難點(diǎn)02：總集篇·十六種陰影部分面積法【十六大考點(diǎn)】-2024年小升初數(shù)學(xué)典型例題系列（解析版）

休對(duì)故人思故國(guó)，且將新火試新茶。詩(shī)酒趁年華。休對(duì)故人思故國(guó)，且將新火試新茶。詩(shī)酒趁年華?！彼巍ぬK軾《望江南·超然臺(tái)作》2024年小升初數(shù)學(xué)典型例題系列難點(diǎn)02：總集篇·十六種陰影部分面積法【十六大考點(diǎn)】【第一篇】專題解讀篇本專題是難點(diǎn)02：總集篇·十六種陰影部分面積法。本部分內(nèi)容包括十六種求不規(guī)則或組合平面圖形及陰影部分圖形面積的方法，考點(diǎn)劃分較多，其中大部分考點(diǎn)以思維拓展題型為主，難度極大，綜合性極強(qiáng)，建議作為小升初復(fù)習(xí)難點(diǎn)內(nèi)容，并根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況和總體水平選擇部分進(jìn)行講解，一共劃分為十六個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用?！镜诙磕夸泴?dǎo)航篇TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】面積法其一：相加法 3【考點(diǎn)二】面積法其二：相減法 6【考點(diǎn)三】面積法其三：加減混合法 9【考點(diǎn)四】面積法其四：平移法 12【考點(diǎn)五】面積法其五：拼接法 14【考點(diǎn)六】面積法其六：旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法） 16【考點(diǎn)七】面積法其七：割補(bǔ)法 19【考點(diǎn)八】面積法其八：重組法 22【考點(diǎn)九】面積法其九：整體代換法 26【考點(diǎn)十】面積法其十：輔助線法 28【考點(diǎn)十一】面積法其十一：容斥原理 32【考點(diǎn)十二】面積法其十二：差不變?cè)恚ú畈蛔兯枷耄?37【考點(diǎn)十三】面積法其十三：等積變形 41【考點(diǎn)十四】面積法其十四：圖示法 43【考點(diǎn)十五】面積法其十五：平移運(yùn)動(dòng)問題＊ 47【考點(diǎn)十六】面積法其十六：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)問題＊ 50【第三篇】知識(shí)總覽篇【第四篇】典型例題篇【考點(diǎn)一】面積法其一：相加法?！痉椒c(diǎn)撥】相加法，即加法分割思路，把所求陰影部分面積分割成幾塊能用公式計(jì)算的規(guī)則圖形（三角形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、圓、扇形），分別計(jì)算出面積，并相加得出陰影部分的面積?！镜湫屠}】1．求組合圖形的面積。（單位：厘米）【答案】260平方厘米【分析】圖中組合圖形的面積等于平行四邊形面積加三角形面積，平行四邊形面積＝底×高，三角形面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?！驹斀狻浚ㄆ椒嚼迕祝?．計(jì)算下面圖形的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm）【答案】周長(zhǎng)是388.4cm，面積是8826?！痉治觥坑^察圖形可知，此圖形可以分成一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)圓形的組合。根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：，算出來(lái)之后再加上兩條長(zhǎng)方形的長(zhǎng)即為圖形的周長(zhǎng)；根據(jù)圓的面積公式：，長(zhǎng)方形的面積公式：長(zhǎng)×寬，分別算出來(lái)之后再加起來(lái)即為圖形的面積?！驹斀狻恐荛L(zhǎng)：3.14×60＋100×2＝188.4＋200＝388.4（cm）面積：3.14×＋100×60＝3.14×302＋6000＝3.14×900＋6000＝2826＋6000＝8826（）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】計(jì)算出這個(gè)圖形的周長(zhǎng)和面積?！敬鸢浮恐荛L(zhǎng)：195.36m；面積：1892.16m2【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是兩條60m長(zhǎng)的線段和直徑是24m的圓周長(zhǎng)的和；這個(gè)圖形的面積是直徑是24m的圓的面積，再加上長(zhǎng)和寬分別是60m和24m長(zhǎng)方形的面積；據(jù)此解題?！驹斀狻?0×2＋3.14×24＝120＋75.36＝195.36（m）3.14×（24÷2）2＋60×24＝3.14×122＋1440＝452.16＋1440＝1892.16（m2）所以，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是195.36m，面積是1892.16m2?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算如圖圖形的周長(zhǎng)和面積。【答案】35.7厘米；89.25平方厘米【分析】通過觀察可知本題的圖形可以分成一個(gè)半圓形和一個(gè)長(zhǎng)方形，計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)，計(jì)算出半徑為5厘米的一個(gè)圓周長(zhǎng)的一半，再加上長(zhǎng)方形的一個(gè)長(zhǎng)和兩個(gè)寬，計(jì)算面積時(shí)，計(jì)算出一個(gè)半圓的面積再加上一個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可?！驹斀狻恐荛L(zhǎng)：3.14×2×5÷2＋5×4＝15.7＋20＝35.7（厘米）面積：3.14×52÷2＋2×5×5＝3.14×25÷2＋2×5×5＝39.25＋50＝89.25（平方厘米）圖形的周長(zhǎng)為35.7厘米；面積為89.25平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】計(jì)算下列各圖形的面積。（單位：cm）【答案】2150cm2；1530cm2【分析】（1）三角形面積＝底×高÷2，梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2，據(jù)此先分別求出三角形和梯形的面積，再相加求出組合圖形的面積；（2）平行四邊形面積＝底×高，由此求出上下兩個(gè)平行四邊形的面積，再相加求出組合圖形的面積?！驹斀狻?0×40÷2＋（40＋50）×30÷2＝800＋90×30÷2＝800＋1350＝2150（cm2）45×16＋45×18＝720＋810＝1530（cm2）【考點(diǎn)二】面積法其二：相減法。【方法點(diǎn)撥】相減法，即減法拓展思路，是把不規(guī)則圖形陰影部分面積拓展到包含陰影部分的規(guī)則圖形中進(jìn)行分析，通過計(jì)算這個(gè)規(guī)則圖形的面積和規(guī)則圖形中除陰影部分面積之外多余的面積，運(yùn)用“總的”減去“部分的”方法解得答案。