高中周期函數(shù)的判定方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上周期性是函數(shù)的一條特殊而有趣的性質(zhì)，在高中數(shù)學中僅三角函數(shù)與周期數(shù)列的通項公式中涉及到周期函數(shù)，對一般的周期函數(shù)未作重點討論。本文在高中數(shù)學的基礎(chǔ)上，對周期函數(shù)的定義、性質(zhì)、周期函數(shù)和非周期函數(shù)的判定，用初等的方法進行一些探討。1、周期函數(shù)的定義及性質(zhì)定義：設(shè)f(x)是定義在數(shù)集M上的函數(shù)，如果存在非零常數(shù)T具有性質(zhì)；（1）對 有（X±T） ；（2）對 有f（X+T）=f（X）則稱f（X）是數(shù)集M上的周期函數(shù)，常數(shù)T稱為f（X）的一個周期。如果在所有正周期中有一個最小的，則稱它是函數(shù)f（X）的最小正周期。由定義可得：周期函數(shù)f（

2、X）的周期T是與X無關(guān)的非零常數(shù)，且周期函數(shù)不一定有最小正周期。例1  常數(shù)值函數(shù)f（X）=C（C是常數(shù)）是實數(shù)集R上以任意非零實數(shù)為周期的周期函數(shù)。狄利克萊函數(shù)D（X）=  是實數(shù)集上任意非零有理數(shù)為周期的周期函數(shù)。由于正實數(shù)和正有理數(shù)都沒有最小的，因而它們都沒有最小正周期。2、性質(zhì)：（1）若T（0）是f(X)的周期，則-T也是f(X)的周期。（因fx+(T-T)=fX+(-T)= f(X)）。因而周期函數(shù)必定有正周期。（2）若T（0）是f(X)的周期，則nT（n為任意非零整數(shù)）也是f(X)的周期。證：當n0時，f(x+nT)=fx+(n-1

3、)T+T=fx+(n-1)T=f（x+T）= f(X)。當n0時，-n0，由前證和性質(zhì)1可得：nT=-（-nT）是f(X)的周期。當n為任意非零整數(shù)時命題成立。（3）若T1與T2都是f(X)的周期，則T1±T2也是f(X)的周期。（因fx+（T1±T2）=f（x+T1）= f(X)）。（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數(shù)倍。否則必存在n1r Z+（Z+為正整數(shù)）使T=n1T*+r（0rT*），則對 （f(X)的定義域）有f(X)=f（x+T）=f（x+n1T*+r）=f（x+r），r也是f

4、(X)的正周期，與T*是f(X)的最小正周期矛盾。T必是T*的正整數(shù)倍。（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分別是f(X)的兩個周期，則 （Q是有理數(shù)集）證：據(jù)條件和性質(zhì)4知，存在K1、K2  Z，使T1=K1T*，T2=K2T*， 。（6）若T1、T2是f(X)的兩個周期，且 是無理數(shù)，則f(X)不存在最小正周期。（用反證法據(jù)性質(zhì)5即可證得）。（7）周期函數(shù)f(X)的定義域M必定是雙方無界的集合。證：若T是f(X)的周期，則nT（n ，n0）也是f(X)的周期， 有X±nT M，M雙方無界，但

5、并非M必定（-、+），如tgX和ctgX的定義域分別為XK+/2和XK（K ）。例2：f(X)=sinX（ 10）不是周期函數(shù)。3、周期函數(shù)的判定定理1  若f(X)是在集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)則K f(X)+C（K0）和1/ f(X)分別是集M和集X/ f(X) 0，X 上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)。證：T*是f(X)的周期，對 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，K f(X)+C=K f(X+T*)+C，K f(

6、X)+C也是M上以T*為周期的周期函數(shù)。假設(shè)T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，則必存在T（ 0TT*）是K f(X)+C的周期，則對 ，有K f(X+T)+C=K f(X) +C Kf(X+T)- f(X)=0，K0，f(X+T)- f(X)=0，f(X+T)= f(X)，T是f(X)的周期，與T*是f(X)的最小正周期矛盾，T*也是K f(X)+C的最小正周期。同理可證1/ f(X)是集X/ f(X) 0，X 上的以T*為最小正周

7、期的周期函數(shù)。定理2：若f(X)是集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)，則f(aX+n)是集X/aX+ b 上的以T*/ 為最小正周期的周期函數(shù)，（其中a、b為常數(shù)）。證：（先證   是f(ax+b)的周期），T*是f(X)的周期， ，有X±T*M，a（X±   ）+b=ax+b±T*M，且fa（X+    ）+b=f（ax+b±T*）=f（ax+b）是f（ax+b）的周期。再證   &#

8、160; 是f（ax+b）的最小正周期假設(shè)存在T（0T   ）是f（ax+b）的周期，則f（a（x+T）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT）=f（ax+b），因當X取遍X/XM,ax+bM的各數(shù)時,ax+b就取遍M所有的各數(shù)，aT是f(X)的周期，但      =T*這與T*是f(X)的最小正周期矛盾。定理3：設(shè)f(u)是定義在集M上的函數(shù)u=g（x）是集M1上的周期函數(shù)，且當XM1時，g(x)M，則復合函數(shù)f(g(x)是M1上的周期函數(shù)。證：設(shè)T是u=g(x)的周期，則 1

