微積分初步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)

1、微積分初步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（四）導(dǎo)數(shù)與微分部分典型例題例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：（1）設(shè) y 二 x 2 dy 二 y dx 二(x 3 3x log3 x _3, 3，求 y .x_ 2設(shè)y=-32一，求dyVx25 si nx 亠 J、 設(shè)y，求y （匚）1 +cosx3分析 這三個(gè)函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的初等函數(shù)，求導(dǎo)或求微分時(shí)，需要用到導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則對(duì)于（1）先用導(dǎo)數(shù)的加法法則，再用導(dǎo)數(shù)基本公式；對(duì)于（2），可以先用導(dǎo)數(shù)除法法則，再用基本公式；但注意到（2）中函數(shù)的特點(diǎn),x _2-先將函數(shù)進(jìn)行整理，yx332一 x則可用導(dǎo)數(shù)的加法法則求導(dǎo)，得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后再

2、乘以dx，得到函數(shù)的微分；對(duì)于（3）用導(dǎo)數(shù)除法法則，再用基本公式解 y = (x3 3x log 3 x - 3 3)= (x3)(3x)(log3x) -(3 3)= 3x23xl n3 1-0x l n 3= 3x23xl n3 x l n 312, X 23 c W(2)因?yàn)?y - x3 2x 332x所以y1= (x3/-2(x 3)2一34x3因?yàn)閥二(sin x) (1 cosx)sin x(1 cosx)(1 cosx)2cosx(1 cosx) -sin x(-sinx)2(1 cosx)丄2丄2cosx cos x sin x2(1 cosx) 11 cosx所以y(-)

3、=1在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則應(yīng)注意: 在求導(dǎo)或求微分運(yùn)算中，一般是先用法則，再用基本公式;ip 把根式q xp寫成幕次xq的形式，這樣便于使用公式且減少出錯(cuò)； 解題時(shí)應(yīng)先觀察函數(shù)，看看能否對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形或化簡(jiǎn)，在運(yùn)算中盡可能的避免使1 2x 2x 2用導(dǎo)數(shù)的除法法則.如例1中的小題，將y ： 變形為yx3 - 2x 3后再求3 23 2xx導(dǎo)數(shù)，這種解法比直接用除法法則求解要簡(jiǎn)便且不易出錯(cuò) 導(dǎo)數(shù)的乘法和除法法則與極限相應(yīng)的法則不同，運(yùn)算也相對(duì)復(fù)雜得多，計(jì)算時(shí)要細(xì) 心.例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：1sin設(shè)y = e x，求dy.設(shè) y =1 n(x-:：1 x2)，求 y ( 3).x 10*

4、設(shè)y =()，求y .x +1分析 采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，所設(shè)的中間變量應(yīng)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四 則運(yùn)算.求導(dǎo)時(shí)，依照函數(shù)的復(fù)合層次由最外層起，向內(nèi)一層層地對(duì)中間變量求導(dǎo)，直至對(duì) 自變量求導(dǎo)為止1解 十 cos x x JI設(shè)y二eu,u二sinv,v，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有x二 eu cosv( _ )x1y" =(eu)u(sin v)v()xx代回還原得1 siny =e1cos -(x1-)x)dx1 sin1dy = y dx = e x cos-( x在基本掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則后，也可以不寫出中間變量，如下解法:1 1 sin1sin11y 二e x(sin

5、) =e xcos_(_)xx x.1 s i nx二 ecoi(xsi n_1dy = y dx = e x cos-( x.1si nx1)dxx(2)設(shè) y = In u, u = x:v, v = x21，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有y 二(1 nu)u(x)x -C，v)v(x21)x1(1u1一2嚴(yán)代回還原得y 21(1或著y J21(X X2 "x211_221(x2 1)12x2二2 * * *丿y (.3)二-1.3 1設(shè)y二u2x 2yy (y xy) =0,u ,v =x 2 T,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則有,v,/ 10/X / 10 y =(u )

6、u( ) =(uv)u(x v - xvX2v)=10u2x代回還原得229 一 2、八10(八)9x 1 - 2x 10x (1 - x )2 2 2 11 (x 1)(x 1)或著八10門)9(八)T°(J)92x 1 - x 2x(x2 1)2= 10(10x9(1 -x2)-/2丄八11 (x 1)(x 2y)y(y 2x)整理方程，解出y，得dy = y dxy 2xx 2ydxy看作x方法2方程兩邊對(duì)變量求微分，這時(shí)變量y和x的地位是相同的，即不再將d(x2 y2 xy) = 02xdx 2ydy ydx xdy 二 0(x 2y)dy = -( y 2x)dxdy =d

7、xx 2y(2)方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，有exy (y xy ) y ln x y - -2sin 2xx(xexy In x)y =2sin2x'yexyx整理方程解出y ，得2si n2x yexyxxexy In x2xs in2x y yxexyx2exy xl nx例4求由曲線x2 x y2 =4在點(diǎn)M (2,-2)的切線方程.分析如果函數(shù)y = f(x)可導(dǎo)，函數(shù)曲線在點(diǎn)x。處的切線方程為y -y。= f (x°)(x -x。)因此求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，必須知道兩點(diǎn):曲線在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)f;切點(diǎn)(x°,y。).解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得2

8、x y xy 2yy'： =0解出y :得y =上yx +2y于是，在點(diǎn)M (2,-2)的切線方程為y -（-2） = -1 （x -2）即y=x-4在題目中只給出切線如果已知條件中只給請(qǐng)注意：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)概念的一個(gè)重要應(yīng)用，一般地,方程的兩個(gè)要點(diǎn)中的一個(gè)，另一個(gè)是要根據(jù)已知條件求出來的.再則,了切點(diǎn)的橫坐標(biāo)X。，那么縱坐標(biāo)yo可以通過y° =f(Xo)得到.例5求函數(shù)y = x ln X的二階導(dǎo)數(shù).分析 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).(如果仍然可導(dǎo)).1L 111解 因?yàn)?y" = in x + 依 一=-（一1 nx+1）2jxx Vx 23in x.1 丄 11 1x 2（ inx 1尸2 22、x xx 9 x 1 -2x 2 ) 2 2 x21 (x21)2 *例3求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y 或微分dy :(1) x y xy = 0，求 dy ；(2) exy + y I n x = cos2x，求 y&quo