圓錐曲線培優(yōu)講義

1、原點(diǎn)三角形面積公221.已知橢圓C*義產(chǎn)lG>b>0)的離心率為牛，且過(guò)點(diǎn)1，音).若點(diǎn)M(X0,a2bz22y0)在橢圓C上，則點(diǎn)n擋,丑)稱(chēng)為點(diǎn)M的一個(gè)橢點(diǎn)a.b(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線l:y=kx+m與橢圓C相交丁A,B兩點(diǎn)，且A,B兩點(diǎn)的橢點(diǎn)”分別為P,Q,以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，試求AOB的面積.2.己知橢圓?+2?=1,過(guò)原點(diǎn)的兩條直線"日幼分別與橢圓交丁點(diǎn)？和？?記?耐積為？(1) 設(shè)?,?),?,?).用？?勺坐標(biāo)表示點(diǎn)?倒直線？勺距離,并證1明？?=5?-?J設(shè)?=?；,：),?住；，求？的值.(2) 333設(shè)?方?？勺斜率之積為

2、？?，求？粕值，使得無(wú)論？為？如何變動(dòng)，面積?保持不變.23.已知橢圓C:與2%10,b0的左、右兩焦點(diǎn)分別為F11,0,F21,0,b橢圓上有一點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)的連線構(gòu)成的AF1F2中，滿(mǎn)足AF1F2一，AF2F1.1212(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)點(diǎn)B,C,D是橢圓上不同丁橢圓頂點(diǎn)的三點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)丁原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),設(shè)直線BC,CD,OB,OC的斜率分別為k1,k2,k3,k4,且臨k?kk，求OB2OC2的值.4. 在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與兩定點(diǎn)(2,0),(2,0),連線的斜率、,1Z積為4求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A(x，y),B(X2,y2)是軌跡C上

3、相異的兩點(diǎn).5. 過(guò)點(diǎn)A,B分別作拋物線y24扼x的切線li、I2,£與l2兩條切線相交丁點(diǎn)_uuuUULTN(龍,t)，證明：NAgNB0;(n)若直線OA與直線OB的斜率之積為【，證明：Saob為定值，并求出這個(gè)4定值已知？而別是？軸和？軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足I?2,點(diǎn)？杵線段？?？，且砌=？?？不為0的常數(shù))，設(shè)點(diǎn)？勺軌跡方程為？(1) 求點(diǎn)？?勺軌跡方程？若曲線？為焦點(diǎn)在？軸上的橢圓，試求實(shí)數(shù)？取值范圍；若?2,點(diǎn)？?，？如曲線？左關(guān)丁原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)？勺坐標(biāo)、，3為(j,3)，求?構(gòu)面積？?勺最大值.6. 已知橢圓？?的焦點(diǎn)在？軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)；拋物線？的焦點(diǎn)在？軸

4、上，頂-2點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).在？，？?上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄丁表格中：?39?-2求?,?的標(biāo)準(zhǔn)方程；已知定點(diǎn)？qo,1),?初拋物線？?上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)？柞拋物線？?的切線交橢圓？?于?物點(diǎn)，求?積的最大值.7. 已知拋物線？=4?的焦點(diǎn)為？過(guò)點(diǎn)？?勺直線交拋物線??？物點(diǎn).(1) 若？?=2?求直線？?？斜率；設(shè)點(diǎn)？外線段？?？運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)？次丁點(diǎn)？那對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為？求四邊形?面積的最小值.、一，.一?8. 設(shè)橢圓？?：淳+睛=1(?>?>0)的左、右焦點(diǎn)分別是？?、？?，下頂點(diǎn)為？線段？?？中點(diǎn)為？(？物坐標(biāo)原點(diǎn))，如圖.若拋物線？：?=?-1與？軸的交點(diǎn)為？且經(jīng)過(guò)？?，？?點(diǎn).求橢圓？

