的知識(shí)點(diǎn)-立體幾何的的知識(shí)點(diǎn)常見的結(jié)論地總結(jié)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案立體幾何高考知識(shí)點(diǎn)和解題思想?yún)R總補(bǔ)充：三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)四心的概念介紹:精彩文檔(1)重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成 (2)垂心一一高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直； (3)內(nèi)心一一角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心) (4)外心中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)：2： 1；:角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等;外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。B若P為AABC所在平面外一點(diǎn),。是點(diǎn)P在AABC內(nèi)的射影，則：若PA=PB =PC或PA、PB、PC與所成角土§相等，貝UO為AABC的外心；若P到AABC的三邊的距離相等，則O為4ABC的內(nèi)心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，

2、或PA _L BC, PB _L AC則O為AABC的垂心.常見空間幾何體定義：1 .棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由 這些面所圍成的幾何體叫做棱柱，這兩個(gè)面為底面，其他面為側(cè)面。棱柱具有下列性質(zhì)：1)棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等；2)棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。3)直棱柱的側(cè)棱長與高相等；直棱柱的側(cè)面及經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是矩形。棱柱的分類：斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱：底面是正多邊形的直

3、棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱。直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體2 .棱錐：有一個(gè)面是多邊形 ，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫 做棱錐.(1)如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面，這樣的棱錐稱為 正棱錐.正棱錐具有性質(zhì)：正棱錐的頂點(diǎn)和底面中心的連線即為高線；正棱錐的側(cè)面是全等的等腰 三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做這個(gè)正棱錐的斜高.(2)底邊長和側(cè)棱長都相等的三棱錐叫做正四面體.（3）依次連結(jié)不共面的四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形

4、叫做空間四邊形.常見幾何題表面積、體積公式1 .旋轉(zhuǎn)體的表面積（1） 圓柱的表面積S =242+2"1 （其中r為底面半徑，l為母線長）（2） 圓錐的表面積S =nr2+nrl （其中r為底面半徑，l為母線長）.（4） 球的表面積公式S =4nR2 （其中R為球半徑）.2 .幾何體的體積公式（1）柱體的體積公式V= Sh（其中S為底面面積，h為高）.1（2）錐體的體積公式V= Sh（其中S為底面面積，h為局）.3 43（3）球的體積公式R （其中R為球半徑）.3三棱錐外接球問題:、正四面體：如圖1,正四面體ABCD的邊長為a,高為h ,其外接球與內(nèi)切球球心重合，且有a ,有外接圓球半

5、徑為： 6a,內(nèi)切圓的球半徑為:'、 6 a ,12比例為3:1。. 例I （2006隼高考山 布惠理12）在等腰梯形 ABCD 中= 2CD = 2, DAR = 60。I 為 AB 的中 點(diǎn)，將ADE與ABEC分冽潦向上折翅，使4E重合于點(diǎn)P（圖2）,則三楂般P - OCE的外接球的體枳為（）答案：C、出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為 a,b,c,則體對(duì)角線長為l=、；a2 + b2+c2 ,幾何體2,22的外接球直徑2R為體對(duì)角線長l即R=*ab一- 2【例題】：在四面體ABCD中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長度分別為 1

6、,76,3,若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L方體外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線長，所以：四面體外接球的直徑為AE的長CCCCCCC2C即：4R =AB+AC+AD, 4R=1+3+J6=16所以 R = 2,球的表面積為 S = 4nR=16兀二、出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論。【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)。【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 O的球面上，AB_LBC且PA = 7, PB = 5 , PC = 目，AC =10, 求球O的體積。解：AB_LBC且PA=7, PB=5, PC 引，AC =10,2 c

7、ccc因?yàn)?+J51 =10所以知AC =PA十PC所以PA! PC所以可得圖形為：在RtAABC中斜邊為AC在RtAPAC中斜邊為AC取斜邊白中點(diǎn)O ,在 RtiABC 中 OA = OB = OC在 RtAPAC 中 OP =OB =OC所以在幾何體中OP =OB =OC =OA ,即O為該四面體的外接球的球心1 - R AC = 52所以該外接或勺體積為V=4nR3=50更3 3三雙垂四面體的外接球半徑問題四面體月-RCD中.若A8 J_平面比以8 X平面氏則彌讀四面體為雙垂四面體（圖 4） .設(shè)從月=aIC = bXD=/其外接球的半徑為人如果把該雙垂四面體補(bǔ)成一個(gè)長方體 （圖5）,那

