二次函數(shù)中的分類討論思想

1、二次函數(shù)中的分類討論思想、例題分析歸類:(一)、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關系的討論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括以下四種情形：(1)軸定，區(qū)間定；(2)軸定，區(qū)間變；(3)軸變，區(qū)間定；(4)軸變，區(qū)間變。1.軸定區(qū)間定例1. ( 2008年陜西卷)22.本小題滿分14分)設函數(shù) f(x) = x3+ax2a2x+1,g(x) = ax22x+1，其中實數(shù) a00.(i)若a0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當函數(shù)y = f (x)與y = g(x)的圖象只有一個公共點且g(x)存在最小值時，記 g(x)的最小值為h(a),求h(a

2、)的值域；(出)若f(x)與g(x)在區(qū)間(a,a+2)內(nèi)均為增函數(shù)，求 a的取值范圍.2 .軸定區(qū)間動例2.(全國卷)設a為實數(shù)，函數(shù)f (x) =x2 + | x -a | +1,a亡R,求f(x)的最小值。3 .軸動區(qū)間定2f (x)在m,n評注：已知f(x)=ax +bx+c(a00),按對稱軸與定義域區(qū)間的位置關系，由數(shù)形結(jié)合可得 上的最大值或最小值。例3.求函數(shù)y = -x(x -a)在x w _1 , 1上的最大值。4 .軸變區(qū)間變2-22例 4.已知 y =4a(xa)(a 0),求 u=(x3) +y 的最小值。(二)、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中的

3、參數(shù)值。例5.已知函數(shù)f (x) =ax2+2ax+1在區(qū)間3,2上的最大值為4,求實數(shù)a的值。2x例6.已知函數(shù)f (x) =-+x在區(qū)間m, n上的值域是3m,3n,求m, n的值。練習：1、( 2008 江西卷 21).14132 24已知函數(shù) f(x)= x ax -ax a (a 0)43(1)求函數(shù)y = f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=1恰有兩個交點，求 a的取值范圍.32、已知二次函數(shù) f (x) =ax2+(2a1)x+1在區(qū)間,2上的最大值為3,求實數(shù)a的值。23、( 2008山東卷21.)(本小題滿分 12分)設函數(shù)f (x) = x2ex，+

4、ax3+bx2,已知乂 = 一2和乂=1為f(x)的極值點.(i)求a和b的值；(n)討論f(x)的單調(diào)性；2 32(又g(x)=3x-x，試比較f”g(x)的大小.二次函數(shù)中的分類討論思想例題答案:例 1.解：(I): f (x) =3x2 +2ax -a2 =3(x -)(x + a),又 a0, 3,、 a 一. .一a 一.一當 x時，f (x) 0 ；當a x 時，f(x)0時，f (x)在(*,a)和(一，收)內(nèi)是增函數(shù)，g(x)在(一，收)內(nèi)是增函數(shù).3aa 0.一一 a -一由題息得a上一，解得a 1 ；3 a1 ， ,-)內(nèi)是增函數(shù).aa、 一a 0由題意得a +2 Ma ,

5、解得a -3;當a 0時，f (x)在(,?和(-a,y)內(nèi)是增函數(shù),3a 2 -1 a綜上可知，實數(shù) a的取值范圍為(3，-3U1,) .1 O 3例 2. (1)當 x 之 a 時，f (x) = (x + )+ a2 4113右 a M，則 f(x)min = f() = a； 2241 2.若 a A，則 f (x)min = f(a) =a +121 23(2)當 xa 時，f(x)=(x)+a 2412右 a ，則 f (x)min = f (a) =a + 1 ； 2113右 a ,則 f(x)min = f( )= +a 2241 .311.2 .1 ,綜上所述，當 aW -時

