離散型隨機(jī)變量

1、第五講 離散型隨機(jī)變量1. 引例例 在一袋中裝有編號(hào)分別為1,2,3的3只球. 在袋中任取一只球, 放回. 再取一只球, 記錄它們的編號(hào). 計(jì)算兩只球的號(hào)碼之和.試驗(yàn)的樣本空間S=e=i,j,i,j=1,2,3. 這里i,j分別表示第一,二球的號(hào)碼. 以X記兩球號(hào)碼之和, 對于每一個(gè)樣本點(diǎn)e, X都有一個(gè)值與之對應(yīng), 如圖所示.例 將一枚硬幣拋擲3次. 關(guān)心3次拋擲中, 出現(xiàn)H的總次數(shù), 而對H,T出現(xiàn)的順序不關(guān)心. 比如說, 我們僅關(guān)心出現(xiàn)H的總次數(shù)為2, 而不在乎出現(xiàn)的是"HHT","HTH"還是"THH". 以X記三次拋擲中出現(xiàn)

2、H的總數(shù), 則對樣本空間S=e中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e, X都有一個(gè)值與之對應(yīng), 即有2. 隨機(jī)變量的定義定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S=e. X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù). 稱X=X(e)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而定, 而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率, 因而隨機(jī)變量的取值有一定的概率. 例如, 在例2中X取值為2, 記成X=2, 對應(yīng)于樣本點(diǎn)的集合A=HHT, HTH, THH, 這是一個(gè)事件, 當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)有X=2. 則稱P(A)=PHHT, HTH, THH為X=2的概率, 即P(X=2)=P(A)=3/8. 類似地有本書中,一般以大寫字母如X,Y,Z,

3、W,.表示隨機(jī)變量, 而以小寫字母x,y,z,w,.表示實(shí)數(shù).3. 離散型隨機(jī)變量有些隨機(jī)變量, 它全部可能取到的不相同的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè), 這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律, 必須且只需知道X的所有可能取的值及取每一個(gè)可能值的概率.設(shè)X所有可能取的值為xk(k=1,2,.), 而PX=xk=pk, k=1,2,.(2.1)由概率的定義, pk滿足如下兩個(gè)條件稱(2.1)式為離散型隨機(jī)變量X的分布律或概率分布. 分布律也可用表格的形式來表示:例 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號(hào)燈, 每組信號(hào)燈以1/2概率允許或禁止汽車通過. 以X表示汽車首

4、次停下時(shí), 它已通過的信號(hào)燈組數(shù)(設(shè)各組信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的), 求X的分布律.解 以p表示每組信號(hào)燈禁止汽車通過的概率, 易知X的分布律為即PX=k=(1-p)kp, k=0,1,2,3, PX=4=(1-p)4.以p=1/2代入得第二章 隨機(jī)變量及其分布§1 隨機(jī)變量為了全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果, 揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性, 將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對應(yīng)起來, 將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化, 引入隨機(jī)變量的概念. 在隨機(jī)試驗(yàn)完成時(shí), 人們常常不是關(guān)心試驗(yàn)結(jié)果本身, 而是對于試驗(yàn)結(jié)果聯(lián)系著的某個(gè)數(shù)感興趣.有許多隨機(jī)試驗(yàn), 它的結(jié)果本身是一個(gè)數(shù), 即樣本點(diǎn)e本身是一個(gè)數(shù). 我們令X=X(e

5、)=e, 則X就是一個(gè)隨機(jī)變量. 例如, 用Y記某車間一天的缺勤人數(shù), 以W記錄某地區(qū)第一季度的降雨量, 以Z記某工廠一天的耗電量, 以N記某醫(yī)院某一天的掛號(hào)人數(shù). 那么Y, W, Z, N都是隨機(jī)變量. 一般, 若L是一個(gè)實(shí)數(shù)集合, 將X在L上取值寫成XL. 它表示事件B=e|X(e)L, 即B是由S中使得X(e)L的所有樣本點(diǎn)e所組成的事件. 此時(shí)有PXL=P(B)=Pe|X(e) L,隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定, 在試驗(yàn)之前不能預(yù)知它取什么值, 且它的取值有一定的概率. 這些性質(zhì)顯示了隨機(jī)變量與普通函數(shù)有著本質(zhì)的差異.§2 離散型隨機(jī)變量及其分布律例如§1例2中的