5、?的方程；設(shè)?(0,-5),?物拋物線？?上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)？?乍拋物線？?的切線交橢圓?丁?物點(diǎn)，求?積的最大值.9. 二定點(diǎn)定值問(wèn)題動(dòng)點(diǎn)P在圓E:(x1)2y216上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)F(1,0)，線段PF的垂直平分線與直線PE的交點(diǎn)為Q.(I)求Q的軌跡T的方程;(n)過(guò)點(diǎn)F的直線li,l2分別交軌跡E丁A,B兩點(diǎn)和C,D兩點(diǎn)，且li明：過(guò)AB和CD中點(diǎn)的直線過(guò)定點(diǎn).在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是雙曲線D:x21的中心，拋23物線C的焦點(diǎn)與雙曲線D的焦點(diǎn)相同.(I)求拋物線C的方程；(U)若點(diǎn)P(t,1)(t0)為拋物線C上的定點(diǎn)，A,B為拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).且PA±PB,問(wèn)直線

6、AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說(shuō)明理由.10. c/22k如圖，在平面直角坐標(biāo)系？?？橢圓？?城+云=1(?。?>0)的離心率為直線?？軸交丁點(diǎn)？與橢圓？咬?。?物點(diǎn).當(dāng)直線？直?。枯S且點(diǎn)？物橢圓？?勺右焦點(diǎn)時(shí)，弦？?？長(zhǎng)為曾.(1) 3求橢圓？?勺方程；若點(diǎn)？的坐標(biāo)為(旨,0)，點(diǎn)？在第一象限且橫坐標(biāo)為連接點(diǎn)？?<原點(diǎn)？勺直線交橢圓？穿另一點(diǎn)？求?M積；是否存在點(diǎn)？使得?+日?為定值若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)？的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.已知橢圓G專(zhuān)二1的左焦點(diǎn)為F,不垂直丁x軸且不過(guò)F點(diǎn)的直線l與橢1圓C相交丁A,B兩點(diǎn).(1) 如果直線FA,FB的斜率之和

7、為0,則動(dòng)直線l是否一定經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？若過(guò)一定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2) 如果FALFB,原點(diǎn)到直線l的距離為d,求d的取值范圍.11. 如圖，已知直線l:ykx1(k0)關(guān)丁直線yx1對(duì)稱(chēng)的直線為l，直線l,l與橢圓E:y21分別交丁點(diǎn)A、M和A、N,記直線"的斜率為臨.(I)求kk1的值；(II)當(dāng)k變化時(shí)，試問(wèn)直線MN是否包過(guò)血點(diǎn)坐標(biāo)；若不包過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.12. 如圖，橢圓？?蕓事=1(?>?>0)的離心率是過(guò)點(diǎn)？0,1)的動(dòng)直線？與橢圓相交?。课稂c(diǎn).當(dāng)直線？行丁？?由時(shí)，直線？橢圓？截得的線段長(zhǎng)為2折.(1) 求橢圓？?勺方程；.一

8、一一"，一一,一一.,_一、.，I?I在平面直角坐標(biāo)系？?？是否存在與點(diǎn)？齊同的定點(diǎn)？使得?13. 宜陽(yáng)成立若存在，求出點(diǎn)？勺坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.I?I已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(2?,0)，且與直線？?=-事目切，其中？?>0.(1) 求動(dòng)圓圓心？的軌跡的方程；設(shè)?視軌跡？先異丁原點(diǎn)？?勺兩個(gè)不同點(diǎn)，直線？?？?？?jī)A斜角分別為？和?當(dāng)？俺化且？?+?%定值？?0<?<兀)時(shí)，證明直線？?包過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).14. 已知拋物線？=2?>0)的準(zhǔn)線與？軸交丁點(diǎn)？過(guò)點(diǎn)？敬圓?(?5)一點(diǎn)，從原點(diǎn)。向圓M:(xx。)2(yy。)2作兩條切線分別與橢圓C交丁點(diǎn)P

9、、Q,直線OP、OQ的斜率分別記為k1,k2(1)求證：k1k2為定值；求四邊形OPMQ面積的最大值.2218. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知R冷，y是橢圓C：匕1上的一2412點(diǎn)，從原點(diǎn)。向圓R:x為2yy°28作兩條切線，分別交橢圓丁P,Q.(1) 若R點(diǎn)在第一象限，且直線OP,OQ互相垂直，求圓R的方程；(2) 若直線OP,OQ的斜率存在，并記為虹，k2,求虹，k2的值；(3) 試問(wèn)OP2OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由.+?=9的兩條切線，切點(diǎn)為？?，？|?|=3招.(1) 求拋物線？的方程；設(shè)?？淀拋物線？左分別位??？軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且曾？?暨(

