研究生考試數(shù)三考試大綱

1、2010年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學考試大綱-數(shù)學三考試科目：微積分線性代數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試形式和試卷結構一、試卷滿分及考試時間試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘二、答題方式答題方式為閉卷、筆試三、試卷內(nèi)容結構微積分 56線性代數(shù) 22%概率論與數(shù)理統(tǒng)計 22四、試卷題型結構試卷題型結構為：單項選擇題選題 8小題，每題4分，共32分填空題 6小題，每題4分，共24分解答題（包括證明題） 9小題，共94分微 積 分一、函數(shù)、極限、連續(xù)考試內(nèi)容 函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性單調(diào)性周期性和奇偶性 復合函數(shù)反函數(shù)分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 函數(shù)關系的建立

2、數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì) 函數(shù)的左極限和右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關系 無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和夾逼準則 兩個重要極限： 函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)考試要求1 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題的函數(shù)關系1)、于集、集合運算法則、直積、滿射、單射、一一映射、逆射、單值函數(shù)、多值函數(shù)2了解函數(shù)的有界性單調(diào)性周期性和奇偶性1)奇函數(shù)加偶函數(shù)等于非奇非偶函數(shù)2）并非每個周期函數(shù)都有最小正周期，如狄利克雷函數(shù)3）單射才有反函數(shù)3理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函

3、數(shù)及隱函數(shù)的概念4掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念1）、雙曲、反雙曲函數(shù)及其圖形2）、對數(shù)、指數(shù)、三角、冪函數(shù)及其圖形sin（）sincoscossin sin（）sincoscossincos（）coscossinsin cos（）coscossinsintan()=(tan+tan)/(1-tantan) tan()=(tan-tan)/(1+tantan)和差化積sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos(a+b)/2)sin(a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2)cos(

4、a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b)/2)sin(a-b)/2)萬能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2)5了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念1)、極限唯一性、有界性（局部有界性）、保號性（局部保號性）、收斂數(shù)列及其子數(shù)列關系（函數(shù)極限與數(shù)列極限關系6了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法1)、無窮小、無窮大、有界函數(shù)、常數(shù)之間的運算規(guī)律2

5、)、極限之間的運算關系及大小比較3）、復合函數(shù)的極限運算法則4）、 5）、夾逼準則、單調(diào)有界準則、柯西極限存在準則7理解無窮小的概念和基本性質(zhì)掌握無窮小量的比較方法了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系1)、無窮小的極限存在定義2）、無窮小與無窮大的關系定義3）、關于高階無窮小的等價無窮小、無窮小求極限定義8理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型1)、跳躍間斷點、可去間斷點（第一類）、無窮間斷點、震蕩間斷點（第二類）9了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理介值定理)，并會應用這些性質(zhì)題型匯總與技巧1、 求數(shù)列、函數(shù)

6、極限1）、利用各類運算法則進行恒等變形（尤其注意三角函數(shù)的恒等變形）2)、對于0/0,/型，對于可消去分子分母中為0，無窮大的因子，也可利用羅比達法則進行求導運算、或者利用等價無窮小替換。3）、對于0*型將其化為第二類形式進行運算4）、對于1型或0未定式，可化為e的指數(shù)形式進行求解5）、當x或n時，將各因子的分母化為遞增函數(shù)6）、將函數(shù)化為兩個重要極限的形式進行求解7）、利用夾逼法則求數(shù)列或函數(shù)的極限10）、對于變量比較復雜的數(shù)列或函數(shù)，通過變量替換將其簡化11）、以上各種方法中，無窮小和羅比達法則只能用于函數(shù)求極限，若要在數(shù)列極限中應用，需通過12）轉化，其他技巧在求函數(shù)和數(shù)列極限時都可以通

7、用12）、通過函數(shù)求函數(shù)數(shù)列的極限或通過數(shù)列求子數(shù)列的極限13）、若函數(shù)f（x）或數(shù)列a(n)存在不為0的極限，g（x）或b(n)極限不存在也不為無窮大，則將兩者作各種運算其極限都不存在也不為，若兩個函數(shù)都不存在也不為，則需作具體分析14）、求復合函數(shù)lim fg(x)極限，函數(shù)符號與極限可以交換次序15）、通過遞歸數(shù)列求數(shù)列極限16)、利用導數(shù)定義求函數(shù)極限2、對于含變限積分的不定式的極限，一般通過羅比達法則將積分化為函數(shù)求解1）、通過觀察積分是否為0或無窮大，若是，通過羅比達法則求解2）、如果積分函數(shù)里面含有自變量，則通過變量代換將x置換出積分函數(shù)2、 求含有參數(shù)的數(shù)列或函數(shù)的極限1）、需

