差分方程的相容性收斂性和穩(wěn)定性（課堂PPT）

1、計(jì) 算 力 學(xué) 基 礎(chǔ)第二章第二章 有限差分方法有限差分方法2.4 差分方程的相容性、收斂性和穩(wěn)定性差分方程的相容性、收斂性和穩(wěn)定性 一個(gè)微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么，我們要問(wèn)，對(duì)于這些不同的差分方程是否都同樣有效，同樣可靠，而且能得到同樣的計(jì)算結(jié)果呢？ 答案是否定的。事實(shí)上，不同的差分方程和原方程有完全不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它們具有各自不同的性質(zhì)，因此，數(shù)值結(jié)果也完全不同。在這些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有在一定的條件下是有效的、可靠的；有些差分方程則是完全無(wú)效的、不可靠的。所以，如何判斷和分析差分方程有效性和可靠性就成為非常必要和現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題了。 在

2、這一節(jié)中我們首先對(duì)差分方程有效性的一些基本概念（如相容相容性、收斂性、穩(wěn)定性性、收斂性、穩(wěn)定性）作簡(jiǎn)單介紹，為本章以后各節(jié)的分析討論奠定基礎(chǔ)。 差分方程相容性是討論當(dāng) 時(shí)，差分方程逼近于微分方程的程度，因此，相容性是討論差分方程和微分方程的關(guān)系差分方程和微分方程的關(guān)系。 定義：定義：對(duì)于一足夠光滑函數(shù) ，若時(shí)間步長(zhǎng) ，空間步長(zhǎng) 趨近于0時(shí)，差分方程截?cái)嗾`差 對(duì)于每一點(diǎn) 都趨近于0，則該差分方程 逼近微分方程 ，即差分方程與微分方程是相容的。差分方程相容性可以通過(guò)Taylor展開(kāi)方法來(lái)證明。例如，擴(kuò)散方程的FTCS差分格式為： ,0tx utxnjR,jnxt0njLu 0Lu 111220nn

3、nnnjjjjjuuuuutx2.4.1 相容性（相容性（Consistency ）把 作為t的函數(shù)，在 鄰域展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)，把 和 作為x的函數(shù)，在 鄰域展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)： 1njunt1nju1njujx2312342311()26nnnnnjjjjjuuuuuttttttt 2323412311()26nnnnnjjjjjuuuuuxxxxxxx 2323412311()26nnnnnjjjjjuuuuuxxxxxxx 將1nju1nju代入FTCS格式中，即可得到：、和1nju當(dāng) 時(shí)，上等式右側(cè)所有項(xiàng)都趨近0，差分方程趨近于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。

4、關(guān)于差分方程相容性需要作以下說(shuō)明：關(guān)于差分方程相容性需要作以下說(shuō)明：相容性是對(duì)求解區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)差分方程逼近于微分方程的程度，相容性是有限差分算法（包括有限體積算法）首先必須滿(mǎn)足的有效性條件。 22323222311()()26nnjjuuuutttxtxtt ,0tx 相容性要求對(duì)于求解區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn) ，在 同時(shí)趨近于0，截?cái)嗾`差 趨近于0。如果 不是同時(shí)趨近于0或并不趨近于0，而是趨近于某值，或結(jié)論并不是對(duì)每個(gè)點(diǎn) 都成立，則差分方程就不滿(mǎn)足相容性條件，差分方程也就不逼近于微分方程。相容性條件不僅要求差分方程截?cái)嗾`差 趨近于0，而且要求差分方程定解條件截?cái)嗾`差 也同時(shí)趨近于0。差分格式有兩種不

5、同形式的相容性，即無(wú)條件相容和有條件相容。,jnxt, tx njR, tx ,jnxtnjRnjr2.4.2 收斂性（收斂性（Convergence ）差分方程收斂性是討論當(dāng),0tx 時(shí)，差分方程的解和微分方程的解是否一致性的問(wèn)題，也就是討論差分方程的解和微分方程的解的逼近程度。定義定義1：差分方程的數(shù)值解為，微分方程的精確解為，它們之間的誤差用表示，則稱(chēng)為離散化誤差。0njLu u定義定義2：節(jié)點(diǎn)為微分方程求解區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，差分方程數(shù)值解趨近于微分方程精確解，即，則差分方程收斂于微分方程。,ppx t0nnjjeuu,ppxxttnju0nnjjeuunjuunje差分方程收斂性

