解分式方程的特殊方法與技巧

1、分式方程意義及解法一、內(nèi)容綜述：1 .解分式方程的基本思想在學(xué)習(xí)簡單的分式方程的解法時(shí)，是將分式方程化為一元一次方程，復(fù)雜的(可化為一元二次方程)分式方程的基本思想也一樣，就是設(shè)法將分式方程“轉(zhuǎn)化”為整 式方程.即分式方程辛亍化整式方程2 .解分式方程的基本方法(1) 去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程兩邊同時(shí)乘以各分式的最簡公分母， 使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.但要注意，可能會產(chǎn)生增根。所以，必須驗(yàn)根。產(chǎn)生增根的原因：當(dāng)最簡公分母等于0時(shí)，這種變形不符合方程的同解原理(方程的兩邊都乘以或 除以同一個(gè)不等于零的數(shù)，所得方程與原方程同解 )，這時(shí)得到的整式方程的解不一 定是原方程的解.

2、檢驗(yàn)根的方法：(1) 將整式方程得到的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，看方程左右兩邊是否相等。(2) 為了簡便，可把解得的根直接代入最簡公分母中，如果不使公分母等于0, 就是原方程的根；如果使公分母等于 0,就是原方程的增根。必須舍去.注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母為 0.用去分母法解分式方程的一般步驟：(i) 去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;(ii) 解所得的整式方程;(iii) 驗(yàn)根做答(2)換元法為了解決某些難度較大的代數(shù)問題，可通過添設(shè)輔助元素(或者叫輔助未知數(shù))來解決.輔助元素的添設(shè)是使原來的未知量替換成新的未知量， 從而把問題化繁為簡, 化難為易，使未

3、知量向已知量轉(zhuǎn)化，這種思維方法就是換元法.換元法是解分式方程 的一種常用技巧，利用它可以簡化求解過程.用換元法解分式方程的一般步驟：(i) 設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式；(ii) 解所得到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；(iii) 把輔助未知數(shù)的值代回原設(shè)中，求出原未知數(shù)的值；(iv) 檢驗(yàn)做答.(1) 換元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用換元法把原方程化簡，把解一個(gè)比較復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)比較簡單的方程。(2) 分式方程解法的選擇順序是先特殊后一般，即先考慮能否用換元法解，不 能用換元法解的，再

4、用去分母法。(3) 無論用什么方法解分式方程，驗(yàn)根都是必不可少的重要步驟。二、例題精析：x + 4_1_2 丄例1 .解分式方程：一；“ - 1.；二- 1。分析：解分式方程的思路是把方程去分母化為整式方程。解：方程兩邊都乘以x(x+2)，約去分母，得x+4-x=2(x+2)+x(x+2)2整理后，得x +4x=0解這個(gè)方程，得xi=O, x 2=-4,代入公分母檢驗(yàn)：當(dāng) xi=0 時(shí)，x(x+2)=0 X (0+2)=0,二 x=0 是增根；當(dāng) X2=-4 時(shí)，x(x+2)=-4 X (-4+2)工 0,二 x=-4 是原方程的根。故原方程的根是x=-4。x-7x-4 z-6 + = , +

5、例 2 .解方程：二- ：-:. - ':： o分析：本題中各個(gè)分式的分子與分母是同次多項(xiàng)式，故從中析出一個(gè)整數(shù)來(用x-7_lx 2拆分分式的方法)，;考慮方程中有四個(gè)分式，可以移項(xiàng)后利用公式ba 1八-；把分式拆項(xiàng)，將方程化簡。x- 9 + 2 x-5+ 2 x-6 + 2 z-8 + 2+=+解： 上-'-f- i“ 2 2 . 2 21 +1 += 1 +1 +即上一-1 ,1111 _移項(xiàng)，整理，得一一 -:,x-8-x+9 = i-5-x+6即1 = 1亦即去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括號，整理，得x=7.經(jīng)檢驗(yàn)，x=7是原方程的根。二原

