圓錐曲線解題技巧和方法綜合全

1、圓錐曲線的解題技巧、常規(guī)七大題型:設曲線上兩點為(xi,yi),(1)中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法(點差法)(X2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式(當然在這里也要注意斜率不存在的請款討論)，消去四個參數。22Xy如：(1)r亍=1(ab0)與直線相交于A、B,設弦AB中點為M(X,yo),則有abxoyo孑八。(22X2a1(a0,b0)與直線I相交于A、B,設弦AB中點為M(Xo,y。)則有X0=0ab2(3)y2=2px(p0)與直線I相交于A、B設弦AB中點為M(X0,y。)，則有2yk=2p,即y0k=p.2y典型例題給定雙曲線X21。過A

2、(2,1)的直線與雙曲線交于兩點P1及F2,求線段F1P2的中點F的軌跡方程。焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點P,與兩個焦點Fi、F2構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。22典型例題設P(X,y)為橢圓務與=1上任一點，R(-C,0),F2(C,0)為焦點，abPFiF八.？，PF2R=1。(1) 求證離心率-HL;sina+sinP求|PFi13PF2I3的最值。(2) 直線與圓錐曲線位置關系問題直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式、根與系數的關系、求根公式等來處理，應特別注意數形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦

3、點，結合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程y2=p(x1)(p0)，直線x?y=:t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。求證：直線與拋物線總有兩個不同交點設直線與拋物線的交點為A、B,且0AOB,求p關于t的函數f(t)的表達式。(3) 圓錐曲線的相關最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關最值(范圍)問題，常用代數法和幾何法解決。若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。若命題的條件和結論體現明確的函數關系式，則可建立目標函數(通常利用二次函數，三角函數，均值不等式)求最值。,可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”或者將a表示為另一個變量的

4、函數，利用求函數的值域求出a的范圍；對于(2)，即：“最值問題，函首先要把ANAB的面積表示為一個變量的函數，然后再求它的最大值數思想”最值問題的處理思路：1、建立目標函數。用坐標表示距離，用方程消參轉化為一元二次函數的最值問題，關鍵是由方程求x、y的范圍；2、數形結合，用化曲為直的轉化思想；3、利用判別式，對于二次函數求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0)，過M(a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B,|AB|W2p(1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求ANAB面積的最大值求

5、曲線的方程問題1?曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數法解決。典型例題已知直線L過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A(-1,0)和點B(0,8)關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。2?曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓C:x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。存在兩點關于直線對稱問題在曲線上兩點關于某直線對稱I可題，可以按如下方式分二步解決：求兩點所在的直線,求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。(當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決)典型例題已知橢圓c的

6、方程1,試確定m的取值范圍，使得對于直線y=4xm，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱(7)兩線段垂直I可題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用yi?y2ki?k21Xi?X22二-1來處理或用向量的坐標運算來處理典型例題已知直線l的斜率為k,且過點P(-2,0)，拋物線C:y2=4(x?1)，直線I與拋物線C有兩個不同的交點(如圖)。(1) (1)求k的取值范圍；直線I的傾斜角二為何值時，a、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面:在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。

7、下面舉例說明:(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，并結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。典型例題設直線3x4ym=0與圓x2y2?x-2y=0相交于P、Q兩點，。為坐標原點，若OP-OQ，求m的值。(2) 充分利用韋達定理及“設而不求”的策略我們經常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點O,焦點在y軸上的橢圓與直線y=x相交于p、Q兩點，/-且OPOQ,IPQL，求此橢圓方程。2(3) 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲

8、線的交點，因此也可以減少計算。典型例題求經過兩已知圓G:x2?y24x?2y=0和C2：x2,y2-2y-4=0的交點，且圓心在直線I:2x?4y-1=0上的圓的方程。(4) 充分利用橢圓的參數方程橢圓的參數方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界隹，可以解決相關的求最值的問題.這也是我們常說的三角代換法。22典型例題P為橢圓篤？岳1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求ab四邊形OAPB面積的最大值及此時點P的坐標。線段長的幾種簡便計算方法充分利用現成結果，減少運算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程y=kx?b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2bx的的方程

9、，方程的兩根設為Xa,Xb,判別式為,A則|ABU1k2?|xa-xb|=站？k2?一，若直接用結論，能減少配方、開方等運算|a|過程。22例求直線x-yT=0被橢圓x4y=16所截得的線段ab的長。 結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算。例Fi、F2是橢圓一1 1的兩個焦點，AB是經過Fi的弦，若|AB|=8,求值25IF2AIIF2BI禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉化為到準線的距離例點A(3,2)為定點，點F是拋物線y2=4x的焦點，點P在拋物線y2=4x上移動，若|PA|PF|取得最小