6、有兩種證明方法，直接證明法直接證明法和數(shù)值試驗(yàn)法數(shù)值試驗(yàn)法。一、直接證明法一、直接證明法對(duì)流方程 的FTBS差分格式為：0 xuatu101(1),()nnnjjjjjur uruux(a)設(shè)求解區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn) ， ，它的微分方程精確解為u，差分方程解為 ，則離散化誤差為 ，把差分方程和微分方程相減可得離散化誤差方程：pxptnjunjnjuue11(1)(,)nnnjjjer ereOxt(b)由（b）式可以看出離散化誤差方程在形式上和差分方程是完全相同的，由此可以得到：111()(,)1(,)nnnnjjjjnnjjteeaeeOxtxttaeaeOxtxx設(shè)a0， 1，則0 1，于是有：

7、xtaxta111(,)1maxmax(,)nnnjjjnnjjjjtteaeaeOxtxxttaeaeOxtxx(c)式中 表示在n層的所有節(jié)點(diǎn)上離散化誤差 絕對(duì)值最大值，對(duì)于所有節(jié)點(diǎn)j有：njjemaxnje1max(,)nnjjjeeOxt于是有：1maxmax(,)nnjjjjeeOxt1maxmax(,)nnjjjjeeOxt10maxmax(,)jjjjeeOxt由此可得到：10maxmax(,)njjjjeeOxt(d)在t=0時(shí)，差分方程的初始條件應(yīng)該是完全準(zhǔn)確的，即：0),(0000jjjjuuexu即：1max(,)njjeOxt即差分方程離散化誤差和截?cái)嗾`差是相同數(shù)量級(jí)，

8、因此，若 0，則：njR0maxlim100njjxte(f)由此可知，F(xiàn)TBS格式在a0， 時(shí)，是收斂的。1xta(e)二、數(shù)值試驗(yàn)法二、數(shù)值試驗(yàn)法數(shù)值試驗(yàn)法基本思想是用差分方程求出FTBS數(shù)值解，然后和微分方程精確解進(jìn)行比較，確定差分方程是否收斂。直接證明法比較簡(jiǎn)單，但是只有很少幾個(gè)差分方程可以采用直接證明法來(lái)證明其收斂性，而數(shù)值試驗(yàn)法又非常麻煩，一般來(lái)說(shuō)，很難用數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)格證明差分方程是否收斂。總的說(shuō)來(lái)，不管是采用直接證明法，還是數(shù)值試驗(yàn)法，要證明差分方程收斂性都是比較困難的。關(guān)于差分方程收斂性需要作以下說(shuō)明：關(guān)于差分方程收斂性需要作以下說(shuō)明：(1) 差分方程收斂性表示差分方程數(shù)值解

9、和微分方程精確解逼近程度，只有在差分方程收斂于微分方程時(shí)，差分方程解才可能是微分方程精確解。(2) 差分方程相容性是差分方程首先要滿(mǎn)足的，差分方程相容性是收斂性的必要性條件，但并不是充分條件。差分方程相容性并不能保證差分方程數(shù)值解一定收斂于微分方程精確解。若差分方程不相容，則數(shù)值解肯定不收斂微分方程的精確解。 粗看起來(lái)，差分方程相容性要求時(shí)，差分方程逼近于微分方程，似乎差分方程數(shù)值解也應(yīng)該收斂于微分方程精確解。事實(shí)上，當(dāng)我們?cè)谧C明相容性時(shí)，已經(jīng)假定了差分方程數(shù)值解就是微分方程精確解，在對(duì)微分方程進(jìn)行展開(kāi)時(shí)，截?cái)嗾`差中已經(jīng)忽略了離散化誤差的存在。因此，差分方程相容性并不能保證其收斂性。(3) 差

10、分方程同樣也有兩種不同形式的收斂性：有條件收斂和無(wú)條件收斂。2.4.3 穩(wěn)定性（穩(wěn)定性（Stability ）用計(jì)算機(jī)數(shù)值求解差分方程時(shí)，計(jì)算誤差總是不可避免的。計(jì)算誤差包括舍入誤差、離散誤差和初值誤差。設(shè)微分方程精確解為，具有計(jì)算誤差差分方程數(shù)值解為，則計(jì)算誤差定義為：nnnnnjjjjjuuuuuuunju式中，是離散化誤差，而就是舍入誤差。根據(jù)收斂性條件，當(dāng)，差分方程收斂于微分方程。而數(shù)學(xué)性質(zhì)討論，就屬于穩(wěn)定性所要討論的范圍。由此可知，穩(wěn)定性是討論在計(jì)算過(guò)程中，某一時(shí)刻，某一點(diǎn)產(chǎn)生計(jì)算誤差，隨著計(jì)算時(shí)間增加，這個(gè)誤差是否能被抑制的問(wèn)題。nnjjeuunnrjjuu00lim0njtxe

