天體運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問(wèn)題

1、天體運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問(wèn)題信陽(yáng)高中陳慶威在天體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題中，我們常遇到一些這樣的問(wèn)題。比如，A、B兩物體都繞同一中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻AB相距最近，問(wèn)AB下一次相距最近或最遠(yuǎn)需要多少時(shí)間，或“至少”需要多少時(shí)間等問(wèn)題。而對(duì)丁此類問(wèn)題的解決和我們?cè)谥本€運(yùn)動(dòng)中同一軌道上的追及相遇問(wèn)題在思維有上一些相似的地方，即必須找出各相關(guān)物理量間的關(guān)系，但它也有其自身特點(diǎn)。根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，即當(dāng)天體速度增加或減少時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓周軌道就會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，所以天體不可能在同一軌道上實(shí)現(xiàn)真正意義上的追及或相遇。天體運(yùn)動(dòng)的追及相遇問(wèn)題中往往還因伴隨著多解問(wèn)題而變得更加復(fù)雜，成為同學(xué)們學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。而解決此類問(wèn)題的

2、關(guān)鍵是就要找好角度、角速度和時(shí)間等物理量的關(guān)系。一、追及問(wèn)題【例1】如圖1所示，有AB兩顆行星繞同一顆包星M做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為Ti,B行星的周期為T2,在某一時(shí)刻兩行星相距最近，則 經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，兩行星再次相距最近？ 經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)?解析：A、B兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力,3rn7二GM，因此Ti<T2?？梢?jiàn)當(dāng)A運(yùn)動(dòng)完一周時(shí)，B還沒(méi)有達(dá)到一周，但是要它們的相距最近，只有條直線上，且AB在同側(cè)，從角度上看，在相同時(shí)間內(nèi),果AB在異側(cè)，則它們相距最遠(yuǎn)，AB行星和包星M的連線再次在一A比B多轉(zhuǎn)了2兀；如從角度上看，在相同時(shí)間內(nèi)，A比B

3、多轉(zhuǎn)了2?v況n邸1=2&云1=兀。所以再次相距最近的時(shí)間ti,2一七；第次相2丸姻=N如果在問(wèn)題中把“再次”距最遠(yuǎn)的時(shí)間t2,由號(hào)弓或“第一次”這樣的詞去掉，那么就變成了多解性問(wèn)題?！纠?】如圖2,地球和某行星在同一軌道平面內(nèi)同向繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。地球的軌道半徑為R,運(yùn)轉(zhuǎn)周期為To地球和太陽(yáng)中心的連線與地球和行星的連線的火角叫地球?qū)π行堑挠^察視角(簡(jiǎn)稱視角)。已知該行星的最大視角為0,當(dāng)行星處丁最大視角處時(shí)，是地球上天文愛(ài)好者觀察該行星的最佳時(shí)期。若某時(shí)刻該行星正好處丁最佳觀察期，問(wèn)該行星下一次處丁最佳觀察期至少需經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？解析：由題意可得行星的軌道半徑rRsin設(shè)行星繞太陽(yáng)

4、的運(yùn)行周期為T/,由開(kāi)普勒大三定律有:R3T2T2得：TTsin3繞向相同，行星的角速度比地球大，行星相對(duì)地球圖2222(1.sin3)亍T一某時(shí)刻該行星正好處丁最佳觀察期，有兩種情況：一是剛看到；二是馬上看不到，如圖3所小。到下一次處丁最佳觀察期至少需經(jīng)歷時(shí)間分別為3一兩者都順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)：t1I(2)sin?T2(1vsin3)地球圖3兩者都逆時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)：t2L（2）.sin3?T、相遇問(wèn)題【例3】設(shè)地球質(zhì)量為M繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有一質(zhì)量為m的飛船由靜止開(kāi)始從P點(diǎn)沿PD方向做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，1年后在D點(diǎn)飛船掠過(guò)地球上空，再過(guò)3個(gè)月乂在Q處掠過(guò)地球上空，如圖4所示(圖中“S”表示太

5、陽(yáng))c根據(jù)以上條件，求地球與太陽(yáng)之間的萬(wàn)有引力大小。解析：飛船開(kāi)始與地球相當(dāng)丁在D點(diǎn)相遇，經(jīng)過(guò)3個(gè)月后，它們乂在Q點(diǎn)相遇,3因此在這段時(shí)間內(nèi)，地球與太陽(yáng)的連線轉(zhuǎn)過(guò)的角度12。設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為T,飛船由靜止開(kāi)始做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則DQPQ-PD=lc（|7）a-地球的公轉(zhuǎn)半徑為"IF二M（竺），R=槌*泌所以，地球與太陽(yáng)之間的萬(wàn)有引力大小為T16【例4】從地球表面向火星發(fā)射火星探測(cè)器，設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽(yáng)做同向圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑r火為地球軌道半徑r地的1.50倍，簡(jiǎn)單而乂比較節(jié)省能量的發(fā)射過(guò)程可分為兩步進(jìn)行：第一步：在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲

6、得足夠動(dòng)能，從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星（如圖5）;第二步：在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使得探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長(zhǎng)軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上（如圖6）。當(dāng)探測(cè)器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月1日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之間的角距離為60。（火星在前，探測(cè)器在后），如圖7所示。問(wèn)應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，方能使探測(cè)器恰好落在火星表面？（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日），已知一：/'責(zé)7亍外曰、砂如。N1/、火星頂車析：根據(jù)根據(jù)尹普勒礦定彳

7、f,可%*!蘆食設(shè)。璃，:得：火初戈機(jī)目對(duì)角距離廣.周期跟地原府公加期布同，故相對(duì)火星燦7呻公車加虬（T火:探尹懦：*如七一太陽(yáng)/探測(cè)雄J15M晶旅40x365=671d=60°。點(diǎn)火前,地球"/。T探測(cè)器:如太陽(yáng)/:y地球/探測(cè)器弓地球在同一公轉(zhuǎn)軌浪而向運(yùn)行,褊位移為.探測(cè)器在適害位置點(diǎn)火后，沿橢圓軌道到與火星相遇所霄時(shí)間tTd2（2.5r第）3因733得：t方E?=255d在這段時(shí)間t內(nèi)，探測(cè)器的絕對(duì)角位移為360°2556711370探測(cè)器相對(duì)火星的角位移為1800,火星的絕對(duì)角位移為218001370430。到探測(cè)器與火星相遇時(shí)，初始相對(duì)角距離（=60。），應(yīng)等丁點(diǎn)火前探測(cè)器相對(duì)火星的角位移（）1,與探測(cè)器沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)相對(duì)火星的角位移92之和,即則1600430170而11?匕故得:t113600360036567138d已知某年3月1日零時(shí)，探測(cè)器與火星角距離為600（火星在前，探測(cè)器在后）,點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)刻應(yīng)選在當(dāng)年3月1日后38天，注意到“3月大”（有31號(hào)），即應(yīng)在4月7日零時(shí)點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)