shù)學(xué)家的名字來命名他們推導(dǎo)出來的方程已作為紀(jì)念 Navier-Stokes方程是一組描述像液體和空氣這樣的流體物質(zhì)的方程這些方程建立了流 體粒子動量的改變率(加速度)和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似

15、于摩擦力)以及引力之間的關(guān)系起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無論是微風(fēng)還是 湍流，都可以通過理解Navier-Stokes方程的解來對它們進(jìn)行解釋和預(yù)言Navier-Stokes 方程是最有用的一組方程之一，因?yàn)樗鼈兠枋隽舜罅繉W(xué)術(shù)和經(jīng)濟(jì)有用的現(xiàn)象的物理過 程它們可以用來模擬大氣、洋流、管道中的水流、星系中恒星的運(yùn)動、翼型周圍的氣流，它們也可以用于飛行器和車輛的設(shè)計(jì)、血液循環(huán)的研究、電站的設(shè)計(jì)、污染效應(yīng) 的分析等等雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，到19世紀(jì)末，看來數(shù)學(xué)家差一步就要發(fā) 展出一種關(guān)于流體運(yùn)動的完整理論了人們

16、有理由期望這樣的一種理論會有許多的應(yīng) 用但是有一個(gè)問題尚待解決沒有人能夠找到一個(gè)解Navier-Stokes方程的公式確切地說，沒有人能夠在原則上證明這個(gè)方程是否有解!(當(dāng)然，每當(dāng)一種真實(shí)的流體做了一 次流動，大自然就“解一了一次這個(gè)方程)注意到，從數(shù)學(xué)的角度上，二維的該問題已經(jīng) 被Ladyzhenskaya解決了，但是三維問題并不能從二維中得到任何的啟示到如今我們 對三維Navier-Stokes方程的理解仍然極少鑒于此問題的價(jià)值，2000年5月24日美國 克萊數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問委員會把Navier-Stokes方程列為七個(gè)“千禧難題”(又稱為 世界七大數(shù)學(xué)難題)之一，這七道問題被研究所認(rèn)

17、為是“重要的經(jīng)典問題，經(jīng)許多年仍未解決”克萊數(shù)學(xué)研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎(jiǎng)基金，對七個(gè)問題中的任何一個(gè)的解決作出過實(shí)質(zhì)性貢獻(xiàn)的任何人獎(jiǎng)勵(lì)一百萬美元2000年，普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué) 系教授Fefferman【19】給出了關(guān)于Navier-Stokes方程解的存在性與光滑性問題的正式命一2一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文第一章引言題為了給研究者一些合理的余地，在保持該問題本質(zhì)不變的前提下，他給出了四個(gè)陳述 方式征求解答因?yàn)槲覀兩踔敛恢绬栴}的光滑解是否全局存在，所以我們的理解還停 留在原始水平標(biāo)準(zhǔn)的研究偏微分方程的方法似乎不足以解決這個(gè)問題，然而我們很可 能需要一些新的深刻的思想在分析領(lǐng)域現(xiàn)有的

18、證明偏微分方程解的存在性和正則性的 一般方法是先構(gòu)造弱解，然后證明任何弱解都是光滑的這一點(diǎn)對于Navier-Stokes方程 而言已經(jīng)取得了部分的成功相關(guān)的工作接下來會有所介紹3華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文第二章弱解的正則性條件我們將在本章討論不可壓的Navier-Stokes方程弱解的正則性問題，從幾個(gè)不同的 角度來給出解的正則性準(zhǔn)則其一，根據(jù)速度場和壓力項(xiàng)內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，我們通過壓力項(xiàng)、壓力的梯度與速度場的商式的條件證明解是正則的另外，在更大的函數(shù)空間中我們討論若速度場關(guān)于某個(gè)方向的導(dǎo)數(shù)滿足一定的條件或者壓力與速度場的某個(gè)對數(shù)式在一 定的條件下也可以保證解的正則性21正則性準(zhǔn)則I我們考慮如下的不可