8、么該雙垂四面體的外接球但是長方 體的外接球，于是2r-乩。=/ +比手J,故，_5.例3 （2008年高考安微卷理15）巳知A、8,C、D在網(wǎng)一個(gè)球面上,MH 1面BCD, BC± CO,若月E = 6tAC - 2 y/13,AD = 8,則 B、C兩點(diǎn)間的球面距離是明圖5簡(jiǎn)解:將其補(bǔ)成長方體 （圖6）,依題意得球心Q是 AD的中點(diǎn),2r = HO = 8,于 是 r = 4,所以 - 0C = 4,因?yàn)?BC = Vac1 -=4,所以乙BOC = /，故氏C兩點(diǎn)間的球面距d T【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。立體幾何總結(jié)：1、多邊形內(nèi)角和：（n-2）*1

9、802、30°直角三角形，邊比例1:2:根33、30° 300 120°三角形邊比例1:1 :根34、45°直角三角形邊比例1:1 :根25、多面體的體積為V,表面積為S,則有內(nèi)切或勺半徑為r=3V S第一節(jié)平面、空間直線第二節(jié) 空間直線與平面（3）、求異面直線所成角的方法：遵循“先作角，再求角”的原則，用平移轉(zhuǎn)化法放到三角形中去求, 用好正、余弦定理.常用的平移方法有：直接平移法；中位線平移法（涉及中點(diǎn)時(shí)常用） 法.核心知識(shí)點(diǎn)2、線面平行的判定和性質(zhì)（2）線面平行的判定（用來證明直線與平面平行的方法）（判定定理）如果平面a外一直線a與平面內(nèi)一直線b平行

10、，則直線a與平面a平少下面的這些定理或推論也是證明線面平行的常用方法：一如果平面外的兩條平行直線a,b中有一條和平面口平行，則另一條也和平面口平行 圖9-2-1如果兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另外一個(gè)平面如果直線a垂直于平面« ,平面«外的直線b與直線a垂直，則直線b平行于平面口若平面口和口外的一直線a都垂直于同一個(gè)平面P ,則直線a平行于平面口（3）線面平行的性質(zhì)定理：（如圖9-2-2）如果直線l與平面u平行，過直線l的平面P與面a相交，則交 線與直線l平行3、線面垂直的判定和性質(zhì)：（1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則這條直線和

11、這個(gè)平面垂直。（2）線面垂直的判定（證明直線與平面垂直的方法）（判定定理1）如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。（判定定理2）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。（面面平行的性質(zhì)定理）如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)， 則這條直線垂直于另一個(gè)平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）如果兩個(gè)平面垂直，則在其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平 面。如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則交線也垂直于第三個(gè)平面（3）線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行4、線面角（1）如果平面a外的直線l與平面a不平行也

12、不垂直，則稱直線l為平面a的斜線，設(shè)l仆口 = O ,在l上 任取一點(diǎn)P （ P不與斜足。重合），過P作面a的垂線，垂足為P',則垂足P與斜足。的連線OP'叫做 斜線l在平面u上的射影，l與其射影OP的夾角日叫做l與面a所成的角。規(guī)定：當(dāng)l/o（或lua時(shí)， 0 =0： l _La時(shí) =90：于是線面角的范圍是0：90j.5、三垂線定理：一條 直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直6、三垂線逆定理：一直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直A7、方法總結(jié)：下面的幾個(gè)結(jié)論是找垂足的有力工具：（1）若

13、P為MBC所在平面外一點(diǎn)，。是點(diǎn)P在AABC內(nèi)的射影，則：若PA=PB =PC或PA、PB、PC與所成角土§相等，貝UO為AABC的外心；若P到MBC的三邊的距離相等，則O為4ABC的內(nèi)心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，或PA _L BC, PB _L AC則O為 MBC的垂心.（2）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面第三節(jié)空間平面與平面核心知識(shí)點(diǎn)：1、面面平行的判定和性質(zhì)（1）面面平行的判定：（判定定理）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（線面平行二面面平行）垂直于同一直線的兩平面平行；（線面垂直

14、二面面平行）（面面平行的傳遞性）如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（2）面面平行的性質(zhì)若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面；（面面平行二線面平行）若兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則兩交線平行；（面面平行二線線平行）若一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則該直線也和另一個(gè)平面垂直；夾在兩平行平面間的平行線段相等；經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行.2、兩個(gè)平行平面間的距離：如果直線l與兩平行平面都垂直，垂足分別為 A,B,則稱線段AB的長為兩 平行平面間的距離.3、二面角的定義及表示方法：（1）定義：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分

