概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)典型例題

1、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章 隨機(jī)事件與概率典型例題一、利用概率的性質(zhì)、事件間的關(guān)系和運(yùn)算律進(jìn)行求解1.設(shè)為三個(gè)事件，且，則2.設(shè)為兩個(gè)任意事件，證明：二、古典概型與幾何概型的概率計(jì)算1.袋中有個(gè)紅球，個(gè)白球，現(xiàn)從袋中每次任取一球，取后不放回，試求第次取到紅球的概率.（）2.從數(shù)字中可重復(fù)地任取次，試求所取的個(gè)數(shù)的乘積能被10整除的概率.（）3.50只鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件上，其中有3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只鉚釘，若將3只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，從而成為不合格品，試求10個(gè)部件都是合格品的概率.（）4.擲顆骰子，求出現(xiàn)最大的點(diǎn)數(shù)為5的概率.5.（配對問題）某人

2、寫了封信給不同的個(gè)人，并在個(gè)信封上寫好了各人的地址，現(xiàn)在每個(gè)信封里隨意地塞進(jìn)一封信，試求至少有一封信放對了信封的概率.（）6.在線段上任取兩點(diǎn)，在處折斷而得三條線段，求“這三條線段能構(gòu)成三角形”的概率.（0.25）7.從中任取兩個(gè)數(shù)，試求這兩個(gè)數(shù)之和小于1，且其積小于的概率.（）三、事件獨(dú)立性1.設(shè)事件與獨(dú)立，且兩個(gè)事件僅發(fā)生一個(gè)的概率都是，試求.2.甲、乙兩人輪流投籃，甲先投，且甲每輪只投一次，而乙每輪可投兩次，先投中者為勝.已知甲、乙每次投籃的命中率分別為和.（1）求甲取勝的概率；（2）求何值時(shí)，甲、乙兩人的勝負(fù)概率相同？（）四、條件概率與積事件概率的計(jì)算1.已知10件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)

3、從中取產(chǎn)品兩次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）兩次均取到正品；（2）在第一次取到正品的條件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）兩次中恰有一次取到正品；（5）兩次中至少有一次取到正品.（）2.某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥過了的數(shù)字不再重復(fù)，試求下列事件的概率：（1）撥號(hào)不超過3次而接通電話；（2）第3次撥號(hào)才接通電話.（0.3；0.1）五、全概率公式和貝葉斯公式概型1.假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件為一等品；第二箱內(nèi)裝30件，其中18件為一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑選出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件（取出的零件均不放

4、回），試求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.（）2.有100個(gè)零件，其中90個(gè)一等品，10個(gè)二等品，隨機(jī)地取2個(gè),安裝在一臺(tái)設(shè)備上，若2個(gè)零件中有個(gè)（）二等品，則該設(shè)備的使用壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布，試求：（1）設(shè)備壽命超過1的概率；（2）若已知該設(shè)備壽命超過1，則安裝在設(shè)備上的2個(gè)零件均是一等品的概率.（）六、伯努利試驗(yàn)1.甲袋中9個(gè)白球與1個(gè)黑球，乙袋中有10個(gè)白球，每次從甲、乙兩袋中隨機(jī)地取一球交換放入另一袋中，這樣做了3次，試求黑球仍在甲袋中的概率.（0.756）2.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器以概率0.7可以直接

5、出廠，以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠，現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了臺(tái)儀器（假設(shè)生產(chǎn)過程相互獨(dú)立），求恰好有臺(tái)能出廠的概率.（）綜合題1.某段時(shí)間內(nèi)，證券交易所來了個(gè)股民的概率為，每個(gè)來到交易所的股民購買長虹股票的概率為，且各股民是否購買這種股票相互獨(dú)立.（1）求此段時(shí)間內(nèi)，交易所共有個(gè)股民購買長虹股票的概率；（2）若已知這段時(shí)間內(nèi)，交易所共有個(gè)股民購買了長虹股票，求交易所內(nèi)來了個(gè)股民的概率.（）2.三架飛機(jī)（一架長機(jī)，兩架僚機(jī)）一同飛往某目的地進(jìn)行轟炸，但要到達(dá)目的地需要無線電導(dǎo)航，而只有長機(jī)有這種設(shè)備。到達(dá)目的地之前，必須經(jīng)過敵方的高射炮陣地上空，

6、這時(shí)任一飛機(jī)被擊落的概率都是0.2，到達(dá)目的地之后，各飛機(jī)將獨(dú)立地進(jìn)行轟炸，炸毀目標(biāo)的概率都是0.3，求目標(biāo)被炸毀的概率.（0.477）3.設(shè)有三箱同型號(hào)產(chǎn)品，分別裝有合格品20件、12件和15件；不合格品為5件、4件和5件，現(xiàn)任意打開一箱，并從箱內(nèi)任取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，由于檢驗(yàn)誤差，每件合格品被誤驗(yàn)為不合格品的概率為0.04，每件不合格品被誤驗(yàn)為合格品的概率為0.04，試求；（1）取到的一件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)定為合格品的概率；（2）若已知取到的一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)定為合格品，則它確實(shí)是合格品的概率.（）第二章 隨機(jī)變量及其分布典型例題一、有關(guān)隨機(jī)變量與分布的基本概念設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，而且，證明：是

