高中數(shù)學復習學(教)案(第8講)函數(shù)的奇偶性與周期性(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.4函數(shù)的奇偶性與周期性【高考要求】理解函數(shù)的奇偶性的概念，了解函數(shù)的周期性的定義，掌握函數(shù)奇偶性和周期性的判定方法和圖像特征；會利用函數(shù)奇偶性、周期性，分析、探究函數(shù)值、性質(zhì)及圖像等問題?！局R點歸納】一、奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。說明：1、函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件，所以判定函數(shù)的奇偶性時，首先要看定義域是否關于原點對稱。2、函數(shù)按奇偶性分類：（1）奇函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那

2、么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。（2）偶函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。（3）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有且，那么函數(shù)就既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。（4）非奇非偶函數(shù)：如果函數(shù)的定義域不關于原點對稱或如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有且，那么函數(shù)就是非奇非偶函數(shù)。3、（1）；（2）若，則。4、判斷函數(shù)的奇偶性的步驟：（1）考察函數(shù)的定義域是否關于原點對稱。若不關于原點對稱，則可判斷函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若關于原點對稱，則繼續(xù)判斷下列式子哪個成立；（2）根據(jù)定義域考察表達式是否等于或。若，則函數(shù)為奇函數(shù)；若，則函數(shù)偶奇函數(shù)。若且，則函數(shù)既是奇函數(shù)又是

3、偶函數(shù)。若且，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。二、奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像與性質(zhì)：1、函數(shù)為奇函數(shù)的圖像關于原點對稱；2、函數(shù)為偶函數(shù)的圖像關于軸對稱。3、若為奇函數(shù)，且在函數(shù)的定義域內(nèi)，則；若函數(shù)為偶函數(shù)，則。4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性。即：奇函數(shù)在和上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性。即：偶函數(shù)在和上有相反的單調(diào)性；5、偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇（偶）數(shù)個奇函數(shù)的積、商（分母不為零）為奇（偶）函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)。（注意：利用以上結論時要注意各函數(shù)的定義域）6、若奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也為奇函數(shù)。

4、三、判斷函數(shù)奇偶性的方法：定義法、圖像法、性質(zhì)法。四、周期函數(shù)的概念與性質(zhì)：1、周期函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的每一個值時，都有（或）成立，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做函數(shù)的一個周期。如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)叫做函數(shù)的最小正周期。以后沒有特別說明，一般都是找函數(shù)的最小正周期。說明：（1）周期函數(shù)不一定有最小正周期，但若存在最小正周期，則最小正周期唯一。（2）若是函數(shù)的一個周期，則也一定是函數(shù)的周期。（3）周期函數(shù)的定義域無上、下界。2、設為正數(shù)，若對定義域內(nèi)的任意，恒有下列條件之一成立：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）

5、；（6）。則是它的一個周期。（證明略）3、若的圖像同時關于與對稱,則是周期函數(shù)，是它的一個周期；證明：的圖像同時關于與對稱， 是周期函數(shù)，是它的一個周期。4、若的圖像關于對稱同時關于點對稱,則是周期函數(shù)，是它的一個周期；證明：的圖像關于對稱同時關于點對稱， 是周期函數(shù)，是它的一個周期。5、若的圖像關于點對稱同時關于點對稱,則是周期函數(shù)，是它的一個周期；證明：的圖像同時點與點對稱， 是周期函數(shù)，是它的一個周期?！净A自測】步步高 學生用書 基礎自測【題型講解】例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由。（1） （2）（3） （4）練習1、判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1） （2） （3）例2、設，函數(shù)。

6、（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值。練習2、已知，（1）判斷的奇偶性；（2）求證：。例3、已知函數(shù)對一切都有。（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若，用表示。例4、設是定義在上的偶函數(shù)，且當時，單調(diào)遞減，若成立，求的取值范圍。例5、已知是上的奇函數(shù)，且當時，求的解析式。練習3、（1）是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，又當時，求的值。（2）是定義在上以2為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間，已知當時，求在上的解析式。練習4、是定義在上的偶函數(shù)，且恒成立，當時，求當時的表達式。例6、定義在實數(shù)集上的函數(shù)，對任意，有有。（1）求證：；（2）求證：是偶函數(shù)；（3）若存在常數(shù)，使得。求證：對任意，有成立；試問函數(shù)是不是周期函數(shù)，如果是，找出它的一個周期；如果不是，請說明理由。練習5、已知函數(shù)，當時，恒有。（1）求證：是奇函數(shù)；（2）如果并且試求在區(qū)間上的最值。例7、設是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關于直線對稱，對任意都有，且。（1）求及；（2）證明：是周期函數(shù)；（3）記：，求.練習6、已知是定義在上的函數(shù)，且對任意，成立。（1）是周期函數(shù)；（2）已知，求。【反思感悟】1、正確理解函數(shù)奇偶性的概念。必須掌握以下兩點：（1）函數(shù)的定義區(qū)間關于原點對稱是該函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；（2）定義中或應是定義域上的恒等式。2、奇函數(shù)的圖像