19、壓Navier-Stokes方程的初邊值問題f窯秈乳+=A“，(礎(chǔ))印(0，T)出Vu=o，(z，)Q(o，T(21)l u=0，(z，t)0fl(0，T)I缸(z，0)=t幻(z)，zQ此處讓=u(x，t)R3是速度場，p(x，t)為壓力項(xiàng)，uo(x)是初始的速度場且在分布意義下 有div銣=0，Q是具有光滑邊界aQ的有界區(qū)域關(guān)于三維不可壓Navier-Stokes方程的研究有了較長的歷史比如，在早期的工作【32】和50】中，Leray與H0pf證明了在初始條件咖(z)L2(R3)下弱解亂(z，t)L(o，T；L2(R3)n工2(0，T；日1(R3)的存在性然而，我們并不知道即使在很光滑的初

20、始條件下， 解是否會在有限的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生奇性，弱解的唯一性也是個(gè)公開的問題因此，關(guān)于弱解的 正則性問題就吸引了許多研究者的興趣一方面，Scheffer在【5 7】中開始運(yùn)用幾何測度 論的方法研究部分正則性的理論，Caffarelli，Kohn和Nirenberg12】也得到了關(guān)于部分正則性的一些結(jié)果，后來，林芳華【48】給出了【12】中定理的一個(gè)新證明，更進(jìn)一步的結(jié) 果可以參考64】另一方面，弱解的正則性在一定的條件下也可以得到1962年，Serrin【59】證明了如果Leray-Hopf的弱解“(z，t)儼，y三L。(o，?。籐f(R3)滿足2a+371， 2a，37。o則u(x，t)Coo(

21、R3(0，列)從此，就有許多條件加在亂上的正 則性結(jié)果以及把條件加在釷的梯度或者u的某個(gè)分量的梯度上的正則性結(jié)果，分別參見一4一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文第二章弱解的正則性條件【23，43，44，60，62】和【3，15，70，71，還有關(guān)于壓力和壓力的梯度以及他們與速度場的比率的正則性條件 阻 55 這里我們提到的儼，1空間定義如下：(小(丁川藝，打)i11口oo，-!=- 5_=_ 瀘 =ess sup Ilu(，r)llLl口=o。，p，J、這里f (小丁礦如)專170，(缸A，縱)也是它的解，這里讓A(z，t)=入t正(入z，入2t)，肌(z，t)=入(Az，入2亡)從伸縮不變量的角度來

22、考慮的話，Serrin類是很重要的，這就意味著：Il讓AIb，=Il讓II聃， 成立當(dāng)且僅當(dāng)2肛+37=1，于是我們就稱范數(shù)IIUlIL”具有維數(shù)零的特性12】同 理我們也發(fā)現(xiàn)，若2Q-4-37=2，那么IIVUlILa，一r和 b，也具有零維的特征基于 這一事實(shí)，有很多的正則性結(jié)果，如【3，15，70，71】以及5，69，72注意到在4】中，在 p(1+IuI)滿足一定的條件下，類似的弱解的正則性也得到了證明，更廣義的形式可以參 考【72】最近的研究成果可以參見【29，73-75】等至于更進(jìn)一步的正則性準(zhǔn)則，讀著可以 參見【11，27，28，73-75】對于三維空間中的Navier-Stok

23、es方程，作用“div一算子到方程組(21)的第一個(gè)方 程的兩邊(往后如果沒有特別的說明，我們說方程(21)通常是指該方程組的第一個(gè)方 程)，我們可以得到下面的等式3一卻=僥島(utuA(22)ij=l因此由Calder6nZygmund定理得到IIvll,1Clllull至：，17OO(23)粗略地講，壓力類似于速度場的平方，即是IPI焉lul2然而，并沒有太多的文獻(xiàn)考慮到這樣的一個(gè)正則性條件vO+Iul)，也就是所謂的“另外的自然假設(shè)在【55】中，對于5華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文21正則性準(zhǔn)則Ir1作者考慮了p(1+IuI+IVul)，得到了解的正則性如果我們在方程(21)的兩端同時(shí)作用“V

24、 div便可以得到3-A(Vp)=僥島(V(札t)，(24)id=l以及下面的不等式iIVpIIL。62IllullVulllL,，lqo。，(25) 這里的G是一個(gè)只依賴q的常數(shù)粗略地講，壓力的梯度類似于札和它的梯度的乘積，或者簡單地說，IvpI S Iul lVul注意到的是就我們所知(25)被周勇69】充分利用 來證明弱解的正則性，同樣的技巧請見【73】但是，當(dāng)我們考慮一般區(qū)域QR3上的 Navier-Stokes方程的時(shí)候，盡管(22)和(24)都成立，但(23)和(25)卻不再成立這也 即是我們在以后的估計(jì)中要遇到的困難雖然如此，這并不意味著我們不可以在一般的區(qū)域上去建立正則性準(zhǔn)則據(jù)

