自動控制原理第五章

1、第五章 頻域分析法l 目的： 直觀，對高頻干擾的抑制能力。對快(高頻)、慢(低頻)信號的跟蹤能力。 便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計。 易于用實驗法定傳函。§5.1 頻率特性一. 定義在系統(tǒng)輸入端加一個正弦信號：系統(tǒng)輸出：若系統(tǒng)穩(wěn)定，即的極點全位于左半平面，則 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：而=又為的有理函數(shù)，故，即=可見：對穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是一個同頻率的正弦信號。其幅值是輸入正弦信號幅值的倍，其相移為。表示了穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和輸入正弦波之間的關(guān)系，故稱為頻率響應(yīng)函數(shù)。又稱為系統(tǒng)的頻率特性?？勺C：（見上面，的求法），即系統(tǒng)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與其輸入量之比稱為系統(tǒng)的頻率特性。二

2、表示方法 =，為系統(tǒng)的幅頻特性，為系統(tǒng)的相頻特性1 極坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖）（幅相特性圖）是復(fù)數(shù)，亦可看作一個矢量。從變化時，矢量的端點在復(fù)平面上的運動軌跡l 正相角按正實軸方向反時針旋轉(zhuǎn)定義。l 用來表示頻率特性的平面稱為平面。的幅相特性是平面上的虛軸通過傳遞函數(shù)在平面上的映射。2 對數(shù)頻率特性（伯德圖）對數(shù)幅頻特性：相頻特性: 及的變化范圍太大，故用對數(shù)坐標(biāo)表示。l 縱坐標(biāo)是以幅值對數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的；橫坐標(biāo)按頻率對數(shù)標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是實際的值，是不均勻的。這種坐標(biāo)系稱為半對數(shù)坐標(biāo)系。l 在橫軸上，對應(yīng)于頻率每增大10倍的范圍，稱為十倍頻程(dec)，如110，550，而軸上所有十倍

3、頻程的長度都是相等的。l 為了說明對數(shù)幅頻特性的特點，引進斜率的概念，即橫坐標(biāo)每變化十倍頻程（即變化）所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分貝數(shù)的變化量，記為。相頻特性也是在半對數(shù)坐標(biāo)系上表示。縱坐標(biāo)相角是均勻的，橫坐標(biāo)同上不均勻。l 基本性質(zhì) 串聯(lián)環(huán)節(jié)總的對數(shù)幅頻特性串聯(lián)環(huán)節(jié)總的相頻特性 互為倒數(shù)的傳遞函數(shù)，其、均以橫坐標(biāo)成鏡像對稱。3 對數(shù)幅相圖（尼柯爾斯圖） 直角坐標(biāo)系§5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性1 比例環(huán)節(jié),； 極坐標(biāo)圖 對數(shù)坐標(biāo)圖2 積分環(huán)節(jié), ,；極坐標(biāo)圖對數(shù)坐標(biāo)圖3 微分環(huán)節(jié), ； 極坐標(biāo)圖對數(shù)坐標(biāo)圖4 慣性環(huán)節(jié),； 極: ，對：近似法， 二直線交點為，即10倍，20dB 20dB/dec(

4、轉(zhuǎn)角頻率)處， 最大誤差發(fā)生處。5 一階微分環(huán)節(jié),；極: ，對：與慣性環(huán)節(jié)成鏡像對稱。6 振蕩環(huán)節(jié),極: ，對：的漸近線，為交接/轉(zhuǎn)角頻率。7二階微分環(huán)節(jié)極：對：與振蕩環(huán)節(jié)成鏡像對稱。§5.3 開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性一. 開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖開環(huán)頻率特性的一般形式：1 由決定時的形狀時，0型系統(tǒng)，1 , I型系統(tǒng)，2 , II型系統(tǒng)，2 由決定時的形狀時, 例. 已知，求作極坐標(biāo)圖解：，由可求與虛軸交點處頻率,由可求與實軸交點處頻率,代入及即與實、虛軸交點由時，沿平行于虛軸的漸近線漸近線與實軸的交點二. 開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖一般規(guī)則：1 將寫成典型環(huán)節(jié)之積2 找出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率3 畫出各環(huán)節(jié)

5、的漸近線4 在轉(zhuǎn)角頻率處修正漸近線得各環(huán)節(jié)曲線5 將各環(huán)節(jié)曲線相加即的波特圖（實驗法測的方法：先圖，再函數(shù)）§5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù)l 由開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)穩(wěn)定性的方法l 此法的優(yōu)點： 主要靠作圖，計算量很小。 不僅能回答閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且還可以得出系統(tǒng)接近不穩(wěn)定的程度，稱為穩(wěn)定裕度。 不要求知道系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)，而只要依靠實驗測出其開環(huán)頻率特性就可以。由于這些重要優(yōu)點，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析中有十分重要的地位，事實上它是整個頻域控制理論的基石。一奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1與的關(guān)系分母極點開環(huán)的極點零點閉環(huán)的閉環(huán)極點閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)極點在s左半平面 零點在s左半

