數(shù)值分析（課堂PPT）

1、1 2課程內(nèi)容課程內(nèi)容第一章第一章 數(shù)值數(shù)值計(jì)算中的誤差計(jì)算中的誤差第二章第二章 方程（組）的迭代解法方程（組）的迭代解法第三章第三章 解線性方程組的直接解法解線性方程組的直接解法第四章第四章 解線性方程組的迭代法解線性方程組的迭代法第五章第五章 插值法插值法第六章第六章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分3第一章第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差4本章內(nèi)容本章內(nèi)容1 計(jì)數(shù)與數(shù)值計(jì)數(shù)與數(shù)值2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差4 算法舉例算法舉例5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差6 誤差分配原則與處理方法誤差分配原則與處理方法52 舍入方法與有效

2、數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字62 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.1 絕對誤差與相對誤差絕對誤差與相對誤差 近似數(shù)近似數(shù)a的的絕對誤差絕對誤差 ，設(shè)設(shè)a是精確值是精確值A(chǔ)的近似值，的近似值， =aA 絕對誤差限絕對誤差限 | |=|aA| (上界上界) 由上式可推知由上式可推知 a Aa+ ，也可表示為，也可表示為A=a a- - a+ + aA簡稱簡稱誤差誤差7 相對誤差相對誤差 ：絕對誤差與精確值之比絕對誤差與精確值之比 = /A。 實(shí)際計(jì)算實(shí)際計(jì)算 /a。代替后誤差代替后誤差21 AaAaAaaA 相對誤差限相對誤差限 | |=| /a | /|a| (上界上界) 絕對誤差是有量綱的

3、量，相對誤差沒有量綱絕對誤差是有量綱的量，相對誤差沒有量綱,有時(shí)有時(shí)亦用百分比、千分比表示。亦用百分比、千分比表示。2 舍入方法與有效數(shù)字 2.1 絕對誤差與相對誤差8例：例：計(jì)算絕對誤差與相對誤差計(jì)算絕對誤差與相對誤差 (1) a=0.3100*101 近似精確值近似精確值A(chǔ)=0.3000*101(2) a=0.3100*10-3近似精確值近似精確值 A=0.3000*10-3，解：解：(1) =0.1，(2) =0.1*10-4，2 舍入方法與有效數(shù)字 2.1 絕對誤差與相對誤差 =0.033=3.3% =0.033=3.3%9例：例：用最小刻度為毫米的卡尺測量直桿甲和直桿乙，用最小刻度為

4、毫米的卡尺測量直桿甲和直桿乙， 分別讀出長度分別讀出長度a=312mm和和b=24mm，問：問： (1) a、b的絕對誤差限、相對誤差限各是多少？的絕對誤差限、相對誤差限各是多少？ (2)兩直桿實(shí)際長度兩直桿實(shí)際長度x和和y在什么范圍內(nèi)？在什么范圍內(nèi)？mmbymm5 .24)(5 .23 解：解：mmba5 . 0)()( %16. 03125 . 0)()( aaa %08. 2245 . 0)()( bbb mmaxmm5 .312)(5 .311 2 舍入方法與有效數(shù)字 2.1 絕對誤差與相對誤差10 舍入方法舍入方法: 將無限位字長的精確數(shù)處理成有限位字長近似將無限位字長的精確數(shù)處理成

5、有限位字長近似數(shù)的處理方法數(shù)的處理方法 A=a0 a1 am am+1 am+n am+n+1 高位部分高位部分低位部分低位部分表示成表示成 A=a0 a1 am . am+1 am+n + 0 . 00 am+n+1 2 舍入方法與有效數(shù)字 2.2 舍入方法n位位11取取a=a0 a1 am . am+1 am+n| | | | aA | 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 999. 0 . 0 0 1=110n 截?cái)喾ń財(cái)喾óa(chǎn)生的絕對誤差限不超過近似數(shù)產(chǎn)生的絕對誤差限不超過近似數(shù)a最末位最末位的的1個(gè)單位。個(gè)單位。2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.2 舍入方法舍入方法

6、 2.2.1 截?cái)喾ń財(cái)喾╪位位n-1位位 A=a0 a1 am . am+1 am+n + 0 . 00 am+n+1 n位位n位位12 四舍情況，四舍情況， 當(dāng)當(dāng)am+n+1 =0,1,2,3,4時(shí)，時(shí)， 取取 a= a0 a1 am . am+1 am+n| | |aA| 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 499. 0 . 0 0 5=0.510-n0,1,2,3,42 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.2 舍入方法舍入方法 2.2.2四舍五入法四舍五入法n位位n位位絕對誤差限絕對誤差限 =0.510-n A=a0 a1 am . am+1 am+n + 0 . 00

7、 am+n+1 n位位n位位13 五入情況五入情況當(dāng)當(dāng)am+n+1 =5,6,7,8,9時(shí)，時(shí)，取取 a= a0 a1 am . am+1 (am+n+1) |=| aA |= 0 . 0 0 1 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 1 0 . 0 0 50. = 0.510-n5,6,7,8,92 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.2 舍入方法舍入方法 2.2.2四舍五入法四舍五入法n-1位位n位位n位位n-1位位絕對誤差限絕對誤差限 =0.510-n A=a0 a1 am . am+1 am+n + 0 . 00 am+n+1 n位位14 四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后第四舍五入到小

8、數(shù)點(diǎn)后第n位的方法位的方法: | 0.510-n = 0.510-n 結(jié)論：結(jié)論：凡是由凡是由準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入而得到的近似經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，其絕對誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位。值，其絕對誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位。2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.2 舍入方法舍入方法 2.2.2四舍五入法四舍五入法15 例：例：設(shè)設(shè)a=-2.18和和b=2.1200是分別由準(zhǔn)確值是分別由準(zhǔn)確值x和和y經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，問經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，問: a、b的絕的絕對誤差限、相對誤差限各是多少？對誤差限、相對誤差限各是多少？2105 . 0005. 0)(