25、我所知，很少有把條件加在p(1+Iul)或者Vp(1+Iul)上 的正則性準(zhǔn)則我們不妨做個(gè)簡單的假設(shè)：若M是分式p(1+Iul)中分母的主導(dǎo)項(xiàng)，也 即是說若M1，那么p(1+Iul)毛I(xiàn)ul，而關(guān)于u的正則性條件已經(jīng)被證明了類似地， 對于量VpO+lul)我們也比較感興趣于是，下面我們將討論這種類型的正則性條件主要結(jié)果如下足理21設(shè)螄)L9(s2)，q3，以及在分布的意義下div Uo 2 0假設(shè) u(x，亡)，t【0，丁)，是一個(gè)Leray-Hopf意義下的(21)的弱解，如果下面任何一個(gè)成立(C1)若0J西二南(C2)若236s9，南甜”，滿足石2+孑3=竿，品s 7oo那么u(x，t)在

26、0，明上是一個(gè)光滑解定理22若定理21的假設(shè)成立下面條件之一滿足 (H1)若0J西擊(H2)若236149，研Vp凹”，滿足蘭+弓3=半，擊7oo則u(x，t)是0，卅上的一個(gè)光滑解注21定理21和定理22中的6=0這一特殊情形已經(jīng)有了相關(guān)的結(jié)果，見文獻(xiàn)【72】，作者在一般的區(qū)域(半空間、有界區(qū)域以及外區(qū)域)上考慮了解的正則性問題，類 似的結(jié)果也可以參考【5】同樣，周老師【72】考慮了61的情形，但是關(guān)于63，仳在C(o，疋)；L8(Q)中滿足(21)，那么u(，7)IIL(26)(正一丁)魯一7華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文21正則性準(zhǔn)則I 常數(shù)C不依賴于正和8(2)設(shè)u是一個(gè)弱解滿足口Lr，8以

27、及21r+31sI，s3那么U屬于Co。(o，卅Q1該引理的證明見Gigm【23】(同時(shí)可參見【411)，Kozono45】證明了半空間的情形，1washita【40】證明了外區(qū)域的情形我們說一個(gè)弱解U如果滿足t正Loo(o，T；H1)nL2(o，T；H2)那么它就是強(qiáng)解眾所周知，強(qiáng)解在弱解的族類中是正則的(經(jīng)典的)、唯一的下面證明中用到的常數(shù)是各不相同的接下來我們證明定理21，主要分三步首先，我們引入一個(gè)非常有用的插值不等式，然后建立先驗(yàn)估計(jì)，最后由標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)性論斷我們可以得到解的光滑性引理22【72】設(shè)，L，8 n口，孫，81，是一個(gè)Q【0，T)上的可測函數(shù)，那么，2，q且sP，s口3s以

28、及；+努l墨曼二j塹=!1111p，。C(s，P，q，T)Ilfllp2qllfll饑2qs。，這里c(s，P，q，r)依賴于s，P，q，z并且，如果；+努=；，那么c(s，P，q，丁)=1證明由空間驢，。的定義，我們有IIII驢,=(oT忖(，丁)|弘丁)珈(ZT懈刪2懈刪苗咖r1 、_屈鰣慨。(or懈，丁)艫p打 d、_、C(s，P，q，r) 臣叩甚1-0。，這里我們依次運(yùn)用了插值不等式、HSlder不等式而且參數(shù)滿足蘭q=蘭+警，一=一+二o，(27)【z，)SJS以及(1一o)ps等式(27)意味著1-0=(3q一3s)2q，那么我們可以得到sp+3s12q 32如果8p+3s2q=3

