第十三章能量方法

1、F13-1 概概 述述F13-2 桿件應(yīng)變能的計(jì)算桿件應(yīng)變能的計(jì)算F13-3 線彈性固體應(yīng)變能的普遍形式線彈性固體應(yīng)變能的普遍形式F13-4 互等定理互等定理F13-5 卡氏定理卡氏定理F13-6 虛功原理虛功原理F13-7 單位載荷法單位載荷法莫爾積分莫爾積分F13-8 計(jì)算莫爾積分的圖乘法計(jì)算莫爾積分的圖乘法固體力學(xué)中把與功和能有關(guān)的一些定理統(tǒng)稱為固體力學(xué)中把與功和能有關(guān)的一些定理統(tǒng)稱為能量原理能量原理.對構(gòu)件的組合變形計(jì)算及超靜定結(jié)構(gòu)的求解，能量原理對構(gòu)件的組合變形計(jì)算及超靜定結(jié)構(gòu)的求解，能量原理都有重要作用都有重要作用.w彈性固體在外力作用下變形，在該力的作用點(diǎn)引起相應(yīng)彈性固體在外力作

2、用下變形，在該力的作用點(diǎn)引起相應(yīng)的位移，外力作功；另一方面，彈性固體因變形而儲存的位移，外力作功；另一方面，彈性固體因變形而儲存了應(yīng)變能，具備了作功的能力了應(yīng)變能，具備了作功的能力.w若外力從零開始緩慢地增加到最終值，在彈性固體變形若外力從零開始緩慢地增加到最終值，在彈性固體變形中的每一時(shí)刻其均處于平衡狀態(tài)，動能和其他能量的變中的每一時(shí)刻其均處于平衡狀態(tài)，動能和其他能量的變化皆可不計(jì)化皆可不計(jì).由功能原理知，彈性固體的應(yīng)變能由功能原理知，彈性固體的應(yīng)變能V在數(shù)值在數(shù)值上等于外力所作的功上等于外力所作的功W，即，即V=W .w是可逆的，即當(dāng)外力逐漸解除時(shí)，它又可在是可逆的，即當(dāng)外力逐漸解除時(shí)，它

3、又可在恢復(fù)變形中釋放出全部應(yīng)變能而對外作功恢復(fù)變形中釋放出全部應(yīng)變能而對外作功.w超過彈性范圍，塑性變形將耗散一部分能量，超過彈性范圍，塑性變形將耗散一部分能量，它不能全部再轉(zhuǎn)變?yōu)楣λ荒苋吭俎D(zhuǎn)變?yōu)楣?w大小與外力對其作功的秩序無關(guān)大小與外力對其作功的秩序無關(guān).w不滿足線性疊加原理不滿足線性疊加原理.WV當(dāng)桿件橫截面積為當(dāng)桿件橫截面積為A(x)、軸力為、軸力為FN(x)時(shí)，時(shí)，dx微段內(nèi)的應(yīng)變能微段內(nèi)的應(yīng)變能)(2)()(2xEAdxxFxVdN2lFNEAlFN22整個(gè)桿件的應(yīng)變能整個(gè)桿件的應(yīng)變能lNxEAdxxFV)(2)(2應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度)()()(xdVxVdxvdxxAxEA

4、dxxFN)()(2)(2Ex2)(22)()(xx2)(2xE若作用在圓軸上的外力若作用在圓軸上的外力偶矩從零開始緩慢增加偶矩從零開始緩慢增加到最終值到最終值.在線彈性范圍在線彈性范圍內(nèi)，扭轉(zhuǎn)角內(nèi)，扭轉(zhuǎn)角 與外力偶矩與外力偶矩Me成直線關(guān)系且滿足成直線關(guān)系且滿足IGlMPe扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為WV2MeIGlMPe22當(dāng)橫截面積為當(dāng)橫截面積為A(x)、極慣性矩、極慣性矩為為IP(x)、扭矩為、扭矩為T(x)時(shí)，時(shí)，dx的的微段內(nèi)的應(yīng)變能微段內(nèi)的應(yīng)變能)(2)()(2xIGdxxTxVdP整個(gè)圓軸整個(gè)圓軸的應(yīng)變能的應(yīng)變能lPxIGdxxTV)(2)(2Mel Me OMe)()(2)()(

5、2xIxGAxTxvP應(yīng)變能應(yīng)變能密度為密度為Gxv2)(22)()(xx2)(2xG若作用在梁若作用在梁B端的外力偶端的外力偶矩從零開始緩慢增加到最矩從零開始緩慢增加到最終值終值.在線彈性范圍內(nèi)，在線彈性范圍內(nèi)， B端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角 與外力偶矩與外力偶矩Me成直線關(guān)系且滿足成直線關(guān)系且滿足彎曲應(yīng)變能為彎曲應(yīng)變能為WV2MeEIlMe22當(dāng)橫截面積為當(dāng)橫截面積為A(x)、慣性矩為、慣性矩為I(x)、彎矩彎矩M(x)時(shí)，時(shí)，dx微段內(nèi)的應(yīng)變能微段內(nèi)的應(yīng)變能)(2)(2xEIdxxMVd整個(gè)梁的整個(gè)梁的應(yīng)變能應(yīng)變能lxEIdxxMV)(2)(2上述關(guān)系亦可近似適用于剪切上述關(guān)系亦可近似適用于剪切彎