【典型例題】求陰影部分的面積（單位：厘米）【答案】135平方厘米【分析】觀察圖形可知，陰影部分的面積＝梯形的面積－空白三角形的面積；根據(jù)梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻浚?8＋32）×15÷2－32×15÷2＝50×15÷2－32×15÷2＝375－240＝135（平方厘米）陰影部分的面積是135平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求下面圖形中陰影部分的面積。（單位︰厘米）【答案】3.44平方厘米【分析】觀察圖形可知，陰影部分的面積＝正方形的面積－圓的面積，根據(jù)正方形的面積公式S＝a2，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻?×4－3.14×42×＝16－3.14×16×＝16－12.56＝3.44（平方厘米）陰影部分的面積是3.44平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】求下圖陰影部分的面積。（單位：分米）【答案】13.74平方分米【分析】根據(jù)題意得：陰影部分面積＝直角梯形面積－圓心角90°的扇形面積，扇形的半徑為6分米，直角梯形的上底是6分米，下底是8分米，高是6分米。根據(jù)梯形面積＝（上底+下底）高2，扇形面積＝，其中a表示圓心角度數(shù)。據(jù)此計(jì)算得出答案?！驹斀狻筷幱安糠置娣e：（平方分米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求下列圖形陰影部分的面積。（單位：厘米，π取3.14。）【答案】43.52平方厘米；26.75平方厘米【分析】圖一，陰影部分面積分兩部分：①正方形面積－半徑6厘米圓的面積；②半徑2厘米圓面積。由圖片信息可知，正方形邊長(zhǎng)為6×2＝12（厘米），求陰影部分面積可列式為：12×12－π×62＋π×22。圖二，半圓的直徑是10厘米，它的半徑則為5厘米，陰影部分面積＝半圓面積－三角形面積?？闪惺綖椋骸力小?2－×5×5?！驹斀狻繄D一陰影面積：12×12－π×62＋π×22＝12×12－3.14×62＋3.14×22＝144－113.04＋12.56＝30.96＋12.56＝43.52（平方厘米）圖二陰影面積：×π×52－×5×5＝×3.14×25－×5×5＝×（3.14×25－5×5）＝×（78.5－25）＝×53.5＝26.75（平方厘米）【考點(diǎn)三】面積法其三：加減混合法?！痉椒c(diǎn)撥】混合型圖形處理起來(lái)非常困難，可以首先觀察圖形，然后合理分解成部分可求的圖形，最后再相加減?！镜湫屠}】如圖，兩個(gè)正方形拼在一起，求陰影部分的面積。（單位：cm）【答案】53cm2【分析】觀察圖形可知，陰影部分面積＝邊長(zhǎng)是9cm的正方形面積＋邊長(zhǎng)是5cm的正方形面積＋底是（9－5）cm，高是5cm的三角形面積－底是9cm，高是（9＋5）cm的三角形面積；根據(jù)正方形面積公式：面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)；三角形面積公式：面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?×9＋5×5＋（9－5）×5÷2－9×（9＋5）÷2＝9×9＋5×5＋4×5÷2－9×14÷2＝81＋25＋10－63＝53（cm2）陰影部分的面積是53cm2?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求出涂色部分的面積。（單位：cm）【答案】3.14cm2【分析】觀察圖形可知，涂色部分的面積＝左邊正方形的面積＋圓的面積－空白三角形的面積；其中正方形的面積公式S＝a2，圓的面積公式S＝πr2，三角形的面積公式S＝ah÷2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻空叫蔚拿娣e：2×2＝4（cm2）圓的面積：×3.14×22＝×3.14×4＝3.14（cm2）三角形的面積：4×2÷2＝4（cm2）涂色部分的面積：4＋3.14－4＝3.14（cm2）涂色部分的面積是3.14cm2。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求陰影部分的面積。（單位：cm）

【答案】24.5cm2【分析】陰影部分的面積＝兩個(gè)正方形面積和－兩個(gè)三角形面積，正方形面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，三角形面積＝底×高÷2，據(jù)此列式計(jì)算?！驹斀狻?×8＋5×5－8×8÷2－（8＋5）×5÷2＝64＋25－32－13×5÷2＝57－32.5＝24.5（cm2）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖所示，求圖中陰影部分的面積。（取3.14）【答案】21.68cm2【分析】如圖所示，陰影面積＝直徑是8cm的半圓面積－紅色陰影面積。長(zhǎng)方形內(nèi)部有兩個(gè)半徑是2cm的扇形和半徑是2cm的半圓，這兩個(gè)扇形和半圓的半徑相等，能夠組成一個(gè)圓。所以紅色陰影面積等于長(zhǎng)方形面積減去半徑是2cm的圓的面積。據(jù)此解答?！驹斀狻浚╟m2）陰影部分的面積是21.68cm2?！究键c(diǎn)四】面積法其四：平移法?！痉椒c(diǎn)撥】平移法，即通過把部分圖形平行移動(dòng)可以把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐褜W(xué)的規(guī)則圖形，進(jìn)而求出圖形的面積?！镜湫屠}】求陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（π取3.14）【答案】49.12m；96m2【分析】陰影的周長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的兩個(gè)長(zhǎng)的和再加圓的周長(zhǎng)，圓周長(zhǎng)＝，d表示直徑；通過平移半圓，陰影的面積等于長(zhǎng)方形的面積，根據(jù)長(zhǎng)方形面積＝長(zhǎng)×寬，計(jì)算得出答案?！驹斀狻筷幱安糠种荛L(zhǎng)為：3.14×8＋12×2＝25.12＋24＝49.12（m）陰影部分面積為：12×8＝96（m2）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求涂色部分的面積。（單位：cm。）【答案】6cm2【分析】如下圖，把右邊的涂色部分向左平移到空白部分，這樣陰影部分組成一個(gè)長(zhǎng)（2＋1）cm、寬2cm的長(zhǎng)方形；根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出涂色部分的面積。如圖：【詳解】（2＋1）×2＝3×2＝6（cm2）涂色部分的面積是6cm2。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求陰影部分的面積。

【答案】64cm2【分析】通過平移可知，陰影部分的面積等于邊長(zhǎng)為8cm的正方形的面積，正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，依此計(jì)算即可。

【詳解】8×8＝64（cm2）即陰影部分的面積是64cm2?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】先量出必要的數(shù)據(jù)，再計(jì)算涂色部分的面積。