9、a 解：解：4105 . 000005. 0)( b %23. 018. 2005. 0)()( aaa %0024. 01200. 200005. 0)()( bbb 2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.2 舍入方法舍入方法 2.2.2四舍五入法四舍五入法16 定義定義：如果近似數(shù)：如果近似數(shù)x的絕對誤差不超過某一位的絕對誤差不超過某一位數(shù)字的半個(gè)單位，則稱數(shù)字的半個(gè)單位，則稱x準(zhǔn)確到這一位準(zhǔn)確到這一位； 從該位數(shù)字到第一位非零的所有數(shù)字均叫做從該位數(shù)字到第一位非零的所有數(shù)字均叫做有有效數(shù)字效數(shù)字； 若共有若共有n位數(shù)字，則稱位數(shù)字，則稱x具有具有n位位有效數(shù)字有效數(shù)字。 若近似數(shù)

10、若近似數(shù)x的絕對誤差不超過最末一位的半個(gè)的絕對誤差不超過最末一位的半個(gè)單位，則稱單位，則稱x為為有效數(shù)有效數(shù)。2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字 推論推論1 對于給出的對于給出的有效數(shù)有效數(shù)，其絕對誤差限不大于，其絕對誤差限不大于其最末數(shù)字的半個(gè)單位。其最末數(shù)字的半個(gè)單位。由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值是有效數(shù)。由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值是有效數(shù)。17 例：例：設(shè)設(shè)x*=2.40315是精確值是精確值x=2.40194的近似值，的近似值，則則x*有幾位有效數(shù)字？有幾位有效數(shù)字？2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字0. 5 1

11、0-2 解：解：|= |2.40315-2.40194|=0.00121x*有有3位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。18)(001021|101021|nmmnaa 推論推論2 有效數(shù)的有效數(shù)的相對誤差限為相對誤差限為|.10101021|110 mmnaa )1(0105 nma有效數(shù)位越多，相對誤差就越小有效數(shù)位越多，相對誤差就越小。 2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字 105有有效效數(shù)數(shù)字字位位數(shù)數(shù)第第一一位位非非零零數(shù)數(shù)字字 證明：證明： 令有效數(shù)令有效數(shù)A=a0 a1 am . am+1 am+n19 例：例：計(jì)算計(jì)算sin1.2，問要取幾位有效數(shù)字才能保證相，

12、問要取幾位有效數(shù)字才能保證相對誤差限不大于對誤差限不大于0.01%？2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字解：解：Sin1.2=0.932039 設(shè)取設(shè)取n位有效數(shù)字位有效數(shù)字則：則：510-n/90.01% 10-n 1.4 10-4 n 4取取4位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。20 注注1：從有效數(shù)從有效數(shù)x的最末位的最末位數(shù)字向左到數(shù)字向左到x的第一位非零數(shù)字的第一位非零數(shù)字均為有效數(shù)字。均為有效數(shù)字。2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值為有效數(shù)，從它的末由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值為有效數(shù)，從它的末位

13、數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。 例：例：x=1.315416876, 如果取作如果取作1.32，則有三位有效數(shù)字則有三位有效數(shù)字,誤差限誤差限0.005; 如果取作如果取作1.3154，則有五位有效數(shù)字則有五位有效數(shù)字,誤差限為誤差限為0.00005。 0.003529 0.00352900兩個(gè)不同的有效數(shù)兩個(gè)不同的有效數(shù)21 注注2：浮點(diǎn)數(shù)的有效數(shù)字由其定點(diǎn)部分的有效數(shù)位確定。浮點(diǎn)數(shù)的有效數(shù)字由其定點(diǎn)部分的有效數(shù)位確定。2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字例：例：有效數(shù)有效數(shù)x=1510-5, 定點(diǎn)部分定點(diǎn)部分15有有2位

14、有效數(shù)字位有效數(shù)字 x有有2位有效數(shù)字位有效數(shù)字 誤差限誤差限 為為0. 5 10-5 相對誤差限相對誤差限 為為 有效數(shù)有效數(shù)y=7.83105 y有有3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 5-5-1015105 . 0 ，誤差限，誤差限 為為0.005 105=0.5 103155 . 0 22 例：例：下列近似值的絕對誤差限都是下列近似值的絕對誤差限都是0.005: a=1.38，b=-0.0312，c=0.86 10-4 ，d=0.86 104 問：各個(gè)近似值有幾個(gè)有效數(shù)字？問：各個(gè)近似值有幾個(gè)有效數(shù)字？ 從小數(shù)點(diǎn)后第二位開始數(shù)起從小數(shù)點(diǎn)后第二位開始數(shù)起 解：解：a:n=3 (1,3,8)b:n=1

15、 (3)c:n=0（沒有有效數(shù)字（沒有有效數(shù)字）d:n=6（8,6,0,0,0,0）2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字23 注注3：若已知數(shù)若已知數(shù)x及其誤差限及其誤差限，要求要求確定其有效數(shù)位確定其有效數(shù)位并對并對x作舍入處理作舍入處理。2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字將將 擴(kuò)大成擴(kuò)大成 0. 5 10-k，對對x舍入到小數(shù)點(diǎn)后舍入到小數(shù)點(diǎn)后k位。位。例：例：x=2.45648,其誤差限其誤差限 0.000789456。 0.000789456 0. 5 10-2 x= 2.45648 ，有，有3位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 舍入

16、處理為舍入處理為x= 2.46 。x= 2.46 不是有效數(shù)。不是有效數(shù)。其誤差包含了舍入誤差與原誤差。其誤差包含了舍入誤差與原誤差。24 注注4：若若要求近似要求近似數(shù)數(shù)x的誤差限小于的誤差限小于，確定確定x取幾位有效取幾位有效數(shù)字。數(shù)字。2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字將將 縮小成縮小成0. 5 10-k ，對對x對應(yīng)的精確數(shù)對應(yīng)的精確數(shù)舍入到小舍入到小數(shù)點(diǎn)后數(shù)點(diǎn)后k位得到位得到x 。例：例：要求要求x的誤差限小于的誤差限小于 = 0.00045。 0. 5 10-4 0.00045x取至小數(shù)點(diǎn)后第取至小數(shù)點(diǎn)后第4位。位。25 2.1 絕對誤差與相對誤差絕

