方波的分解課程設計

1、武漢工程大學本科課程設計課程設計說明書課程設計名稱： 方波的合成與分解 課程設計題目： 方波的合成與分解 學 院 名 稱： 理學院 專 業(yè) 班 級： 激光一班 學 生 學 號： 1409090113 學 生 姓 名： 汪玉琛 學 生 成 績： 指 導 教 師： 郝向英 課程設計時間： 2016.06.08至 2016.06.23 15目錄1設計的目的和要求22 設計方法與步驟22.1 信號分解為正交函數(shù) 22.2周期信號的分解與合成 42.2.1周期連續(xù)信號的特點42.2.2周期為T的信號的三角形式的傅里葉級數(shù)表示的一般形式53 MATLAB的仿真實現(xiàn)63.1基于MATLAB方波信號的分解與合

2、成 63.1.1方波信號的分解與合成63.1.2使用MATLAB進行分解 83.1.3使用MATLAB進行合成 93.1.4方波信號的頻譜圖113.1.5方波信號的誤差分析113.2結論124心得體會135參考文獻131設計的目的與要求 用MATLAB軟件將方波分解成多次正弦波之和。已知某一周期性方波（參數(shù)自擬），用MATLAB演示諧波合成情況，并討論相關參數(shù)對分解和合成波形的影響。2 設計方法與步驟2.1 信號分解為正交函數(shù) 設有個函數(shù)在區(qū)間構成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)用這個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 （1-1）這里的問題是：如何選擇才能得到最佳近似。顯然，應選取個系數(shù)使實際函數(shù)

3、與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間內(nèi)為最小。這里“誤差最小”不是平均誤差最小，因為在平均誤差最小甚至等于零的情況下，也可能有較大的正誤差和負誤差在平均過程中相互抵消，以致不能正確反映兩函數(shù)的近似程度。通常選擇誤差均方值（或稱為方均值）最小，這時，可以認為已經(jīng)得到了最好的近似。誤差的均方值也稱為均方誤差，用符號表示 （1-2）在中，為球的使均方誤差最小的第個系數(shù)，必須使即 （1-3）展開上式的被積函數(shù)，注意到有序號不同的正交函數(shù)相乘的各項，其積分均為零，而且所有不包含的各項對求導也等于零。這樣，式（1-3）中只有兩項不為零，它可以寫為交換微分與積分次序，得于是可求得 （1-4）式中 （1-5）這就是滿足最

4、小均方誤差的條件下，式（1-1）中各系數(shù)的表達式。此時，能獲得最佳近似。 當按式（1-4）選取系數(shù)時，將代入到式（1-2），可以得到最佳近似條件下的均方誤差為 考慮到，得 （1-6）利用上式可直接求得在給定項數(shù)的條件下的最小均方誤差。 有均方誤差的定義式（1-4）可見，由于函數(shù)平方后再積分，因而不可能為負，即恒有0。由式（1-5）可見，在用正交函數(shù)去近似（或逼近）時，所取的項數(shù)越多，即愈大，則均方誤差愈小。當時，。由式（1-6）可得，如，則有 （1-7）式（1-7）稱為帕斯瓦爾（Parseval）方程。 如果信號是電壓或電流，那么，式（1-7）等號左端就是在區(qū)間信號的能量，等號右邊是在區(qū)間信號

5、各正交分量的能量之和。式（1-7）表明：在區(qū)間信號所含能量恒等于此信號在完備函數(shù)集中各正交分量能量的總和。與此相反，如果信號在正交函數(shù)中的各正交分量能量的總和小于信號本身的能量，這時式（1-7）不成立，該正交函數(shù)集不完備。這樣，當時，均方誤差，式（1-1）可寫成 （1-8）即函數(shù)在區(qū)間可分解為無窮多項正交函數(shù)之和2.2周期信號的分解與合成2.2.1周期連續(xù)信號的特點周期連續(xù)信號有如下特點：（1）滿足，m是整數(shù)，是周期。從波形上看，有一個時間跨度為的基本波形，其余的是該基本波形經(jīng)平移的整數(shù)倍后的重新拷貝。（2）在一個周期內(nèi)的積分，其值與積分的起點和終點無關，即有 （3）將周期信號展開成傅里葉級數(shù)

6、具有的以下顯著優(yōu)點是：三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是自然界中最常見、最基本的函數(shù)。三角函數(shù)和復指數(shù)函數(shù)是間諧函數(shù)，用它們表示時間信號，就自然地建立了時間和頻率這兩個基本物理量之間的關系。間諧信號較其他信號更容易產(chǎn)生和處理。三角函數(shù)（或指數(shù)函數(shù)）信號通過線性時不變系統(tǒng)后，仍為三角函數(shù)（或指數(shù)函數(shù)），其重復頻率不變，只是幅度和相位有變化。線性時不變系統(tǒng)對三角函數(shù)（或指數(shù)函數(shù)）信號的響應可以很方便地求的。很多系統(tǒng)（例如濾波器、信息傳輸?shù)龋┑奶匦灾饕怯善漕l域特性來描述的，因此常常更需要知道的并不是這些系統(tǒng)的沖激響應，而是其沖激響應所對應的頻率特性。時域中的卷積運算在頻域會轉化為乘積運算，從而找到了計算卷積的一

