第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1、1第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)|三乎戛寧；醃|考點(diǎn)一與垂直相關(guān)的命題的判定考向聚焦高考的?？純?nèi)容，常將定義、判定和性質(zhì)結(jié)合起來，與線面平行相關(guān)知識(shí)命 制試題,有時(shí)結(jié)合命題的真假判定或充要條件綜合命題,考查學(xué)生對(duì)線面平 行與垂直的判定定理及性質(zhì)的理解，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度 中檔以下，所占分值 45 分1. (2012 年安徽卷,理 6,5 分)設(shè)平面a與平面B相交于直線 m 直線 a 在平面a內(nèi).直線 b 在平面B內(nèi),且 b 丄 m 則“a丄B”是“ a 丄 b”的()(A) 充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件解析：本題考查面面垂直

2、的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力，考查充分必要條件.若a丄B,由條件可以得出a丄b,若a丄b, b丄m由條件不能得出a丄B,所以“a丄B”是“ a 丄 b”的充分不必要條件.故選 A.答案:A.沖本題解決的關(guān)鍵是對(duì)面面垂直的性質(zhì)及判定定理的理解，屬于概念識(shí)別問題,解決這類問題要注意直線與直線可能位置的多種情況，比如本題中 b 與 m可能平行,也可能相交.2. (2012 年浙江卷，理 10, 5 分)已知矩形 ABCDAB=1 BC=.將 ABD 沿矩形的對(duì)角線 BD 所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中,()(A) 存在某個(gè)位置，使得直線 AC 與直線 BD 垂直(B) 存在某個(gè)位置，使得直線 A

3、B 與直線 CD 垂直(C) 存在某個(gè)位置，使得直線 AD 與直線 BC 垂直(D)對(duì)任意位置，三對(duì)直線“ AC 與 BD，“AB 與 CD，“ AD 與 BC 均不垂直 解析:假設(shè) A 項(xiàng)正確,過點(diǎn) A 作 AOL 平面 BCD 垂足為 O 連接 CO 交 BD 于 H 連接 AH 貝UBDL 平面 ACH從而 BD 丄 AHBDLCH 這是不可能的；假設(shè) B 項(xiàng)正確，因?yàn)?DCL BC DCL 平面 ABC 此時(shí)/ ACD=90 ,vCD=,AD=,只需 AC=1 即可,這種情況是存在的，故選 B.答案:B.3. (2011 年浙江卷,理 4)下列命題中錯(cuò)誤的是()(A) 如果平面a丄平面

4、B,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面B(B) 如果平面a不垂直于平面B,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面B(C) 如果平面a丄平面丫，平面B丄平面丫，aAp=l ,那么 I 丄平面丫(D) 如果平面a丄平面B,那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面B解析：不妨取一個(gè)長方體,平面 ABBAi丄平面 AiBiCiD,而 GD?平面 ABGD, CD /2答案:D.4. （2010 年山東卷,理 3）在空間,下列命題正確的是（）（A平行直線的平行投影重合（B）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行（C）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行（D）垂直于同一平面的兩條直線平行解析:A 選項(xiàng)中平行直線的平行投影也可能是平行

5、的；B 選項(xiàng)中的兩個(gè)平面也可以 相交；C 選項(xiàng)中的兩個(gè)平面也可以相交.故選 D.答案:D.5.（2012 年陜西卷，理 18, 12 分）（1）如圖，證明命題“a 是平面n內(nèi)的一條直線，b 是n外的一條直線（b 不垂直于n）, c 是直線 b 在n上的投影，若 a 丄 b,則 a 丄 c”為 真；（2）寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假（不需證明）.（1）證明:法一：設(shè)斜線 b 與平面n交于點(diǎn) A,在 b 上任取一點(diǎn) P（異于點(diǎn) A）,過 P 作PB 丄平面n,則垂足 B 落在投影 c 上.PB 丄平面n, a?n PB 丄 a.又 b 丄 a,且 PB b 是平面 PAB 內(nèi)的兩條相交線，

6、a 丄平面 PAB 又 c?平面 PAB二 a 丄 c.法二:如圖,過直線 b 上任一點(diǎn)作平面n的垂線 d,則 d 丄 a,設(shè)直線 a、b、c、d 的方向向量分別為 a、b、c、d,則 b, c, d 共面, 由平面向量基本定理知，存在唯一的實(shí)數(shù)入、卩使得 c=Xb+卩 d, a c=a （入 b+ 卩 d） =X（a b） + （a d）由于 d 丄 a, ba,3 a d=0, a b=0, a c=0,即 a 丄 c.(2)解：逆命題為：“a 是平面n內(nèi)的一條直線,b是平面n外的一條直線(b 不垂直 于n), c 是直線 b 在n上的投影,若 a 丄 c,則 a 丄 b” .逆命題為真命