【答案】正方形的邊長(zhǎng)為3厘米；面積是9平方厘米【分析】圖中涂色部分有兩塊，左邊涂色部分向右平移，兩塊涂色部分組成正方形，測(cè)量得到邊長(zhǎng)是3厘米，據(jù)此解答。【詳解】測(cè)得正方形邊長(zhǎng)是3厘米3×3＝9（平方厘米）【考點(diǎn)五】面積法其五：拼接法?！痉椒c(diǎn)撥】拼接法，即在部分扇形半徑相等的情況下，可以通過移動(dòng)扇形，把扇形拼接成一個(gè)整體?！镜湫屠}】下圖中陰影部分面積之和是多少平方厘米？【答案】6.28平方厘米【分析】三個(gè)扇形可以拼成一個(gè)半徑為2厘米的半圓，那么陰影部分的面積＝半圓的面積，然后根據(jù)圓的面積公式S＝πr2把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。【詳解】3.14×22÷2＝3.14×4÷2＝12.56÷2＝6.28（平方厘米）所以，圖中陰影部分的面積之和是6.28平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】計(jì)算下圖中陰影部分的面積。【答案】39.25【詳解】3.14×÷2＝78.5÷2＝39.25【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算陰影部分面積。（取3.14）【答案】12.56平方厘米【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180度以及扇形的特點(diǎn)，兩個(gè)圓的半徑相等，圖中兩個(gè)扇形加起來(lái)正好是一個(gè)圓心角是90度的扇形，即一個(gè)圓的。據(jù)此計(jì)算。【詳解】3.14×42×＝3.14×16×＝12.56（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求涂色部分的面積?！敬鸢浮?4.13cm2；13.76cm2【分析】通過圖可知，由于三角形的內(nèi)角和是180°，所以第一個(gè)圖形的三個(gè)扇形拼接在一起正好能夠構(gòu)成一個(gè)半徑是3厘米的半圓，根據(jù)半圓的面積公式：S＝πr2÷2，把數(shù)代入即可求解；通過圖可知，兩個(gè)半徑構(gòu)成一個(gè)正方形邊長(zhǎng)，即圓的半徑：8÷2＝4厘米，正方形里面相當(dāng)于4個(gè)的圓，那拼在一起相當(dāng)于一個(gè)半徑是4厘米的圓，用正方形的面積－4個(gè)圓的面積＝涂色部分面積；根據(jù)正方形的面積公式：邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)代入即可求解?！驹斀狻康谝粋€(gè)圖形：3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（cm2）第二個(gè)圖形：8×8－3.14×（8÷2）2＝64－3.14×42＝64－3.14×16＝64－50.24＝13.76（cm2）【考點(diǎn)六】面積法其六：旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法）?！痉椒c(diǎn)撥】旋轉(zhuǎn)法（翻轉(zhuǎn)法），即根據(jù)圖形的特征，將原圖的某一部分進(jìn)行翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)，最后得到便于求解的新圖形?！镜湫屠}】如圖，面積為64的四邊形ABCD滿足AD＝AB，∠BAD＝90°，∠C＝90°，AE垂直于CD，AE的長(zhǎng)為多少？【答案】8【分析】觀測(cè)圖形可知，三角形AED以A為旋轉(zhuǎn)中心，通過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，旋轉(zhuǎn)到三角形ABF，因?yàn)锳D＝AB，∠C＝90°，∠AEC＝90°，由此可知四邊形AFCE是一個(gè)正方形，則四邊形ABCD的面積＝四邊形AFCE＝64；根據(jù)正方形面積公式：面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，由此求出AE的長(zhǎng)。【詳解】旋轉(zhuǎn)三角形AED使四邊形ABCD轉(zhuǎn)化成一個(gè)四邊形AFCE∠C＝90°，∠AEC＝90°AF＝AE四邊形AFCE為正方形四邊形ABCD的面積＝正方形AFCE＝648×8＝64AE＝8答：AE的長(zhǎng)為8。【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征，利用旋轉(zhuǎn)把四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，再根據(jù)正方形的面積公式，進(jìn)行解答?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求如圖陰影部分的面積。（單位：厘米）【答案】38.465平方厘米【分析】把左上角扇形陰影部分移動(dòng)到右下角，和圓環(huán)陰影部分組合在一起，兩塊陰影部分的面積整體可以看成是一個(gè)半徑為5＋2＝7（厘米）的圓的面積的，根據(jù)圓的面積S＝πr2，把數(shù)據(jù)代入求解即可?！驹斀狻浚ㄆ椒嚼迕祝緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，求圖中陰影部分面積。（單位：厘米）（小圓半徑為1厘米）【答案】3.14平方厘米【分析】將陰影部分拼在一起可知，陰影部分的面積是一個(gè)半徑為（1＋1）厘米的圓面積的，根據(jù)圓的面積公式求解即可?！驹斀狻?＋1＝2（厘米）3.14×22×＝3.14×4×＝12.56×＝3.14（平方厘米）陰影部分的面積是3.14平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC。將繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置。設(shè)，，，求旋轉(zhuǎn)到的過程中邊PA所掃過的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積?！敬鸢浮喀校╩2－n2）【分析】因?yàn)閷⒗@點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，所以和形狀大小均相等，所以的面積＝的面積，則陰影部分的面積等于以AB為半徑的圓的面積減去以PB為半徑的圓的面積。據(jù)此即可求解?！驹斀狻恳訟B為半徑的圓的面積：×π×m×m＝πm2；以PB為半徑的圓的面積：×π×n×n＝πn2；陰影部分面積＝πm2－πn2＝π（m2－n2）。答：旋轉(zhuǎn)到的過程中邊PA所掃過的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積是π（m2－n2）?！军c(diǎn)睛】利用旋轉(zhuǎn)后圖形的大小和形狀都不改變這個(gè)關(guān)鍵。再根據(jù)面積之間的關(guān)系求出陰影部分面積?！究键c(diǎn)七】面積法其七：割補(bǔ)法?！痉椒c(diǎn)撥】割補(bǔ)法，即分割拼補(bǔ)的思路，是把不規(guī)則的陰影面積通過分割和拼補(bǔ)，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形?！镜湫屠}】求下列陰影部分的面積。（單位：cm）【答案】16cm2【分析】通過對(duì)稱，陰影部分可以拼成一個(gè)梯形，根據(jù)梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2，列式計(jì)算即可?！驹斀狻?÷2＝4（cm）（6－4＋6）×4÷2＝8×4÷2＝16（cm2）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積（圖中的三角形都是等腰直角三角形）。（單位：分米）