10、值,求點P的坐標。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備：1. 直線方程的形式直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。 與直線相關的重要內容傾斜角與斜率k二tan0,二)點到直線的距離d=人口心夾角公式:VA人B7.tana=2=昌寸|仆2人|弦長公式直線y=kx+b上兩點A(xnyj,B(x2,y2)間的距離：AB|=Ji+k2|為-x2=J(1+k2)(Xi+X2)2-4X1X2或AB=Ji*|%y2(4)兩條直線的位置關系Ii_|2=kik2=-1Ii|2=ki?2且bi=b22、圓錐曲線方程及性質、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)22標準方程：一=1(m0,n

11、?0且m=n)距離式方程：-(xc)y.(x-c)y=2a參數方程：x=acosA,y=bsinv、雙曲線的方程的形式有兩種22標準方程：一-1(mn0)mn|PFi|PF2|(6)焦半徑公式：(1、記住)橢圓焦點在x軸上時為a_exg;焦點在y軸上時為a_ey,可簡記為“左加右減，上加下減”。(5) 雙曲線焦點在x軸上時為e|x0|二a拋物線焦點在x軸上時為|&|+號,焦點在y軸上時為|%|+號、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？_第二、方法儲備1、點差法(中點弦問題)22設AXi,yi、BX22,Ma,b為橢圓L1的弦AB中點則有4322222222乞.=,1空.竺“；兩式相減得一竺_(

12、XiX2Xi+X2)yi_y2yiy2-3a=kAB4b43433432、聯立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎？4經典套路是什么？如果有兩個參數怎么辦？設直線的方程，并且與曲線的方程聯立，消去一個未知數，得到一個二次方程，使用判別式-0,以及根與系數的關系，代入弦長公式，設曲線上的兩點A(X!,yi),B(X2,y2),將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然后-，整體消元若有兩個字母未知數，貝S要找到它們的聯系，消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關系，則尋找坐標之間的關系，根與系數的關系結合消元處理。一旦設直線為廠kx,b,就意味著k存在。

13、例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓4x2?5y2=80上，且點A是橢圓短軸的一個端點(點A在y軸正半軸上).(1) 若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程；(2) 若角A為900,AD垂直BC于D,試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住重心”，利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為90?？傻贸鯝B_LAC,從而得X1X2yiy9b-32b-16=OJ解得b=4(舍)或b42-14(yi?y?)T6=0,然后利用聯立消元法及交軌法求出點D的軌跡方程；2222=12016-2016解：(1)設B(xi,yi),C(x?,y?),

14、BC中點為(x.,y),F(2,0)則有兩式作差有(X1X2)(X1-X2).(y1-y2)(y1y2)竺衛(wèi)_0(1)201654F(2,0)為三角形重心，所以由八=2,得X0=3，由=0得33討0-2，代入(1)得k=5直線BC的方程為6x-5y-28=02)由AB_LAC得x1x2y1yA14(y1y2)1A0(2)設直線BC方程為y=kx?b,Wx25y2=80,得222x1x2-10kbk,x1x28ky1y2二45k2(45k)x10bkx5b-80=025b-802224b2-80k2代入(2)式得45k2直線過定點(0,-4)，設D(x,y),則一口一1,即9xx9y29x2-3

15、2y_16二0所以所求點D的軌跡方程是s(y埒)2=(予2(yT4、設而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中AB=2CD，點E分有向線段AC所成的比為,雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當2乞r?時，34求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力。建、22立直角坐標系xOy，如圖，若設CC,h，代入舄-M=1,求得h二川，I2)ab22進而求得xA|,yA|,再代入篤-M,建立目標函數abf(a,b,cj)=0，整理f(ej)=0，此運算量可見是難上加難？我們對h可米取設而不求的解題策略，建

16、立目標函數f(a,b,c,)=0，整理f(e,)=0，化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy,則CDy軸因為雙曲線經過點C、D,且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱依題意，記A(-c,0),C.,h,E(X0,y。)，其中C=2AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，由定比分點坐標公式得Aji/cc齊x-_-_2c/x0-設雙曲線的方程為務占二則離心率e=aba由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和eC代入雙曲線方a程得由式得2.2將式代入式,整理得2e性一2I11jZ43+1J1+1)Tb2A,h2=1b222h孑1b24-4