17、對誤差與相對誤差 設(shè)設(shè)A是精確值，是精確值，a是近似值，是近似值， 絕對誤差絕對誤差 =aA 絕對誤差限絕對誤差限 | |=|a-A| (上界上界) 相對誤差相對誤差 = /A 相對誤差限相對誤差限 = /|A| (上界上界) 絕對誤差和相對誤差有關(guān)系絕對誤差和相對誤差有關(guān)系 =a 2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字小結(jié)小結(jié)26 2.2 舍入方法舍入方法 截?cái)喾ń財(cái)喾? 絕對誤差限為最末位的絕對誤差限為最末位的1個(gè)單位個(gè)單位 四舍五入法四舍五入法: 絕對誤差限為末位的半個(gè)單位絕對誤差限為末位的半個(gè)單位2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字小結(jié)小結(jié)27 我們希望所表示的數(shù)本身就能顯示出它

18、的準(zhǔn)確我們希望所表示的數(shù)本身就能顯示出它的準(zhǔn)確程度，于是引入程度，于是引入 2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字反映絕對誤差限反映絕對誤差限 有效數(shù)的絕對誤差限為最末數(shù)字的半個(gè)單位有效數(shù)的絕對誤差限為最末數(shù)字的半個(gè)單位 由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字?jǐn)?shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字 在講了有效數(shù)字之后，規(guī)定，在講了有效數(shù)字之后，規(guī)定，所寫出的數(shù)都應(yīng)所寫出的數(shù)都應(yīng)該是四舍五入到最后一位有效數(shù)字位。該是四舍五入到最后一位有效數(shù)字位。2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字小結(jié)小結(jié)28本章內(nèi)容本章內(nèi)容 1 計(jì)數(shù)與數(shù)值計(jì)數(shù)與

19、數(shù)值 2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 4 算法舉例算法舉例 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 6 誤差分配原則與處理方法誤差分配原則與處理方法293 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差30vx*，y*為準(zhǔn)確值，為準(zhǔn)確值，x，y為其近似值為其近似值v絕對誤差為：絕對誤差為： x=x-x*， y=y-y*v絕對誤差限為絕對誤差限為: |x-x*| x , |y-y*| y vC=x y C=CC*= (x y) (x* y*) (x-x*) (y-y*)= x y | C| | x| + | y| x+ y 和差運(yùn)算的絕對誤差限為各數(shù)的絕對誤差限之

20、和和差運(yùn)算的絕對誤差限為各數(shù)的絕對誤差限之和。3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.1 加減運(yùn)算加減運(yùn)算 C31例例1.1： 求有效數(shù)求有效數(shù)285.35，196.87，58.43，4.96的和。的和。285.35285.35196.87196.8758.4358.43+) 4.96+) 4.96545.61545.61和和545.61545.61的絕對誤差限為的絕對誤差限為: :4(0.510-2)=0.02545.61545.61有有4 4位有效數(shù)字，舍入處理為位有效數(shù)字，舍入處理為545.6545.63 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.1 加減運(yùn)算加減運(yùn)算0.0532 3.15

21、0950 15.426463 568.3758+7684.388 8271.341213例例1.2: 求有效數(shù)求有效數(shù)3.150950，15.426463，568.3758， 7684.388的和。的和。 0.0000005 0.0000005 0.00005 + 0.0005 0.00055100.50.5* *1010- -2 2和和=8271.34=8271.34誤差限誤差限沒有意義沒有意義3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.1 加減運(yùn)算加減運(yùn)算33 3.150950 15.426463 568.3758+7684.388作舍入作舍入處理處理 和的絕對誤差限為和的絕對誤差限為 3*

22、(0.5*10-4)+0.5*10-3=0.000650.005 和和=8271.34 3.1510 15.4265 568.3758+7684.388 8271.34133 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.1 加減運(yùn)算加減運(yùn)算343 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.2 乘積運(yùn)算乘積運(yùn)算若多元函數(shù)若多元函數(shù)f在其定義域內(nèi)的一點(diǎn)在其定義域內(nèi)的一點(diǎn)(x1,x2, xn)可微，可微，則則f在該點(diǎn)的增量可表示為：在該點(diǎn)的增量可表示為：或或nnnnndxxfdxxfdxxfdfxxxxxfxxfxxff 2211222212211)( 353 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.2 乘積運(yùn)

23、算乘積運(yùn)算vx*,y*為準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值,x,y為其近似值為其近似值v絕對誤差為絕對誤差為: x=x-x*, y=y-y*v絕對誤差限為絕對誤差限為: |x-x*| x , |y-y*| y vC=xyvdC近似近似 C， dx x， dy y。 | C| |y| | x| +|x| y| |y| x+ |x| ydC=xdy+ydx C=y x+x yyxyyxxxyyxxyCCC 36 乘積運(yùn)算的相對誤差為各乘數(shù)的相對誤差之和；乘積運(yùn)算的相對誤差為各乘數(shù)的相對誤差之和； 乘積運(yùn)算的相對誤差限為各乘數(shù)相對誤差限之和。乘積運(yùn)算的相對誤差限為各乘數(shù)相對誤差限之和。3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤

24、差 3.2 乘積運(yùn)算乘積運(yùn)算 | C| |y| | x| +|x| y| |y| x+ |x| y C= x + y CyxyyxxxyxyyxCCC | C| =| x+ y| =| x|+| y| x + y37 商運(yùn)算的相對誤差限等于除數(shù)與被除數(shù)的相對商運(yùn)算的相對誤差限等于除數(shù)與被除數(shù)的相對誤差限之和。誤差限之和。yxc 2yxdyydxdc yyxxyxyyxxyccc 2 |yyxxccc 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.3 商運(yùn)算商運(yùn)算2yyxxyc C= x + y38例例1.41.4：求有效數(shù)求有效數(shù)25.725.7和和3.63.6的商以及商的相對的商以及商的相對誤差