【答案】12.5平方分米【分析】根據(jù)圖形的特點(diǎn)，可以通過“旋轉(zhuǎn)”把陰影部分拼在一起，陰影部分的面積等于大三角形的面積減去正方形的面積，根據(jù)三角形的面積公式：S＝ah÷2，大三角形的高就是圓的直徑，根據(jù)直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半可知，大三角形的高為10÷2＝5分米，則正方形的面積等于兩個(gè)底為5分米，高為（5÷2）分米的三角形的面積；據(jù)此解答即可?！驹斀狻咳鐖D所示：

×10×5－2××（5÷2）×5＝25－2××2.5×5＝25－1×2.5×5＝25－12.5＝12.5（平方分米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】求下面圖中涂色部分的面積?！敬鸢浮?平方厘米【分析】用“割補(bǔ)法”將右上角陰影部分移到左上角，那么此時(shí)陰影部分的面積為左上角三角形的面積，即大長(zhǎng)方形面積的，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8厘米，長(zhǎng)為半圓的直徑，寬為半圓的半徑，所以寬為：8÷2＝4（厘米），“長(zhǎng)×寬÷4”即可求出陰影部分面積?！驹斀狻坑煞治隹芍?÷2＝4（厘米）8×4÷4＝32÷4＝8（平方厘米）所以圖中涂色部分的面積為8平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】求圖中陰影部分的面積。

【答案】114cm2【分析】把左下角的陰影平均分成兩部分，分別移動(dòng)到左上角和右上角，如圖所示：，通過圖可知，這個(gè)陰影部分的面積正好是圓面積的，再減去一個(gè)直角邊是20cm的等腰直角三角形，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，三角形的面積公式：底×高÷2，把數(shù)代入即可求解?！驹斀狻咳缦聢D所示：3.14×20×20÷4－20×20÷2＝314－200＝114（cm2）陰影部分的面積是114cm2。【考點(diǎn)八】面積法其八：重組法。【方法點(diǎn)撥】重組法，即根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要把原來(lái)圖形拆開，并加以重新組合，使之變?yōu)橐粋€(gè)面積大小不變且能實(shí)施計(jì)算成面積相同的規(guī)則圖形，然后結(jié)合相減法求出陰影面積?！镜湫屠}】如圖，大圓半徑R=8厘米，小圓的半徑r=4厘米．求陰影部分的面積?！敬鸢浮?7.68平方厘米【詳解】試題分析：如圖所示，陰影①和空白①的面積相等，陰影②和空白②的面積相等，陰影③和空白③的面積相等，陰影④和空白④的面積相等，于是將4個(gè)陰影部分移到與其面積相等的空白部分，于是可以得出圖中所有的陰影的面積和就等于大圓面積的減去小圓面積的，大小圓的半徑已知，利用圓的面積公式即可求解．解：×3.14×（82﹣42）=0.785×（64﹣16）=0.785×48=37.68（平方厘米）答：陰影部分的面積是37.68平方厘米。點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是利用“動(dòng)態(tài)”的眼光，將陰影部分移到與之面積相等的空白部分，從而容易求出陰影部分的總面積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求陰影部分的面積。（單位：厘米）【答案】4.28平方厘米【分析】通過對(duì)稱和平移，如圖，陰影部分的面積＝半圓面積－三角形面積，據(jù)此列式計(jì)算。【詳解】4÷2＝2（厘米）3.14×22÷2－2×1÷2×2＝6.28－2＝4.28（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】看圖計(jì)算。（單位：cm）（1）求圖1陰影部分的面積。（2）如圖2，計(jì)算下列圖形的體積?！敬鸢浮浚?）6.25cm2；（2）94200cm3【分析】（1）觀察圖形可知，圖中陰影部分可以組合成一個(gè)三角形，組合成的三角形的面積正好是這個(gè)大正方形面積的，所以直接用正方形的面積除以4就可以求出陰影部分的面積。（2）此題中圓柱的底是一個(gè)圓環(huán)，根據(jù)圓環(huán)的面積＝π（－），可以求出這個(gè)空心圓柱的底面積，再根據(jù)圓柱的體積＝底面積×高，可以求出這個(gè)空心圓柱的體積?！驹斀狻浚?）5×5＝25（cm2）25÷4＝6.25（cm2）（2）40÷2＝20（cm）20÷2＝10（cm）＝π（－）＝3.14×（－）＝3.14×300＝942（cm2）＝×H＝942×100＝94200（cm3）故答案為：（1）6.25cm2；（2）94200cm3【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)掌握組合圖形求面積和求體積的方法，求面積可通過移動(dòng)部分圖形，形成一個(gè)容易求得的圖形來(lái)實(shí)現(xiàn)；求體積可先分解成獨(dú)立圖形，再相加減重疊部分的體積。牢記圓、圓環(huán)的面積公式和圓柱的體積公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，正方形ABCD的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積．【答案】14.13平方厘米【詳解】解本題的關(guān)鍵是利用拼補(bǔ)法，得到陰影部分的面積是半個(gè)大圓的面積﹣半個(gè)小圓的面積．正方形的面積是36平方厘米，所以正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，正方形的對(duì)角線是圓的直徑，大圓的直徑的平方是：62+62=72，半徑的平方是72÷4=18，小圓的半徑是正方形邊長(zhǎng)的一半，也就是3厘米．陰影部分的面積為：陰影部分的面積等=半個(gè)大圓的面積﹣半個(gè)小圓的面積．解：正方形的面積是36平方厘米，所以正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，大圓的直徑的平方是：62+62=72，半徑的平方是72÷4=18，3.14×18÷2﹣3.14×32÷2=3.14×18÷2﹣3.14×9÷2=56.52÷2﹣28.26÷2=28.26﹣14.13=14.13（平方厘米）答：陰影部分的面積是14.13平方厘米．【考點(diǎn)九】面積法其九：整體代換法?！痉椒c(diǎn)撥】整體代換法，即通過平面圖形之間的等量關(guān)系，將圖形面積整體代換，再根據(jù)相應(yīng)面積公式求出面積?！镜湫屠}1】如圖，三角形AOB是直角三角形，其中O為圓心。已知三角形AOB面積是10cm2，求圓形面積。【答案】62.8cm2【分析】觀察圖形可知，三角形AOB是直角三角形，兩條直角邊等于圓的半徑，即三角形的底＝三角形的高＝圓的半徑；根據(jù)三角形面積公式：三角形面積＝底×高÷2，底×高＝三角形面積×2，即半徑2＝三角形面積×2，再根據(jù)圓的面積公式：π×半徑2；即圓的面積＝π×（三角形面積×2），代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?.14×（10×2）＝3.14×20＝62.8（cm2）答：圓的面積是62.8cm2?！