專題數(shù)列推理與證明等差數(shù)列等比數(shù)列

1、專題三數(shù)列、推理與證明第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1. (2012 浙江)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S2= 3a2+ 2,S4= 3a4+ 2，貝U q =.解析 利用等比數(shù)列的通項公式及前 n項和公式求解.解法一 S4= S2 + a3 + a4= 3a2 + 2 + a3 + a4= 3a4 + 2,2將 a3 = a2q, a4= a2q 代入得，2 2 23a2 + 2 + a2q + a2q = 3a2q + 2,化簡得 2q q 3= 0,3解得q=2(q= i不合題意，舍去).解法二 設(shè)等比數(shù)列an的首項為ai，由= 3a2 +

2、2,得ai(1 + q) = 3aiq+ 2.由 S4 = 3a4 + 2,得 a1(1 + q)(1 + q2)= 3ag3+ 2.2 2由一得 a1q (1 + q)= 3ag(q 1).3q> 0,7 = .答案32. (2012 課標(biāo)全國卷)已知an為等比數(shù)列，a4+ a7 = 2, a5a6= 8,貝U a1 + a10A. 7 B . 5 C. 5 D . 7解析 解法一 利用等比數(shù)列的通項公式求解.36 小a4+ a7= a1q + a1q = 2,由題意得452 9a5a6 = a1q xaq = aq = 8,-2,12'.ai = 8,9a4 + az 2，a

3、4 2，a4 4，由解得或a5a6 a4az 8，a7 4a7 2解法二 利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.'3或q1ai2,12'a1 = 8,.a + aio= ai(1 + q )= 7.9-a1 + a10 a1(1 + q ) 7.答案 D考題分析等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本性質(zhì)與運算是各地高考考查的熱點，突出了通性通法.三種題型都有可能出現(xiàn)，有較容易的低檔題，也有與其他知識交匯命題的壓 軸題.網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點突破考點一：等差、等比數(shù)列的基本運算【例1】（2012盤錦模擬）已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a1 +a2=2 右+a，盼a4=32 2+a.(1) 求數(shù)列an的

4、通項公式；設(shè)bn= a2 + log2an,求數(shù)列bn的前n項和Sn.審題導(dǎo)引(1)利用所給的條件式求出aa與q,可求an;(2) 把數(shù)列bn分解為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列，分組求和.門 1、ai + a2規(guī)范解答為+a2二2石+a；二2x応,11a3 + a4出+32 03+a；二 3賓號肓,數(shù)列an各項均為正數(shù)， aia2= 2, a3a4= 32,q； =書=16,.g 2,=a1a2=又 a192 = a1 aq= 2,a1= 1,an = a1qn-1 = 2-1.2n 1(2)°.bn= an+ Iog2an,bn= 4 - + (n- 1),0= b1 + b2 +

5、b3 + + bn0 1 2 n 1=(40 + 41 + 42+ 4n-1)+ (0+ 1+ 2+- + n- 1)4n- 1 n n- 1=丁 +【規(guī)律總結(jié)】方程思想在等差(比)數(shù)列的基本運算中的運用等差(比)數(shù)列的通項公式、求和公式中一共包含 a1> d(或 q)、n、an與Sn這五個 量，如果已知其中的三個，就可以求其余的兩個.其中 a1和d(或q)是兩個基本 量，所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算問題一般先設(shè)出這兩個基本量， 然后根 據(jù)通項公式、求和公式構(gòu)建這兩者的方程組，通過解方程組求其值，這也是方程 思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn).易錯提示等差(比)數(shù)列的基本運算中，容易出現(xiàn)的問題主

6、要有兩個方面：一是忽視題中的條件限制，如公差與公比的符號、大小等，導(dǎo)致增解；二是不能靈 活利用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù) 雜，增大運算量.【變式訓(xùn)練】1. (2012 安徽師大附中模擬)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a5二8, S3二6, 則s10 - s的值是A. 24B . 36C. 48D . 72解析S3= 3a2= 6，a2=2，又 a5= 8，3d= a5 a2=6，d = 2. Sio S ag+ a9 + ai0 3a9=3a5+ (9 5) d = 48.答案 C2. (2012青島模擬)設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，公比為q，前n

7、項和為Sn.若對？ n N +，有S2n<3Sn，則q的取值范圍是A. (0,1 B. (0,2) C. 1,2) D. (0，.2)解析當(dāng)q= 1時，顯然有S2n<3S, 當(dāng) qM 1 時，tS2n< 3Sn，ai(1 qn)即 ®n 3Sn=(qn 2)< 0.i q qn 2< 0恒成立,0< q< 1,故 qq0,1.答案 A考點二：等差、等比數(shù)列的判定與證明【例2】已知數(shù)列an的前n項和為S,且滿足：an 2SnS1 = 0(n2, n N+, SnM 0), ai = !，判斷 S 與an是否為等差數(shù)列，并說明你的理由.審題導(dǎo)引因

8、為已知關(guān)系式中包含an, Sn, Sn-1，所以應(yīng)根據(jù)an與Sn的關(guān)系式：an= s Sn- 1（ nA 2）將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于Sn與Sn- 1之間的關(guān)系，從而判 斷S |是否為等差數(shù)列，并求出Sn的表達式，然后求出數(shù)列an的通項公式，并 判斷其是否為等差數(shù)列.規(guī)范解答因為an= Sn-Sn-1(nA2)，所以由 an 2SnSn-1 = 0，可得 Sn-Sn- 1-2SnS-1 = O(nA2)，111所以 一疋=2(nA2)，又因為S1= a1 = ，Sn-1 $2所以S|是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.1 1所以2+ (n- 1)X 2= 2n，故 Sn=亦.1 1所以當(dāng) nA 2