10、其中？物坐標(biāo)原點(diǎn)). 求證：直線？?？過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)？勺坐標(biāo)； 過(guò)點(diǎn)？?乍？?制垂線與拋物線交?。课稂c(diǎn)，求四邊形？?？的最小值.19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)是橢圓C:y21上2三中點(diǎn)弦問(wèn)題22橢圓C:與J1ab0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2握，P為橢圓C上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),abO為坐標(biāo)原點(diǎn)，A2為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PA2的中點(diǎn)，且直線PA2與直線OM的斜率之積為1.2(1) 求橢圓C的方程；過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)A,B,線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N,N點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是1,0，求線段AB的長(zhǎng)的取值4范圍.22在平面直

11、角坐標(biāo)系xoy中，過(guò)橢圓七1(ab0)右焦點(diǎn)的直線abxy<70交橢圓C丁M,N兩點(diǎn)，P為M,N的中點(diǎn)，且直線OP的斜率為-.3(I)求橢圓C的方程；(皿)設(shè)另一直線l與橢圓C交丁A,B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離為,求2AOB面積的最大值.20. 22如圖，橢圓E:冬&1(ab0)左右頂點(diǎn)為A、B,左右焦點(diǎn)為abFi，F(xiàn)2，AB|4,F1F2273,直線ykxm(k0)交橢圓E丁點(diǎn)GD兩點(diǎn),與線段F1F2橢圓短軸分別交丁MN兩點(diǎn)(MN不重合)，且CMDN.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線AD,BC的斜率分別為k,k2,求&的取值范圍.k221. 22如圖，在平面直角坐標(biāo)

12、系xoy中，已知橢圓C:與1(ab0)的離心ab、1率e1,左頂點(diǎn)為A(4,0)，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k0)的直線l交橢圓C丁點(diǎn)2d,交y軸丁點(diǎn)e.(I)求橢圓C的方程；(n)已知P為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q,對(duì)丁任意的k(k0)都有OPEQ，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由；若過(guò)o占作盲線l的平行線交橢圓c丁占M求|AD|AE|的最小俏山/Z2LO八、IiEELiIH4IIJIrn匕4J八、2.)|°M|JIJ=L.22. ,一一？礦、，.一、.、左已知橢圓?:福+源=1(?>?>0)過(guò)點(diǎn)?0,-1)，且離心率?住三.(1) 求橢圓？勺方程；若橢圓？"

13、存在點(diǎn)？?發(fā)丁直線?=?1對(duì)稱(chēng)，求？?勺所有取值構(gòu)成的集合？并證明對(duì)丁？£?物中點(diǎn)包在一條定直線上.如圖，在直角坐標(biāo)系？?？點(diǎn)?(1,1)到拋物線？?？=2?>0)的準(zhǔn)線的5距離為宇.點(diǎn)？q?i)是？先的定點(diǎn)，？淀？左的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段？?？直線？?平分.(1) 求?值；求?積的最大值.23. 已知拋物線？=4?過(guò)其焦點(diǎn)？?乍兩條相互垂直且不平行??？軸的直線，分別交拋物線？如點(diǎn)？?，？?和點(diǎn)？?，？?，線段？?，？?的中點(diǎn)分別記為？，?該.(1) 求?,面積的最小值；求線段？該的中點(diǎn)？瞞足的方程.24. 平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:三#1(ab0)的離心率是乎，拋物線E:x2

14、2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)P是E上動(dòng)點(diǎn)，且位丁第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交丁不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過(guò)P且垂直丁x軸的直線交丁點(diǎn)M.(i)求證：點(diǎn)M在定直線上；(ii)直線l與y軸交丁點(diǎn)G，記PFG的面積為&,PDM的面積為&,求冬的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).四定比分點(diǎn)27.已知點(diǎn)E(2,0)，點(diǎn)P是橢圓F:(點(diǎn)，線段EP的36上2)y.S2垂直平分線FP交丁點(diǎn)M,點(diǎn)M的貌跡記為曲線(I)求曲線C的方程；軸丁點(diǎn)N,已知NAmAF,(U)過(guò)F的直線交曲線C丁不同的A,B兩點(diǎn)，交yNBnBF，求mn的值.28.