6、，f(x)min= - a;當一一a時，f (x) min = a +1；當 a 之一時, 24222一、 3 f ( x)min = - a 42例3.解析：函數(shù)y = _(xa)2 +a-圖象的對稱軸方程為x=?,應分1 Ma M1 ,1,242222IP -2a2, a2這三種情形討論，下列三圖分別為(1) a -2;由圖可知 f (x)max = f(1)(2)-2 a 2；由圖可知刈max 二 f(2)(3) a A2 時；由圖可知 f(x)max=f(1)7(-1), a -2(a +1) , a 1)例 5.解析：f (x) =a(x+1)2 +1 a,x3,2(1)若 a=0,

7、 f (x) =1,不合題意。(2)若 a 0,則 f (x)max= f(2) =8a+1，-. ,口3由 8a +1=4,佝 a= 8(3)若 a 0時，則 f (x)max = f(-1) =1 -a由 1 a =4 ,得 a =-33綜上知a =或a = 38例6.解析1:討論對稱軸* = 1中1與m, mn , n的位置關系。若2 max = f(n) =3n解得f (x)min = f (m) =3m 0若f(x)max=f(1) =3n 無解 f (x)min = f (m) =3m若f(x)f(x)maxmin=f (1) = 3n,無解=f (n) =3m若I 0時，f (x

8、)在f(x)=0根的左右的符號如下表所示x(0, -2a)-2a(-2a,0)0(0,a)a(a*)f (x)0+00+f(x)L極小值口極大值極小值所以f(x)的遞增區(qū)間為(2a,0)與(a,)f(x)的遞減區(qū)間為(*,2a)與(0, a)5 47 4 由(1)倚到 f(x)極小值=f(2a) = a, f(x)極小值=f(a)=-a 312f(x)極大值=f(0)=a4 5 ,7要使f(x)的圖像與直線y=1恰有兩個交點，只要 _5a4 1 a4或a4 1 ,312即a a1或0 Wa 0與a0兩大類五種情形討論，過程繁瑣不2、分析：這是一個逆向最值問題，若從求最值入手，需分堪。若注意到f

9、(x)的最值總是在閉區(qū)間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函數(shù)值，再檢驗其真假，過程簡明。2a -11解：(1)令 f (-) = 3,得 a =2a23 一1此時拋物線開口向下，對稱軸為笨=7,且2到萬，2 故2 =-萬不合題意；，一一31 一 _1 (2)令f (2) =3 ,得a =,此時拋物線開口向上，閉區(qū)間的右端點距離對稱軸遠些，故 a =符合題意;224 _2_2(3)若f () =3 ,得a =,經(jīng)檢驗，符合題意。331 ,、2綜上，a =或a = 2 3評注：本題利用特殊值檢驗法，先計算特殊點(閉區(qū)間的端點、拋物線的頂點)的函數(shù)值，再 檢驗其真假，思路明了、過程簡潔

10、，是解決逆向型閉區(qū)間二次函數(shù)最值問題的一種有效方法。3、21 .解：(I)因為 f(x) =ex(2x+x2)+3ax2+2bx =xex,(x + 2) + x(3ax + 2b),又x = 2和x=1為f(x)的極值點，所以f(2) = f(1)=0 ,工 6a 2b =01因此a解方程組得a = 1, b = 1 .3 3a 2b -031x _1(n)因為 a=, b = 1,所以 f (x)=x(x+2)(e 1), 3令 f (x) =0 ,解得 x1 = -2 , x2 = 0 , x3 =1 .因為當 xW (，2) U(0,1)時，f(x)0.所以f (x)在(2,0)和(1,+8)上是單調(diào)遞增的；在(-0%2)和(0,1)上是單調(diào)遞減的.(出)由(I)可知 f (x) =x2ex4-x3 -x2,3故 f (x) -g(x) =x2exq-x3 =x2(ex-x),令 h(x) =ex4-x ,則 h(x) = ex，-1 .令 h(x) = 0 ,得 x=1,因為 xw (-00,1時，h(x) 0 0,所以h(x)在x三(-%1】上單調(diào)遞減.故 xJ-