6、方程的根是x=7。x+3 _ x + 4 = i + l _ x + 2例 3 .解方程二-.- /. - ?,去分母，得解法1:方程兩邊都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3) (x+3) 2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)2=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)(x+4)(x+5)=_7即 4x+14=0,1 ,=_7經(jīng)檢驗(yàn)知.1是原方程的解。解法2:方程兩邊分別通分，得(j + 3)(x+5)-(x+4)2 _ (x + 5(i + 3)-(x+ 2)a (x + 5)(“4)(x + 2)(x + 3)-1 . -1即汁藥7；/. (x+5)

7、(x+4)=(x+2)(x+3)_7解得.】。解法3:利用拆分分式的方法將原來的方程變形。 _ -1 + = 1 - -1+ -原方程可化為 二- 一【 /. - -.： + 11111即：二-上.二I _ ,兩邊分別通分，得=_7解之，得 -。- = -1、()- 5() + 6-0例4.解方程.-y =解：設(shè)則原方程變形為y2-5y+6=0,解得 yi=2, y 2=3,z由二- -=2,解得 xi=4;=3由二一，解得X2=3.經(jīng)檢驗(yàn)xi=4, x 2=3,都是原方程的根。2 疋2 + 4 ='例5 .用換元法解方程/ 52y-A=-解：設(shè)2x2+3x=y,于是原方程變?yōu)?+ -

8、 = -l ,整理，得 y2-4y-5=0解得 yi=5, y 2=-1.當(dāng) y=5 時(shí)，即 2x2+3x=5,5解得 xi=1,12心八一當(dāng) y=-1 時(shí)，2x +3x=-1，解得 X3=-1,-,=1=_5經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根。.5.1X = 1,並二 一一，3 = -L X斗=-原方程的根為11。?-6Wi-30 r+=7例6.解方程-匚< -r'。分析：利用方程左邊結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造一元二次方程來解。宀6解：設(shè) 二所以原方程變形為：y+=7,整理得：yi 當(dāng) y=-l 時(shí)，二 ,去分母整理，得x2+x+1=0解這個(gè)方程， <0,二方程無解。-7y+10=0解得 yi=

9、2, y 2=5,4 = 2當(dāng) yi=2 時(shí)，即-二 ,/. xi=0, x 2=2;、,匕5當(dāng) y2=5時(shí)，二-二 ,即x2-5x+9=0（ <0,此方程無實(shí)根）經(jīng)檢驗(yàn)，xi=0, x 2=2是原方程的解。例7 .解方程2(?+l)-3(x+-)=l分析：此方程初看起來容易把,q曲如y,而實(shí)際上所以就是說原方程可變形為1匚12("-尸-2-3(卄一)訂xx變形后才可用換元法解此方程。解：原方程可化為2(“與2七("1)=1xx2(x11-3(x + A)-5 = 0/.亠- 2設(shè) 二,則原方程可化為：2y2-3y-5=05解得 yi=-l, y 2=1,5 15丄一

10、2當(dāng)y=時(shí)，上1,去分母整理，得2x-5x+2=01解得 xi=2,-,=1經(jīng)檢驗(yàn)，xi=2,'都是原方程的根。=1二原方程的根是xi=2,' 1。汪意：切勿把 廣。卄、 旦+ _ + 2 = 0、例8.若分式方程有增根x=2,求a的值。 + + 2 = 0分析：將方程的兩邊同乘以最簡公分母(x+2)(x-2),得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0 ，若分式方程有增根x=2,則x=2 一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出 a。解：原分式方程去分母，得 a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0把x=2代入所得方程，得4a+1

11、+0=0, a=-,1當(dāng)a=- 時(shí),x=2是原分式方程的增根。測試選擇題1 .方程x- - =2-的根的情況是()A、只有一解x=2B任意實(shí)數(shù)都是解3x x2-1 52. 用換元法解方程門_+ 一乞，下列變形正確的是（）農(nóng)丄 5A、 設(shè)一一二y，原方程變形為y+ =去分母得2y2+5y+2=0315B、設(shè)-. =y，原方程變形為y+-1二-，去分母得2y-7y+2=0xa -1C、 設(shè). =y，原方程變形為+ : =去分母得y2-5y+3=0X2 -13J 5 oD設(shè) 1 =y，原方程變形為+ -二-，去分母得y-5y+6=01 1 23. 如果設(shè)y= 、一 -5，則對于方程（' -5