6、平面2輻角原理（映射定理） s平面：順時針包圍的個零點 F平面：順時針繞原點圈角增量s平面：順時針包圍的個極點 F平面：逆時針繞原點圈角增量s平面：順時針包圍的個極點及個零點 F平面：繞原點逆時針轉(zhuǎn)圈（*）3映射定理在分析閉環(huán)穩(wěn)定性中的應(yīng)用奈奎斯特圍線：令s平面上的封閉曲線包圍全部右半s平面，曲線由整個軸（從到）和右半s平面上半徑為無窮大的半園軌跡構(gòu)成。軌跡為順時針。包含了的全部具有正實部的零極點。若在此無零點，則此處亦無閉環(huán)極點，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。如何知 在此無零點?可由，(的零點) (的極點，即開環(huán)極點)知道，即可根據(jù)逆時針繞原點的圈數(shù)，反推出閉環(huán)極點<0個數(shù)。 考慮是否包圍F平面上的原

7、點考慮s平面的軸，即變點從運動的情形而繞原點繞點的次數(shù)N(逆時針)（*）：4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)若開環(huán)傳函在s的右半平面有個極點，則為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)從變化時，的軌跡必反時針包圍平面上的點次。即而閉環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)。（的零點數(shù)）開環(huán)傳函在s右半平面的極點數(shù)。繞點逆時針轉(zhuǎn)的次數(shù)。（若為順時針轉(zhuǎn)時，則應(yīng)為）例.判別0型系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：，可畫出開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，即閉環(huán)傳函在s右半平面無極點 系統(tǒng)穩(wěn)定二對數(shù)判據(jù)1 極坐標(biāo)與對數(shù)坐標(biāo)圖的對應(yīng)關(guān)系 極坐標(biāo)圖單位圓對數(shù)幅頻圖的0dB線；極坐標(biāo)圖負實軸對數(shù)相頻圖的線；極坐標(biāo)圖單位圓外區(qū)域?qū)?shù)幅頻圖的0dB以上區(qū)域；極坐標(biāo)圖單位圓內(nèi)區(qū)域?qū)?shù)幅

8、頻圖的0dB以下區(qū)域；極坐標(biāo)圖上點對數(shù)。AB: ；CD: ; BC: ； DE: 如圖示系統(tǒng)開環(huán)p0，其極坐標(biāo)圖及對數(shù)坐標(biāo)圖如上。根據(jù)奈氏判據(jù)及極坐標(biāo)圖，知系統(tǒng)穩(wěn)定，不包括點不穿越-1點以左的區(qū)段（如）；或：在-1點以左的正穿越次數(shù)負穿越次數(shù)（如）若用的幅相關(guān)系表述，則為：在的范圍內(nèi)，對線的正穿越次數(shù)負穿越次數(shù)2 對數(shù)判據(jù)若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（p=0），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在的所有頻段內(nèi)，正負穿越線的次數(shù)差為0。(R=p/2,p為奇數(shù)時，半次穿越)例.若開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)系圖分別如下圖所示，判其穩(wěn)定性。 N=0 穩(wěn)定 N=1-1=0 穩(wěn)定三穩(wěn)定裕度衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)?？捎们€接近-1

9、點的程度來表征。 相位裕度：極坐標(biāo)圖的矢量與負實軸的夾角對數(shù)坐標(biāo)圖上處與的差系統(tǒng)穩(wěn)定（對最小相位系統(tǒng)）增益裕度：對數(shù)圖上時的系統(tǒng)穩(wěn)定（對最小相位系統(tǒng)）；§5.5 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性一 閉環(huán)頻率特性及性能指標(biāo)若單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為；則若，則 （*） 極坐標(biāo)圖 對數(shù)坐標(biāo)圖 1較高時域阻尼小，大，收斂慢，平穩(wěn)及快速性差。若 ，則閉環(huán)特征式有的特征根臨界穩(wěn)定，2較大系統(tǒng)慣性小，快速性好。若，則系統(tǒng)相當(dāng)于放大環(huán)節(jié)。，。l 一般準則：頻帶寬，峰值小過渡性能好。例.已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函，分析其穩(wěn)定性及頻域性能。解：畫開環(huán)系統(tǒng)頻響的伯德圖并判穩(wěn)定性開環(huán)系統(tǒng)伯德圖；從中可見， 閉環(huán)穩(wěn)定畫閉