军c(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式、圓的面積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵明確三角形的底和高都與圓的半徑相等?！镜湫屠}2】如圖所示的正方形面積是20平方分米，這個(gè)圓的面積是多少平方分米？【答案】62.8平方分米【分析】觀察題意可知，正方形的邊長(zhǎng)相當(dāng)于圓的半徑，已知正方形面積是20平方分米，根據(jù)正方形的面積公式，可知r2＝20平方分米，根據(jù)圓面積公式：S＝πr2，用3.14×20即可求出這個(gè)圓面積是多少平方分米?！驹斀狻?.14×20＝62.8（平方分米）答：這個(gè)圓的面積是62.8平方分米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】下圖中圓的面積是62.8平方厘米，三角形的面積是多少平方厘米？

【答案】10平方厘米【分析】根據(jù)題意可知，三角形的兩條直角邊等于圓的半徑，三角形面積公式＝底×高÷2，即三角形面積＝圓的半徑2÷2；根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，半徑2＝圓的面積÷π，代入數(shù)據(jù)，求出圓的半徑2，進(jìn)而求出三角形面積。【詳解】62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（平方厘米）答：三角形的面積是10平方厘米?！军c(diǎn)睛】明確三角形的兩條邊與圓的半徑之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】下圖中正方形部分是一個(gè)水池，其余部分是草坪。已知正方形的面積是225m2，草坪的面積是多少平方米？【答案】529.875平方米【分析】求與圓有關(guān)的面積，關(guān)鍵是知道半徑的長(zhǎng)度；依據(jù)題意，正方形的面積是225平方米，結(jié)合圖示可知正方形的邊長(zhǎng)相當(dāng)于圓的半徑，也就是說半徑的平方是225；這樣圓的面積可求，草坪部分占圓面積的，再將圓的面積乘，就是草坪的面積?！驹斀狻浚╩2）答：草坪的面積是529.875平方米?！军c(diǎn)睛】本題解答思路十分巧妙，將正方形的面積轉(zhuǎn)化為半徑的平方，從而具備了計(jì)算圓面積的條件。【考點(diǎn)十】面積法其十：輔助線法?！痉椒c(diǎn)撥】輔助線法，即在通常手段無(wú)法求出陰影部分面積時(shí)，需要嘗試使用添加輔助線的方法解決。【典型例題】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是半圓周的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑，陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）解析：先作輔助線，如圖所示。即可得出：陰影部分的面積＝（直徑為10厘米的半圓的面積＋邊長(zhǎng)為10厘米的正方形的面積－等腰三角形AED的面積）÷2。圓的面積＝πr2，正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，三角形的面積＝底×高÷2。代入數(shù)值計(jì)算。10÷2＝5（厘米）3.14×5×5÷2＝39.25（平方厘米）10×10＝100（平方厘米）10＋5＝15（厘米）10×15÷2＝75（平方厘米）39.25＋100－75＝64.25（平方厘米）64.25÷2＝32.125（平方厘米）答：陰影部分的面積是32.125平方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】求圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（π取3.14）解析：加兩條輔助線，如圖：陰影部分的周長(zhǎng)為：3.14×（4÷2）×2＋3.14×4÷2＝3.14×2×2＋3.14×4÷2＝12.56＋6.28＝18.84（厘米）陰影部分的面積為：[3.14×（4÷2）2÷4－（4÷2）×（4÷2）÷2]×2＝[3.14×4÷4－2×2÷2]×2＝[3.14－2]×2＝1.14×2＝2.28（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】計(jì)算下圖中陰影部分的面積。（單位：cm)

【答案】22.26平方厘米【分析】連接正方形的對(duì)角線，則陰影部分的面積等于半徑為6厘米的圓的面積的減去底和高都為6厘米的三角形的面積，再加上底為4厘米，高為6厘米的三角形的面積即可，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，三角形的面積公式：S＝ah÷2，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻咳鐖D：3.14×62×－6×6÷2＋4×6÷2＝3.14×62×－36÷2＋24÷2＝3.14×36×－36÷2＋24÷2＝28.26－18＋12＝10.26＋12＝22.26（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】數(shù)學(xué)思考。如圖是一個(gè)正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點(diǎn)，Q為正方形BC邊上的中點(diǎn)，求空白部分的面積。（單位：平方厘米）【答案】87.5平方厘米【分析】如下圖所示；連接PB，P點(diǎn)為半圓周的中點(diǎn)，作三角形PAB的高PG，則G是AB的中點(diǎn)，所以PG的長(zhǎng)度為正方形的邊長(zhǎng)加半圓的半徑，正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，半圓的直徑是10厘米，所以PG的長(zhǎng)度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面積是10×15÷2＝75平方厘米；Q點(diǎn)為正方形一邊的中點(diǎn)，所以三角形PBQ的面積是5×5÷2＝12.5平方厘米，據(jù)此列式解答即可?！驹斀狻?0×15÷2＝150÷2＝75（平方厘米）5×5÷2＝25÷2＝12.5（平方厘米）75＋12.5＝87.5（平方厘米）答：空白部分的面積是87.5平方厘米?！军c(diǎn)睛】此題考查了三角形、正方形和圓的面積公式的綜合應(yīng)用，連接BP，找出這兩個(gè)白色三角形的高是解決本題的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)十一】面積法其十一：容斥原理?！痉椒c(diǎn)撥】容斥原理，即重疊、分層思路，把圖形中不規(guī)則的陰影部分看作幾個(gè)規(guī)則圖形用不同的方法重疊的結(jié)果，利用分層把重疊部分分出來(lái)，組成重疊圖形各個(gè)規(guī)則圖形的面積總和減去分掉的那面積，就是剩下所求那部分面積。【典型例題1】其一。如圖是兩個(gè)相同的直角梯形疊在一起，陰影部分是一個(gè)不規(guī)則的圖形。（1）利用“轉(zhuǎn)化思想”你知道陰影部分面積和圖中哪部分圖形的面積相等嗎？請(qǐng)將它涂色。（2）請(qǐng)求出陰影部分的面積。