6、曲長梁彎曲長梁.)()(2)(2xIxEAxMv應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度EIlMeMeBAlMe OMe2FV其中：其中：F廣義外力廣義外力.拉壓時(shí)表示集拉壓時(shí)表示集中力、扭轉(zhuǎn)或彎曲時(shí)表示力偶矩；中力、扭轉(zhuǎn)或彎曲時(shí)表示力偶矩； 與廣義外力與廣義外力F相對應(yīng)的廣義位移相對應(yīng)的廣義位移.拉壓時(shí)表示軸向線位移拉壓時(shí)表示軸向線位移l、扭轉(zhuǎn)或、扭轉(zhuǎn)或彎曲時(shí)代表角位移彎曲時(shí)代表角位移.OA【例【例13-1】軸線為半圓的平面線彈性曲桿在】軸線為半圓的平面線彈性曲桿在A端受垂端受垂直于軸線所在平面的集中力直于軸線所在平面的集中力F作用作用.求求A端垂直位移端垂直位移.R m【解】【解】1）求）求 截面的彎矩截面的

7、彎矩M( )和扭矩和扭矩T( )sin)(RFM)cos1 ()(RFTd n3）求）求A端垂直位移端垂直位移 A022)(EIRdMV022)(IGRdTP2）求整個(gè)桿的應(yīng)變能）求整個(gè)桿的應(yīng)變能VVWIGRFEIRFP4343232IGRFEIRFFPA43423232IGRFEIRFPA23233F【例【例13-2】試導(dǎo)出線彈性梁剪切彎】試導(dǎo)出線彈性梁剪切彎曲時(shí)的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能曲時(shí)的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能.dxy xyhbOzy【解】【解】1）x截面上距中性軸為截面上距中性軸為y處的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為處的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為IyxMyx)(),(IbySxFyxzS)()(),(

8、*2）與正應(yīng)力和剪應(yīng)力對應(yīng)）與正應(yīng)力和剪應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變能密度分別為的應(yīng)變能密度分別為Eyxv2),(21Gyxv2),(22IEyxM2222)(bIGySxFzS22*222)( )(3）體積為）體積為dV=dAdx的的單元體與正應(yīng)力和剪應(yīng)單元體與正應(yīng)力和剪應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變能分別為力對應(yīng)的應(yīng)變能分別為dAdxIEyxMdVv22212)(dAdxbIGySxFdVvzS22*2222)( )(dA4）梁的彎曲應(yīng)變能）梁的彎曲應(yīng)變能VdVvV11VdAdxIEyxM2222)( lAdxdAIEyxM2)(222lAdxdAyIExM)(2)(222ldxEIxM2)(2VdVvV22VzSdA

9、dxbIGySxF22*222)( )( lAzSdxdAbIGySxF2)( )(22*22a）正應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變能）正應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變能b）剪應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變能）剪應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變能c）彎曲應(yīng)變能）彎曲應(yīng)變能VVV21lSldxGAxFkdxEIxM2)(2)(22k是一個(gè)無量綱量，只與截是一個(gè)無量綱量，只與截面形狀有關(guān)面形狀有關(guān).對矩形截面對矩形截面k=1.2，圓形截面，圓形截面k=10/9，薄壁圓管薄壁圓管k=2.AzdAbySIAk2*22)(令令lSdxGAxFkV2)(22則則【例【例13-3】以圖示線彈性矩形截面簡支】以圖示線彈性矩形截面簡支梁為例，比較彎曲和剪切兩種應(yīng)變能梁為例，比較

10、彎曲和剪切兩種應(yīng)變能.xl/2l/2F【解】【解】1）梁的彎曲應(yīng)變能）梁的彎曲應(yīng)變能V120212)(2ldxEIxMV202222ldxEIFxEIlF96322）梁的剪切應(yīng)變能）梁的剪切應(yīng)變能V220222)(2ldxGAxQkV202222ldxGAFkGAlFk823）梁的總應(yīng)變能）梁的總應(yīng)變能VVVV21GAlFkEIlF8962324）兩種應(yīng)變能之比）兩種應(yīng)變能之比lGAEIkVV21112lGAEI2122 . 1lh22)1 (4 . 2顯然只有短梁才考慮剪顯然只有短梁才考慮剪切應(yīng)變能，對長梁則不切應(yīng)變能，對長梁則不用考慮用考慮.非線彈性固體廣義位移與廣義力的關(guān)系不是線性的，非

11、線彈性固體廣義位移與廣義力的關(guān)系不是線性的，雖然應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于廣義外力所作的功，但其雖然應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于廣義外力所作的功，但其應(yīng)變能和應(yīng)變能密度均與線彈性情況不一樣應(yīng)變能和應(yīng)變能密度均與線彈性情況不一樣.O FN ddFN 110dFVN10dvO dd 13F3F11F2 2w設(shè)設(shè)Fi按相同比例從零逐漸增加到最終值，則按相同比例從零逐漸增加到最終值，則Fi的中間的中間值可表示為值可表示為 Fi，其中，其中00，1 1 ；w在小變形情況下，設(shè)線彈性固體在廣義力在小變形情況下，設(shè)線彈性固體在廣義力Fi作用下在作用下在其作用點(diǎn)引起相應(yīng)的廣義位移為其作用點(diǎn)引起相應(yīng)的廣義位移為 i，其中，其

