自考2019年10月高數(shù)一真題及答案(2019.10)

1、全國2019年10月高等教育自學(xué)考試高等數(shù)學(xué)(一)試題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1. 下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()。A. x sin2xB. x cos2xC. xsinxD. xcosx【正確答案】Dxcosx，【答案解析】已知奇函數(shù)滿足f(x)二_f(_x)，因?yàn)镈選項(xiàng)中令f(x)有f(x)xcosx，滿足奇函數(shù)條件，故選擇 D。參見教材P31?！局?識(shí) 點(diǎn)】 函數(shù)的奇偶性。2. 當(dāng)x 0,y0時(shí)，下列等式成立的是()。A. ln (xy )= In xgn yB. ln x y = ln x ln yC. ln xy = ln x ln yx ln x D. l

2、ny ln y【正確答案】【答案解析】材P3&【知識(shí)點(diǎn)】C因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)有l(wèi)oga(xy) = logaX loga y的性質(zhì)，故選C對(duì)數(shù)函數(shù)。參見教4n3 +23. lim 3n'2n nA. 1B. 2C. 3D. 4【正確答案】【答案解析】【知識(shí)點(diǎn)】32.4n 212n.24n 小lim 3 lim 2 lim2。n齊：2 n3 n n&6 n21 n&12n參見教材P96洛必達(dá)法則。.xe 14. 已知函數(shù)f(x) = « 2x ，x 在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則a=()、a, x = 0A. 0C. 1D. 2【正確答案】B【答案解析】因?yàn)楹瘮?shù)在x =

3、 0處連續(xù)，則有l(wèi)im f(x)二a，帶入可得e 1x 1ilim f (x)=四 =四廠=2，解得a = ?，故選B。參見教材 P63?！局R(shí)點(diǎn)】函數(shù)的連續(xù)性。5. 曲線y=2x2-x在點(diǎn)1,1處的切線方程為 ()。A. y = 3x - 2B. y = 3x -4C. y =2x -2D. y = 2x - 4【正確答案】 A【答案解析】因?yàn)楹瘮?shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率。所以，先求導(dǎo)得f (x) = 4x 一1，將x = 1帶入導(dǎo)數(shù)可得斜率k二=3。然后，設(shè)直線 方程為，y y。二k(x-X。)，將切線斜率k = 3和點(diǎn)(1,1)帶入可得y = 3x - 2。參見 教材P

4、73?！局R(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義。6. 設(shè)需求函數(shù)為Q=35-P2，其中P和Q分別是價(jià)格與需求量，則P = 5時(shí)的需 求價(jià)格彈性為()。A. -9B. -7C. -5D. -3【正確答案】C【答案解析】 由定義可知lim VQ/VE =P一 f *( p0)稱為該商品在p0處的需VpT Q。/ pof(Po)555求彈性。所以，將 p0 = 5帶入可得f (5)2(-2g5)(-10) = -5，故f(5)35 510選C。參見教材P114【知 識(shí) 點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。7. 函數(shù) f (x) =3x -3-x在()。A. ，二內(nèi)單調(diào)增加B. ，二內(nèi)有增有減C. 0, 內(nèi)單調(diào)減少D. -

5、：，0內(nèi)單調(diào)減少【正確答案】 A【答案解析】 函數(shù)求導(dǎo)得f (x)二In 3g3x -十號(hào) 二“3"：一 0 ,又因?yàn)樵?3函數(shù)定義域沒有限制，故在-二，內(nèi)單調(diào)增加。參見教材P100?！局?識(shí) 點(diǎn)】 求導(dǎo)法判斷單調(diào)性。8. 曲線y = x3 - 6x2 10x T的拐點(diǎn)為 ()。A. (2,3)B. (3, 2)C. (1,2)D. (2,1)【正確答案】 A【答案解析】 由拐點(diǎn)定義可知，需先求二階導(dǎo)。則 f (x) =3x? 12x 10 ,二階 導(dǎo)為f “(x) =6x_12。令(X)=0解得x = 2帶入原函數(shù)得f(2) =3，故拐點(diǎn)(2,3)。 參見教材P108?！局R(shí)點(diǎn)】曲

