高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【復(fù)習(xí)】第05講 三角函數(shù)（學(xué)生卷）

第05講三角函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、任意角的概念，象限角的表示并能靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式解決問(wèn)題.2、誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、記憶及符號(hào)的判斷。3、掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)4、體會(huì)其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．5、對(duì)周期變換、相位變換順序不同，圖象平移量也不同的理解．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：任意角和弧度制考點(diǎn)二：三角函數(shù)的概念考點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式考點(diǎn)四：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考點(diǎn)五：三角恒等變換考點(diǎn)六：伸縮變換考點(diǎn)七：三角函數(shù)的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：任意角的概念1、角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角．負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角．零角：如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．知識(shí)點(diǎn)二：弧度制1、弧度制的定義長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長(zhǎng)公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．知識(shí)點(diǎn)三：三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識(shí)點(diǎn)四：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識(shí)點(diǎn)五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)六：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中知識(shí)點(diǎn)七：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)；最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)八：余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)九：正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且無(wú)限接近于時(shí)，無(wú)限增大，記作（趨向于正無(wú)窮大）；當(dāng)，無(wú)限減小，記作（趨向于負(fù)無(wú)窮大）．也可以從單位圓上的正切線來(lái)考慮．因此可以取任何實(shí)數(shù)值，但沒(méi)有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進(jìn)線．3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識(shí)點(diǎn)十：三角恒等變換公式1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）和角公式（），（），（）．（2）差角公式（），（），（）．2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（），（），（）3、降冪公式，，．4、半角公式，，．其中，符號(hào)由所在象限決定．5、輔助角公式，其中，．叫做輔助角，的終邊過(guò)點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)十一：由得圖象通過(guò)變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（）或縮短（）到原來(lái)的倍得到的（橫坐標(biāo)不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對(duì)稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）．若則可用誘導(dǎo)公式將符號(hào)“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：任意角和弧度制例1．（2023·江西·豐城九中高一期末）扇形的弧長(zhǎng)為12，面積為24，則圓心角的弧度數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2023·重慶市巫山大昌中學(xué)校高一期末）下列與的終邊相同的角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．例3．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)二：三角函數(shù)的概念例4．（2023·上海市香山中學(xué)高一期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．例5．（2023·陜西渭南·高一期末）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（

）A． B．1 C．2 D．例6．（2023·廣東·韶關(guān)市田家炳中學(xué)高一期末）若，，則的值為（

）A． B．－ C． D．考點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式例7．（2023·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.例8．（2023·西藏拉薩·高一期末）已知為第三象限角，且．(1)化簡(jiǎn)；(2)若，求的值．例9．（2023·陜西渭南·高一期末）已知為第二象限角，．(1)求的值；(2)若，求的值．考點(diǎn)四：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例10．（多選題）（2023·貴州六盤水·高一期末）關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為2 B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞減例11．（2023·浙江省杭州第九中學(xué)高一期末）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，見(jiàn)下表：000(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫出函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的最小正周期和在上的單調(diào)遞減區(qū)間.(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.例12．（2023·江蘇鹽城·高一期末）設(shè).(1)若函數(shù)的最大值是最小值的3倍，求b的值；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)正零點(diǎn)由小到大依次為x1，x2，x3，…，若，求ω的值.考點(diǎn)五：三角恒等變換例13．（2023·天津南開(kāi)·高一期末）已知.(1)求的值(2)求的值.例14．（2023·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù)(1)求的最小正周期及其圖像的對(duì)稱中心；(2)若且，求的值.例15．（2023·江蘇南通·高一期末）已知，(1)求和的值(2)若，，求的大?。键c(diǎn)六：伸縮變換例16．（2023·上海市香山中學(xué)高一期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增例17．（2023·上?！げ軛疃懈咭黄谀榱说玫胶瘮?shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位例18．（2023·上海市行知中學(xué)高一期末）函數(shù)（其中，）的圖像如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度考點(diǎn)七：三角函數(shù)的應(yīng)用例19．（2023·河南駐馬店·高一期末）如圖所示半徑為4m的水輪其圓心O距離水面2m．已知水輪自點(diǎn)A開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，1min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P(起始點(diǎn)為A)到水面距離y（m）與時(shí)間x（s）滿足函數(shù)關(guān)系，則有（