12、中i=1,2,n ；w與與 Fi對應(yīng)的廣義位移可表示為對應(yīng)的廣義位移可表示為 i；w Fi對線彈性固體作的元功對線彈性固體作的元功dWi為為)(iiidFWdwFi對線彈性固體作的功對線彈性固體作的功Wi為為10dFWiiidFii10dFii2iiFFiiw所有廣義外力作的功所有廣義外力作的功W為線彈性固體的應(yīng)變能為線彈性固體的應(yīng)變能VWVniiW1niiiF12克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理：線彈性固體的應(yīng)變能等于每一個(gè)：線彈性固體的應(yīng)變能等于每一個(gè)廣義外力與其相應(yīng)的廣義位移乘積的一半的總和廣義外力與其相應(yīng)的廣義位移乘積的一半的總和.對線彈性固體，因廣義位移與廣義外力成線性關(guān)對線彈性固體，因

13、廣義位移與廣義外力成線性關(guān)系，故若將上述公式中的廣義位移用廣義外力代系，故若將上述公式中的廣義位移用廣義外力代替，則應(yīng)變能為廣義外力的二次齊次函數(shù)；替，則應(yīng)變能為廣義外力的二次齊次函數(shù)；若用廣義位移代替廣義外力，則應(yīng)變能為廣義位若用廣義位移代替廣義外力，則應(yīng)變能為廣義位移的二次齊次函數(shù)移的二次齊次函數(shù).w設(shè)長為設(shè)長為dx的微段圓軸的微段圓軸x截面積為截面積為A(x),極慣性矩為極慣性矩為IP(x),慣性慣性矩為矩為I (x),該微段沿軸向伸縮量為該微段沿軸向伸縮量為d(l(x),兩截面相對扭轉(zhuǎn)角兩截面相對扭轉(zhuǎn)角為為d (x),相對彎曲轉(zhuǎn)角為相對彎曲轉(zhuǎn)角為d (x)wdx微段應(yīng)變能微段應(yīng)變能2)

14、()()(xldxFxVdN2)()(xdxT2)()(xdxM)(2)(2xEAdxxFN)(2)(2xIGdxxTP)(2)(2xEIdxxMw整個(gè)圓軸應(yīng)變能整個(gè)圓軸應(yīng)變能VlxVdV)(lNxEAdxxF)(2)(2lPxIGdxxT)(2)(2lxEIdxxM)(2)(2dxM(x)M(x)FN(x)FN(x)T(xT(x)F1 1 1F2 2 2 1 1 2 2F3 3 3F4 4 4w在線彈性結(jié)構(gòu)上先施加第一組廣義外力在線彈性結(jié)構(gòu)上先施加第一組廣義外力F1和和F2 ,設(shè)在設(shè)在F1和和F2作用點(diǎn)引起的相應(yīng)廣義位移為作用點(diǎn)引起的相應(yīng)廣義位移為 1和和 2 ;w再在該結(jié)構(gòu)上施加第二組廣義

15、外力再在該結(jié)構(gòu)上施加第二組廣義外力F3和和 F4 ,設(shè)在設(shè)在F3和和F4作用點(diǎn)引起的相應(yīng)廣義位移為作用點(diǎn)引起的相應(yīng)廣義位移為 3和和 4 ;w當(dāng)施加第二組廣義外力當(dāng)施加第二組廣義外力F3和和 F4 時(shí)時(shí),設(shè)在第一組廣義外力設(shè)在第一組廣義外力F1和和F2作用點(diǎn)作用點(diǎn)引起的相應(yīng)廣義位移為引起的相應(yīng)廣義位移為 1和和 2 ,顯顯然該過程中然該過程中F1和和 F2保持不變保持不變 ;w該結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能該結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能V1為為2222111FFV224433FF2211FF44332211443322222FFFFFFVw因應(yīng)變能與外力作功秩序無關(guān)，故由因應(yīng)變能與外力作功秩序無關(guān)，故由V1= V2得得443

16、32211FFFFw同理同理,若先施加第二組廣義外力若先施加第二組廣義外力F3和和 F4，再施加第，再施加第一組廣義外力一組廣義外力F1和和F2 ，線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能V2為為功的互等定理：功的互等定理：第一組廣義外力在第二組廣義外第一組廣義外力在第二組廣義外力引起的廣義位移上所作的功力引起的廣義位移上所作的功,等于第二組廣義外等于第二組廣義外力在第一組廣義外力引起的廣義位移上所作的功力在第一組廣義外力引起的廣義位移上所作的功.注意：注意：兩組廣義外力間的個(gè)數(shù)不但可以互不相等，兩組廣義外力間的個(gè)數(shù)不但可以互不相等，而且每組廣義外力的個(gè)數(shù)可以是任意的而且每組廣義外力的個(gè)數(shù)可以是