29、2，則有(1一o)p=8以及c(s，P，g，T)=1一8一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文第二章弱解的正剛性條件引理22的一個(gè)直接的應(yīng)用就是，對于一個(gè)Leray-Hopf意義下(21)的弱解u有u胖，且三+石3，-3一2，以及2q6接下來我們建立強(qiáng)解的先驗(yàn)估計(jì)引理23 設(shè)uoL口(Q)，q3且div uo=0假設(shè)U是(21)的在區(qū)間Q X(o，T) 上的一個(gè)強(qiáng)解如果p(1+lul占)伊”，0623，且2Q+3，y=(436)2， is(895)，y6(23J)或者(C2)滿足，那么。姒supr II讓(刪I羔s+IIu嗽。c，(28)此處C=C(ZQ，II牡ollLs)注22事實(shí)上，對于s3，我們本寄

30、希望于得到下面這種類型的估計(jì)sup IIt(，t)IkC0冬tST但是我們只能夠得到(28)(s=3)，而這也足夠來證明定理21址明 力程1)即網(wǎng)邁l司H日采以sului”，s3，然后征區(qū)日J(rèn) 52(0，t)上分邵積 分得到Ilu(。)2。+s。上I札i卜2 IVul2出打+4(ss2-2)f02上lVI釷i主12如打s以酬M如打+Iluolli,。2(s一2)lpJJul暑一1 IViulI dxdr+II鋤112。，(29)J0 Jn這里我們用到了sf ulr2礎(chǔ)=一s上V(讓曠2)Vu出=一sZ卜2IVul2如一s(s一2)Z luI卜2IVIu|12如一舢棚IV砰如一掣加講12出，一s

31、Zf Vp刊釁打=s02Zp州小r2)dzdr=s Z上p(釷Vl讓182)dxdr2(s一2)Z2上lpl lt。差一1 IVluI主I dxdr一9一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文!：!堊型竺!型一!竺竺!=!=!：!：!：!=：=!=竺竺=注意到IVI亂13。1扣pIV釷I，那么(29)變成Ilu(，t)II乞。+2 llVl札I蓋Il苧：，。2(s一2)Z。上囟I I讓I一1 IV I如打+II讓。lI乞。(21。)目標(biāo)就是估計(jì)A：=2(s一2,02上IpI I釷I爭1 IVIuI墨I(xiàn) dxd，情尤鄉(xiāng)1：0 S O23如果p(1+l讓r)La”，2a+3y=(4-36)2，is(896)7墨

32、6(236)，我們估計(jì)A如下：2(-2)f02上帥P1 lVI釷I墨l出d丁a Z上Ipl2 l讓I卜2出打+互1 llV I讓15l：Q以l南卜I硼料鰳如打+舯1講lit,，：s島ll南吐，111刪”訓(xùn)s肼-21l吧，。G 11南旺1屹8-2+G li南憶，T郜一新講旺：，(2m，這里G是依賴于ll讓ollL：和lQI的常數(shù)，其中JQI為區(qū)域Q的Lebesgue測度，上面的估 計(jì)式用到了Y0ung不等式以及HSlder不等式在上面的不等式中，參數(shù)口，7，o以及b 滿足蘭+字=1，tz一+T一=，lz)QD一2+三二蘭+6：一一+O=L厶一yn容易解出方程(212)和(213)得到三=擊(1一

33、號)，曇=兩1(1一蘭)仁顯然由(214)給出的a和b滿足蘭I一3s=南型一(五2+弓3-I-b一一=一l一一l一rJ2as 2 l2、Q。7 )JI。7=素2=一8與2，(215)、oo，(一)710一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文第二章弱解的正則性條件此處我們用到了關(guān)于a和7的條件，2Q+3n=(43J)2為了應(yīng)用引理22，需要關(guān)于口和6的額外的條件曇+一3s一32a6一 2，sn3s，6s驪互s3容易發(fā)現(xiàn)s=3是唯一的選擇將s=3代入(211)得到M瞪s+引V州已G I|南吐1憶如+島lI南旺，Tw川良仁峋于是由Young不等式以及引理22得M幢。+扣I亂I吧，：Q J南旺7JJ舞噍+島Jl南

34、旺1Tw+|啦a lIr異孑111憶|I淼+G憶悒。，。+G lr壽幣l已，TlQ戶+lI咖幢。(217)選擇一個(gè)合適的G使得圳u忙G忡譏扣IuI吧，我們注意到a3，從(217)得Ilu(圳I羔sG JI南B，II酬ks+G lI南旺1 T心IQ|1_q十|I蚰(2-18)由IIp(1+I讓16)11L，的關(guān)于時(shí)間t的可積性，我們總可以選擇to，0toL使得川南去，這里的G依賴于7，正lluollL。和IQI因此，我們得到。莖su。pto II讓(，亡)I|羔ai釅2G T1一魯IQll6一；+2 J|缸。|芝s(219)因u是光滑解，對于滿足toT，我們可以從如開始重復(fù)kiliiN過N并目得