9、有（x±T）M1且g（x+T）=g(x)  f(g(x+T)=f(g(x)  =f(g(x)是M1上的周期函數(shù)。例3  設(shè)=f(u)=u2是非周期函數(shù)，u= g(X)=cosx是實數(shù)集R上的周期函數(shù)，則f(g(x)=cos2x是R上的周期函數(shù)。同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx0)也都是周期函數(shù)。例4，f(n)=Sinn是周期函數(shù)，n=g(x)=ax+b(a0)是非周期函數(shù)，f(g(x)=Sin(ax

10、+b)是周期函數(shù)（中學數(shù)學中已證）。例5，f(n)=cosn是周期函數(shù)，n=g(x)= （非周期函數(shù)）而f(g(x)=cos 是非周期函數(shù)。證：假設(shè)cos 是周期函數(shù)，則存在T0使cos  （kZ）與定義中T是與X無關(guān)的常數(shù)矛盾，cos 不是周期函數(shù)。    由例4、例5說明，若f(u)是周期函數(shù)，u= g(X)是非周期函數(shù)，這時f(g(x)可能是，也可能不是周期函數(shù)。    定理4：設(shè)f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函數(shù)，T1、T2分別

11、是它們的周期，若T1/T2Q則它們的和差與積也是M上的周期函數(shù)，T1與T2的公倍 數(shù)為它們的周期。    證：設(shè) （(p·q)=1）設(shè)T=T1q=T2p則有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X)  f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍數(shù)T為周期的周期函數(shù)

12、。同理可證：f1(X) 、f2(X)是以T為周期的周期函數(shù)。    推論：設(shè)f1(X) 、f2(X)fn(X) 是集M上的有限個周期函數(shù)T1、T2Tn分別是它們的周期，若，  （或T1，T2Tn中任意兩個之比）都是有理數(shù)，則此n個函數(shù)之和、差、積也是M上的周期函數(shù)。 例6 ，f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2、/2的最小公倍 數(shù)2為周期的周期函數(shù)。例7，討論f(X)= 的周期性解：2tg3 是以T1= 為最小正周期的周期函數(shù)。5t

13、g 是以T2 為最小正周期的周期函數(shù)。tg2 是以T3= 為最小正周期的周期函數(shù)。又     都是有理數(shù)f(X)是以T1、T2、T3最小公倍數(shù)（T1、T2、T3）=  為最小正周期的周期函數(shù)。同理可證：（1）f(X)=cos (2) f(x)= ；(3)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函數(shù)。定理5，設(shè)f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，則f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函

14、數(shù)的充要條件是a1/a2Q。證：先證充分性：若a1/a2Q，設(shè)T1、T2分別為f1(x)與f2(x)的最小正周期，則T1= 、T2= ，又 Q由定理4可得f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函數(shù)。再證必要性（僅就f1(x)與f2(x)的差和積加以證明）。（1）設(shè)sina1x-cosa2x為周期函數(shù)，則必存在常數(shù)T0，使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin =-2sin s(a2x+ ) sin (1)。令x= 得2co

15、s（a1x+ ），則     （KZ）。(2)或 CZ（3）又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0由(4)由sin （5）由上述（2）與（3），（4）與（5）都分別至少有一個成立。由（3）、（5得 ）（6）無論（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2  。（2）設(shè)sinaxcosa2x為周期函數(shù)，則 是周期函數(shù)。       

16、0;例8  求證f(X)=sin x+cos x是非周期函數(shù)。證：假設(shè)f(X)是周期函數(shù)，則 是無理數(shù)矛盾。f(X)是非周期函數(shù)。4、非周期函數(shù)的判定（1）若f(X)的定義域有界例9，f(X)=cosx（ 10）不是周期函數(shù)。（2）根據(jù)定義討論函數(shù)的周期性可知非零實數(shù)T在關(guān)系式f(X+T)= f(X)中是與X無關(guān)的，故討論時可通過解關(guān)于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出與X無關(guān)的非零常數(shù)T便可斷定函數(shù)f(X)是周期函數(shù)，若這樣的T不存在則f(X)為非周期函數(shù)，如例，f(X)=cos 是非周期函

17、數(shù)（例5）。（3）一般用反證法證明。（若f(X)是周期函數(shù)，推出矛盾，從而得出f(X)是非周期函數(shù)）。例10  證f(X)=ax+b(a0)是非周期函數(shù)。證：假設(shè)f(X)=ax+b是周期函數(shù)，則存在T（0），使對 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0  aT=0  又a0，T=0與T0矛盾，f(X)是非周期函數(shù)。例11  證f(X)= 是非周期函數(shù)。證：假設(shè)f(X)是周期函數(shù)，則必存在T（0）對 ，有(x+T)= f(X)，當x=0時，f(X)=0，但

18、x+T0, f(x+T)=1，f(x+T) f(X)與f(x+T)= f(X)矛盾，f(X)是非周期函數(shù)。例12  證f(X)=sinx2是非周期函數(shù)證：若f(X)= sinx2是周期函數(shù)，則存在T（0），使對 ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，T2=K（KZ），又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2k=0，( +1)2T2=L(LZ+)， 與3+2 是無理數(shù)矛盾，f(X)=sinx2是非周期函數(shù)。例13

19、  證f(X)=cos(lgx)為非周期函數(shù)證：若f(X)=cos(lgx)是周期函數(shù)，則必存在T（0）使對 0有coslg(x+T)=cos(lgx),當x=T時，cos(lg2T)=cos(lgT)，當x=2T時，有cos(lg3T)=cos(lg2T)=cos(lgT)，當x=9T時有cos(lg10T)=cos(lg9T)=cos(lg8T)=cos(lgT)  cos(lgT)=cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT) 同理可得當X=99T時有cos(lgT)=   = 若sin(lgT)0時，有cos1-