17、任意的.w若在公式中令若在公式中令F1= F3 , F2= F4 =0,則則 1 = 3 .位移互等定理：位移互等定理：廣義外力在第一點(diǎn)作用導(dǎo)致廣義外力在第一點(diǎn)作用導(dǎo)致第二點(diǎn)發(fā)生的廣義位移第二點(diǎn)發(fā)生的廣義位移,等于它在第二點(diǎn)作用等于它在第二點(diǎn)作用導(dǎo)致第一點(diǎn)發(fā)生的廣義位移導(dǎo)致第一點(diǎn)發(fā)生的廣義位移.BAF A BF A=BBA【例【例13-4】由功的互等定理求圖示超靜定梁】由功的互等定理求圖示超靜定梁B端約束反力端約束反力.RBABalFCRC【解】【解】1）解除）解除B端約束，視端約束，視F、RB為第一組力為第一組力B2）假設(shè)在該懸臂梁）假設(shè)在該懸臂梁B端作用有力端作用有力R為第為第二組力二組力

18、3）在第一組力作用下懸臂梁）在第一組力作用下懸臂梁B端位移為端位移為零，此時(shí)第二組力在該位移下作功為零零，此時(shí)第二組力在該位移下作功為零4）在第二組力作用下，懸臂梁在）在第二組力作用下，懸臂梁在C、B截面的位移分別為截面的位移分別為)3(62alEIaRCEIlRB33此時(shí)第一組力在該組位移下作功為此時(shí)第一組力在該組位移下作功為EIlRRalEIaFRB3)3(6325）由功的互等定理得）由功的互等定理得03)3(632EIlRRalEIaFRB)3(232allaFRBACBw設(shè)設(shè)Fi為作用在線彈性結(jié)構(gòu)上的廣義外力，為作用在線彈性結(jié)構(gòu)上的廣義外力， i為在為在Fi作用點(diǎn)與作用點(diǎn)與Fi相對應(yīng)的

19、廣義位移，相對應(yīng)的廣義位移，i=1,2,n；w線彈性結(jié)構(gòu)因外力作功而儲存應(yīng)變能，它應(yīng)為線彈性結(jié)構(gòu)因外力作功而儲存應(yīng)變能，它應(yīng)為F1, F2,Fi , Fn的函數(shù)，即的函數(shù)，即V= V(F1, F2,Fi , Fn)；w當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)趇個(gè)外力個(gè)外力Fi有微小增量有微小增量dFi時(shí)，時(shí)，因因dFi引起的應(yīng)變能增量引起的應(yīng)變能增量dV為為FdFVVdiiw此時(shí)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為此時(shí)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為VdVFdFVViiw若先施加若先施加dFi，設(shè)與，設(shè)與dFi對應(yīng)的廣義位移為對應(yīng)的廣義位移為d i，再施加再施加F1, F2,Fi , Fn ，此時(shí)應(yīng)變能為，此時(shí)應(yīng)變能為2iidFdVFdiiw因應(yīng)變能與外力作功秩序

20、無關(guān)，故因應(yīng)變能與外力作功秩序無關(guān)，故FdFVViiFdVdFdiiii2忽略二階微量并整理得忽略二階微量并整理得FVii卡氏卡氏(第二第二)定理定理:若將線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能若將線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能V表示為廣表示為廣義外力義外力F1, F2,Fi , Fn的函數(shù)的函數(shù),則則V對任意廣義外力對任意廣義外力Fi的偏導(dǎo)數(shù)等于在的偏導(dǎo)數(shù)等于在Fi作用點(diǎn)與作用點(diǎn)與Fi相對應(yīng)的廣義位移相對應(yīng)的廣義位移 i.注意注意：該定理僅適用于：該定理僅適用于線彈性結(jié)構(gòu)線彈性結(jié)構(gòu) .w剪切彎曲剪切彎曲FViiliEIdxxMF2)(2dxFxMEIxMli)()(wm根桿構(gòu)成的靜定桁架結(jié)構(gòu)根桿構(gòu)成的靜定桁架結(jié)構(gòu)FViim

21、jjjjNjiAElFF122mjiNjjjjNjFFAElF1橫截面高度遠(yuǎn)小于軸線半徑的平面曲桿受彎時(shí)也可仿橫截面高度遠(yuǎn)小于軸線半徑的平面曲桿受彎時(shí)也可仿照該直梁公式計(jì)算廣義位移照該直梁公式計(jì)算廣義位移.實(shí)際應(yīng)用卡氏定理求解結(jié)構(gòu)位移時(shí)，為減少計(jì)算量，實(shí)際應(yīng)用卡氏定理求解結(jié)構(gòu)位移時(shí)，為減少計(jì)算量，通常是先求偏導(dǎo)數(shù)再求積分或求和通常是先求偏導(dǎo)數(shù)再求積分或求和.【例【例13-5】圖示外伸梁抗彎剛度】圖示外伸梁抗彎剛度為為EI，求，求C端撓度和端撓度和A端轉(zhuǎn)角端轉(zhuǎn)角.x1lFaABCMeA【解】【解】1）求支座約束反力）求支座約束反力x2RA0)(FalRMmAeAiBFlFaMReAA2）分段寫梁