17、A=12-,解得43.7_e_,10所以雙曲線的離心率的取值范圍為b,101(2匕，代入整理V-e21由題3-eA1,AC為焦半徑，可用焦半徑公式，AE,AC用E,C的橫坐標表示，回避h的計算，達到設而不求的解題策略.解法二：建系同解法一，|AE=-(a+eA),AC|=a+ex:,解得.7乞e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為.7,d015、判別式法例3已知雙曲線C工工=1，直線I過點A2,0，斜率為k,當220:k時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線I的距離為2,試求k的值及此時點B的坐標分析1:解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段

18、.從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與I平行的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數表現形式是所構造方程的判別式.:-0.由此出發(fā)，可設計如下解題思路：I:y=k(x.2)0:k:1I:y,令判別式A=0直線I在I的上方且到直線I的距離為.2解得k的值I的方程代入雙曲線方程，消去解題過程略.y=kx分析2:如果從代數推理的角改思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線I的距離為應”，相當于化歸的方程有唯一解.據此設計出如下解題思路:問題關丁x的方程k2+1kx-+2+x2-+2k-I0轉化1=A2(0ckC1)有唯:為一元二次方程根的問題求解-U用0:k:

19、1Jk+1簡解：設點M(x,2x2)為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線I的距離為：于是，問題即可轉偶為如上關幣x的方程.由于0:k1,所以2x2xkx,從而有kx-(2+x2-V2k=-kx+J2+x2+J2k.于是關于x的方程-:_kx+?2+x2+j2k=?2(k2+1)=2x2=(2(k21)-2kkx)2,j-,;2(k21):/2kkx0k2-1x22k2(k21)_2kx：；*2(k21)72k；-2=0,2(k21)j.:2kkx.0.方程k2-1x22A.2(k21A2k2(k21)-.2A-A0的二根同正，故.2(k2-1)-、2kkx。恒成立，于是等價于k2-1x22k.

20、2(k21)-2kx.2(k21)-、2k一2=0.由如上關于x的方程有唯一解，得其判別式0,就可解得25點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性例4已知橢圓C:x22y2二8和點P(4,1),過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q,使APPBAQQB求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數法求解.因此，首先是選定參數，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選

21、擇直線.、APAQ直線AB上；另一方面就是運用題目條件：.來轉化.由A、B、AB的斜率k作為參數，如何將x,y與k聯系起來？一方面利用點Q在P、Q四點共線，不難得到xA4*-Xb)-2XaXb,要建立x與k的關系，只-8-(XA+Xb)需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經做到心中有數APAQPBQB4g-2XaX目8-他+x0)1將宜T發(fā)方程代入橢圓方程，消去y,利用韋達定理X=f(k)利用點Q滿足直盆AB的方程：y=k(x4)+1,消去參數k點Q的軌跡方程在得到X二fk之后，如果能夠從整體上把握，認識

22、到：是得到關于X,y的方程(不含k),則可由y=k(x-4)入fk即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過x4簡解：設AXi,yiy2),Q(x,y),則由A-QQ解之得：x/xik2/8(xi+X2)程。設直線AB的方程為：廠k(x-4)?1,代入橢圓得出關于x的一元二次方程：2k21x24k(1-4k)x2(1-4k)2-8=04k(4k-1)xiX222k122(14k)-8所謂消參，目的不過+l解得k二口，直接代可得:，(1)C的方程，消去y(2)X1X2=2代入（1化簡得4k3X二2k1在（2）中，由A=-64k264k240，解得2一10,k10，結合（3）4WW4可求得16_2、/1

23、0J6+2阿99故知點Q的軌跡方程為：2x?y-4=0（16-210,x.!g人1）.99點評：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參？，而引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法22例5設直線I過點P（0,3）,和橢圓Zy1順次交于A、B兩94點，試求奉的取值范圍？PB分析：本題中，絕大多數同學不難得到：竺二一金，但從此后卻一PBXB籌莫展，問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾

24、個）參數的函數關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系？分析1:從第一條想法入手，詈二-卡已經是一個關系式，但由于有兩個變量Xa,Xb,同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k.問題就轉化為如何將Xa,xb轉化為關于k的表達式，至吐匕為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直線I的方程y=kx+3代入橢圓方程，消去y得到關丁x的一元二次方程求根公式1rxa=f(k),Xb=g(k)AP/PB=(xa/xb)簡解1:當直線I垂直于x軸時，可求得竺=；PB5當I與X軸不垂直時，設Ax

25、yi,B(X2,y2)直線I的方程為:kx3，代入橢圓方程，消去y得9k24x254kx45=0解之得x-27k69k2-5xx122_-27k+6U9k2-5當k0時,Xi2,x2=9k4所以A=_xL=-9k八9k2-5=r_18kPBx9k+29k-527k6十9正一522-:9k41_18929-9k+29k2-5因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮k0的情由=(-54k)2-1809k24-0，解得k2-5,所以一仁綜上_1乞V-1.PB5分析2:如果想構造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定k的取值范圍，于是問題轉