7、種新方法，這可使時域中難以實現(xiàn)的卷積運算求解便于實現(xiàn)。周期信號當滿足狄里赫利（Dirichlet）條件時可以展開成傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)分三角形式和指數(shù)形式兩種。狄里赫利條件如下：（1）在一個周期內(nèi)，是絕對可積，即。（2）在一個周期內(nèi)，的最大值和最小值的數(shù)目是有限個。（3）在一個周期內(nèi)，只有有限個間斷點，而且在這些間斷點上，函數(shù)值必須是有限個。2.2.2周期為T的信號的三角形式的傅里葉級數(shù)表示的一般形式設有周期信號，它的周期為T，角頻率，則的三角傅里葉級數(shù)表示的一般形式為 （2-1） 其中 可以寫成更緊湊的和式為：式（2-1）中的系數(shù)、稱為傅里葉系數(shù)，為在函數(shù)中的分量（相對大?。粸樵诤瘮?shù)中的

8、分量，它可由式（1-4）求得。為簡便，式（1-4）的積分區(qū)間取為或?？紤]到正、余弦函數(shù)的正交條件，由式（1-4），可得傅立葉系數(shù) （2-2） 周期信號也可分解為一系列余弦信號，即： （2-3）其中 式（2-3）表明，任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以分解為直流和許多余弦（或正弦）分量。其中第一項是常數(shù)項，它是周期信號中所包含的直流分量；式中第二項稱為基波或一次諧波，它的角頻率和原周期信號相同，是基波振幅，是基波初相角；式中第三項稱為二次諧波，它的頻率是基波頻率的二倍，是二次諧波的振幅，是其初相角。以此類推，還有四三次、四次、諧波。一般而言，稱為次諧波，是次諧波的振幅，是其初相角。式（2-3）

9、表明，周期信號可以分解為各次諧波分量。 式(2-2)表示周期信號可以分解成直流分量和各次諧波分量的疊加，用直流分量和各次諧波分量代替原來的周期信號，原則上應該是無窮多項的疊加，實際應用中只取其中的前項，產(chǎn)生的誤差函數(shù)用en（t）來表示 （2-4）另外一個衡量誤差大小的函數(shù)為方均誤差【10】： （2-5）3 MATLAB的仿真實現(xiàn)MATLAB是目前世界上最流行的、應用最廣泛的工程計算和仿真軟件，它將計算、可視化和編程等功能同時集于一個易于開發(fā)的環(huán)境。MATLAB是Matrix Laboratory的縮寫，是一個包含眾多工程計算和仿真的龐大系統(tǒng)。MATLAB是一個交互式開發(fā)系統(tǒng)，其基本數(shù)據(jù)要素是矩

10、陣。語法規(guī)則簡單，適應于專業(yè)科技人員的思維方式和書寫習慣；它用解釋方式工作，編寫程序和運行同步，鍵入程序立即得出結果，因此人機交互更加簡潔和智能化；而且MATLAB可適用于多種平臺，隨著計算機軟、硬件的更新而及時升級,shide編程和調(diào)試效率大大提高3.1基于MATLAB方波信號的分解與合成現(xiàn)以周期為T、幅值為1的方波信號為例3.1.1方波信號的分解與合成圖1 周期為T的方波圖由式（2-2）可得 考慮到，可得 將它們代入（2-1）式，可得圖1所示的方波信號的傅立葉級數(shù)展開式為 它只含一、三、五、奇次諧波分量。周期為T=1的可分解為3.1.2使用MATLAB進行分解由周期T=1為例：圖2為周期為

11、T=1的方波信號，經(jīng)傅立葉級數(shù)分解以后而得到的基波到七次諧波的仿真圖，左上角為基波圖，它是一個非常正規(guī)的正弦波，幅值在1到1.5之間，要高于原方波的幅值。而且它的角頻率與原方波信號相同。右上角為三次諧波圖，其也是正弦波，明顯，其幅值降到了0.5以下，但是三次諧波的頻率是基波的1.5倍。其它圖形依次為五次諧波，七次諧波。 圖2 周期為T=1方波信號的分解圖方波信號的分解：t=-3*pi:pi/100000:3*pi;f=square(2*pi*t,50);f1=4*sin(2*t*pi)/pi;f2=4*sin(6*t*pi)/(pi*3);f3=4*sin(10*t*pi)/(pi*5);f4

