一階線性微分方程解的存在唯一性證明

1、一階線形微分方程*=p(x)y+q(x)解的存在唯一性定理的證明dx摘要：從分析方法入手，來證明滿足初值條件下一階線形微分方程解的存在唯一性定理的證明.引言：我們學(xué)習(xí)了能用初等解法的一階方程的若干類型，但同時知道大量的一階方程是不能用初等解法求出它的通解，而實際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解，因此對初值問題的研究被提到重要地位，自然要問：初值問題的解是否存在？如果存在是否唯一 i i? ?首先，我們令 f(x,y)=p(x)y+q(x)f(x,y)=p(x)y+q(x)這里 f(x,y)f(x,y)是在矩形域 R R：x-x0|0L0 使不等式f(x,yi)-f(x,y2)ELy

2、iy2對于所有的(xy),(x,y2)=R者 B B 成立,L,L 稱為利普希茲常數(shù)下面我們給出一階線形微分方程=p(x)y+q(x)(1)解的存在唯一性dx定理：如果f(x,y)=p(x)y+q(x)f(x,y)=p(x)y+q(x)在R R上連續(xù)且關(guān)于y y滿足利普希茲條件，則方程(1)(1)存在唯一的解y=P(x)，定義于區(qū)間x-xoh上，連續(xù)且滿足初始條件：4、.b*(x0)=y0這里h=min(a,)M=maxf(x,y)(x,y)wRM我們采用皮卡的逐步逼近法來證明這個定理，為了簡單起見只就區(qū)間xWxWx0+h來討論，對于x0-hxx0的討論完全一樣.現(xiàn)在簡單敘述一下運用逐步逼近法

3、證明定理的主要思想，首先證明求微分方程的初值問題的解等價于求積分方程y=y0+jIp(x)y+q(x)lx的連續(xù)解這里我們用 f(x,y)=p(x)y+q(x)f(x,y)=p(x)y+q(x)來替-x0代，因此也就等價于求積分方程y=y0+1f(x,y)dx的連續(xù)解，然后x0去證明積分方程的解的存在唯一性.任取一個連續(xù)函數(shù)中。代入上面的積分方程右端的 y y 就得到函數(shù)xQ(X)三y。+f(X,9o(x)dx顯然叼(x)也是連續(xù)解，如果叼(x)三中o(x)那么中o(x)就是積分方程的解. .否則，我們又把？(x)代入積分方程右端的 y y 得到x邛2(x)三y。+f(x,Q(x)dx如果(x

4、)三嵋(x),那么叼(x)就是積分方程的解,否則我們繼續(xù)這個步驟.一般地做函數(shù)中n(x)三y0+f(x,9n(x)dx這樣就得到連續(xù)函數(shù)序列Q(x)，91(x)中n(x)如果Q+(x)三邛n(x)那么中n(x)就是積分方程的解，如果始終不發(fā)生這種情況，我們可以證明上面的函數(shù)序列有一個極限函數(shù)中(x)即”mn(x)=9(x)存在因此對取極限就得到xlim(x)=y0limf(x,：n,(x)dxnj二二n)二二二0 x= =y-lim_.f(x,(x)dxx0n一x= =yf(x,-：(x)dx-x0即(x)三y0.f(x,:(x)dx這就是說中(x)是積分方程的解，這種一步一步地求出方程的解的

5、方法就成為逐步逼近法，由(2)(2)所確定白函數(shù)明(x)稱為問題(1)(1)的 n n 次近似解，在定理的假設(shè)條件下以上步驟是可以實現(xiàn)的下面我們分四個命題來證明這個定理.命題 1,1,設(shè)y=邛(x)是一階線形微分方程(1)(1)的定義于區(qū)間x0 xxo+h上的，且滿足初始條件邛(xo)=y的解，則y=P(x)是積分方程y=y0+jf(x,y)dx(xoxxo+h)的定義于x0 xx0+h上的連續(xù)解，反之亦然.因為y=cp(x)是一階線形微分方程(1)(1)的解故有d：(x)=f(x,:(x)dx兩邊從x0到 x x 取定積分得到x;：(x)一彳：(x0)三f(x,：(x)dxx0-x-x0,h