）A．， B．，C．， D．，例20．（2023·北京·高一期末）從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內(nèi)，它們的變化規(guī)律如下圖所示（均為正弦型曲線）：體力、情緒、智力在從出生之日起的每個(gè)周期中又存在著高潮期（前半個(gè)周期）和低潮期（后半個(gè)周期）．它們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)的表現(xiàn)如下表所示：高潮期低潮期體力體力充沛疲倦乏力情緒心情愉快心情煩躁智力思維敏捷反應(yīng)遲鈍如果從同學(xué)甲出生到今日的天數(shù)為，那么今日同學(xué)甲（

）A．體力充沛，心情煩躁，思維敏捷 B．體力充沛，心情愉快，思維敏捷C．疲倦乏力，心情愉快，思維敏捷 D．疲倦乏力，心情愉快，反應(yīng)遲鈍例21．（2023·廣東肇慶·高一期末）水車（如圖1）是一種圓形灌溉工具，它是古代中國(guó)勞動(dòng)人民充分利用水力發(fā)展出來(lái)的一種運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)械．根據(jù)文獻(xiàn)記載，水車大約出現(xiàn)于東漢時(shí)期．水車作為中國(guó)農(nóng)耕文化的重要組成部分，體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力，為水利研究史提供了見(jiàn)證．圖2是一個(gè)水車的示意圖，它的半徑為2m，其中心（即圓心）O距水面1m．如果水車每60s逆時(shí)針轉(zhuǎn)1圈，在水車輪邊緣上取一點(diǎn)P，我們知道在水車勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)距水面的高度h（單位：m）是一個(gè)變量，它是關(guān)于時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)．為了方便，不妨從P點(diǎn)位于水車與水面交點(diǎn)Q時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)（），則我們可以建立函數(shù)關(guān)系式（其中，，）來(lái)反映h隨t變化的周期規(guī)律．下面說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為40B．C．當(dāng)時(shí)，水車P點(diǎn)離水面最高D．當(dāng)時(shí)，水車P點(diǎn)距水面2m【真題演練】1．（2023·天津·高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·浙江·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度4．（2023·全國(guó)·高考真題（文））將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．1 B． C． D．36．（2023·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．7．（2023·全國(guó)·高考真題（理））記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________．8．（2023·浙江·高考真題）若，則__________，_________．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·河北·蠡縣二中高一階段練習(xí)）800°是以下哪個(gè)象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023·天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為，，則（

）A． B．C． D．3．（2023·江蘇連云港·高一期末）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值是（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇·連云港外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則m等于（

）A．－3 B．3 C． D．5．（2023·江蘇·常州市教科院附屬高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．6．（2023·江蘇·常州市教科院附屬高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2023·浙江·溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）下列不等關(guān)系成立的是（

）A． B．C． D．8．（2023·遼寧·沈陽(yáng)市第四十中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在[0，2]上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（

）A．[π，2π） B． C． D．二、多選題9．（2023·遼寧·東北育才學(xué)校高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．終邊相同的角相等B．扇形的圓心角為，周長(zhǎng)為8，則扇形面積為4C．若，則為第一或第二象限角D．10．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高一期末）關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題，其中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱11．（2023·山東·濟(jì)南三中高一階段練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．12．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高一期末）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則（

）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱三、填空題13．（2023·天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí)）__________.14．（2023·遼寧·東北育才學(xué)校高一階段練習(xí)）若，則__________.15．（2023·湖北·丹江口市第一中學(xué)高一期末）將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則________．16．（2023·遼寧·東北育才學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)能取得最小值，當(dāng)時(shí)函數(shù)能取得最大值，且在區(qū)間上單調(diào)，則當(dāng)取最大值時(shí)的值為_(kāi)_________.四、解答題17．（2023·浙江·溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期．(1)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心；(2)求函數(shù)在上的值域．18．（2023·遼寧·東北育才學(xué)校高一階段練習(xí)）已知(1)化簡(jiǎn)；(2)若是第三象限角，且，求；(3)若角是的內(nèi)角，且，求的值.19．（2023·陜西·西北農(nóng)林科技大學(xué)附中高一階段練習(xí)）已知半徑為的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為4．(1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大小；(2)求α所