平山中學(xué)趙連雙134課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

1、哈爾濱市阿城區(qū)平山中學(xué)電子教學(xué)設(shè)計 主設(shè)計者：趙連雙 集體備課者： 徐亞新 齊麗芹 原創(chuàng)設(shè)計時間： 2013-10-12 第十三章 軸對稱13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題【教學(xué)目標(biāo)】1.知識與能力： （1）能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題（2）能夠用軸對稱的知識解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題2.過程與方法：體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想3.情感、態(tài)度與價值觀： 培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和探究精神【教學(xué)重點】利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題 【教學(xué)難點】用軸對稱知識解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題【教學(xué)方法】創(chuàng)設(shè)情境主體探究合作交流應(yīng)用提高【教學(xué)過程】一、 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生興趣，

2、引出本節(jié)課要研究的內(nèi)容活動1 前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題” 二、觀察操作，主動探索，研究坐標(biāo)系內(nèi)的軸對稱活動2問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了

3、這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 教師追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線B¡¤¡¤Al 教師追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地到飲馬地點，再回到B 地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點設(shè)C 為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C 在

4、l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小（如圖） BAlC問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側(cè)，點C 是直線上的一個動點，當(dāng)點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小？教師追問1對于問題2，如何將點B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB的長度相等？ 追問2你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B嗎？ 作法：（1）作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B；（2）連接AB，與直線l 相交于點C則點C 即為所求 B¡¤lA¡¤BC問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？ 證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與

5、點C 不重合），連接AC，BC，BC由軸對稱的性質(zhì)知，BC =BC，BC=BCAC +BC= AC +BC = AB， AC+BC= AC+BCB¡¤lA¡¤BCC追問1證明AC +BC 最短時，為什么要在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），證明AC +BC AC+BC？這里的“C”的作用是什么？ 若直線l 上任意一點（與點C 不重合）與A，B 兩點的距離和都大于AC +BC，就說明AC +BC 最小 追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ 二、 應(yīng)用提高練習(xí)如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑ABCPQ山河岸大橋基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q 在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點R，使PR與QR 的和最小” 四、歸納小結(jié)五、作業(yè)：四、歸納小結(jié)、布置作業(yè)小結(jié)：（1）本