6、線的拐點(diǎn)。9. 不定積分dx =()。-x +12A. ln x - 1 CB. arctan x21 Cc12C. -ln X 1 C1 2D. arctan x 1 i亠 C【正確答案】C【答案解析】2x dx =丄2 dx2 =丄1 n(x2，1) C。參見教材P120。一 x+12 ' x+12【知 識(shí) 點(diǎn)】 不定積分的計(jì)算。10. 設(shè)函數(shù)z=x2+xy+2y2，則全微分dz儼廠()。A. 3dx 6dyB. 6dx 3dyC. 6dx 5dyD. 5dx 6dy【正確答案】D【答案解析】 因?yàn)閒x(Xo, y°) =2x y， fy(x°, y°

7、) = x 4y。根據(jù)全微分定義可知 dz |(2,1)= fx(2,1)dx+f；(2,1)dy=5dx+6dy。參見教材 P190?！局R(shí)點(diǎn)】全微分的定義。二、簡單計(jì)算題(本大題共5小題，每小題4分，共20分)11. 求拋物線y = x2 - x與直線y = x 3的交點(diǎn)?！菊_答案】'_ 2解方程組y x -X y x 3得曲線y =x2 -x與直線y = x的交點(diǎn)是(3,6)和(-1,2)?！敬鸢附馕觥?通過函數(shù)性質(zhì)可知，求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)是將兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行聯(lián)立，然 后解方程組即為所求。參見教材 P169例題中有求交點(diǎn)步驟?！局R(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像和性質(zhì)12. 求函數(shù)f (x)x_篤的間

8、斷點(diǎn)。2(x-1)【正確答案】由題可知，函數(shù)在x =1處沒有定義，故討論其間斷點(diǎn)類型。x - 3x - 3因?yàn)?Ximl2(R=Xim2(R所以，X=1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)?！敬鸢附馕觥?求間斷點(diǎn)，我們首先要做的是找到不在定義域內(nèi)的點(diǎn)，然后再判 斷其間斷點(diǎn)類型。參見教材 P64?！局R(shí)點(diǎn)】間斷點(diǎn)的類型13設(shè)函數(shù)y呻nx，求導(dǎo)數(shù)S?！菊_答案】少=(e2x) garcsinx e2xg(arcsinx) dx2x2xe=2e garcsinx,1-x2=e2x(2arcsi n x +1 -).1-x2【答案解析】運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則。參見教材P78?！局R(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)

9、的四則運(yùn)算。14.求曲線y二直二1的水平漸近線。3x +1 n2【正確答案】因?yàn)閘im f (x) = lim 2xx3x2 ln 22x2 x-1 4x+1=limx 6x2_ 32則根據(jù)定乂有，y = -為xr，的水平漸近線。3P110?！敬鸢附馕觥?求漸近線有固定方法，所以要熟記漸近線定義。參見教材 【知識(shí)點(diǎn)】曲線的漸近線。n15.計(jì)算定積分I x100sinxdx-n【正確答案】令 f (x) x100gsin x因?yàn)?f(_x) _ -x100csi nx _ - f (x) 所以函數(shù)為奇函數(shù)且為連續(xù)函數(shù)a則由性質(zhì)可知f (x)dx = 0-an所以，I 二x100 sinxdx=0

10、【答案解析】 該題因?yàn)楸环e函數(shù)有明顯的特征性，所以考慮使用性質(zhì)解題。參 見教材P160?！局?識(shí) 點(diǎn)】 定積分的基本性質(zhì)。三、計(jì)算題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)216.求極限 lim 1 x J【正確答案】2 阿1 x)x 豈叫(1x)【答案解析】知識(shí)點(diǎn)i_x22=e考查兩個(gè)重要極限。參見教材P56。 兩個(gè)重要極限。17.設(shè)函數(shù)y二xe2x，求二階導(dǎo)數(shù)雪?！菊_答案】2x /二 e (1 2x)dy 2x 小 2xe 2xe d= 2e2x(1 2x) 2e2x =4e2x(1 x)dx【答案解析】求二階導(dǎo)數(shù)需要先將一階導(dǎo)數(shù)求出，再根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)求出二階導(dǎo) 數(shù)。參見教材P86【知識(shí)點(diǎn)