9、時，an= Sn- Sn- 1=1 2n 2(n -1)12n n - 1 '1所以an+ 1=，2n(n+ 1 )an+1 an =2n(n+ 1)2n(n 1)1( 12n |n+ 11 、n- 1尸1n n- 1 n+1 '所以當(dāng)nA2時，an+1-an的值不是一個與n無關(guān)的常數(shù),故數(shù)列an不是一個等差數(shù)列.綜上，S是等差數(shù)列，an不是等差數(shù)列.【規(guī)律總結(jié)】判斷數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列的方法在判斷一個數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列時，應(yīng)該根據(jù)已知條件靈活選用不同的/方法，一般是先建立an+ 1與an的關(guān)系式或遞推關(guān)系式，表示出an + 1 - an或曲十1, an 然后驗證其是

10、否為一個與n無關(guān)的常數(shù)另外，常數(shù)列an的通項公式an= a, 它是一個首項ai = a,公差d = 0的等差數(shù)列，若a0,則該數(shù)列也是一個首項 ai = a,公比q= 1的等比數(shù)列.如果一個數(shù)列中包含有 0的項，那么這個數(shù)列一 定不是等比數(shù)列.【變式訓(xùn)練】3. (2012 西安模擬)已知數(shù)列an滿足：a產(chǎn)2, an+產(chǎn)2an+ 2.(1)求證：數(shù)列an+ 2是等比數(shù)列(要求指出首項與公比)；求數(shù)列an的前n項和Sn.解析 (1)證明由 an+1 = 2an+ 2,得 an+1 + 2 = 2an + 4,an+i + 2即 an+1 + 2 = 2(an+ 2),即卩=2( n6 +),an+

11、 2又由 a1 = 2 得 a1 + 2 = 4,所以數(shù)列an + 2是以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列.由(1)知 an+ 2 = 4 2n" 1 = 2n+1, 所以 an= 2+ 2,所以 Sn= 22 + 23+ 2n+1 2n22 1 2n2n = 2n+2 2n 4.1 2考點三：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列an，前20項和為100,則a7a14的最大值是A. 25B. 50 C. 100D .不存在(2)(2012 株洲模擬)設(shè)等比數(shù)列an各項均為正數(shù)，且a5a6+ a? = 18,則logs+ logsa2 + + logsa10=A

12、. 12B. 10C . 8D . 2+ logs5審題導(dǎo)引(1)求出a1 + a20,利用a1+ a20 = a?+ a14與基本不等式求解；利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)的運算法則解題.規(guī)范解答.an為等差數(shù)列，1°S2o= 2 20x (ai + a2o) = 100,'a7 + ai4= ai + a2o= 10.a7>0, ai4>0,°a7 ai4<二 25,a7 + ai4當(dāng)且僅當(dāng)a7 = ai4= 5時，等號成立.(2)'-a5a6 = a4 巧,a5a6+ a4a7 = i8,%= 9,log3ai + Iog3a2+ Iog

13、3aio= Iog3(aa2 aio)5=log3(a5a6) = 5log39= i0.答案(I)A (2)B【規(guī)律總結(jié)】等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1) 等差數(shù)列與等比數(shù)列有很多性質(zhì)很類似，但又有區(qū)別，學(xué)習(xí)時需對比記憶，靈活應(yīng)用.(2) 等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān)，解題需多注意觀察，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，加以應(yīng)用.(3) 應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)要注意結(jié)合其通項公式、前n項和公式.【變式訓(xùn)練】4. 設(shè)ap是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 ai+ a2 + a3= i5, aia2a3= 80,則aii + ai2+ ai3等于A. I20B. I05 C. 90D. 75解析設(shè)公差為d且

14、d>0,.a + a? + a§ = 15,-a? d + a?+ a? + d = 15, a? 5.又 a1a2a3= 80,d2 = 9.'d > 0,d= 3.則 a11+ a12 + a13 = 3a12= 3(a2+ 10d) = 105.答案 B名師押題咼考【押題11在等比數(shù)列an中，a1 = 8, a4= a3a5,貝U a7 =解析解法一設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.324'4 = a3a5, a1 = 8,8 q = 8 q 8 q ,即 q3=1，/q= 2,a7= a1q6 = 8 ? 6=解法二.a4= a3a5= a2, 且 a4工

15、0,.°a4= 1.2 1 又'-a4= a1a7, 即 卩 1 = 8a7,a7=答案 B押題依據(jù)本題可根據(jù)給出的條件利用等比數(shù)列的通項公式求解,等比數(shù)列的性質(zhì)求解，解題切口較寬，不僅考查數(shù)列的通性通法, 對能力的考查，符合高考的要求，故押此題.【押題 21 在數(shù)列an中，a1= 1, an +1 = 2& + 2n.(1) 設(shè)bn=證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列an的前n項和S.也可以利用同時也突出了解析(1)證明由已知an+1 = 2an+ 2“，得an + 1bn+ 1 =2an+2an2n-1=bn + 1.又 b1 = a1 = 1,因此bn是首項為1,公差為1的