8、考慮參數(shù)的不同取值而分類求極限的值3、 通過極限值求函數(shù)或數(shù)列的參數(shù)1）、若極限值為0或，根據(jù)無窮小與常數(shù)的運算法則反推參數(shù)2）、4、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1）、一般將區(qū)間端點上的函數(shù)值化為異號的數(shù)2）、可以將等式兩邊的項移到一邊構造一個函數(shù)5、 求函數(shù)的連續(xù)性及間斷點類型1）、首先需列出函數(shù)的定義域，并觀察出定義不存在的點6、 在定義不存在的點求其左右極限二、一元函數(shù)微分學考試內(nèi)容 導數(shù)和微分的概念 導數(shù)的幾何意義和經(jīng)濟意義 函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系 平面曲線的切線與法線 導數(shù)和微分的四則運算 基本初等函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)反函數(shù)和隱函數(shù)的微分法 高階導數(shù) 一階微分形式的不變性 微分

9、中值定理 洛必達（L'Hospital）法則 函數(shù)單調(diào)性的判別 函數(shù)的極值 函數(shù)圖形的凹凸性拐點及漸近線 函數(shù)圖形的描繪 函數(shù)的最大值與最小值考試要求1理解導數(shù)的概念及可導性與連續(xù)性之間的關系，了解導數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程1)、導數(shù)與單側導數(shù)的定義，兩種表達方式，限定條件及導函數(shù)的定義2)、邊際成本、邊際收益、總利潤函數(shù)，總收益函數(shù)、邊際利潤、總成本函數(shù)、需求函數(shù)、彈性等3）、用顯示方程和隱式方程表示的平面曲線4）、求目標函數(shù)的最大值和最小值問題2.掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，會求分段函數(shù)的導

10、數(shù) 會求反函數(shù)與隱函數(shù)的導數(shù)1)、理解反函數(shù)的求導法則2)、各初等函數(shù)的求導公式3）、復合函數(shù)求導法則：冪指函數(shù)求導、反函數(shù)求導、隱函數(shù)求導和變限積分求導3.了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)1)、簡單初等函數(shù)的n階導數(shù)公式2）、高階導數(shù)的四則運算法則（和、差、積-也即萊布尼茨公式）3）、二項式定理 4了解微分的概念，導數(shù)與微分之間的關系以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分1)、微分的四則運算法則2）、復合函數(shù)的微分法則（一階微分形式的不變性）5理解羅爾（Rolle）定理拉格朗日( Lagrange)中值定理了解泰勒定理柯西（Cauchy)中值定理，掌握這四個定理的簡單應用1)、費

11、馬引理2）、羅爾定理及拉格朗日定理的限制條件、幾何意義及證明過程3)、常數(shù)函數(shù)判定定理3）、有限增量定理及其公式4）、泰勒公式（帶拉格朗日余項及佩亞諾余項），麥克勞林公式（帶拉格朗日余項及佩亞諾余項）5）、四個基本初等函數(shù)在x=0處的n階麥克勞林公式6會用洛必達法則求極限7掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應用1)、區(qū)間上函數(shù)單調(diào)性的定義及判別法則2）、極值點、駐點、拐點的定義3）、極值點的必要條件及第一充分條件、第二充分條件4）、通過導數(shù)求函數(shù)極值點及其極值的四步法8會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間 內(nèi)，設函數(shù) 具有二階導數(shù)當 時，

12、的圖形是凹的；當 時， 的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點和漸近線1）、函數(shù)圖形凹凸性的定義2)、區(qū)間上函數(shù)凹凸型的判定法則（兩個，見復習全書）3）、拐點的充分判定定理9會描述簡單函數(shù)的圖形1）、利用導數(shù)作函數(shù)圖形的五步法（見教材）2）、求漸近線的方法（見復習全書）題型匯總與技巧1、三、一元函數(shù)積分學考試內(nèi)容 原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 定積分的概念和基本性質(zhì) 定積分中值定理 積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 牛頓一萊布尼茨（Newton- Leibniz）公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 反常（廣義）積分 定積分的應用考試要求1理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌

13、握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法和分部積分法2了解定積分的概念和基本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會求它的導數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法3會利用定積分計算平面圖形的面積旋轉體的體積和函數(shù)的平均值，會利用定積分求解簡單的經(jīng)濟應用問題4了解反常積分的概念，會計算反常積分四、多元函數(shù)微積分學考試內(nèi)容 多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 多元函數(shù)偏導數(shù)的概念與計算 多元復合函數(shù)的求導法與隱函數(shù)求導法 二階偏導數(shù) 全微分 多元函數(shù)的極值和條件極值最大值和最小值 二重積分

14、的概念基本性質(zhì)和計算 無界區(qū)域上簡單的反常二重積分考試要求1了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義2了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3了解多元函數(shù)偏導數(shù)與全微分的概念,會求多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)，會求全微分,會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)4了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決簡單的應用問題5了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分的計算方法（直角坐標極坐標）了解無界區(qū)域上較簡單的反常二重積分并會計算五、無