25、限和絕對誤差限。誤差限和絕對誤差限。解：解： C 0.05/25.7+0.05/3.6=0.016C=25.7/3.6=7.13889 C = 7.13889*0.016=0.110.53 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.3 商運(yùn)算商運(yùn)算25.7/3.6=7393 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.3 冪運(yùn)算冪運(yùn)算 冪運(yùn)算的相對誤差等于底數(shù)相對誤差的指數(shù)倍冪運(yùn)算的相對誤差等于底數(shù)相對誤差的指數(shù)倍 冪運(yùn)算的相對誤差限等于底數(shù)相對誤差限的指數(shù)倍冪運(yùn)算的相對誤差限等于底數(shù)相對誤差限的指數(shù)倍)1, 0( ppxcpdxpxdcp 1 xpxxpxxpxcccpp 1xpxcp 1| c|=p

26、| x|40(1) 誤差與計(jì)算次數(shù)成正比誤差與計(jì)算次數(shù)成正比簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。算次數(shù)。例：例：計(jì)算多項(xiàng)式的值計(jì)算多項(xiàng)式的值 011.)(axaxaxPnnnn 如果改寫為：如果改寫為：0121).)(.()(aaaaxaxxxxPnnn 運(yùn)算次數(shù)：運(yùn)算次數(shù)：乘法：乘法：n+(n-1)+1=n(n+1)/2 加法：加法：n 運(yùn)算次數(shù)：運(yùn)算次數(shù)：乘法：乘法：n 加法：加法：n 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.4 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (1)減少運(yùn)算次數(shù)減少運(yùn)算次數(shù)秦九昭算法秦九昭算法(1247)(1247)Hernor(1819)Hern

27、or(1819)41(2) 防止大數(shù)吃小數(shù)的情況防止大數(shù)吃小數(shù)的情況數(shù)量級相同的先運(yùn)算數(shù)量級相同的先運(yùn)算在計(jì)算機(jī)內(nèi)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)，做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點(diǎn)部分相加。對齊，再將浮點(diǎn)部分相加。 10103 3(0.8961)(0.8961) 10 1033(0.4688)(0.4688) 對對 階階 10103 3(0.8961)(0.8961) 10 103 3(0.0000)004688(0.0000)004688可能結(jié)果：可能結(jié)果：a+b+c a+c+b例：例：a=1012，b=10，c=-a3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.4 運(yùn)

28、算時(shí)需要注意的地方運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù)防止大數(shù)吃小數(shù)42例如計(jì)算例如計(jì)算 采用采用3位浮點(diǎn)數(shù)的截?cái)喾绞竭M(jìn)行運(yùn)算位浮點(diǎn)數(shù)的截?cái)喾绞竭M(jìn)行運(yùn)算101.31211 y從左到右的次序計(jì)算得從左到右的次序計(jì)算得y=2.91=2.91從右到左的次序計(jì)算得從右到左的次序計(jì)算得y=2.93=2.93誤差誤差0.010.019 9誤差誤差0.000.001 1n避免這種情況避免這種情況, ,按絕對值從小到大的次序相加。按絕對值從小到大的次序相加。3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.4 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù)防止大數(shù)吃小數(shù)真值真值2 2. .9

29、2896825492896825443(3) 兩個(gè)相近數(shù)相減，易失有效位兩個(gè)相近數(shù)相減，易失有效位 兩正數(shù)之差兩正數(shù)之差 C=x-y的相對誤差限是的相對誤差限是 因?yàn)橐驗(yàn)閤和和y的前幾位有效數(shù)字必然相同，相減之后有的前幾位有效數(shù)字必然相同，相減之后有效數(shù)字位會(huì)大大減少，使有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失效數(shù)字位會(huì)大大減少，使有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失 例如：例如：cos20=0.9994，1 cos20=0.0006 避免這種情況，可以使用避免這種情況，可以使用轉(zhuǎn)換公式轉(zhuǎn)換公式；或者；或者增加增加字長字長，維持一定有效位，保證精度。，維持一定有效位，保證精度。yxyxyxC 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.4

30、 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (3) 禁止相近數(shù)相減禁止相近數(shù)相減44(4)當(dāng)當(dāng)商運(yùn)算的商運(yùn)算的分母很小時(shí)，分母很小時(shí)，| |c| |可能很大可能很大xyccyxyxyxxyxc *1,商的真值商的真值)(000001. 01000001. 0 真值真值baC 1000000商的真值商的真值分子舍入誤差分子舍入誤差放大了放大了10106 6倍倍3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.4 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (4) 禁止除數(shù)過小禁止除數(shù)過小例：例：分母分母0.00000145 (5) 當(dāng)分母為兩個(gè)相近數(shù)相減時(shí)當(dāng)分母為兩個(gè)相近數(shù)相減時(shí), ,會(huì)因有效數(shù)字會(huì)因有效

31、數(shù)字喪失而出現(xiàn)喪失而出現(xiàn)(4)的情況的情況)(100001. 0)(1455. 01456. 0)(4分子分子分子分子分子分子 這里分子的誤這里分子的誤差被擴(kuò)大差被擴(kuò)大10104 4倍倍3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.4 運(yùn)算時(shí)需要注意的地方運(yùn)算時(shí)需要注意的地方 (4) 禁止除數(shù)過小禁止除數(shù)過小46 在各種數(shù)學(xué)模型中在各種數(shù)學(xué)模型中, 它們的解與它們的解與x1,x2, ,xn有關(guān)有關(guān),可以記為可以記為y=f(x1,x2,xn) 假定假定f在點(diǎn)在點(diǎn)(x1,x2,xn )可微，則當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較可微，則當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時(shí)，解的誤差限可估計(jì)如下：小時(shí)，解的誤差限可估計(jì)如下：),.,2,1(| |