12、）2+-13=0，下面變形正確的是（）22A、y -2y-8=0B、y +2y-3=022C、y +2y-13=0D、y -2y-23=0x + 2 + x + 3 _ m4. 若x=1是方程- - -的增根，貝S m的值為（c ）A、1 B、-1C、-3D、3x + 21 a+=5. 方程-會產(chǎn)生增根，則a的值為（c ）A、1B、-2C、1或-2D、以上都不對。（x + l）（x - 2）6 .方程 一=0的根是（）A、0B、0 或 2C、1A、-1B、2C -1 或 2D 1 或-2 .使分式方程2 - _1產(chǎn)生增根的k的值是（）8.用換元法解方程6(宀 g) + 5( J)-蓋=0*x1

13、V = X + 設(shè).,則方程變形為（22A、6y +5y-38=0B、6y +5y-40=022C、6y +5y-26=0D 6y +5y-50=0152(= +19 .方程、 的根為()D、x=-5,或 x=3A、x=2B、x二二C、x=310.某項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需a天，乙獨(dú)做需b天，甲、乙合做完成任務(wù)需要的天數(shù)是（）。1 11abA、二 iB、C、a+bD -答案與解析答案：1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 8、D 9、D 10、D解析：1、答案：選Co移項(xiàng)，整理得x=2,但當(dāng)x=2時(shí)，分母x-2=0 ,貝S x=2為增根，原方程無解。2、答案：2 .選Db3、答案：選

14、B。原方程二"：' ' 2設(shè) 匸 原方程變?yōu)椋簓+2y-3=04 .答案：選Co原方程兩邊乘以（x-1）（x-2）得：x2-4+x2+2x-3=m 即：2x2+2x-7-m=0則x=1是方程2x2+2x-7-m=0的根，代入x=1得：/. 2+2-7-m=0, m=-3.5. 答案：選C。工2-兩邊乘以 x(x-1) 得 x +2x-2-a=0,若原方程有增根，則有增根 x=1或x=0,而x=1或x=0是整式方程x2+2x-2-a=0的兩根，將x=1或x=0代入整式方程 得a=1或a=-2，選G6. 答案：選B。G+l)A2)p由，去分母得(x+1)(x-2)=0得x

15、=-1或x=2,經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1是增根,則原方程的根為x=2。7. 答案：選A。分式方程：的增根為x=2或x=-2 ,而x=2或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。原方程兩邊乘以(x-2)(x+2)得 x2-2x-x 2+4=k2x+2k2整理得：(k2+2)x=4-2k2,4刃上“ - 1,貝則：解得：k=0.8. 答案：選D。分析：原方程變形為恥，止,:： 旳宀；，則原方程變形為6(y 2-2)+5y-38=0，整理得：6y2+5y-50=0.9 .答案：選Do方程兩邊乘以 x2-4 得 15=2x+4+£-4 即：x2+2x-15=0,解得：Xi=-5或X2=3,經(jīng)檢驗(yàn)，

16、x=-5或x=3都是原方程的根。10.答案：選D。1 1整個(gè)工程看成整體1,則甲，乙的工作效率分別為匚7 ,則合作工作效率為1 111 ab，則甲，乙合作用的時(shí)間為一：一了中考解析分式方程考點(diǎn)講解1. 解分式方程的基本思想方法是：把分式方程通過去分母或換元轉(zhuǎn)化成整式方 程，然后用解整式方程的方法去求解，但在轉(zhuǎn)化過程中，可能會使分式方程增根，所 以最后一定要驗(yàn)根。2. 去分母法解分式方程的步驟：（1）去分母，即方程兩邊同乘以各分母的最簡 公分母，約去分母，得到一個(gè)整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）驗(yàn)根。3. 用換元法解分式方程的步驟：（1）根據(jù)分式方程中的特點(diǎn)設(shè)某一分式為另一 未知字母；（2