35、到一一11一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文21正則性準(zhǔn)則1個(gè)莢似十(218)的估計(jì)由Ip(1 4-lul6)11口的可積性，存在tl，幻1正使得刪南去Ilu(，t)llLs的上確界范數(shù)可以估計(jì)如下osu。p。II讓(，t)II羔si釅2C3 T1一言IQll一占一；+煮T-一苧lQr一；+411咖脅卜?！?l眇(2G)2Q。因p(1+Iul6)儼”，常數(shù)醞不依賴于t，并且上面的過程只能重復(fù)有限次，從而我們得到估計(jì)s，up Ilu(，t)ll&a島(220)0tT如果回到(217)，鑒于(220)我們發(fā)現(xiàn)下面的估計(jì)成立01l釩打=尬6(235)，由(215)，我們發(fā)現(xiàn)如果2Q 4-37=p3確切地說，

36、我們得到曇-t-蕓=南半一c三+割否五2而l丁一(否+孑)Is(5362p)3=-二-，一2(82)2如果p6(236)，容易驗(yàn)證(223)的左手邊總是成立的，而對于該不等式的右手邊有6+一2一2，(224)一12一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文第二章弱解的正則性條件7南(225)注意到如果28占6(235)時(shí)可以取到p的最大值讓(210)中的s=76(236)我們發(fā)現(xiàn)M怩，+2讓l吧，：2(-y-2)02上I南I(1+I亂伊崢1 lVIu J吾dxdr+l|吡G Z2 I訂I南+Iu川歲卜2打+lIV l釷r U一2 J-Il咖悒，G|l南憶州，Ill仆fI|哥2f+7 2+肌rII+2：，G l

37、l南眩州，陋牖2+I吧，。+島l|南也訓(xùn)，IQI半刊訓(xùn)n于是sup I1tl lL-rt(z刪s Go，(226)0t6(235)(1一占)，這里C10是一個(gè)依賴于，y，IQl，II札ollL，和IP(1+Iul6)|，叫，的常數(shù)情形2：23689 若(C2)成立，689且18(89ti)7o。，那么論斷(218)仍然成立我們也能夠得到估計(jì)式(28)對于(Q，7)=(4(43a)，)，注意到可以選擇a和b使得Q 2南以及b 2南，23689；b=O。，6=2313華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文21正則性準(zhǔn)則I 于是有了下面的估計(jì)(，圳廖G|l南窿。肛幢。二+島Il南k，。T擎俐1-6+惻匭對于73，

38、所以uoL8(Q)，s(3，g)由引理21，存在一個(gè)最大的區(qū)間【o，正)使得存在一 個(gè)唯一的解雹(z，t)BC(0，正)；L5(Q)因?yàn)閡是一個(gè)Leray-Hopf意義下的弱解，滿足 能量不等式，由SerrinMasuda【51，59】的唯一性準(zhǔn)則u(x，t)=豇(z，t)，t0，正)在條件(C1)的第一種情形和(C2)下，假定這個(gè)區(qū)間是最大的且兀z那么“是區(qū)間0，互)上的一個(gè)強(qiáng)解，且估計(jì)式(28)成立結(jié)合(28)以及(26)，我們得到了下面的矛盾。o=Z瓦麗C3打ZL II心悒衙3定理21獲證 接下來證明定理22定理22的證明與定理21類似我們只給出主要的估計(jì)Iil,-f由(29)，當(dāng)83時(shí)

39、我們有Ilu(。川2。+2釓I吧，：sZ2Vpl l讓I卜1如打圳訓(xùn)2。一14一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文第二章弱解的正則性條件sZ。Z li+lul6 j(1+川)臥扣1如打+II讓川羔。s Il南憶1111刪I 8價(jià)-1刈1川艮2+II讓011三鳊lJ南憶，憶崆8-蚰1慨l|南憶，T郜阿2，這里我們用到了HSlder不等式，且有三+翌：l。Qa專+掣+罷=10一+_一+：=一yZ于是L者(1一五1a一=一_l一一S一 1 Q，)，2 27蘭b=8一：=一一 1(型2一號)1I2 28類似地，a和b也必須滿足下面的附加條件s3s3：+麗互，2 29且，I，I，-I、，fL 2 30 、l，、I