12、=4*sin(14*t*pi)/(pi*7);subplot(221),plot(t,f1);hold onplot(t,f,'r-');grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);subplot(222),plot(t,f2);hold onplot(t,f,'r-');grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);subplot(223),plot(t,f3);hold onplot(t,f,'r-');grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);subplot(224),plot(t,f4);hold on

13、plot(t,f,'r-');grid on;axis(-2 2 -1.5 1.5);3.1.3使用MATLAB進行合成圖3為方波信號分解以后取有限次諧波的合成波形。左上方圖是單獨的基波，是正弦波，波身較為平滑，波峰和波谷尖銳。右上方是基波和三次諧波疊加而成的波，大體仍是正弦的形式，但是波身已經(jīng)比單獨的基波較為陡峭，波峰和波谷出現(xiàn)波動，已經(jīng)趨向方波，有了方波的雛形。以下依次疊加起五次諧波，七次諧波的波形。圖3 周期為T=1方波信號的合成圖方波信號的合成：t=-3*pi:pi/100000:3*pi;f1=4*sin(2*t*pi)/pi;f2=4*sin(2*t*pi)/pi+

14、4*sin(6*t*pi)/(pi*3);f3=4*sin(2*t*pi)/pi+4*sin(6*t*pi)/(pi*3)+4*sin(10*t*pi)/(pi*5);f4=4*sin(2*t*pi)/pi+4*sin(6*t*pi)/(pi*3)+4*sin(10*t*pi)/(pi*5)+4*sin(14*t*pi)/(pi*7);subplot(221),plot(t,f1);hold onplot(t,f,'r-');axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;subplot(222),plot(t,f2);hold onplot(t,f,'r-&#

15、39;);axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;subplot(223),plot(t,f3);hold onplot(t,f,'r-');axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;subplot(224),plot(t,f4);hold onplot(t,f,'r-');axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on; 圖4 偶次諧波與奇次諧波的對比;由圖4可以看出，由于原方波信號經(jīng)傅立葉級數(shù)分解后，偶次諧波不存在，所以在圖中只能觀察到奇次諧波。方波信號的奇偶次諧波的對比：t=-3*pi:pi/100000:3*pi;f

16、1=4*sin(2*t*pi)/pi+4*sin(6*t*pi)/(pi*3)+4*sin(10*t*pi)/(pi*5)+4*sin(14*t*pi)/(pi*7);subplot(211),plot(t,f1);axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;t=-3*pi:pi/100:3*pi;f2=0;subplot(212),plot(t,f2);3.1.4方波信號的頻譜圖 圖5 方波信號的頻譜圖 圖5為周期信號的頻譜圖，在頻譜圖中，=1時，信號的幅值在1.2到1.4之間，=2時，信號的幅值為0，=3時，幅值在0.2到0.4之間， =4、5、6、7、時，幅值有起伏，但總體趨

17、勢是呈下降趨勢。方波信號的頻譜圖：N=7;n=1:N;for i=1:2:NC(i)=4/(pi*(2*i-1) ;end;stem(n,C) ;3.1.5方波信號的誤差分析表3-1 方波信號前七項合成的誤差分析前N之和基波基波+三次諧波基波+三次諧波+五次諧波基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波en（t）0.99800.99600.99400.9920圖6 方波的誤差分析圖由圖6和表3-1知道，在信號合成時，其疊加的諧波次數(shù)越多，將產(chǎn)生的誤差值將越小，說明，合成波形越加的向原三角波形靠近誤差分析：e1=f-f1;e2=f-f2;e3=f-f3;e4=f-f4;subplot(221),plot

18、(t,e1);axis(-2 2 -1.5 1.5);grid on;subplot(222),plot(t,e2);。3.2結論1、 由圖5可見，周期信號的頻譜圖有以下特點：2、 （1）離散性。頻譜圖中的變量為，由于n只能是整數(shù)（單邊頻譜中是正整數(shù)），因而譜線是離散的而非連續(xù)的，譜線的間隔是，所以周期信號的頻譜是離散頻譜。（2）諧波性。由于n只取整數(shù)，因而譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。（3）收斂性。幅度譜中各譜線的高度盡管不一定歲隨諧波次數(shù)的增高作單調(diào)的減小，中間有可能有起伏，但總的趨勢是隨n的增高而減小的，當n為時，高度趨于零。 二、由圖2可以得出，任何周期信號都可以由一系列的正弦（或余弦）波組成，隨著諧波次數(shù)的增大，諧波的幅值越來越小，頻率越來越大。三、由圖3可以得到，合成波形所包含的諧波分量越多時，除間斷點附近外，它越接近與原波形信號。在間斷點附近，隨著所含有的諧波次數(shù)的增加，合成波形的波身