15、在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A(a/6,0),A2(T6,0),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0,m),N2(0,n),且mn2.(I)求直線AM與丹阮交點(diǎn)M的軌跡C的方程；(n)過(guò)R(3,0)的直線與軌跡C交丁P,Q,過(guò)P作PNx軸且與軌跡C交uunumr一uuirUULT丁另一點(diǎn)N,F為軌跡C的右焦點(diǎn)，若RPRQ(1)，求證：NFFQ.2229.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:4%1a>b>0的左、右焦ab點(diǎn)分別為Fi,F2,P為橢圓上一點(diǎn)(在x軸上方)，連結(jié)PR并延長(zhǎng)交橢圓UULTUULT丁另一點(diǎn)Q,設(shè)PF1FQ.(1) 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3),且PQF2的周長(zhǎng)為8,求橢圓C

16、的方程；(2) 若PF2垂直丁x軸，且橢圓C的離心率e1,重，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22五結(jié)論2230.已知橢圓20.已知橢圓C:%1ab0經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,而且離心率等丁ab四，點(diǎn)A,B分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上.2(1) 求橢圓C的方程；(2) M,N是橢圓C上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足OMIIAP,ONIIBP,求證：三角形MON的面積是定值.31. 過(guò)點(diǎn)(1,京，離心率為?.過(guò)橢圓右頂點(diǎn)？?勺兩條斜率乘積為-:的直線分別交橢圓？方？?，？物點(diǎn).(1) 求橢圓？?勺標(biāo)準(zhǔn)方程；直線？是否過(guò)定點(diǎn)？詁過(guò)定點(diǎn)？求出點(diǎn)？?勺坐標(biāo)，若不過(guò)點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.32. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi據(jù),0,F2V5,0,

17、M是橢圓上一點(diǎn)，若uumuiuffuuuuuuuurMF1MF20,MF1MF28.33. (1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，A”A2分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PR,PA2與直線x普5分別交丁E,F兩點(diǎn)，試證：以EF為直徑的圓交x軸丁定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).34. 已知拋物線x22pyp0的焦點(diǎn)為F，直線x4與x軸的交點(diǎn)為P,與拋物線的、.一5交點(diǎn)為Q,且QFPQ4(1)求拋物線的方程；(2)如圖所示，過(guò)F的直線l與拋物線相交于A,D兩點(diǎn)，與圓x2y121相交于B,C兩點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)相鄰)，過(guò)A,D兩點(diǎn)分別作我校的切線，兩條切線相交于點(diǎn)M,求ABM與CDM的面積之積的最小值.？

18、35. 已知橢圓部+萬(wàn)=1(？0),其右準(zhǔn)線？軸交丁點(diǎn)？橢圓的上頂點(diǎn)為？過(guò)它的右焦點(diǎn)？盆垂直丁長(zhǎng)軸的直線交橢圓丁點(diǎn)？直線？潴經(jīng)過(guò)線段？商中點(diǎn)？(1) J-求橢圓的離心率；設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是？、？，且？=-3,求橢圓的方程;在(2)的條件下，設(shè)?如橢圓右準(zhǔn)線？異丁？?勺任意一點(diǎn)，直線？?？方橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為？、？,求證：直線？為？軸交丁定點(diǎn).36. 已知點(diǎn)A(1,0),B(1,0)，直線AM與直線BM相交丁點(diǎn)M，直線AM與直線BM的斜率分別記為kAM與kBM,且kAMkBM2.(皿)過(guò)定點(diǎn)F(0,1)作直線PQ與曲線C交丁P,Q兩點(diǎn)，OPQ的面積是否存在最大值？若存在，求出OPQ面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.已知一個(gè)動(dòng)圓與兩個(gè)定圓(x捉)2y2-和(x42)y2竺均相切，其44圓心的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；過(guò)點(diǎn)F(v'2,0)做兩條可相垂直的直線li,l2，設(shè)1l與曲線C交丁A,B兩點(diǎn)，l2與曲線C交丁C,D兩點(diǎn)，線段AC,BD分別與直線x龍交丁M,M,N兩點(diǎn)。求證|MF|:|NF|為定值.六運(yùn)算轉(zhuǎn)化22設(shè)橢圓C:筆二1ab0的左、右焦點(diǎn)分另U為巳月，上頂點(diǎn)為A,過(guò)Aa2b2與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸丁Q點(diǎn)，且Fi恰好為線