22、的彎矩方程）分段寫梁的彎矩方程AB段：段：MxRxMeAA11)(MlxFaMeAeA1)(BC段：段：xFxM22)(3）求）求C端撓度端撓度lCdxFxMEIxM)()(xdlxaEIMlxFaMleAeA1101)(xdxEIxFa2202)(363132aFlaMaFlEIeA4）求）求A端轉(zhuǎn)角端轉(zhuǎn)角leAAdxMxMEIxM)()(leAeAxdlxEIMlxFaM01111)(631FlalMEIeA用卡氏定理求結(jié)構(gòu)某處的廣義位移時(shí)，要求該處有與所用卡氏定理求結(jié)構(gòu)某處的廣義位移時(shí)，要求該處有與所求位移相對應(yīng)的載荷求位移相對應(yīng)的載荷.否則，不能直接用卡氏定理求解否則，不能直接用卡氏定

23、理求解.若欲求結(jié)構(gòu)某處的廣義位移，但該處并沒有與之對應(yīng)的若欲求結(jié)構(gòu)某處的廣義位移，但該處并沒有與之對應(yīng)的載荷，則采用載荷，則采用附加載荷法附加載荷法.即先在該處人為地附加一個(gè)與即先在該處人為地附加一個(gè)與所求位移相對應(yīng)的載荷，用卡氏定理求出該處的廣義位所求位移相對應(yīng)的載荷，用卡氏定理求出該處的廣義位移后移后,再在該位移表達(dá)式中令附加的載荷值為零即可再在該位移表達(dá)式中令附加的載荷值為零即可.【例【例13-6】圖示剛架的抗彎剛度為】圖示剛架的抗彎剛度為EI，在截面，在截面B上作用一對矩為上作用一對矩為MeB的力偶的力偶.不計(jì)軸力和剪力，求截面不計(jì)軸力和剪力，求截面C的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 C及點(diǎn)及點(diǎn)D的水平位

24、移的水平位移 D DxABCDMeB2aaaMeCFDyFDxFAyFAx【解】【解】1）分別在）分別在C截面附加力偶矩截面附加力偶矩MeC，在點(diǎn)，在點(diǎn)D附加水平外力附加水平外力FDx2）求）求A、D處的約束反力處的約束反力3）求剛架的彎矩方程）求剛架的彎矩方程022)(00MMFaFamFFFFFFeCeBDxDyiADyAyiyDxAxixFaMMFFaMMFFFFeCeBDxDyeCeBDxAyDxAx22x2AB段：段：xFxMAx11)(xFDx1視線視線視視線線BC段：段：MxFxMeBAx11)(MxFeBDx1CD段：段：xFxMDy22)(xaMMFeCeBDx224）求）求

25、C截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角leCCdxMxMEIxM)()(aeCxdMxMEIxM0111)()(aaeCxdMxMEIxM2111)()(aeCxdMxMEIxM20222)()(aeCeBDxxdaxEIxaMMF2022222在上式中令在上式中令FDx=0、MeC=0得得EIMaeBC32ABCDMeB2aaaMeCFDyFDxFAyFAxx15）求）求D點(diǎn)的水平位移點(diǎn)的水平位移lDxDxdxFxMEIxM)()(aDxxdFxMEIxM0111)()(aaDxxdFxMEIxM2111)()(aDxxdFxMEIxM20222)()(aeCeBDxxdxEIxaMMF202222在上式中

26、令在上式中令FDx=0、MeC=0得得EIMaeBDx6172aDxxdxEIxF0111aaeBDxxdxEIMxF2111在求在求C截面的轉(zhuǎn)角時(shí)，可在彎矩方程中直接令截面的轉(zhuǎn)角時(shí)，可在彎矩方程中直接令FDx=0，在，在積分前令積分前令MeC=0；在求；在求D點(diǎn)的水平位移時(shí)，在彎矩方程中點(diǎn)的水平位移時(shí)，在彎矩方程中直接令直接令MeC=0，在積分前令，在積分前令FDx=0 .【例【例13-7】圖示軸線為四分之一圓周】圖示軸線為四分之一圓周的平面曲桿的抗彎剛度為的平面曲桿的抗彎剛度為EI，A端固端固定，定，B端作用有力端作用有力F.不計(jì)軸力和剪力影不計(jì)軸力和剪力影響，求響，求B端水平位移端水平位

27、移 B Bx和鉛垂位移和鉛垂位移 B By. coscos)(RFM【解】【解】 1）求）求 截面的彎矩截面的彎矩2）求）求B端水平端水平位移位移 B BxlBxdsFMEIM)sin()()(20)sin1 ()sin1 (sincoscosRdREIRFRFABRFsin)83(cos243EIRF3）求）求B端鉛垂端鉛垂位移位移 B BylBydsFMEIM)cos()()(20)cos()sin1 (sincoscosRdREIRFRF)sin2cos(43EIRF)sin1 (sinRF【例【例13-8】求圖示超靜定梁】求圖示超靜定梁C點(diǎn)處的約束反力點(diǎn)處的約束反力.RCMeA2aaa

28、aCEBDyxP【解】【解】1）用）用RC 表示表示A、E處約束反力處約束反力RA 、 RE052)(RaMRaaPmEeCiAF0345)(MaRaPaRmeCAiEFaMRaaPReCE52aMaRaPReCA5342）寫彎矩方程）寫彎矩方程AB段：段：xaMaRaPxRxMeCA534)(BC段：段：)(534)()(axPxaMaRaPaxPxRxMeCACD段：段：MxaaMRaaPMxaRxMeeCeE)5(52)5()(DE段：段：)5(52)5()(xaaMRaaPxaRxMeCE3）求）求C點(diǎn)撓度并令其為零點(diǎn)撓度并令其為零0)()(lCCdxRxMEIxMaMPReC285R

