構(gòu)造等腰三角形解題的常見途徑

1、構(gòu)造等腰三角形解題的常見途徑等腰三角形是研究幾何圖形的基礎(chǔ)，因此在許多幾何問題中，常常需要構(gòu)造等腰三角形才能使問題獲解，那么如何構(gòu)造等腰三角形呢？一般說來有以下幾種途徑：一、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形如圖1中，若AD平分BAC，ADEC，則ACE是等腰三角形；如圖1中，AD平分BAC，DEAC，則ADE是等腰三角形；如圖1中，AD平分BAC，CEAB，則ACE是等腰三角形；如圖1中，AD平分BAC，EFAD，則AGE是等腰三角形圖1ADCBEECBDABACDEABFCDEG例1如圖2，ABC中，ABAC，在AC上取點(diǎn)P

2、，過點(diǎn)P作EFBC，交BA的延長線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F求證：AEAP圖4FCDEBAM簡析要證AEAP，可尋找一條角平分線與EF平行，于是想到ABAC，則可以作AD平分BAC，所以ADBC，而EFBC，所以ADEF，所以可得到AEP是等腰三角形，故AEAPCABEDO圖3圖2FBACDPE例2如圖3，在ABC中，BAC、BCA的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DEAC，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E試猜想線段AD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系，并說明你的猜想理由簡析猜想：AD+CEDE理由如下：由于OA、OC分別是BAC、BCA的平分線，DEAC，所以ADO和CEO均是等腰三角形，則DODA，ECEO，故AD+C

3、EDE例3如圖4，ABC中，AD平分BAC，E、F分別在BD、AD上，且DECD，EFAC求證：EFAB簡析由于這里要證明的是EFAB，而AD平分BAC，所以必須通過輔助線構(gòu)造出平行線，這樣就可以得到等腰三角形了，于是DECD的提示下，相當(dāng)于倍長中線，即延長AD至M，使DMAD，連結(jié)EM，則可證得MDEADC，所以MEAC，又EFAC，MCAD，所以MEFM，即CADEFM，又因?yàn)锳D平分BAC，所以BADEFDCAD，所以EFAB二、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形如圖5中，若AD平分BAC，ADDC，則AEC是等腰三角形E圖5

4、ABCD圖6BFDECA例4如圖6，已知等腰RABC中，ABAC，BAC90°，BF平分ABC，CDBD交BF的延長線于D求證：BF2CD簡析由BF平分ABC，CDBD，并在圖5的揭示之下，延長線BA、CD交于點(diǎn)E，于是BCE是等腰三角形，并有EDCD，余下來的問題只需證明BFCE，而事實(shí)上，由BAC90°，CDBD，AFBDFC，得ABFDCF，而ABAC，所以ABFACE，則BFCE，故BF2CD三、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形如圖7中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，則DBC是等腰三

5、角形；如圖7中，若ABC2C，如果延長線CB到D，使BDBA，連結(jié)AD，則ADC是等腰三角形；如圖7中，若B2ACB，如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作ACDACB，交BA的延長線于點(diǎn)D，則DBC是等腰三角形圖7BCDABCDABCDAE圖8CBAD例5如圖8，在ABC中，ACB2B，BC2AC求證：A90°簡析由于條件中有兩個(gè)倍半關(guān)系，而結(jié)論與角有關(guān)，因此首先考慮對(duì)ACB2B進(jìn)行技術(shù)處理，即作CD平分ACB交AB于D，過D作DEBC于E，則由ACB2B知BBCD，即DBC是等腰三角形，而DEBC，所以BC2CE，又BC2AC，所以ACEC，所以易證得ACDECD，所以AD

6、EC90°說明本題也可以利用圖7的、來構(gòu)造等腰三角形求解手腦并用巧解題湖北畢保洪隨著課程標(biāo)準(zhǔn)深入實(shí)施：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純的依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、自主探索與合作交流成為學(xué)習(xí)的重要方法”因此，以等腰三角形為背景的動(dòng)手操作、動(dòng)腦設(shè)計(jì)的手腦并用的中考題悄然興起一、模擬畫圖例1 已知在如圖1的ABC中，AB=AC，A=36°，仿照?qǐng)D1，請(qǐng)你再用兩種不同的方法，將ABC分割成3個(gè)三角形，使每個(gè)三角形都是等腰三角形（圖2、圖3供畫圖用，作圖工具不限，不要求寫出作法，不要求證明，但要標(biāo)出所分得每個(gè)等腰三角形的內(nèi)角度數(shù)）解：如圖4、圖5、圖6、圖7此題不僅培養(yǎng)同學(xué)們的動(dòng)手能力，

7、而且考查同學(xué)們的發(fā)散思維能力二、手腦并用例2在平面內(nèi)，分別用3根、5根、6根火柴，首尾依次相接可以搭成什么形狀的三角形呢？通過嘗試，列表如下所示：問: （1）4根火柴能搭成三角形嗎?（2）8根、12根火柴分別能搭成幾種不同形狀的三角形？并畫出圖形解：（1）4根火柴不能搭成三角形因?yàn)?+1=2不滿足三邊關(guān)系（2）8根火柴能搭成等腰三角形，如圖8；而12根能搭成等邊三角形，如圖9，或等腰三角形，如圖10，或直角三角形，如圖11此題動(dòng)手操作性強(qiáng)而且有助于培養(yǎng)同學(xué)們探究學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣三、動(dòng)手剪裁例3在勞技課上老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堖呴L為16cm的正方形紙板上，剪下一個(gè)腰長為10cm的等腰三角形（要求等腰三角形至