（單位：厘米）解析：（1）陰影部分的面積和BFGI的面積相等。如圖：（2）（13－3＋13）×4÷2＝23×4÷2＝46（平方厘米）答：陰影部分的面積是46平方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】?jī)蓚€(gè)完全一樣的直角三角形如下圖疊放，求陰影部分的面積。（單位：厘米）解析：（8－2＋8）×4÷2＝14×4÷2＝56÷2＝28（平方厘米）答：陰影部分的面積是28平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，有兩個(gè)邊長(zhǎng)是8cm的正方形卡片疊在一起，求重疊部分的面積。解析：（8－4）×（8－4）＝4×4＝16（cm2）答：重疊部分面積是16cm2【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】?jī)蓚€(gè)完全一樣的直角三角形重合部分是三角形HEC（如圖）。已知：AB＝10cm，HE＝5cm，CF＝6cm，圖中陰影部分面積是多少？解析：S陰影＝S三角形DEF－S三角形HEC＝S三角形ABC－S三角形HEC＝S梯形ABEH因?yàn)锽E＋EC＝CF＋EC，所以BE＝CF（5＋10）×6÷2＝15×6÷2＝45（平方厘米）答：陰影部分的面積是45平方厘米。【典型例題2】如圖（單位：厘米），四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，其中弧AE以點(diǎn)B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑，弧AF的點(diǎn)D為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑。計(jì)算陰影部分的面積。【答案】16.82平方厘米【分析】陰影部分的面積等于兩個(gè)扇形的面積和減去長(zhǎng)方形的面積；據(jù)此解答即可?！驹斀狻?.14×62÷4＋3.14×42÷4－6×4＝28.26＋12.56－24＝16.82（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）【答案】16.82平方厘米【分析】陰影部分的面積＝半徑為6厘米的圓的面積－左下角空白部分的面積；其中左下角空白部分的面積＝長(zhǎng)方形的面積－半徑為4厘米的圓的面積；根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式S＝ab，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?！驹斀狻孔笙陆强瞻撞糠值拿娣e：6×4－×3.14×42＝24－12.56＝11.44（平方厘米）陰影部分的面積：×3.14×62－11.44＝28.26－11.44＝16.82（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA為半徑的圓的一部分，，求圖中陰影部分的面積?！敬鸢浮?8.24平方厘米【分析】觀察可知，陰影部分的面積有一部分是重合的，陰影部分的面積＝直徑8厘米的半圓面積＋弧AD半徑CA的扇形面積－三角形面積?！驹斀狻?.14×（8÷2）2÷2＋3.14×82×－8×8÷2＝3.14×16÷2＋3.14×64×－32＝25.12＋25.12－32＝18.24（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】等腰直角三角形ABC的面積是8平方厘米，求陰影部分的面積．【答案】4.56平方厘米【詳解】試題分析：要求陰影部分的面積，可用半圓面積減去里面的空白面積，求空白面積可用三角形面積減去扇形面積，解：設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊為r，=8，r2=16；扇形ABD的面積：=2π=6.28（平方厘米），空白面積BCD的面積：8﹣6.28=1.72（平方厘米），半圓面積：πr2×=×3.14×16=6.28（平方厘米），陰影面積：6.28﹣1.72=4.56（平方厘米）；答：陰影部分面積是4.56平方厘米．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查求陰影部分的面積，可以按一般思路去解答，就是用半圓面積減去里面的空白面積，而空白面積可用三角形面積減去扇形面積．【考點(diǎn)十二】面積法其十二：差不變?cè)恚ú畈蛔兯枷耄?。【方法點(diǎn)撥】差不變思想，即利用等式的性質(zhì)來(lái)求面積，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可?！镜湫屠}1】其一。如下圖，正方形ABFD的邊長(zhǎng)為6cm，F(xiàn)C＝7.5cm，涂色部分甲的面積比涂色部分乙的面積大多少？（單位：厘米）解析：6×（6＋7.5）÷2－6×6＝6×13.5÷2－36＝40.5－36＝4.5（平方厘米）答：涂色部分甲的面積比涂色部分乙的面積大4.5平方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)】看圖計(jì)算。如下圖，ABCD是邊長(zhǎng)為10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面積大20平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？解析：10×10÷2－20＝50－20＝30（平方厘米）答：陰影部分的面積是30平方厘米?！镜湫屠}2】如圖，三角形ABC是直角三角形，圓的直徑是4厘米，陰影甲－陰影乙＝2.5平方厘米，則三角形中BC邊長(zhǎng)是多少厘米？（π取值為3）【答案】4.75厘米【分析】陰影甲的面積＝半圓的面積－空白部分的面積，陰影乙的面積＝三角形ABC的面積－空白部分的面積，再根據(jù)陰影甲－陰影乙＝2.5平方厘米，所以半圓的面積－空白部分的面積－（三角形ABC的面積－空白部分的面積）＝2.5平方厘米，即半圓的面積－三角形ABC的面積＝2.5平方厘米，利用圓和三角形的面積公式，代入數(shù)據(jù)求解即可?！驹斀狻?×（4÷2）2－4×BC÷2＝2.53×4－2BC＝2.512－2BC＝2.52BC＝12－2.52BC＝9.5BC＝4.75答：三角形中BC邊長(zhǎng)是4.75厘米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了組合圖形的面積，解題的關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】三角形ABC為直角三角形，AB是圓的直徑，并且AB＝20厘米，如果陰影（I）的面積比陰影（II）的面積大17平方厘米，那么BC的長(zhǎng)度是多少厘米？【答案】14厘米【分析】陰影（I）的面積比陰影（II）的面積大17平方厘米，也就是半圓的面積比三角形ABC的面積大17平方厘米，據(jù)此可知本題的數(shù)量的關(guān)系：半圓面積﹣三角形ABC面積＝17，據(jù)此數(shù)量關(guān)系可列方程解答。【詳解】解：設(shè)BC長(zhǎng)x厘米，根據(jù)題意得：3.14×（20÷2）2÷2﹣20x÷2＝173.14×100÷2﹣10x＝17157﹣10x＝17157﹣17＝10x10x＝140x＝14答：BC的長(zhǎng)度是14厘米?！军c(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是根據(jù)半圓的面積比三角形ABC的面積大17平方厘米，找出數(shù)量關(guān)系，再列方程解答?