32、 |11nixxfxxfiiniiiniii 其中其中nnnxxfxxfxxfxxxf |.|),.,(|221121Ai3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.5 數(shù)學(xué)問題解的誤差估計(jì)數(shù)學(xué)問題解的誤差估計(jì) f47 解的相對誤差限如下：解的相對誤差限如下：iiniiiiiniinfxxfxxfxxfxxxf | ),.,(|1121Bi 公式僅當(dāng)公式僅當(dāng) xi較小時(shí)才合宜較小時(shí)才合宜,否則否則 f或或f按按xi為線性迭加進(jìn)行估計(jì)，實(shí)際為非線性變化為線性迭加進(jìn)行估計(jì)，實(shí)際為非線性變化系數(shù)系數(shù)Ai、Bi的大小可以衡量解對數(shù)據(jù)誤差的敏感程度的大小可以衡量解對數(shù)據(jù)誤差的敏感程度3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算

33、術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.5 數(shù)學(xué)問題解的誤差估計(jì)數(shù)學(xué)問題解的誤差估計(jì) f48%404.05.26088.1| VVV 例例 已知球體的直徑已知球體的直徑D=3.7cm, ,按按v= D3/6計(jì)算體計(jì)算體積，求其絕對誤差限與相對誤差限積，求其絕對誤差限與相對誤差限5.217.314.3212122 DDV DVDVV | 5 .267 . 314. 3613 V44. 87 . 3616133 DV 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.5 數(shù)學(xué)問題解的誤差估計(jì)數(shù)學(xué)問題解的誤差估計(jì)解：解：取取 =3.14 =0.0016 D =0.05取取310V=8.44 0.0016+21.5 0.05=1

34、.088549 例例 設(shè)設(shè)f(x,y)=cosy/x，x=1.30 0.005，y=0.871 0.0005，如果用如果用u*=f(1.30,0.871)作為作為f(x,y)的近似值，則的近似值，則u*有有幾位有效數(shù)字？幾位有效數(shù)字？3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 3.5 數(shù)學(xué)問題解的誤差估計(jì)數(shù)學(xué)問題解的誤差估計(jì)解：解： u*=cos0.871/1.30=0.49543有有2位有效數(shù)字位有效數(shù)字0005. 030. 1871. 0sin005. 030. 1871. 0cos2 xyyfxyxfsincos2 =0.00220.00550本章內(nèi)容本章內(nèi)容 1 計(jì)數(shù)與數(shù)值計(jì)數(shù)與數(shù)值 2 舍

35、入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 4 算法舉例算法舉例 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 6 誤差分配原則與處理方法誤差分配原則與處理方法514 算法舉例算法舉例52例例1.81.8 計(jì)算計(jì)算0135. 00125. 00003. 00012. 00143. 00005. 0 D解解: (1)算法算法1。分子分母分別計(jì)算后相除。分子分母分別計(jì)算后相除(取取9位小數(shù)位小數(shù)) A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012 =0.000000009(有舍入有舍入)B=0.0003*0.0125*0.0135=0.0000

36、0375*0.0135 =0.000000051(有舍入有舍入) A= B=0.510-9065. 00098. 00556. 0|1051105 . 0|109105 . 0|9999 D 1105 . 001. 017647. 0065. 0 DDD 取取D=0.24 算法舉例算法舉例D=A/B=0.17647下頁下頁53(2)算法算法2。分成三組因子。分成三組因子,每組只取六位小數(shù)計(jì)算每組只取六位小數(shù)計(jì)算a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入有舍入)b=0.0143/0.0125=1.144000c=0.0012 / 0.0135=0.088889 (有舍入有舍入)D=

37、1. 666667* 1.144000* 0.088889=0.1694820135.00125.00003.00012.00143.00005.0 Dbca0000056. 0088889. 0105 . 00000003. 0666667. 1105 . 066 ca 4 算法舉例算法舉例 D= 0.0000003+0.0000056 =0.0000059 D= 0.169482 D =1.010-60.510-5上頁上頁取取D=0.16948真值為真值為0.1694814854例例1.91.9: : 試用試用5 5位有效數(shù)字及位有效數(shù)字及Taylor公式計(jì)算公式計(jì)算e-5.5的值的值 0

38、 1 1 1 -5.5000 -4.5000 2 15.125 10.625 3 -27.730 -17.105 4 38.446 17.528 5 -41.942 -20.918 6 38.446 17.528 7 -39.208 -12.680n!nxn nkkkx0!n 8 20.768 8.088 9 -12.692 -4.604010 6.9803 2.376311 -3.4902 -1.113912 1.5997 0.4858013 -0.67676 -0.1909614 0.26587 0.0749115 -0.097486 -0.022580!nxn nkkkx0!n16 0.

39、033510 0.01093017 -0.010842 0.00008818 0.0033127 0.003400719 -0.00095895 0.002441820 0.00026371 0.002705521 -0.000069067 0.002636422 0.000017268 0.002653723-0.0000041293 0.0026496!nxn nkkkx0!真實(shí)值是真實(shí)值是0.00408678*(0.5*10-3)=0.0040.5 *10-24 算法舉例算法舉例 0!kkxkxe55 改變算法計(jì)算例改變算法計(jì)算例1.9 先計(jì)算先計(jì)算x=5.5的部分級數(shù)的部分級數(shù),再求倒

40、數(shù)再求倒數(shù)n!nxn nkkkx0!n1 5.500010 6.9809 12.692 2 15.1258 20.7683 27.730 7 30.2084 38.13 !nxn nkkkx0!n17 0.01084216 0.03351115 0.09748614 0.2658713 0.676760 1.000012 1.599711 3.4902!nxn nkkkx0!4 算法舉例算法舉例6 38.455 41.940.0108420.0443530.141840.407711.08452.08453.68427.174412.67419.65432.34647.47168.23995.

