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1、3.5 把握系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.5 把握系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差描述把握系統(tǒng)的微分方程(3.73)式(3.73)是一個(gè)高階微分方程,方程的解可以表示為(3.74)式中,前兩項(xiàng)是方程的通解,而是方程的一個(gè)特解。隨時(shí)間的增大,方程的通解漸漸減小,方程的解y(t)越來(lái)越接近特解。當(dāng)時(shí),方程的通解趨于零這時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入了穩(wěn)定狀態(tài)。特解是由輸入量確定的,反映了把握的目標(biāo)和要求。系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后,能否達(dá)到預(yù)期的把握目的,能否滿(mǎn)足必要的把握精度,要解決這個(gè)問(wèn)題,就必需對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性進(jìn)行分析。穩(wěn)態(tài)特性的性能指標(biāo)就是穩(wěn)態(tài)誤差。3.5.1 穩(wěn)態(tài)誤差把握系統(tǒng)的誤差可以表示為(3.75)式中是被把握變量的期望值,y(t)是被把握變量
2、的實(shí)際值,即把握系統(tǒng)的輸出。穩(wěn)定的把握系統(tǒng),在輸入變量的作用下,動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束后,進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)的誤差,稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)誤差圖3.23 單位反饋和非單位反饋系統(tǒng)(a)單位反饋系統(tǒng);(b)非單位反饋系統(tǒng)在把握工程中,常用把握系統(tǒng)的偏差信號(hào)來(lái)表示誤差。對(duì)圖3.23(a)所示的單位反饋系統(tǒng),誤差與偏差的含義是相同的,即(3.76)式中r(t)為系統(tǒng)的給定值,也就是輸出y(t)的期望值。單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:(3.77)對(duì)圖3.23(b)所示的非單位反饋系統(tǒng),由于反饋?zhàn)兞縡(t)并不與輸出變量y(t)完全相同,所以給定值與反饋?zhàn)兞恐?,即偏差并不是?.75)式意義上的誤差。但假如反饋環(huán)節(jié)H(s)不含有積分環(huán)
3、節(jié),在時(shí),由于暫態(tài)項(xiàng)的消逝,反饋量與輸出量之間就只差一個(gè)比例系數(shù)我們認(rèn)為反饋量可以代表輸出量,于是,定義非單位反饋系統(tǒng)的誤差為(3.78)式中r(t)是非單位反饋系統(tǒng)的給定值,f(t)是反饋信號(hào)。依據(jù)圖3.23(b)非單位反饋系統(tǒng)各環(huán)節(jié)間信號(hào)的關(guān)系,可得(3.79)假如把單位反饋系統(tǒng)看成是一般反饋系統(tǒng)的特殊狀況,則(3.79)式就被定義為把握系統(tǒng)誤差的拉普拉斯變換表達(dá)式。依據(jù)拉普拉斯變換的終值定理得即(3.80)式(3.80)表明,把握系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不僅僅是由系統(tǒng)本身的特性打算的,還與輸入函數(shù)有關(guān)。同一個(gè)系統(tǒng)在輸入信號(hào)不同時(shí),可能有不同的穩(wěn)態(tài)誤差。也就是說(shuō)把握系統(tǒng)對(duì)不同的輸入信號(hào),把握精度是不
4、同的。3.5.2 積分環(huán)節(jié)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的影響式(3.80)中的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為(3.81)式中K表示系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)。N表示開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)所包含的積分環(huán)節(jié)數(shù)。在分析把握系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí),我們依據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)所含的積分環(huán)節(jié)數(shù)來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類(lèi)。若N=0,即把握系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)不含積分環(huán)節(jié),稱(chēng)為0型系統(tǒng)。若N=I,則稱(chēng)為I型系統(tǒng)。N= ,稱(chēng)為型系統(tǒng)?,F(xiàn)在,我們來(lái)爭(zhēng)辯不同類(lèi)型的把握系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。1. 單位階躍函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍函數(shù)輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.82)假如我們定義(3.83)式中稱(chēng)為位置誤差系數(shù),則單位階躍輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.84)對(duì)于0型系