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】下圖中陰影②比陰影①的面積大10.8平方厘米。BC長(zhǎng)多少厘米？（取3.14）【答案】11.22厘米【分析】根據(jù)題意，可假設(shè)空白部分的面積為S；S△ABC－S＝S②；S半圓－S＝S①；故S②－S①＝S△ABC－S－（S半圓－S）＝S△ABC－S半圓＝10.8；代入數(shù)值即可解答出BC的長(zhǎng)度?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，可假設(shè)空白部分的面積為S；S△ABC－S＝S②；S半圓－S＝S①；故S②－S①＝S△ABC－S－（S半圓－S）＝S△ABC－S半圓＝10.8；S△ABC＝＝＝6×BC；S半圓＝[π×（）2]÷2＝[3.14×（）2]÷2＝3.14×62÷2＝3.14×36÷2＝113.04÷2＝56.52（平方厘米）代入式子：S△ABC－S半圓＝6×BC－56.52＝10.8（平方厘米）由此可得BC為（10.8＋56.52）÷6＝67.32÷6＝11.22（厘米）答：BC長(zhǎng)11.22厘米?！军c(diǎn)睛】解題關(guān)鍵利用已知的條件，列出關(guān)系式。根據(jù)三角形面積公式和圓的面積公式計(jì)算解答即可。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】直角三角形ABC中，陰影甲比乙的面積大28平方厘米，厘米，AB有多長(zhǎng)？【答案】32.8厘米【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圓的一部分，甲乙分別加上空白部分，差不變。陰影甲比乙的面積大28平方厘米，所以三角形ABC比半圓面積多28平方厘米。求出三角形ABC面積，利用三角形面積公式倒推AB邊長(zhǎng)度即可?！驹斀狻?.14×（）2＝1256（平方厘米）1256÷2＝628（平方厘米）628＋28＝656（平方厘米）656×2＝1312（平方厘米）1312÷40＝32.8（厘米）答：AB有32.8厘米長(zhǎng)?！军c(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是結(jié)合同加同減差不變的規(guī)律找出規(guī)則圖形的面積差，把不規(guī)則轉(zhuǎn)換成規(guī)則?！究键c(diǎn)十三】面積法其十三：等積變形?！痉椒c(diǎn)撥】等積變形，即利用等底等高，面積相等的特性，將不能求出的圖形轉(zhuǎn)化為面積與之相等的圖形。【典型例題】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E在同一條直線上，且正方形ABCD的面積為8平方厘米，則陰影部分的面積為多少平方厘米？解析：連結(jié)CF，那么CF平行BD，所以，陰影面積=三角形BCD的面積=8（平方厘米），因?yàn)檎叫蜛BCD面積為8平方厘米.那么圖中三角形的面積是4平方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】正方形ABCD和正方形CEFG，已知正方形ABCD的面積是100平方厘米，正方形CEFG的面積是66平方厘米，則圖中陰影部分面積為多少平方厘米？解析：連接CF，可知BD平行于CF，由平行線間的等積變形，知三角形BDF的面積等于三角形BCD的面積，即正方形面積ABCD的一半=100÷2=50平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是厘米，求三角形的面積．【答案】8【詳解】這道題似乎缺少大正方形的邊長(zhǎng)這個(gè)條件，實(shí)際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長(zhǎng)沒關(guān)系．連接(見右上圖)，可以看出，三角形與三角形的底都等于小正方形的邊長(zhǎng)，高都等于大正方形的邊長(zhǎng)，所以面積相等．因?yàn)槿切问侨切闻c三角形的公共部分，所以去掉這個(gè)公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個(gè)部分，即三角形與三角形面積仍然相等．根據(jù)等量代換，求三角形的面積等于求三角形的面積，等于．【考點(diǎn)十四】面積法其十四：圖示法?！痉椒c(diǎn)撥】圖示法，即先根據(jù)題意，畫出圖形的軌跡，再求面積?！镜湫屠}】在等腰直角三角形中，角C是直角，厘米，以C點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。求線段掃過的面積。【答案】67.75平方厘米【分析】根據(jù)題意可以畫出圖形。三角形ABC以C為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到三角形，A和重合。掃過的面積就是陰影部分的面積＝是個(gè)以CB為半徑的半圓－兩個(gè)小三角形的面積－圓的面積。半圓的面積＝所在圓的面積÷2＝÷2。這個(gè)圓的半徑是兩個(gè)小三角形組成的正方形的邊長(zhǎng)，則圓的面積＝××正方形的邊長(zhǎng)的平方，正方形邊長(zhǎng)的平方等于正方形面積，圓的面積＝××正方形的面積。這兩個(gè)小正方形的組成的正方形的面積是三角形ABC和三角形面積和的一半即為50平方厘米。而兩個(gè)小三角形的面積也是三角形ABC和三角形面積和的一半。【詳解】半圓的面積：3.14×102÷2＝3.14×100÷2＝314÷2＝157（平方厘米）兩個(gè)三角形的面積：10×10÷2×2＝100（平方厘米）正方形的面積：100÷2＝50（平方厘米）也是兩個(gè)小三角形的面積圓的面積：×3.14×50＝39.25（平方厘米）157－50－39.25＝67.75（平方厘米）答：線段掃過的面積是67.75平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，一枚半徑是1厘米的游戲幣沿著邊長(zhǎng)是4厘米的等邊三角形的邊繞一圈，它掃過的面積是多少平方厘米？【答案】36.56平方厘米【分析】如圖，它掃過的面積是3個(gè)邊長(zhǎng)4厘米，寬1×2厘米的長(zhǎng)方形和一個(gè)圓的面積，長(zhǎng)方形面積＝長(zhǎng)×寬，圓的面積＝πr2，據(jù)此列式解答?！驹斀狻?×2＝2（厘米）2×4×3＋3.14×22＝24＋3.14×4＝24＋12.56＝36.56（平方厘米）答：它掃過的面積是36.56平方厘米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是具有一定的空間想象能力，掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方形和圓的面積公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一塊長(zhǎng)方形草地的一個(gè)角上有一根木樁，木樁上拴著一只羊，如果拴羊的繩子長(zhǎng)4米，這只羊無(wú)法吃到的草地面積是多少平方米？【答案】47.44平方米【分析】如圖：觀察圖形可知，這只羊能吃到草的面積等于半徑為4米圓的的面積，那么這只羊無(wú)法吃到的草地面積＝長(zhǎng)方形的面積－圓的面積；根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式S＝ab，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?！