29、ARE123456789ABCDEFFaaa【例【例13-9】圖示桁架結(jié)構(gòu)各桿】圖示桁架結(jié)構(gòu)各桿的彈性模量均為的彈性模量均為EA，求，求A點(diǎn)的點(diǎn)的水平位移水平位移x和鉛垂位移和鉛垂位移y .P【解】在【解】在A點(diǎn)附加載荷點(diǎn)附加載荷P，用卡，用卡氏定理求出該處的廣義位移后氏定理求出該處的廣義位移后,再令再令P=0即可即可F2F2FNjlFjNjFFNjPFNj22123456789ABCDEFFaaaPF2F2FNjlFjNjFFNjPFNj2291jNjjjjNjxFFAElF91jNjjjjNjyPFAElFEAPaFa)248(EAFax)248( EAFaPa 2EAFay令令P=0，得

30、，得在滿足約束條件下，構(gòu)件因廣義外在滿足約束條件下，構(gòu)件因廣義外力本身作用而引起的實(shí)際廣義位移力本身作用而引起的實(shí)際廣義位移.虛位移是在平衡位置上再增加的位移，在虛位移發(fā)生過虛位移是在平衡位置上再增加的位移，在虛位移發(fā)生過程中構(gòu)件原有廣義外力和廣義內(nèi)力始終保持不變且平衡程中構(gòu)件原有廣義外力和廣義內(nèi)力始終保持不變且平衡.虛位移應(yīng)滿足邊界條件、連續(xù)條件和小變形要求虛位移應(yīng)滿足邊界條件、連續(xù)條件和小變形要求.在滿足約束條件下，由構(gòu)件廣義外力以外的其他因素如在滿足約束條件下，由構(gòu)件廣義外力以外的其他因素如溫度變化及另附加的廣義外力等引起的溫度變化及另附加的廣義外力等引起的(可能或?qū)嶋H發(fā)生可能或?qū)嶋H發(fā)生

31、的的)廣義位移稱為廣義位移稱為( (該廣義外力的該廣義外力的) )虛位移虛位移.FP F的實(shí)位移的實(shí)位移F的虛位移的虛位移在滿足約束條件下，構(gòu)件因廣義內(nèi)力以外的其他因在滿足約束條件下，構(gòu)件因廣義內(nèi)力以外的其他因素如溫度變化及另附加的廣義內(nèi)力等引起的可能或素如溫度變化及另附加的廣義內(nèi)力等引起的可能或?qū)嶋H發(fā)生的變形稱為實(shí)際發(fā)生的變形稱為( (該廣義內(nèi)力的該廣義內(nèi)力的) )虛變形虛變形.廣義外力在廣義虛位移上所作的功稱為廣義外力在廣義虛位移上所作的功稱為(該廣義外力該廣義外力的的)外虛功外虛功，廣義內(nèi)力在廣義虛變形上所作的功稱為，廣義內(nèi)力在廣義虛變形上所作的功稱為(該廣義內(nèi)力的該廣義內(nèi)力的)內(nèi)虛功內(nèi)

32、虛功.廣義外力廣義外力(廣義內(nèi)力廣義內(nèi)力)與相應(yīng)的廣義虛位移與相應(yīng)的廣義虛位移(廣義虛變廣義虛變形形)同向時(shí)，虛功為正，反之為負(fù)同向時(shí)，虛功為正，反之為負(fù).廣義外力在自身引起的廣義實(shí)位移上所作的功廣義外力在自身引起的廣義實(shí)位移上所作的功.在滿足約束條件下，構(gòu)件因廣義內(nèi)力本身作用而引在滿足約束條件下，構(gòu)件因廣義內(nèi)力本身作用而引起的實(shí)際廣義變形起的實(shí)際廣義變形.其中：其中： i*與廣義外力與廣義外力Fi相對應(yīng)的虛位移；相對應(yīng)的虛位移； d(l)*、d *、d *、d *與廣義內(nèi)力相對應(yīng)的虛變形與廣義內(nèi)力相對應(yīng)的虛變形.虛功原理適用于所有結(jié)構(gòu)，不管材料是線彈性的或非線彈虛功原理適用于所有結(jié)構(gòu)，不管材

33、料是線彈性的或非線彈性的，也不管材料是彈性的或塑性的性的，也不管材料是彈性的或塑性的.廣義外力在其虛位移上所作的外虛功之代數(shù)和，等于廣義廣義外力在其虛位移上所作的外虛功之代數(shù)和，等于廣義內(nèi)力在相應(yīng)的虛變形上所作的內(nèi)虛功之代數(shù)和內(nèi)力在相應(yīng)的虛變形上所作的內(nèi)虛功之代數(shù)和.lllSlNiidxMdxTdxFldxFF*)()()()()(利用虛功原理可得到計(jì)算結(jié)構(gòu)一點(diǎn)位移的利用虛功原理可得到計(jì)算結(jié)構(gòu)一點(diǎn)位移的單位載荷法單位載荷法公式公式.因只要滿足結(jié)構(gòu)邊界條件、連續(xù)條件和小變形要求的微小因只要滿足結(jié)構(gòu)邊界條件、連續(xù)條件和小變形要求的微小位移均可作為結(jié)構(gòu)的虛位移，故可將廣義外力引起的實(shí)際位移均可作為結(jié)