5、統(tǒng)(3.85)(3.86)穩(wěn)態(tài)誤差為(3.87)式(3.87)說(shuō)明,0型系統(tǒng)在單位階躍輸入下是有穩(wěn)態(tài)誤差的。所以我們稱(chēng)0型系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入是有差系統(tǒng)??梢酝ㄟ^(guò)增大開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K使穩(wěn)態(tài)誤差減小,但不能消退,由于系統(tǒng)本身的特性打算了穩(wěn)態(tài)誤差不行能完全消退。對(duì)于型或型系統(tǒng):系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為型(3.88)型(3.89)系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)(3.90)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.91)(3.91)式說(shuō)明,若要求系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零,系統(tǒng)必需含有積分環(huán)節(jié)??梢钥闯觯e分環(huán)節(jié)具有消退穩(wěn)態(tài)誤差的作用。2. 單位斜坡函數(shù)輸入的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡函數(shù)輸入下把握系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定義(3.93)則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為
6、(3.94)式中,稱(chēng)為速度誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為(3.95)對(duì)于型系統(tǒng)(3.96)穩(wěn)態(tài)誤差為(3.97)式中K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)。對(duì)于型系統(tǒng)(3.98)穩(wěn)態(tài)誤差為(3.99)在單位斜坡函數(shù)輸入下,0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為無(wú)窮大。這說(shuō)明0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡函數(shù)。I型系統(tǒng)雖然可以跟蹤單位斜坡輸入函數(shù),但存在穩(wěn)態(tài)誤差,即I型系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入是有差的。若要在單位斜坡函數(shù)作用下達(dá)到無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差的把握精度,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)必需含有二個(gè)以上的積分環(huán)節(jié)。3. 單位拋物線函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位拋物線輸入函數(shù)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.100)定義(3.101)則有(3.102)式中稱(chēng)為加速度誤差函數(shù)。對(duì)0
7、型系統(tǒng)(3.103)對(duì)表3.2 典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)類(lèi)型誤差系數(shù)輸入r(t)=1輸入r(t)=t輸入r(t)=0型K00型K0型K型系統(tǒng)(3.104)對(duì)型系統(tǒng)(3.105)K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)。在拋物線函數(shù)輸入下,0型、型系統(tǒng)都不能使用。型系統(tǒng)則是有差的。若要消退穩(wěn)態(tài)誤差,必需選擇 型以上的系統(tǒng)。但系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)太多,動(dòng)態(tài)特性就會(huì)變壞,甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。工程上很少應(yīng)用型以上的系統(tǒng)。表3.2給出了典型輸入函數(shù)作用下各型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。從以上爭(zhēng)辯中可以得出結(jié)論:積分環(huán)節(jié)具有消退穩(wěn)態(tài)誤差的作用。這就是很多把握系統(tǒng)中引入積分環(huán)節(jié)的緣由。誤差系數(shù)是利用拉普拉斯變換終值定理得出的,它
8、只是時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)的值,因此是靜態(tài)誤差系數(shù),它們并不反映誤差隨時(shí)間變化的狀況。3.5.3 擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差以上我們爭(zhēng)辯了把握系統(tǒng)對(duì)給定值信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差。在把握系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí),即使給定值不變,也會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的元件受環(huán)境影響、老化、磨損等會(huì)使系統(tǒng)特性發(fā)生變化,也可以產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差大小反映了系統(tǒng)抗干擾的力量。圖3.24是一個(gè)把握系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。我們現(xiàn)在來(lái)爭(zhēng)辯這個(gè)系統(tǒng)在擾動(dòng)d(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。按疊加原理,我們假定R(s)=0,系統(tǒng)中只有擾動(dòng)輸入。系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的輸出為圖3.24 把握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得(3.106)值得說(shuō)明的是,擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差與干擾的作用點(diǎn)有關(guān)。所以式(3.106)只適用圖3.24所示的系統(tǒng)。若要求系統(tǒng)在給定值輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,只要將二者疊加就可以了。系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差也是系統(tǒng)的一項(xiàng)重要穩(wěn)態(tài)特
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