41、969126.18164.30202.74244.703 (0.510-6)+2(0.510-5)+2(0.510-4)+6(0.510-3)+2(0.510-2)0.024真實(shí)值是真實(shí)值是0.0040867商商1/ 244.70的值的值0.0040866367具有相對誤差限具有相對誤差限 |0/1+0.024/244.70=0.000098| |0.00408663670.0000980. 410-60.510-6 所以所以0.0040866367可以取為可以取為0.00408756p解決方法解決方法 (1)增加有效數(shù)位增加有效數(shù)位增加數(shù)值的有效數(shù)位至增加數(shù)值的有效數(shù)位至11位進(jìn)行計(jì)算。位進(jìn)

42、行計(jì)算。結(jié)果為結(jié)果為 x1=99999.999990 (正確）正確）, x2= 0.000010 (正確）正確） 例例1.10 :求二次方程求二次方程x2-105x+1=0的根的根解解：按二次方程求根公式及：按二次方程求根公式及8位有效數(shù)字計(jì)算，得位有效數(shù)字計(jì)算，得)(10210102410105551051好好 x)( 021010241010551052錯(cuò)錯(cuò) x4 算法舉例算法舉例57 解決方法解決方法 (2)選擇求根公式選擇求根公式根據(jù)根據(jù)ax2+bx+c=0中中b的符號選擇求根公式，的符號選擇求根公式， aacbbsignbx24)(21 12axcx 00001.010115 =10

43、=105 54 算法舉例算法舉例 例例1.10 :求二次方程求二次方程x2-105x+1=0的根的根58 例例1.11：計(jì)算計(jì)算In=01xnex-1dx，n=0,7 解：解：算法算法1:用分部積分法可以推知用分部積分法可以推知In滿足以下遞推公式滿足以下遞推公式 In=1-nIn-1取取I0=01ex-1dx=ex-1|01 =1-e-10.6321逐次遞推得逐次遞推得I1,I2,I9。算法算法2: 按照公式按照公式In-1=(1-In) /n 取取I9 0.0684，反向計(jì)算得反向計(jì)算得I8,I7,I0。4 算法舉例算法舉例11)(max)(min110110101101 ndxxeIdx

44、xenenxxnnxx59算法算法1的誤差：的誤差：I0 與與I1的誤差是的誤差是I2的誤差是的誤差是2I3的誤差是的誤差是6I9的誤差是的誤差是9!算法算法2的誤差：的誤差：I9的誤差是的誤差是 I8的誤差是的誤差是/9I7 的誤差是的誤差是/9/8 I0 與與I1的誤差的誤差/9!舍入誤差對計(jì)算結(jié)果舍入誤差對計(jì)算結(jié)果影響小的算法稱為影響小的算法稱為穩(wěn)穩(wěn)定的算法定的算法,否則稱為否則稱為不不穩(wěn)定的算法穩(wěn)定的算法.In I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9算法算法10.0.632163210.360.367 79 90.2640.2642 20.200.207 74 40

45、.0.1 17047040.10.14 480800.0.1 11201200.0.21602160-0.7280-0.72807.5527.552算法算法20.0.6326321 10.360.367 79 90.26430.26430.20730.20730.17080.17080.14550.14550.1260.1268 80.1120.1121 10.10350.10350.06840.06844 算法舉例算法舉例 In=1-nIn-1In-1=1-In /n在大量計(jì)算中在大量計(jì)算中, ,舍入誤差的舍入誤差的積累和傳播積累和傳播, ,與算法有關(guān)。與算法有關(guān)。 舍入誤差能控制在一定范舍

46、入誤差能控制在一定范圍內(nèi)就是穩(wěn)定的。圍內(nèi)就是穩(wěn)定的。60 結(jié)論結(jié)論:計(jì)算中出現(xiàn)的舍入誤差是不可避免的計(jì)算中出現(xiàn)的舍入誤差是不可避免的 它直接影響到算法的數(shù)值穩(wěn)定性，所以在數(shù)它直接影響到算法的數(shù)值穩(wěn)定性，所以在數(shù)值方法的選擇和設(shè)計(jì)中必須慎重考慮值方法的選擇和設(shè)計(jì)中必須慎重考慮 大量數(shù)值運(yùn)算中，有效數(shù)位流失是難免的大量數(shù)值運(yùn)算中，有效數(shù)位流失是難免的 由于舍入誤差估計(jì)的困難性，粗略的做法是由于舍入誤差估計(jì)的困難性，粗略的做法是按照預(yù)定精度用多取若干位的數(shù)值計(jì)算按照預(yù)定精度用多取若干位的數(shù)值計(jì)算4 算法舉例算法舉例61本章內(nèi)容本章內(nèi)容 1 計(jì)數(shù)與數(shù)值計(jì)數(shù)與數(shù)值 2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)

47、字 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 4 算法舉例算法舉例 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 6 誤差分配原則與處理方法誤差分配原則與處理方法625 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差63數(shù)值方法解題的一般過程：數(shù)值方法解題的一般過程：1. 對于要解決的問題建立數(shù)學(xué)模型對于要解決的問題建立數(shù)學(xué)模型2. 研究用于求解該數(shù)學(xué)問題近似解的算法和過程研究用于求解該數(shù)學(xué)問題近似解的算法和過程3. 按照按照2進(jìn)行計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果建立數(shù)建立數(shù)學(xué)模型學(xué)模型轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為數(shù)值公式數(shù)值公式進(jìn)行計(jì)算進(jìn)行計(jì)算5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.1 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類數(shù)值計(jì)算中的誤差

48、種類？64數(shù)值計(jì)算中的誤差種類數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 1. 模型誤差模型誤差 2. 觀測誤差觀測誤差 3. 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 4. 舍入誤差舍入誤差5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.1 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類數(shù)值計(jì)算中的誤差種類65 數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)而建數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)而建立起來的有關(guān)量的描述立起來的有關(guān)量的描述實(shí)際問題實(shí)際問題的真解的真解數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的真解的真解為減化模型忽略次為減化模型忽略次要因素要因素定理在特定定理在特定條件下建立條件下建立n例例 用用s(t)=gt2/2, g 9.81米米/秒秒2來描述自由落體下落時(shí)距離來描述自由落體下落