10、環(huán)頻率特性曲線并分析性能由伯德圖查得：0.20.40.60.81.01.21.61.81473-1-4-7-9-13由尼柯爾斯圖/或計算得：0.251.2353-2-6-11閉環(huán)頻率特性曲線可查出二 從開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能1最小相位系統(tǒng)觀察各類穩(wěn)定的典型環(huán)節(jié)，其伯德圖有如下共同特征：若在某一相當(dāng)寬的頻率段內(nèi)，的斜率，則。若在某一相當(dāng)寬的頻率段內(nèi)，則。這種情況絕非偶然，數(shù)學(xué)上可以證明：右半平面上既無零點并無極點的傳遞函數(shù)，其幅頻特性與相頻特性不是互相獨立的，二者之間存在著嚴格確定的聯(lián)系。若給了，就可算（(5-43)）。具有這種傳函的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)這一名稱來源于通

11、信科學(xué)，其含義是：若有幾個傳遞函數(shù)的完全相同，那么其中在s右半平面無零極點的那個函數(shù)，其相頻特性函數(shù)的絕對值為最小。工程上并不使用(5-43)式來實際計算，但可利用這一性質(zhì)，直接從最小相位系統(tǒng)的判斷穩(wěn)定性及動態(tài)性能，這樣就可省去繪制準確的相頻特性曲線的工作。2開環(huán)頻率特性的低頻段決定穩(wěn)態(tài)性能O型I型II型單位階躍單位斜坡0單位加速度3 開環(huán)頻率特性的中頻段決定穩(wěn)定性(a) II型(b) I型(a) ； (b) ； 或1234510表明：與至之間、至之間的距離有關(guān)。(a) 只要,不會小于，以20dB/dec穿過0dB線；若>，則系統(tǒng)以40dB/dec穿過0dB線，越大，越小。10時，臨界穩(wěn)

12、定。(b) 只要,不會小于，以20dB/dec穿過0dB線；若<，則系統(tǒng)以40dB/dec穿過0dB線，越小，越小。0.1時，臨界穩(wěn)定。結(jié)論：只要以20dB/dec穿過0dB線，二階系統(tǒng)至少有的。或離越遠，越大；當(dāng)以20dB/dec穿過0dB線，或離越遠，越小若(b)的高頻段再附加60dB/dec斜率的線段，則此時高頻段多一個慣性環(huán)節(jié)使。當(dāng)以40dB/dec穿過0dB線時，由于小時常的存在可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。結(jié)論：以20dB/dec穿過0dB能滿足穩(wěn)定性要求，中頻段長度越長，越大。（此時對應(yīng)，離有距離。）中頻段：附近斜率20dB/dec的那一段。簡單系統(tǒng)：; 在過0dB，即為截止頻率對復(fù)

13、雜系統(tǒng)，近似為截止頻率。4 高頻段決定對高頻干擾的抑制高頻段，可從開環(huán)傳遞函數(shù)研究閉環(huán)頻率特性希望從，此時閉環(huán)系統(tǒng)盡可能準確地復(fù)現(xiàn)輸入信號。希望保持高增益地頻率范圍寬 一些。但太寬干擾進來了。§5.6 校正方法一、 校正的概念定義：給系統(tǒng)附加一些具有某種典型環(huán)節(jié)特性的元件，有效地改善整個系統(tǒng)的控制性能，達到指標(biāo)的要求，即為校正。這一附加的部分稱為校正元件。方法：利用根軌跡法、頻率法用試探方式設(shè)計。分類：1.串聯(lián)校正又分： 2.并聯(lián)校正（反饋校正）又分：3.前饋校正二、 串聯(lián)校正方法 RC超前網(wǎng)絡(luò)1 超前校正加開環(huán)零點可提供超前相位（使根軌跡向右彎曲）（1） 超前校正器作用是提供一個超前相位。令，·極坐標(biāo)圖，最大超前角發(fā)生在處·伯德圖 為高通濾波器轉(zhuǎn)角頻率：，位于， 串聯(lián)一個的放大器后，（2） 超前校正設(shè)單位反饋系統(tǒng)，原開環(huán)頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖如右：時，不穩(wěn)定，而加超前校正后穩(wěn)定。作用：·可在截止頻率處產(chǎn)生超前相位，以增加·增加頻寬提高快速性·對提高作用很大。2 滯后校正 RC滯后網(wǎng)絡(luò)（1） 滯后校正器,·極坐標(biāo)圖·伯德圖 為低通濾波器（2） 滯后校正設(shè)單位反饋系統(tǒng)，原開環(huán)頻率特性的Bode圖如下：滯后校正后；減少了頻寬作用：·