34、構(gòu)的虛位移，故可將廣義外力引起的實(shí)際位移作為虛位移，將結(jié)構(gòu)各微段兩端橫截面間的實(shí)際變形位移作為虛位移，將結(jié)構(gòu)各微段兩端橫截面間的實(shí)際變形作為虛變形作為虛變形.欲求結(jié)構(gòu)某點(diǎn)的廣義實(shí)位移欲求結(jié)構(gòu)某點(diǎn)的廣義實(shí)位移，則視，則視為虛位移為虛位移，視相應(yīng)的，視相應(yīng)的實(shí)變形實(shí)變形d(l) 、d、d 、d為虛變形為虛變形.lllSlNdxMdxTdxFldxF)()()()()(1)()()()(xMxTxFxFSN、假設(shè)在該點(diǎn)施加一個(gè)與假設(shè)在該點(diǎn)施加一個(gè)與相對應(yīng)的相對應(yīng)的單位單位廣義外力，則廣義外力，則由該力引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)力由該力引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)力 可由平衡方程求出，則結(jié)構(gòu)虛功滿足：可由平衡方程求出，則結(jié)構(gòu)虛功滿

35、足：該公式是基于四種內(nèi)力均存在且均需要考慮時(shí)的組合變形該公式是基于四種內(nèi)力均存在且均需要考慮時(shí)的組合變形情形而建立的情形而建立的. .對于一個(gè)實(shí)際結(jié)構(gòu)，這四種內(nèi)力不一定需對于一個(gè)實(shí)際結(jié)構(gòu)，這四種內(nèi)力不一定需要全部考慮，故公式右邊某些項(xiàng)不一定均有要全部考慮，故公式右邊某些項(xiàng)不一定均有對有對有m根桿的桿系如桁架結(jié)構(gòu)，根桿的桿系如桁架結(jié)構(gòu)，mjjNjlF11此即為計(jì)算結(jié)構(gòu)某點(diǎn)廣義位移此即為計(jì)算結(jié)構(gòu)某點(diǎn)廣義位移的公式的公式. .【例【例13-10】力】力F作用于簡支梁跨度中點(diǎn)作用于簡支梁跨度中點(diǎn).材料的應(yīng)力材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為應(yīng)變關(guān)系為 ，式中，式中C為常數(shù)，為常數(shù)，和和 皆取絕皆取絕對值對值.求該梁

36、中點(diǎn)的垂直位移求該梁中點(diǎn)的垂直位移D .Cl/2l/2FADBD【解】【解】1）求）求d因距梁中性層為因距梁中性層為y處的線應(yīng)變?yōu)樘幍木€應(yīng)變?yōu)閥故正應(yīng)力為故正應(yīng)力為yCCx截面上的彎矩為截面上的彎矩為AAAdAyCdAyCydAyxM23)(令令A(yù)dAyI23*則則)()(1*22ICxM因因dxd1且且2)(FxxM故故dxd1)()(*22ICdxxM)(4*222ICdxxF2)(xxM在在M (x)中令中令F=1得假設(shè)在得假設(shè)在D點(diǎn)點(diǎn)施加一單位力時(shí)引起的彎矩施加一單位力時(shí)引起的彎矩3）求）求DlDdxM)(20*222)(422ldxICxFx20*232)(4ldxICxF)(256

37、*242IClF2）求）求)(xM【例【例13-11】圖示簡單桁架結(jié)構(gòu)中兩桿的橫截面面積均為】圖示簡單桁架結(jié)構(gòu)中兩桿的橫截面面積均為A，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系同【例材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系同【例13-10】所述】所述.求節(jié)點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)B的垂直的垂直位移位移V.FABCl【解】【解】1）求兩桿的變形）求兩桿的變形FFNBCFNAB0sin0cosFFFFFFNBCiyNBCNABixsincotFFFFNBCNABsincotAFAFBCAB)sin()()cot(22222222ACFCACFCBCBCABABcos)sin()()cot(2222AClFllAClFllBCBCBCABABAB2）在）在F

38、NAB, FNBC中令中令F=1得假設(shè)在得假設(shè)在節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)B 施加單位外力時(shí)引起的軸力施加單位外力時(shí)引起的軸力3）求）求VlFlFBCNBCABNABV2sinsin)() 1cos(22242AClFcotFNABsin1FNBC若材料是若材料是線彈性線彈性的，則構(gòu)件的微小拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲變形：的，則構(gòu)件的微小拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲變形：)()()(xEAdxxFldN)()(xIGdxxTdP)()(xEIdxxMd由單位載荷法：由單位載荷法：llPlNNxEIdxxMxMxIGdxxTxTxEAdxxFxF)()()()()()()()()(對非圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)，對非圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)，IP應(yīng)改為