15、窮級數(shù)考試內(nèi)容 常數(shù)項級數(shù)收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級數(shù)與 級數(shù)及其收斂性 正項級數(shù)收斂性的判別法 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 交錯級數(shù)與萊布尼茨定理 冪級數(shù)及其收斂半徑收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域 冪級數(shù)的和函數(shù) 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式考試要求1了解級數(shù)的收斂與發(fā)散收斂級數(shù)的和的概念2了解級數(shù)的基本性質(zhì)和級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)及 級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法3了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，了解交錯級數(shù)的

16、萊布尼茨判別法4會求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域5了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求簡單冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)6了解 及 的麥克勞林（Maclaurin）展開式六、常微分方程與差分方程考試內(nèi)容 常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結構定理 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程 差分與差分方程的概念 差分方程的通解與特解 一階常系數(shù)線性差分方程 微分方程的簡單應用考試要求1了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念2掌握變量可分離的微分方程齊次微分方程

17、和一階線性微分方程的求解方法3會解二階常系數(shù)齊次線性微分方程4了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結構定理，會解自由項為多項式指數(shù)函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程5了解差分與差分方程及其通解與特解等概念6了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法7會用微分方程求解簡單的經(jīng)濟應用問題線 性 代 數(shù)一、行列式考試內(nèi)容行列式的概念和基本性質(zhì) 行列式按行（列）展開定理考試要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)2.會應用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計算行列式二、矩陣考試內(nèi)容矩陣的概念 矩陣的線性運算 矩陣的乘法 方陣的冪 方陣乘積的行列式 矩陣的轉置 逆矩陣的概念和性質(zhì) 矩陣可逆的充

18、分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換 初等矩陣 矩陣的秩 矩陣的等價 分塊矩陣及其運算考試要求1理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)2掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則三、向量考試內(nèi)容向量的概念 向量的

19、線性組合與線性表示 向量組的線性相關與線性無關 向量組的極大線性無關組 等價向量組 向量組的秩 向量組的秩與矩陣的秩之間的關系 向量的內(nèi)積 線性無關向量組的正交規(guī)范化方法考試要求1了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運算法則2理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關、線性無關等概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質(zhì)及判別法3理解向量組的極大線性無關組的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩4理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關系5了解內(nèi)積的概念掌握線性無關向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法四、線性方程組考試內(nèi)容 線性方程組的克萊姆（Cramer）

20、法則 線性方程組有解和無解的判定 齊次線性方程組的基礎解系和通解 非齊次線性方程組的解與相應的齊次線件方程組（導出組）的解之間的關系 非齊次線性方程組的通解考試要求1.會用克萊姆法則解線性方程組2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法3.理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法五、矩陣的特征值和特征向量考試內(nèi)容矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì) 相似矩陣的概念及性質(zhì) 矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣 實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣考試要求1.理解矩

21、陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)六、二次型考試內(nèi)容二次型及其矩陣表示 合同變換與合同矩陣 二次型的秩 慣性定理 二次型的標準形和規(guī)范形 用正交變換和配方法化二次型為標準形 二次型及其矩陣的正定性考試要求1.了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會用正交變換和配方法化二次型為標準形3.理解正

22、定二次型正定矩陣的概念，并掌握其判別法概率論與數(shù)理統(tǒng)計一、隨機事件和概率考試內(nèi)容隨機事件與樣本空間 事件的關系與運算 完備事件組 概率的概念 概率的基本性質(zhì) 古典型概率 幾何型概率 條件概率 概率的基本公式 事件的獨立性 獨立重復試驗考試要求1了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關系及運算2理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Bayes）公式等3理解事件的獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法二、隨機變量及其

23、分布考試內(nèi)容隨機變量 隨機變量的分布函數(shù)的概念及其性質(zhì) 離散型隨機變量的概率分布 連續(xù)型隨機變量的概率密度 常見隨機變量的分布 隨機變量函數(shù)的分布考試要求1理解隨機變量的概念，理解分布函數(shù) 的概念及性質(zhì)，會計算與隨機變量相聯(lián)系的事件的概率2理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握01分布、二項分布 、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布 及其應用3掌握泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布4理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布 、正態(tài)分布 、指數(shù)分布及其應用，其中參數(shù)為 的指數(shù)分布 的概率密度為 5會求隨機變量函數(shù)的分布三、多維隨機變量及其分布考試內(nèi)容多維隨機變量及其分布函數(shù) 二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度 隨機變量的獨立性和不相關性 常見二維隨機變量的分布 兩個及兩個以上隨機變量的函數(shù)的分布考試要求1理解多維隨機變量的分布函數(shù)的概念和基本性質(zhì)2理解二維離散型隨機變量的概率分布和二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、掌握二維隨機變量的邊緣分布和條件分布3理解隨機變量的獨立性和不相關性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件，理解隨機變量的不相關性與獨立性的關系4掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布