11、r定義：定義：在某一個(gè)時(shí)刻tn存在計(jì)算誤差 ，若在 時(shí)刻滿(mǎn)足：nj1nt01jnjnjnjkk或條件，則差分方程是穩(wěn)定的。這里定義： 2122xnjnj是某種定義的范數(shù)。下面我們用幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明差分方程穩(wěn)定性概念。 njnjnjnjuuruu11111nnnjjjrr（1）對(duì)流方程FTFS差分方程為：其中 。設(shè)在n時(shí)刻計(jì)算誤差為 ，n+1時(shí)刻計(jì)算誤差為 ，則計(jì)算誤差傳播方程為：xtrnj1nj可以采用直觀的數(shù)值試驗(yàn)法來(lái)分析誤差傳播規(guī)律。 (a)在（a）式中設(shè)在tn時(shí)刻xj的計(jì)算誤差為 ，而計(jì)算到n+100時(shí)刻，（xj，tn+100）點(diǎn)的計(jì)算誤差將發(fā)展到 ，假定只有在節(jié)點(diǎn)（xj，tn）上存

12、在誤差 ，其他各節(jié)點(diǎn)的計(jì)算誤差為零，則若取r=0.8，則 。由此可以看出，這個(gè)計(jì)算誤差必定會(huì)將差分方程精確解原來(lái)面目完全淹沒(méi)了，所求得差分方程數(shù)值解已經(jīng)沒(méi)有任何意義了，因此，F(xiàn)TFS差分方程是不穩(wěn)定的。 njnjrr11001001njnjnjnj251001001037. 38 . 1nj（2）對(duì)流方程FTBS差分格式的誤差傳播方程為：njnjnjnjnjnjrrr1111(b)當(dāng)a0， 時(shí)， ，通過(guò)迭代運(yùn)算可得到：1xtanjjnjmax1njjnjjmaxmax11maxmaxnjjnjj01maxmaxjjjj由此可知，在n時(shí)刻的計(jì)算誤差 是不會(huì)大于 ，因此，當(dāng)a0， 時(shí)，F(xiàn)TBS差分

13、格式是穩(wěn)定的（見(jiàn)圖a）。這是有條件的穩(wěn)定，穩(wěn)定的條件是a0， 。但是，對(duì)于不同的a，t，x，F(xiàn)TBS差分格式的穩(wěn)定條件是不同的（見(jiàn)圖b）。nj0j1xta1xta當(dāng)a=1，x=0.1，r=0.8，則有： ；當(dāng)a=1，x=0.1，r=1.0，則有： ；當(dāng)a=1，x=0.1，r=2.0，則有： 。njujnjuuu118 . 02 . 0njnjuu11njujnjuuu112通過(guò)對(duì)（b）式的數(shù)值分析可知：njnjnjnjnjnjrrr1111(b)圖b中給出了上述不同條件下差分方程計(jì)算誤差的圖解。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r=1.0時(shí)，差分方程解和微分方程解是一致的；當(dāng)r=0.8時(shí)，在差分方程解的兩端有耗散現(xiàn)象，當(dāng)r=2.0時(shí)，差分方程解會(huì)出現(xiàn)振蕩，并且在t=nt繼續(xù)增加時(shí)，振蕩也繼續(xù)加劇，直到計(jì)算完全失敗。數(shù)值分析表明，F(xiàn)TBS差分方程只有在r 1.0時(shí)計(jì)算才是穩(wěn)定，當(dāng)r1.0時(shí)差分方程計(jì)算是不穩(wěn)定。差分格式穩(wěn)定性有兩種不同的形式：有條件穩(wěn)定和無(wú)條件穩(wěn)定。我們已經(jīng)討論了差分方程穩(wěn)定性和收斂性。穩(wěn)定性是反映差分方程在時(shí)間進(jìn)程上的特性，收斂性是反映差分方程空間位置上的特性，它們都體現(xiàn)了差分方程內(nèi)在性質(zhì)，都是十分重要的基本概念。那么，差分方程收斂性和穩(wěn)定性之間存在什么關(guān)系呢？Lax定理給出了這個(gè)問(wèn)題的答案。Lax定理：對(duì)于適定和線性的初值問(wèn)題微分方程，若逼近它的差分方程和