6、把中(x0)=y0代上式，即有x：(x)三y。-if(x,：(x)dxx。MxMx。hK0，一一.、一x-因此，y=(x)是積分方程y=y0+ff(x,y)dx7E義于x0MxWx0+h上的“0連續(xù)解反之如果y=(x)是積分方程y=y0+f(x,y)dx的連續(xù)解，則有*0 x一一一x)三y0f(x,:(x)dxx0 xx0-h(3)(3)-x0微分之，得到d:(x)=f(x,(x)dx又把x=x0代入(3)(3)得到：(x0)=V。因此y=Cp(x)是方程(1)(1)的定義于x0 xx0+h上且滿足初始條件邛(xo)=yo的解.命題 1 1 證畢.現(xiàn)在取孔(x)=yo,構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列

7、如下中o(x)=Vox?(x)=y十(f代,中一代),xo(n=1,2,(n=1,2,)(4)(4)命題 2 2 函數(shù)序列加n(x)在xoxxo+h上是一一致收斂的證明: :我們考慮級數(shù)中。(x)十齡k(x)一孔(x)xoxx0+h(5)(5)k=1它的部分和為n：o(x)Bk(x)-q,：k(x)l=D(x)k-4因此，要證明序列帆(x)在xoxWx0+h上一致收斂，只需證明級數(shù)在xoxx0+h上一i致收斂. .為此，我們進行如下估計.由(4)(4)有x叼(x)中o(x)ff仁Wo(b)dUEM(xxo)(6)(6)Lxo_.x及平2(x)-中i(x)|Wf|f(Q(b)-f(卻中o(b)d

8、以0利用利普希茲條件及(6)(6)得到xQ(x)Q(x)LfQ(b-中0造田0ELM(_Xo)d= =M(x-xo)2xo2!設(shè)對于正整數(shù) n,n,不等式巾巾ML”nQ(x)Qjx)(xxo)n!成立，則有利普希茲條件，當(dāng)xOW0+h時，有xoMXX。hxQ4(x)叱(x)|(If(t/Pn(t)_f(t/PnA(t)dt以0 xLr叫(與一中n,9d。x0nnx.n.MLn1(x)d=(xx0)x0(n1)!于是，由數(shù)學(xué)歸納法得知，對于所有白正整數(shù) k,k,有如下的估計k1,、，、ML一，、k：k(x)f：k(x)(x_x)x0 xx0h(7)(7)一k!從而可知，當(dāng)xwxwx+h時(8)(

9、8)的右端是正項收斂級數(shù)k、MLkkTk!的一般項，由維爾斯特拉斯判別法級數(shù)(5)(5)在x0ExEx+h上一致收斂，因而序列帆(x)也在x0 xx0+h上一致收斂，命題 2 2 證畢.命題 3 3 中(x)是積分方程(2)(2)的定義于x0 xx0+h上的連續(xù)解. .證明：由利普希茲條件f(xWn(x)-f(xW(x)L|Q(x)中(x)以及9n(x)在x0 xx0+h上一，致收斂于邛(x),即知序列ifn(x)三.f(x,(x)在xExEx+h上一致收斂于f(x,9(x). .因而對于(4)(4)兩邊取極限，得到MLn!/(x)中kx)k1ML一khk!xlim(x)三ylimf(x,nj

10、二二n)二二心:n(X)dxy。limf(，:x0n_j.nJ)dx（X）二y。3（）a這就是說領(lǐng)x）是積分方程的定義于X。EXEX。十h上的連續(xù)解.命題 3 3 證畢. .命題 4 4 設(shè)Mx）是積分方程的定義于X。wXwx。+h上的一個連續(xù)解，貝U（x）三邛（x）,Xoxx0+h證明：我們首先證明*（x）也是序列叫（x）的一致收斂極限函數(shù).為此，從：。(X)=yoX叱(X)=y。+ +LmwLmw)dC(n=1(n=1,2,2,) )我們可以進行如下估計f巴,送）-內(nèi)dU*。x.MLn1(x0)d=(x-x。)Xo(n1)!(x)三y。X+。f(X,嶺)廠50(x)-6(x)。d_M(x-x。)叼（X）6（x）ff（。中。（與）f代加仁）dUXoXL甲。(當(dāng)一/(W)dEX。X.ML2-ML(-x0)d=(x-x。)xo2!現(xiàn)設(shè)nA(X)-(X)n1MLnW(x-x。),貝U有n!Q(X)6(X)1fWxo）f（之文與）猶N,MLn!故有數(shù)學(xué)歸納法得知，對于所有的正整數(shù) n,n,有下面的估計式.MIMLn4/Jtr叫(x)-*(x)(x-xo)+(10)(10)(n+1)!因此，在x0 xx0+h上有nMLn斗fAAn(x