7、分布函數(shù).二、求隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)1.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，試求的分布律.2.同時(shí)擲兩枚骰子，觀察它們出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求兩枚骰子出現(xiàn)的最大點(diǎn)數(shù)的分布律.3.向直線上擲隨機(jī)點(diǎn)，已知隨機(jī)點(diǎn)落入的概率分別等于0.2、0.5、0.3，并且隨機(jī)點(diǎn)在上服從均勻分布，假定隨機(jī)點(diǎn)落入?yún)^(qū)間得0分，落在區(qū)間的點(diǎn)得分，落在區(qū)間內(nèi)得1分，以表示得分，試求的分布律.4.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度為，試求的分布函數(shù).三、已知事件發(fā)生的概率，求事件中的未知參數(shù)1.設(shè)隨機(jī)變量同分布，的概率密度為，已知事件獨(dú)立，且，試求常數(shù).2.設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為，而且取奇數(shù)值的概率為，試求常數(shù)的值.四、利用常見分布求相關(guān)事件的概

8、率（主要參看教材）假設(shè)某科統(tǒng)考的成績近似服從正態(tài)分布，已知第100名的成績?yōu)?0，問第20名的成績?yōu)槎嗌?？五、求隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.已知隨機(jī)變量的分布律為：，求的分布律.2.設(shè)的密度函數(shù)為，試求的概率密度.3.已知隨機(jī)變量的概率密度，求隨機(jī)變量的概率密度.4.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度，令,為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).（1）求的概率密度；（2）求.六、綜合題1.設(shè)隨機(jī)變量的分布律為：-1 0 1 2 以及矩陣，試求的秩的分布函數(shù).2.一商場對某商品的銷售情況作了統(tǒng)計(jì)，知顧客對該商品的需求服從正態(tài)分布，且日均銷售量為40件，銷售機(jī)會(huì)在30件到50件之間的概率為0.5，若進(jìn)貨不足，每件利潤損失為70元；

9、若進(jìn)貨量過大，則因資金積壓，每件損失100元，求日最優(yōu)進(jìn)貨量.（37）第三章 多維隨機(jī)變量及其分布典型例題一、聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的計(jì)算1.將三個(gè)相同的球等可能地放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，記落入第1號(hào)與第2號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)分別為.（1）求的聯(lián)合分布律；（2）求的邊緣分布律；（3）問是否獨(dú)立？（4）求關(guān)于的條件分布律.2.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為的01分布，令（1）求的聯(lián)合分布律；（2）為為何值時(shí)，取最小值？3.設(shè)服從上的均勻分布，其中為軸、軸及直線所圍成的三角形區(qū)域，試求：（1）的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）的聯(lián)合分布函數(shù).二、已知部分分布律或邊緣分布，求聯(lián)合分布律或相關(guān)參數(shù)

10、（參見教材）三、利用已知分布求相關(guān)事件的概率1.設(shè)二維隨機(jī)變量，則2設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們均勻分布在內(nèi)，試求方程有實(shí)根的概率.四、隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且的概率分布為：記.（1）求的概率分布；（2）求的協(xié)方差.2.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為，（1）求；（2）求的概率密度.五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性的討論（參見教材）第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征典型例題一、期望和方差的計(jì)算（參見教材中的練習(xí)題）1.一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2和0.3，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求的數(shù)學(xué)期望和方差.2.一民航送客車

11、載有20位旅客自機(jī)場開出，旅客有10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車，以表示停車的次數(shù)，求（設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）.二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差（參見教材中的練習(xí)題）1.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求.2.在長為的線段上任意取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間距離的數(shù)學(xué)期望與方差.三、有關(guān)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性與相關(guān)性的命題1.設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求2.設(shè)二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布，記，（1）求和的聯(lián)合分布律；（2）求和的相關(guān)系數(shù).3.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，（1）求和；（2）求與的協(xié)方差，問與是否不相關(guān)？（3）問與是否獨(dú)立？為什么？4.設(shè),其中

12、,且，（1）求的數(shù)學(xué)期望及方差；（2）求與的相關(guān)系數(shù)；（3）與是否相互獨(dú)立？為什么？四、有關(guān)數(shù)字特征的應(yīng)用題1.一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年內(nèi)損壞可予以調(diào)換，若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元，試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望.（）2.一商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量（以公斤計(jì)）與顧客對該商品的需求量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從10,20上的均勻分布，商店每售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過了進(jìn)貨量，商店可從其他地方調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品可獲利500元，試計(jì)算此商店經(jīng)銷該商品每

13、周所得利潤的期望值.（）3.假設(shè)由自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)徑（單位：毫米）服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑有如下關(guān)系：，問平均內(nèi)徑取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？（）第五章 大數(shù)定律和中心極限定理典型例題一、有關(guān)切比雪夫不等式的命題1.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式，（）2.設(shè)隨機(jī)變量，試用切比雪夫不等式證明：.3.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的階絕對長存在，證明：對任意，有.二、有關(guān)大數(shù)定律的命題1.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)

14、立同服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于_.（0.5）2.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布，且，求：.（1）三、有關(guān)中心極限定理的命題1.一食品店有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機(jī)，因而售出一只蛋糕的價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量，它取1（元）、1.2（元）、1.5（元）各個(gè)值的概率分別為0.3、0.、0.5，某天售出300只蛋糕.（1）求這天的收入至少400（元）的概率；（2）求這天售出價(jià)格為1.2（元）的蛋糕多于60只的概率. ()2.檢查員逐個(gè)地檢查某產(chǎn)品，每次花10秒鐘檢查一個(gè)，但也可能有的產(chǎn)品需要再花10秒鐘重復(fù)檢查一次，假設(shè)每個(gè)產(chǎn)品需要復(fù)查的概率為0.5，求在8小時(shí)內(nèi)檢查員檢查的產(chǎn)品個(gè)數(shù)多于1900個(gè)的概率是多少？()3.銀行為支付某日即將到期的債券需準(zhǔn)備一筆現(xiàn)金，已知這批債券共發(fā)放了500張，每張需付本息1000元，設(shè)持券人（1人1券）到期到銀行領(lǐng)取本息的概率為0.4