驹斀狻块L(zhǎng)方形草地的面積：10×6＝60（平方米）能吃到草的面積（圓的面積）：3.14×42×＝3.14×16×＝3.14×4＝12.56（平方米）無(wú)法吃到的草地面積：60－12.56＝47.44（平方米）答：這只羊無(wú)法吃到的草地面積是47.44平方米?！军c(diǎn)睛】畫出圖形幫助理解題意，先分析出羊能吃到草的面積是一個(gè)圓的面積，進(jìn)而得出羊無(wú)法吃到的草地面積是由哪些圖形面積相加或相減得到，再根據(jù)圖形的面積公式解答?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，空地上有一座長(zhǎng)方形羊圈。這座長(zhǎng)方形羊圈的長(zhǎng)是6米，寬是4米，在羊圈的墻角上栓著一只小羊。（1）栓羊的繩長(zhǎng)是4米，小羊在空地上的活動(dòng)范圍是多少平方米？（2）如果栓羊的繩長(zhǎng)是6米，那么小羊的活動(dòng)范圍增加了多少平方米？【答案】（1）37.68平方米（2）50.24平方米【分析】（1）栓羊的繩長(zhǎng)是4米，那么羊在空地上的活動(dòng)范圍是一個(gè)以4米為半徑的圓；根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。（2）栓羊的繩長(zhǎng)是6米，那么羊在空地上的活動(dòng)范圍是由兩部分組成，一個(gè)以6米為半徑的圓和一個(gè)以（6－4）米為半徑的圓，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，分別求出這兩部分的面積，再減去上一題的面積，即是小羊的活動(dòng)范圍增加的面積?！驹斀狻浚?）3.14×42×＝3.14×16×＝3.14×12＝37.68（平方米）答：小羊在空地上的活動(dòng)范圍是37.68平方米。（2）3.14×62×＋3.14×（6－4）2×＝3.14×36×＋3.14×4×＝84.78＋3.14＝87.92（平方米）87.92－37.68＝50.24（平方米）答：小羊的活動(dòng)范圍增加了50.24平方米。【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積公式的運(yùn)用，弄清羊的活動(dòng)范圍是由哪幾部分組成的是解題的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)十五】面積法其十五：平移運(yùn)動(dòng)問題＊?！痉椒c(diǎn)撥】在平移運(yùn)動(dòng)過程中，圖形的形狀與面積都可能會(huì)發(fā)生變化，關(guān)鍵在于理解運(yùn)動(dòng)變換過程的規(guī)律，畫出不同的示意圖?！镜湫屠}】如圖，三角形ABC中，底和高都是6厘米，點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)以0.5厘米/秒的速度向右平移，形成一個(gè)梯形，經(jīng)過幾秒后，梯形的面積達(dá)到42平方厘米？【答案】8秒【分析】由圖可知，梯形的面積＝三角形的面積＋平行四邊形的面積，利用“三角形的面積＝底×高÷2”求出三角形ABC的面積，平行四邊形的面積＝梯形的面積－三角形的面積，平行四邊形的高等于三角形的高，利用“底＝平行四邊形的面積÷高”求出平行四邊形的底，即點(diǎn)A和點(diǎn)C平移的距離，最后根據(jù)“時(shí)間＝路程÷速度”求出點(diǎn)A和點(diǎn)C平移的時(shí)間，據(jù)此解答?！驹斀狻?2－6×6÷2＝42－18＝24（平方厘米）24÷6＝4（厘米）4÷0.5＝8（秒）答：經(jīng)過8秒后，梯形的面積達(dá)到42平方厘米?！军c(diǎn)睛】把梯形的面積分割為三角形的面積與平行四邊形的面積之和，并求出平行四邊形的面積和平行四邊形的底是解答題目的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖所示，正方形和圓相距30厘米，正方形的邊長(zhǎng)和圓的直徑都是10厘米，正方形沿著直線向右做平移運(yùn)動(dòng)，圓沿著直線向左做平移運(yùn)動(dòng)。正方形每秒運(yùn)動(dòng)3厘米，比圓的速度慢。當(dāng)圓和正方形完全重疊時(shí)，沒有重合部分的面積是多少？正方形與圓同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)到最后完全分開經(jīng)過的時(shí)間是多少秒？【答案】21.5平方厘米；6.25秒【分析】（1）當(dāng)圓和正方形完全重疊時(shí)，此時(shí)是一個(gè)外方內(nèi)圓的圖形，那么沒有重合部分的面積＝正方形的面積－圓的面積；根據(jù)正方形的面積公式S＝a2，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解。（2）已知正方形每秒運(yùn)動(dòng)3厘米，比圓的速度慢，把圓的速度看作單位“1”，則正方形的速度是圓的（1－），單位“1”未知，用正方形的速度除以（1－），即可求出圓的速度。正方形與圓同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)到最后完全分開，總路程＝相距的30厘米＋正方形的邊長(zhǎng)＋圓的直徑；根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度，即可求出正方形與圓同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)到最后完全分開經(jīng)過的時(shí)間。【詳解】（1）10×10－3.14×（10÷2）2＝100－3.14×25＝100－78.5＝21.5（平方厘米）（2）圓每秒運(yùn)動(dòng)：3÷（1－）＝3÷＝3×＝5（厘米）經(jīng)過的時(shí)間：（30＋10＋10）÷（3＋5）＝50÷8＝6.25（秒）答：當(dāng)圓和正方形完全重疊時(shí)，沒有重合部分的面積是21.5平方厘米。正方形與圓同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)到最后完全分開經(jīng)過的時(shí)間是6.25秒。【點(diǎn)睛】（1）本題考查圓的面積、正方形的面積公式的運(yùn)用，明白當(dāng)圓和正方形完全重疊時(shí)是一個(gè)外方內(nèi)圓的圖形是解題的關(guān)鍵。（2）本題考查分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用以及行程問題，先根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義求出圓的速度，再根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系解答?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如下圖，同一直線上的直角梯形和長(zhǎng)方形相距10cm。直角梯形上底2cm，下底4cm，高6cm。長(zhǎng)方形長(zhǎng)26cm，寬6cm。現(xiàn)在直角梯形按每秒2cm勻速向右平移。（1）畫出直角梯形平移6秒鐘后的位置，并算一算這時(shí)它與長(zhǎng)方形重疊部分的面積是多少平方厘米？（2）想一想，算一算，在直角梯形平移過程中，整個(gè)直角梯形與長(zhǎng)方形完全重疊的時(shí)間維持了幾秒？【答案】（1）圖見詳解；6平方厘米（2）11秒【分析】（1）用梯形的移動(dòng)速度乘