15、，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線發(fā)出的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面；（2）表示方法：棱為AB （或l ）,面為的二面角記為a -AB -P （或u-1 -P ）.4、二面角的平面角在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，兩射線所成的角叫做二面角的平面角.（范圍：0：1801）.5、面垂直的判定和性質(zhì)（1）面面垂直的判定：（定義法）兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則稱這兩個(gè)平面垂直（即求證二面角的平面角是直角）（判定定理）如果平面a經(jīng)過了平面P的一條垂線，則« 1 ?;（線面垂直

16、二面面垂直）（2）面面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；（面面垂直二線面垂直）若兩平面垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).方法總結(jié)（1）熟記面面平行和垂直的判定和性質(zhì)的相關(guān)定理，能快速明確題目解體思路，比如，要證面面平行， 則只需去其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩相交的直線與另一平面都平行即可；又如，證面面垂直，則只需在其中 一個(gè)平面內(nèi)去找到一條直線與另一平面垂直即可，解題過程中應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的思想；（2）有關(guān)面面平行和垂直的相關(guān)的定理之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，要結(jié)合上節(jié)的知識(shí)；（3）與面面距離相關(guān)的問題：二面角的平面角的作法及求法將在第四、五

17、節(jié)中系統(tǒng)地講解.第四節(jié) 空間角核心知識(shí)點(diǎn)：高考中立體幾何題的計(jì)算常涉及“求角”、“求距離”、“求面積或體積”三類問題，其中“求角”問題幾 乎年年涉及，求角問題包括異面直線所成的角，線面角及二面角的平面角.三種空間角的概念及范圍（1）異面直線所成的角：過空間任一點(diǎn)分別引兩異面直線的平行線，則此兩相交直線所成的銳角（或直角）叫做兩異面直線所成的角.異面直線所成角的范圍 .（2）直線與平面所成的角：當(dāng)l/a或luo（時(shí)，l與口所成的角為0 °；當(dāng)l_Lu時(shí)，l與a所成的 角為90% 當(dāng)l與口斜交時(shí)，l與a所成的角是指l與l在面3上的射影1所成的銳角.線面角的范圍：（3）二面角的平面角須具有

18、以下三個(gè)特點(diǎn)：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；角的 兩邊與棱都垂直.二面角的范圍： .1、求異面直線所成角的方法：主要通過平移轉(zhuǎn)化法來作出異面直線所成的角，然后利用三角形的邊角 關(guān)系（正、余弦定理）求角的大小，要注意角的范圍.2、求線面角的一般過程是：（1）在斜線上找到一個(gè)合適的點(diǎn) P,過P作面口的垂線（注意垂足P的確 定），垂足P和斜足A的連線即為斜線PAft平面a上的射影，則/PAP即為所求；（2）將/PAP放到 PAP 或其它包含此角的三角形中去求.說明：在解題過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)求角問題難在作角，其中又難在過平面外一點(diǎn)，作平面的垂線后，垂足位置的確定.復(fù)習(xí)過程中應(yīng)注意對(duì)常用的找垂

19、足的方法進(jìn)行歸納總結(jié).上面的（2）及下面的幾個(gè)結(jié)論是找垂足的有力工具：（1）若P為AABC所在平面 外一點(diǎn)，。是點(diǎn)P在內(nèi)的射影，則：若PA =PB =PC或PA、PB、PC與所成角土§相等，WJO為AABC的外心；若P到 MBC的三邊的距離相等，則O為 MBC AABC的內(nèi)心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，或PA_L BC,PB_L AC則O為AABC的垂心.（2）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；第五節(jié)空間距離核心知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、線面距、面面距、兩異面直線之間的距離是高考中常見求距離的問題.常見的空間距離的求法：（1）求點(diǎn)到直線的距離利用三垂線定理找到垂線段，垂線段就是所求；（2）點(diǎn)到平面的距離的求解方法一般有兩種：直接求解法：從該點(diǎn)向平面引垂線，確定垂足位置，這里要用到兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定 理，求出點(diǎn)和垂足之間的距離即可.“體積代換法”：把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為以該點(diǎn)為頂點(diǎn)，平面內(nèi)的一個(gè)三角形為底面的三棱錐的高， 再通過變