11、】高階導(dǎo)數(shù)。18.求極限lim-x e-21 cosx【正確答案】x-xe e -2x-xe e -2 limx j0 1 - cosx2P60、P96?！敬鸢附馕觥?運(yùn)用了等價(jià)無窮小替換以及洛必達(dá)法則。參見教材 【知識(shí)點(diǎn)】洛必達(dá)法則。X19. 設(shè)函數(shù) F(x)=x.°sin tdt，求二階導(dǎo)數(shù) F''(x)?！菊_答案】F(X)二 ° sintdt xLsin xF (x) =sin x sin x x cosx 二 2sin x x cosx【答案解析】本題難點(diǎn)在于變上限積分的求導(dǎo)。參見教材P152【知 識(shí) 點(diǎn)】 變上限積分及其導(dǎo)數(shù)公式。20. 求微分方

12、程 巴-八e3x的通解。dx【正確答案】由題可知，P(x) = 一1 , Q(x) =e'x 帶入公式得y =e-| ：e3x|_e_dXdx - C=ex e2xdx C= exL-e2x C21 e3x Ce C2求出通解為ye3x V2【答案解析】觀察題干可知該題微分方程類型屬于一階線性微分方程，故帶入 一階線性微分方程通解公式丫乂一呢皿 Q(x)eP(x)dxdx C即可。參見教材P143?！局?識(shí) 點(diǎn)】一階線性微分方程。四、綜合題(本大題共4小題，共25分)21. (本小題6分)某產(chǎn)品產(chǎn)量為Q時(shí)的邊際成本為C'(Q) = 2Q + 2 (萬元/噸)，固定成本10萬 丿

13、元。(1) 求總成本函數(shù)C(Q)。(2) 若售價(jià)P=20-Q (萬元/噸)，問產(chǎn)銷平衡時(shí)，生產(chǎn)多少產(chǎn)品可獲最大 利潤？最大利潤是多少？【正確答案】(1) 解：2C(Q)二 C'(Q)dQ = 2Q 2dQ g 2Q C因?yàn)楣潭ǔ杀緸?0萬元所以總成本函數(shù)為C(QQ2 2Q 10(2) 解：由售價(jià)可知，總收益函數(shù)為 R(Q) =Q(20-Q) =20Q-Q2 所以，總利潤函數(shù)為2 2 2L(Q)二R(Q)-C(Q) =20Q-Q -Q -2Q-10 =-2Q 18Q-10由一元二次函數(shù)性質(zhì)可知 Q=4.5為函數(shù)最大值點(diǎn)，并且L(4.5)=30.5 所以可知生產(chǎn)4.5噸時(shí)可獲最大利潤，最大

14、利潤為 30.5萬元?！敬鸢附馕觥?1)總成本函數(shù)求導(dǎo)即為邊際成本，故我們已知邊際成本后求積 分即可得到總成本函數(shù)。又因?yàn)榭偝杀臼枪潭ǔ杀炯涌勺兂杀?。參見教材P44、P112°( 2)總利潤函數(shù)為總收益函數(shù)減去總成本函數(shù)。然后對(duì)總利潤函數(shù)求最 大值即為最大利潤，參見教材 P45?！局R(shí)點(diǎn)】由邊際函數(shù)求總函數(shù)22. (本小題6分)設(shè)平面圖形D是由曲線y=xex與直線x=1及x軸所圍 成，如圖所示。(1) 求D的面積A。(2) 求D繞x軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積Vx?！菊_答案】(1) 解： 由圖可知1 1 1 1 11A= 0 xexdx = xd®) =(xex - o exd =

15、 xex o -ex ° =1D的面積為1。(2) 解：由圖可知1X 2Vx =二 o(xe ) dx二 12 2xoxd(e )2= 2_x11 2x0-p2xe dx二 1 2x-oxd(e )寸2碼e2x二 2(e2 -1)4D繞x軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積為一(e2 -1)4【答案解析】(1)了解定積分的幾何意義即可求解，參見教材P149°( 2)了解定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積即可求解，參見教材P170?！局?識(shí) 點(diǎn)】 定積分的幾何意義。23. (本小題6分)求函數(shù)z=x2，5y2-3xy的極值?！菊_答案】解：因?yàn)?f (x, y)二 x 5y -3xy所以 fx(x, y) =2x -3y， fy(x, y) =10y - 3x 令fx(x,y)"，解得駐點(diǎn)(0,0)fy(x, y) =0A 二 fxx(O,O) =2 , B 二 fxy(O,O) = -3 , C 二 fyy(O,O) =10 因?yàn)?B2 - AC =9 -2O 11 ：O 且 A O 所以f(O,O) =O是函數(shù)z的最小值題24圖【答案解析】本題考查二元函