39、應(yīng)改為It.上式稱為上式稱為莫爾定理莫爾定理，其中的積分稱為，其中的積分稱為莫爾積分莫爾積分.w1. 對有對有m根桿的桿系如桁架結(jié)構(gòu)，根桿的桿系如桁架結(jié)構(gòu)， mjjjNjjNjAElFF1x1【例【例13-12】圖示線彈性剛架抗彎剛】圖示線彈性剛架抗彎剛度為度為EI，不計(jì)軸力和剪力影響，求其，不計(jì)軸力和剪力影響，求其A端的垂直位移端的垂直位移 y和截面和截面B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角B.x2【解】【解】1）求垂直位移）求垂直位移 yalACB1AB段：段：xFxM11)(BC段：段：FaxM)(2令令F=1得在得在A端假設(shè)施加端假設(shè)施加單位力時(shí)引起的彎矩：單位力時(shí)引起的彎矩：xxM11)(axM)(2ay

40、EIxdxMxM0111)()(laEIxdaFEIxdxF0220121EIlaFaF3323AB段：段：BC段：段：lEIxdxMxM0222)()(2）求轉(zhuǎn)角）求轉(zhuǎn)角B求在截面求在截面B假設(shè)施加一單位假設(shè)施加一單位力偶矩引起的彎矩方程力偶矩引起的彎矩方程AB段：段：0)(1xM BC段：段：1)(2xMlBEIxdxMxM0222)()(lEIxFad02EIFalF123456789ABCDEFFaaa【例【例13-13】圖示線彈性桁架】圖示線彈性桁架結(jié)構(gòu)各桿的彈性模量均為結(jié)構(gòu)各桿的彈性模量均為EA，求求A、C點(diǎn)的相對位移點(diǎn)的相對位移AC .【解】【解】 A、C點(diǎn)之間施加一對單點(diǎn)之間施

41、加一對單位平衡力后用單位載荷法即可位平衡力后用單位載荷法即可11F2F2a2a291jjjjNjNjACAElFFF123456789ABCDEFaaaFNjljFNjEAFa)232( 21212121 AORF【例【例13-14】不計(jì)軸力和剪力影響，求圖】不計(jì)軸力和剪力影響，求圖示活塞環(huán)在力示活塞環(huán)在力F作用下切口的張開量作用下切口的張開量 AB.ROABFF dd【解】【解】1）求活塞環(huán)的彎矩方程）求活塞環(huán)的彎矩方程)cos1 ()(FRM在上式中令在上式中令F=1得假設(shè)在得假設(shè)在A端施端施加一單位力時(shí)引起的彎矩方程加一單位力時(shí)引起的彎矩方程)cos1 ()(RM2）求切口的張開量）求切

42、口的張開量 ABlABEIdsMM)()(0)cos1 ()cos1 (2EIRdFRREIFR330)()(2EIRdMMds=Rd R R 1R 【例【例13-15】不計(jì)剪力】不計(jì)剪力,求圖示在鉛垂面上的半圓形平面求圖示在鉛垂面上的半圓形平面曲桿在自重作用下任意截面的曲桿在自重作用下任意截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角, ,水平位移水平位移,鉛垂位移鉛垂位移. .q【解】【解】 1）由）由【例【例4-16】知其內(nèi)力為知其內(nèi)力為)sincos()(2RqMcos)cos()(qRqRFN)(M2 2）由單位載荷法求轉(zhuǎn)角）由單位載荷法求轉(zhuǎn)角在在截面施加單位力偶矩截面施加單位力偶矩EIRdMM)()()(1EIR

43、dRq)cos(sin2EIRq)sincos22(3), 0(1)(M,R R 11)(FN)(FSEIRdMMEARdFFNN)()()()()(2)sin(sin)(RM3 3）由單位載荷法求水平位移）由單位載荷法求水平位移在在截面施加水平單位力截面施加水平單位力sin)(FNEIRdRqREARdqR)sincos()sin(sincossin2)sin42cos34(4)22sin2cos2(842EIRqEARqEIRdMMEARdFFNN)()()()()(3EIRdRqREARdqR)sincos()cos(coscoscos2R)cos(cos)cos(cos)(RRRM4

44、4）由單位載荷法求鉛垂位移）由單位載荷法求鉛垂位移在在截面施加鉛垂單位力截面施加鉛垂單位力cos)cos()(FN1)(FN)(FS1)sin32sin3(4)sin42sin(422242222EIRqEARq【例【例13-1613-16】軸線為半圓的線彈性平面曲桿的一端水】軸線為半圓的線彈性平面曲桿的一端水平夾持平夾持, ,另一端自由另一端自由, ,設(shè)自重載荷集度為設(shè)自重載荷集度為q. . 不計(jì)剪力不計(jì)剪力, ,求任意截面的鉛垂位移求任意截面的鉛垂位移, ,扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角和彎曲轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角和彎曲轉(zhuǎn)角. .【解】【解】1 1）由）由【4-174-17】知扭矩知扭矩T T( ( ) )和彎矩和彎矩MM( ( ) )2sin2)(22RqM)sin()(2RqTOARq n)(T)(MR R PEIRdMMIGRdTT)()()()()(1)sin()(RM)cos(1 )(RT2）由單位載荷法求）由單位載荷法求截面鉛垂