26、化為如何將所求量與k聯系起來.一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于竺=_冬不是關于Xi,X2的對稱關系式.原因找到后，解決問題的PBX2方法自然也就有了，即我們可以構造關于Xi,X2的對稱關系式？把直線I的方程y=kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程E達定理xa+X0=f(k),xaxb=g(K)AP/PB-(xa/xb)*構造所求鬲與k的關系式I由判別式得出k的取值范圍關于所求量的不等式簡解2：設直線|的方程為：Akx3,代入橢圓方程，消去y得229k4x54kx45=0（*）-54kXiX22,9k+445X1X2=2-、9k+4令

27、竺一，則，上2琴匚X2-45k2-20在（*）中，由判別式一0,可得5,92從而有*Y.芒，所以心工噸，解得1_,_5.5結合0得到m,n的萬程思維流程:解出m,n-1r內切圓=ADFH面積最大值為J3?%H了周長匯內切圓31轉化為點D的縱坐標的絕對值最大最大D為橢圓短軸端點得出D點坐標為g解題過程:(I)設橢圓方程為I3Jmx2+ny2=1(m0,n=0)將A(-2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入橢圓E的方程，得4m=1,x23y%，過點C的動直線與橢圓11x2y2(9解得m=-,n=_.？橢圓E的方程一+一=1mn=14343I4(H)|FH|=2,設ADFH邊上的高為Spfh二才2

28、h二h當點D在橢圓的上頂點時，h最大為.3,所以Spfh的最大值為.3.設ADFH的內切圓的半徑為R,因為ADFH的周長為定值6.所以,DFH所以R的最大值為旦.所以內切圓圓心的坐標為(。逅點石成金:S的內切圓=匚的周長r的內切圓例&已知定點C(-1,0)及橢匱相交于A,B兩點.(I)若線段AB中點的橫坐標是-*,求直線AB的方程；(H)在x軸上是否存在點M,使MAMB為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由思維流程：(I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y二k(x?1),將y二k(x1)代入x23y2=5，消去y整理得(3k21)x26k2x3k2-5=0.設人

29、(人yj,B(X2,y2),36k4-4(3k21)(3k2-5)0,貝Ui一乩白線段AB中點的橫坐標是得宇=一氏七，解得k=T,符合題意。所以直線AB的方程為x-、3y?1=0或x3y?1=0.(H)解：假設在x軸上存在點M(m,0)，使MAMB為常數.x-iX2二與3k13k2一xX2qM5所以MAMB=(N-m)(X2-m)yM當直綁B與x軸不垂直時，由(I)知2=(x，-m)(x2-m)k(x11)(x21)(2m)(3k21)2m4MAM人舄呼5需3k3-(k2-1)皿2(k2-m)(X1X2)k2m2.將代入，整理得2A16m14=m2m233(3k+1)注意到MA,MB是與k無關

30、的常數，從而有6m14=0,m-4MAMB.當直線AB與x軸垂直時，此時點A,B的坐標分別為-1,2、廿2,m=7時，亦有MAMB二里.123k213綜上，在x軸上存在定點M-7,，使MAMB為常數.點石成金(6m-1)k2?2(加一撲亦點石成金：MAMB2=m22m-血牛1例9、已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M(2,1),平行于OM的直線I在y軸上的截距為m(m33(3k2+1)工0),I交橢圓于A、B兩個不同點(I)求橢圓的方程；(H)求m的取值范圍；(皿)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形思維流程：解:22=1(ab0)(1)設橢圓方程為篤芫

31、aba=2b則41la2b2a2=8解得*b2=2(n)v直線i平行于om22?橢圓方程為=1，且在y軸上的截距為m1l的方程為：y=-xm1yxm222x22mx2m2-4=0Li?直線與橢圓交于A、B兩個不同點，.B=(2m)2_4(2m2-4)0,解得-2:m0,即3+4k2_m20,8mkXiX22,3+4k24(m-3)X1X22.24k?)2+4k23+4k3(乂yd2=(kXi+m)(kX2+m)hkxMz+口?B+x2)+m2=3因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),kADkPD=-1,艮口Xi-2X2_21.yiy2X1X2-2(x2223(m-4k)4(m-3)15mk,“2“.2224=0?7m16mk4k=034k34k34kx?)4=0與已知矛盾；當mA-2k時，I的方程y=k(x-2)，直線過點(2