40、，、J、I，則米U s o6(236)，我們發(fā)現(xiàn)如果2a+37=僥(636)2，那么s可以取作大三-lt-塑2b=擊1(半一魯)一一=一I I于3的數(shù)我們可以得到口s一42，一s(10362偽)、374(s一1)2若展(439)2，s3，上面的不等式成立否則，63s(232)36-I-2#14。注意到(230)意味著生3s(型2一專)孚，一7一s(233)以及62s2-35，y2-s5(234)我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)2s艿23時(shí)(233)是顯然的否則，(234)成立結(jié)合(232)和(234)得到麗3a=7禹土#1-2，麗2 7F焉二，這就給出了Q1以及防2-I-=(235)由(235)以及類似于(C1)中

41、的第二種情形的論斷，得到sup llullL，(1卅a4，(236)Ot6(236)(16)，這里C14依賴于7，lal，II缸o(hù)llL，和Ivp(1+I-16)Il脾7，的常數(shù)若236149，(H2)成立，類似于定理21中的(c2)，我們就可以得到估計(jì)式16一華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文第二章弱解的正則性條件(28)當(dāng)有了先驗(yàn)估計(jì)(28)和(236)后，剩下的部分同定理21中的證明定理22獲證有了上面的定理之后，我們仔細(xì)分析壓力和速度場以及速度場的梯度之間的關(guān)系后 發(fā)現(xiàn)，下面的正則性條件也是很有意義的定理23設(shè)咖)L口(Q)，q 2 3，滿足divUo=0假設(shè)u(x，t)是一個(gè)Leray-Hop

42、f意義下的方程(21)在【0，T)上的一個(gè)弱解如果下面的任何一個(gè)條件滿足(T1)若23J65，可嗇麗凹，滿足三+號學(xué)礎(chǔ)志7oo(T2)若0623，研嗇麗凹，滿足五2+號掣，以及擊7志這里0，i=1，2，5=max51，如)，那么u(x，t)實(shí)際上是0，卅上的一個(gè)光滑解注23IIvv(1-t-Iul負(fù)4-IVul如)11聃1的極限行為，即是Q和7中至少有一個(gè)是 Oo，定理23中的條件依然有效我們注意到條件(T2)中51=而=0的情形正好 是【72】中所考慮的問題，作者給出了口和，y之間的關(guān)系的一個(gè)等式事實(shí)上，關(guān)于 p(1+Iul6，+IV仳I屯)，max(51，如)1的正則性條件也可以類似地建立

43、起來，為了避免 重復(fù)性的工作，我們在這里不具體去討論而且，我們發(fā)現(xiàn)定理23對于任意維數(shù)N3也有相應(yīng)的結(jié)果，這一點(diǎn)可以通過適當(dāng)?shù)匦薷奈覀兊淖C明而得到關(guān)于高維空間中的情形詳見【26】或者72】中的討論引理24【70】設(shè)a(x)和b(x)是【0,A)上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù)，0占1若一個(gè)非負(fù) 函數(shù)y(z，t)滿足下面的微分不等式y(tǒng)l(z)-t-b(x)o(z)y6(z)，z【0，A)，U(0)=Yo(237) 那么對于z0，A)，成立不等式y(tǒng)(z)+z6(s)ds(2禹+1)珈+2禹(Zz口(s)ds)弱(238)證明解奇次的微分不等式礦Q(z)礦得到，籮(z)磊一a+oz口(s)ds)I與(239)一17華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文墨!至!生!墾!：!=苧=!=!竺!=!竺!竺!：苧!暑!=竺!一將(239)代入(237)中并在【0，叫上積分得善占(z)+f002 b(s)ds s Z00z a(s)ds砧一6+ Z 口 S渺S 、_，廠+珈1Ili可1-6 4-00x Q,ds r 卜 蜘2擊珈+(Z。口cs，ds)南)+珈這就完成了引理的證明一接下來證明定理23證明 我們將定理23