49、時(shí)距離和時(shí)間的關(guān)系。設(shè)自由落體在時(shí)間和時(shí)間的關(guān)系。設(shè)自由落體在時(shí)間t的實(shí)際下落距離為的實(shí)際下落距離為S*t , 則把則把S*t s(t)叫做模型誤差叫做模型誤差n模型誤差模型誤差(描述誤差描述誤差):實(shí)際問題的真解與數(shù)學(xué)模型的真實(shí)際問題的真解與數(shù)學(xué)模型的真解之間的誤差解之間的誤差5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.1 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 5.1.1模型誤差模型誤差66 數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗(yàn)得到的試驗(yàn)得到的 由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制的限制,使數(shù)據(jù)含有測

50、量誤差使數(shù)據(jù)含有測量誤差,這類誤差叫做這類誤差叫做觀觀測誤差或數(shù)據(jù)誤差測誤差或數(shù)據(jù)誤差5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.1 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 5.1.2觀測誤差觀測誤差67 求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計(jì)算方法如果是一種求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計(jì)算方法如果是一種近似的方法，那么得到的是數(shù)學(xué)模型的近似解，近似的方法，那么得到的是數(shù)學(xué)模型的近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為由此產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差精確公式用近似公式代替時(shí)精確公式用近似公式代替時(shí),所產(chǎn)生的誤差所產(chǎn)生的誤差截?cái)嗾`差是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差截?cái)嗾`差是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差 例例一個(gè)無窮級數(shù)一個(gè)無窮級

51、數(shù)實(shí)際計(jì)算的時(shí)候，我們只能取前面有限項(xiàng)實(shí)際計(jì)算的時(shí)候，我們只能取前面有限項(xiàng)(如如n項(xiàng)項(xiàng)) 00)()(!1kkxfk nkkxfk00)()(!1 10)()(!1nkkxfk截?cái)嗾`差為截?cái)嗾`差為5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.1 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 5.1.3截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差68 由于計(jì)算機(jī)的字長有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)以及由于計(jì)算機(jī)的字長有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)以及運(yùn)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)上存放會(huì)產(chǎn)生誤差，這種誤運(yùn)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)上存放會(huì)產(chǎn)生誤差，這種誤差稱舍入誤差。差稱舍入誤差。 例例 =3.14159265 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.1 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類數(shù)

52、值計(jì)算中的誤差種類 5.1.4舍入誤差舍入誤差69 1. 數(shù)學(xué)模型的精確解數(shù)學(xué)模型的精確解 使用數(shù)學(xué)模型、使用數(shù)學(xué)模型、精確數(shù)據(jù)精確數(shù)據(jù)、精確計(jì)算、精確計(jì)算 2. 參數(shù)模型的精確解參數(shù)模型的精確解 使用數(shù)學(xué)模型、使用數(shù)學(xué)模型、觀測數(shù)據(jù)觀測數(shù)據(jù)、精確計(jì)算、精確計(jì)算 3. 計(jì)算模型的精確解計(jì)算模型的精確解 不能求解數(shù)學(xué)模型的精確解時(shí)，就不能求解數(shù)學(xué)模型的精確解時(shí)，就采用數(shù)采用數(shù)值的方法建立該數(shù)學(xué)模型的求解模型值的方法建立該數(shù)學(xué)模型的求解模型，稱，稱為為計(jì)算模型計(jì)算模型 使用使用計(jì)算模型計(jì)算模型、觀測數(shù)據(jù)、精確計(jì)算所獲、觀測數(shù)據(jù)、精確計(jì)算所獲得的解得的解 4. 計(jì)算模型的近似解計(jì)算模型的近似解 用計(jì)

53、算模型、用計(jì)算模型、有舍入的有舍入的觀測數(shù)據(jù)、觀測數(shù)據(jù)、近似計(jì)近似計(jì)算算獲得的解獲得的解方法誤差方法誤差(截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差)舍舍入入誤誤差差5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.2 模型與解模型與解70 前面的舍入誤差估計(jì)方法不足：前面的舍入誤差估計(jì)方法不足： 只對運(yùn)算量很少的情形適用只對運(yùn)算量很少的情形適用 大規(guī)模的無有效的方法做出定量估計(jì)大規(guī)模的無有效的方法做出定量估計(jì) 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.3 數(shù)學(xué)問題的適定性數(shù)學(xué)問題的適定性確保數(shù)值計(jì)算結(jié)果的正確性：確保數(shù)值計(jì)算結(jié)果的正確性：對數(shù)值計(jì)算問題進(jìn)行定性分析對數(shù)值計(jì)算問題進(jìn)行定性分析保證其舍入誤差不會(huì)影響計(jì)算的精度保證

54、其舍入誤差不會(huì)影響計(jì)算的精度71數(shù)學(xué)問題的適定性定義數(shù)學(xué)問題的適定性定義 設(shè)設(shè)D為為X=(x1, x2 , , xn)的值域，簡記數(shù)學(xué)問題的值域，簡記數(shù)學(xué)問題的解的解Y與參量（原始數(shù)據(jù)）與參量（原始數(shù)據(jù)）X的關(guān)系為的關(guān)系為Y=f(X)。若若1）對）對X D，數(shù)學(xué)問題的解存在且唯一；數(shù)學(xué)問題的解存在且唯一； 2）滿足連續(xù)性條件，即當(dāng)）滿足連續(xù)性條件，即當(dāng)|X|0時(shí)，有時(shí)，有|Y|0成立；成立； 則稱則稱該數(shù)學(xué)問題是適定的該數(shù)學(xué)問題是適定的； 反之，若數(shù)學(xué)問題的解多于一個(gè)，或者解不連續(xù)依反之，若數(shù)學(xué)問題的解多于一個(gè)，或者解不連續(xù)依賴于原始數(shù)據(jù)，則稱為賴于原始數(shù)據(jù)，則稱為不適定的不適定的5 數(shù)值計(jì)算