17、）寫出符合原方程式的用新字母表示的變形方程；（3）解換元所得新 方程，求得未知字母的值；（4）把新未知字母值代入第一步所設(shè)的分式，求得原方 程未知數(shù)的值；（5）驗(yàn)根。4. 分式方程驗(yàn)根的方法：（1）將解得整式方程的根代入原方程，使方程左右兩 邊相等的未知數(shù)的值是原方程的根，否則是增根；（2）將解得整式方程的根代入最 簡公分母中，如果不使最簡公分母等于 0,就是原方程的根，反之則為增根?？碱}評析1. （甘肅省）一組學(xué)生去春游，預(yù)計(jì)共需費(fèi)用 120元，后來又有2人參加進(jìn)來, 總費(fèi)用不變，于是每人可少分?jǐn)?3元，原來這組學(xué)生的人數(shù)是（）(A) 8(B) 10(Q 12(D) 30考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用

18、評析：該題是一列方程解的應(yīng)用題，解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，本題的 等量關(guān)系有兩個(gè)：一個(gè)是人數(shù)變化，前后的總費(fèi)用不變，二是增加2人后，每人少分?jǐn)?元。根據(jù)條件，依據(jù)第二個(gè)等量關(guān)系列方程比較容易解得此題，設(shè)原來這組學(xué)生120 120的人數(shù)x人，所以列方程為：，解得x=8,經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的根。答案：A說明：所列方程是一個(gè)分式方程，求出結(jié)果后必須檢驗(yàn)。2丄 1.2. （杭州市）（本題8分）解方程：考點(diǎn)：分式方程的解法評析思路：此題可用去分母、化分式方程為整式方程的方法，來解此方程注一定 要檢驗(yàn)。答案：x=2纟-丄=13. （重慶市）方程x x-1 的解是?？键c(diǎn)：分式方程的解法評析：思路：本

19、題運(yùn)用等式的性質(zhì)兩邊乘以 x（x - 1）化分式方程為整式方程，然 后求解。說明：右邊的1必須乘以x（x - 1）同時(shí)要進(jìn)行驗(yàn)根。答案：x = 24. （吉林?。┙夥匠蹋?amp;rH去H考點(diǎn)：分式方程。評析思路，根據(jù)方程的形式可知用換元法解本方程，設(shè)1-,方程變?yōu)殛P(guān)于y的整式方程，然后求解說明：分式方程一定要檢驗(yàn)3答案：x=2或x=5.（遼寧省）用換元法解方程x+1x + 1考點(diǎn)：分式方程的解法換元法=y評析思路：設(shè),原方程可變?yōu)殛P(guān)于y的一元二次方程是y2-5y-6=0.該題用換元法變?yōu)檎椒匠虒⒍?用y代替即可J _£答案：x=:或x= 7x +3 x2 -126x+36. （安

20、徽?。┙夥匠虆["+匚二一時(shí)，設(shè)y=h,則原方程可化為：（）22A、5y +5y-26=0B、5y +y-26=022C、5y -y-26=0D、5y -26y+5=0考點(diǎn)：換元法解分式方程j + 3評析：原方程是一個(gè)分式方程，其中兩個(gè)分式互為倒數(shù)，當(dāng)設(shè)y二一-一時(shí)，原方程1 26變?yōu)閥+二化簡得5y2- 26y+5=0,所以正確選項(xiàng)是D分式方程（組）的特殊解法吳行民王愛靈同學(xué)們已經(jīng)知道，把分式方程的兩邊同乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程，是解分式方程的基本思路。而對于一些特殊的分式方程（組），我們還可以根據(jù)它的特 征，采取靈活多變的方法求解。下面以課本習(xí)題、中考題和競賽題為例，介紹解分式 方程（組）的若干特殊方法與技巧。、觀察法例1、解關(guān)于x的方程：- :'精講與解：由限制條件和方程兩邊 a, b及x的“對稱”關(guān)系不難看出，當(dāng)x=ab時(shí)等 式成立。而該方程是一個(gè)可化為一元一次方程的分式方程，最多只有一個(gè)解，故原方 程的解是 x=ab。二、拆項(xiàng)法x -81 呂例2、解方程：。精講與解：先注意一，將左邊第一個(gè)分式“一分為二”，就可以避開“去 分母”而另辟新路。1L + -L