6、隨機(jī)變量X, 它只可能取0,1,2,3四個(gè)值, 它是一個(gè)離散型隨機(jī)變量. 又如某城市的120急救電話臺(tái)一晝夜收到的呼喚次數(shù)也是離散型隨機(jī)變量. 若以T記某元件的壽命, 它所可能取的值充滿一個(gè)區(qū)間, 是無法按一定次序一一列舉出來的, 因而它是一個(gè)非離散型的隨機(jī)變量. 本節(jié)討論離散型隨機(jī)變量（課間休息）3. 幾個(gè)常用的離散型分布（1）(0-1)分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值, 它的分布律是P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1(0<p<1),則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.(0-1)分布的分布律也可寫成（2）伯努利試驗(yàn),二項(xiàng)分布設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：事件, 則稱

7、E為伯努利試驗(yàn)。設(shè)P(A)=p(0<p<1), 此時(shí). 將E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次, 則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).定義隨機(jī)變量X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù), 我們來求它的分布律. 記q=1-p，例 按規(guī)定, 某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)的為一級(jí)品. 已知一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2, 現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查20只. 問20只元件中恰有k只(k=0,1,.,20)為一級(jí)品的概率是多少?解這是不放回抽樣. 但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查的元件數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小, 因而可以當(dāng)作放回抽樣來處理, 這樣做會(huì)有一些誤差, 但誤差不大. 檢查一只元

8、件看它是否為一級(jí)品, 檢查20只元件相當(dāng)于20重貝努利試驗(yàn), 以X記其中一級(jí)品總數(shù), 則Xb(20,0.2).所求概率為例 某人進(jìn)行射擊, 設(shè)每次射擊命中率為0.02, 獨(dú)立射擊400次, 試求至少擊中兩次的概率.解 將一次射擊看成是一次試驗(yàn). 設(shè)擊中的次數(shù)為X, 則Xb(400,0.02). X的分布律為PX2=1-PX=0-PX=1=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.例 設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備, 各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01, 且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理, 考慮兩種配備維修工人的方法, 其一是由4人維護(hù), 每人負(fù)責(zé)20臺(tái);

9、其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái). 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.解 按第一種方法, 以X記"第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)", 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件"第i人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修".則知80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為P(A1A2A3A4)P(A1)=P(X2).而Xb(20,0.01), 故有即有(A1A2A3A4)0.0169.按第二種方法, 以Y記80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù). 此時(shí), Yb(80,0.01), 故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X

10、所有可能取的值為0,1,2,., 而取各個(gè)值的概率為其中>0是常數(shù). 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布, 記為Xp().易知, P(X=k)0, k=0,1,2,.,且有對一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的任何一個(gè)給定的事件A, 0<P(A)<1, 都可以根據(jù)事件A定義一個(gè)服從0-1分布的隨機(jī)變量來描述. 例如, 對新生嬰兒的性別進(jìn)行登記, 檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格, 某車間的電力消耗是否超過負(fù)荷以及前面多次討論過的"拋硬幣"試驗(yàn)等都可以用(0-1)分布的隨機(jī)變量來描述. (0-1)分布是經(jīng)常遇到的一種分布.這里，“重復(fù)”是指在每次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變；“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響。X所有可能取的值為0,1,2,.,n. 由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的, 因此事件A在指定的k(0kn)次試驗(yàn)中發(fā)生, 在其它n-k次試驗(yàn)中A不發(fā)生的概率為這種指定的方式共有種，它們是兩兩互不相容的，故在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為特別，當(dāng)n=1時(shí)二項(xiàng)分布化為P(X=k)=pkq1-k, k=0,1這就是（0-1）分布?？梢钥闯? 在后一種情況下盡管任務(wù)重了(每人平均維護(hù)約