55、中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.3 數(shù)學(xué)問題的適定性數(shù)學(xué)問題的適定性72 “良態(tài)良態(tài)”問題和問題和“病態(tài)病態(tài)”問題問題 在適定的情況下，若對于原始數(shù)據(jù)很小的變在適定的情況下，若對于原始數(shù)據(jù)很小的變化化，數(shù)學(xué)模型解的變化也很小，則稱該數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型解的變化也很小，則稱該數(shù)學(xué)問題是問題是良態(tài)問題良態(tài)問題； 若原始數(shù)據(jù)很小的變化若原始數(shù)據(jù)很小的變化，數(shù)學(xué)模型解的變化數(shù)學(xué)模型解的變化很大，則稱為很大，則稱為病態(tài)問題病態(tài)問題 舍入誤差對計(jì)算結(jié)果影響小的算法稱為舍入誤差對計(jì)算結(jié)果影響小的算法稱為穩(wěn)定的穩(wěn)定的算法算法,否則稱為否則稱為不穩(wěn)定的算法不穩(wěn)定的算法. 數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)問題的性態(tài)性態(tài)是針對是針對數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問

56、題的；數(shù)值問題的；數(shù)值穩(wěn)定穩(wěn)定性是針對性是針對數(shù)值數(shù)值方法的方法的5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.3 數(shù)學(xué)問題的適定性數(shù)學(xué)問題的適定性73 穩(wěn)定算法和不穩(wěn)定算法穩(wěn)定算法和不穩(wěn)定算法真解真解參數(shù)模型精確解參數(shù)模型精確解( (良態(tài)良態(tài)) )計(jì)算模型近似解計(jì)算模型近似解( (穩(wěn)定穩(wěn)定) )計(jì)算模型近似解計(jì)算模型近似解( (不穩(wěn)定不穩(wěn)定) )5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.3 數(shù)學(xué)問題的適定性數(shù)學(xué)問題的適定性數(shù)學(xué)模型精確解數(shù)學(xué)模型精確解74 參數(shù)模型是病態(tài)的曲線圖參數(shù)模型是病態(tài)的曲線圖真解真解參數(shù)模型精確解參數(shù)模型精確解( (病態(tài)病態(tài)) )計(jì)算模型近似解計(jì)算模型近似解( (穩(wěn)定穩(wěn)定

57、) )計(jì)算模型近似解計(jì)算模型近似解( (不穩(wěn)定不穩(wěn)定) )數(shù)學(xué)模型精確解數(shù)學(xué)模型精確解5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.3 數(shù)學(xué)問題的適定性數(shù)學(xué)問題的適定性75 小結(jié)小結(jié) 數(shù)值計(jì)算中除了盡量避免數(shù)值計(jì)算中除了盡量避免誤差危害誤差危害外，還應(yīng)要分清外，還應(yīng)要分清問題是否問題是否病態(tài)病態(tài)和算法的數(shù)值和算法的數(shù)值穩(wěn)定穩(wěn)定性性誤差的定性分析中首先要分清問題是否病態(tài)，誤差的定性分析中首先要分清問題是否病態(tài)， 如果問題計(jì)算結(jié)果相對誤差很大就是病態(tài)問題，對病態(tài)如果問題計(jì)算結(jié)果相對誤差很大就是病態(tài)問題，對病態(tài)問題計(jì)算結(jié)果就可能不可靠，問題計(jì)算結(jié)果就可能不可靠， 對良態(tài)問題主要考慮算法的穩(wěn)定性，對不穩(wěn)定

58、的算法計(jì)對良態(tài)問題主要考慮算法的穩(wěn)定性，對不穩(wěn)定的算法計(jì)算結(jié)果也不可靠算結(jié)果也不可靠計(jì)算中還要根據(jù)以前給出的原則盡量避免舍入誤差計(jì)算中還要根據(jù)以前給出的原則盡量避免舍入誤差增長增長5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 5.3 數(shù)學(xué)問題的適定性數(shù)學(xué)問題的適定性76本章內(nèi)容本章內(nèi)容 1 計(jì)數(shù)與數(shù)值計(jì)數(shù)與數(shù)值 2 舍入方法與有效數(shù)字舍入方法與有效數(shù)字 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差算術(shù)運(yùn)算中的誤差 4 算法舉例算法舉例 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差 6 誤差分配原則與處理方法誤差分配原則與處理方法776 誤差分配原則誤差分配原則 與處理方法與處理方法78 1.誤差配置原理誤差配置原理 計(jì)算模型的近似解

59、相對于參數(shù)模型精確解的總計(jì)算模型的近似解相對于參數(shù)模型精確解的總誤差誤差 =截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差R+舍入誤差舍入誤差 1) R ,即舍入誤差小于截?cái)嗾`差時(shí)即舍入誤差小于截?cái)嗾`差時(shí),總誤差的總誤差的主部取決于截?cái)嗾`差的主部主部取決于截?cái)嗾`差的主部;此時(shí)過多位字長此時(shí)過多位字長部分的計(jì)算工作量無意義部分的計(jì)算工作量無意義; (3) R ,此時(shí)此時(shí),不會(huì)出現(xiàn)過多位字長和過多項(xiàng)部不會(huì)出現(xiàn)過多位字長和過多項(xiàng)部分計(jì)算量上的浪費(fèi)現(xiàn)象分計(jì)算量上的浪費(fèi)現(xiàn)象6 誤差分配原則與處理方法誤差分配原則與處理方法 6.1誤差分配原則誤差分配原則791. 給定運(yùn)算誤差給定運(yùn)算誤差 ，確定參與運(yùn)算的數(shù)值字長確定參與運(yùn)算的數(shù)值字長 若計(jì)算公式表示為若計(jì)算公式表示為u=f(x1, x2 , , xn)，設(shè)設(shè) xi的舍入誤差為的舍入誤差為 xi，則計(jì)算結(jié)果的舍入誤差可，則計(jì)算結(jié)果的舍入誤差可按下式近似計(jì)算按下式近似計(jì)算,) |( 1 niixf niixf1|解得解得6 誤差分配原則與處理方法誤差分配原則與處理方法 6.2誤差配置的處理方法誤差配置的處理方法假設(shè)所有的運(yùn)算量的舍入誤差相同均為假設(shè)所有的運(yùn)算量的舍入誤差相同均為 ，則，則iniixxfd