7、題.詳拋開常規(guī)的柱、錐問題，考查線面的基本問題，要求將文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言,難度不大，中檔老點(diǎn)二與垂直相關(guān)的問題的證明考向聚焦學(xué)維訓(xùn)考t(Wt(W本型曲分W W要以4 4側(cè)主常棱明、用證以理耐常胳容性3)13)1內(nèi)與(3 3考理J!J!; ;必宀希的定血考判訕高的直備考指津的養(yǎng)ftfte e培耐的6.(2012 年湖南卷,理 18,12 分)如圖,在四棱錐 PABCD 中,PA平面ABCDAB=4 BC=3AD=5 / DABMABC=90 , E 是 CD 的中點(diǎn).(1) 證明：CDL 平面 PAE(2) 若直線 PB 與平面 PAE 所成的角和 PB 與平面 ABCD 所成的角相等，求四

8、棱錐P ABCD 勺體積.解：法一:(1)如圖(1),連結(jié) AC.由 AB=4BC=3 / ABC=90 得 AC=5 又 AD=5E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 CDLAE.因?yàn)?PA!平面 ABCDCD?平面 ABCD 所以 PAL CD.而 PAAE 是平面 PAE 內(nèi)的兩條相交直線，所以 CDL 平面 PAE.(2)過點(diǎn) B 作 BG/ CD 分別與 AE AD 相交于點(diǎn) F, G 連結(jié) PF.由(1)CDL 平面 PAE 知，BGL 平面 PAE 于是/ BPF 為直線 PB 與平面 PAE 所成的角，且 BGL AE.由 PAL 平面 ABC 啣,/ PBA 為直線 PB 與平面 AB

9、CD 所成的角.由題意/ PBA2BPF廠f幾SF因?yàn)?sin / PBA, sin / BPF“，PBPB所以 PA=BF.由/ DAB2ABC=90 知,AD/ BC又 BG/ CD 所以四邊形 BCDG!平行四邊形.4故 GD=BC=3f 是 AG=2.在 Rt BAG 中, AB=4AG=2BGLAF 所以BG 宅踏 M 影=2，BFL=.BG 2 5于是 PA=BF=.又梯形 ABCD 勺面積為 S=X(5+3)X4=16,所以四棱錐 P ABCD 勺體積為V=XSXPA=X16X2=315 IS法二：如圖(2),以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB AD AP 所在直線分別為 x 軸,y 軸,

10、z 軸建立空 間直角坐標(biāo)系，設(shè) PA=h,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0, 0,0), B(4, 0,0), C(4, 3, 0), D(0, 5, 0), E(2, 4, 0), P(0, 0, h).(1)易知一 =(-4,2, 0), /陰=(2,4,0),的兩條相交直線，所以 CDL 平面 PAE.分別是平面 PAE 平面 ABCD 勺法向量,而 PB 與平面 PAE所成的角和 PB 與平面 ABC所成的角相等，所以| cos日舟懇 1_1 仁兩即卩 二 二一二 一 悶陽由(1)知，=(-4,2,0),瀾=(0,0,-h),:/=(0, 0, h).因?yàn)闋?zhēng)解=0,所以 CDL AE CDL

11、AP 而 AP AE 是平面 PAE 內(nèi)(2)由題設(shè)和(1)知，-,_F|cos，.1,圖曲(2)=-8+8+0=0,5又遡=(4, 0, -h),故解得 h.又梯形 ABCD 勺面積為 S=X(5+3)X4=16,所以四棱錐 PABCD 勺體積為V=XSXPA=X16X2=7.(2012 年全國大綱卷，理 18, 12 分)如圖，四棱錐 P ABCD 中 ,底面 ABCDfe菱形，PA 丄底面 ABCDAC=2 , PA=2 E 是 PC 上的一點(diǎn)，PE=2EC.(1) 證明：PCL 平面 BED(2) 設(shè)二面角 A PBC 為 90 ,求 PD 與平面 PBC 所成角的大小. 解:法一：(

12、1)因?yàn)榈酌?ABCD%菱形，所以 BDL AC又 PA!底面 ABCD 所以 PCL BD. 設(shè) ACH BD=F 連結(jié) EF.因?yàn)?AC=2 ,PA=2PE=2EC、r故 PC=2 , EC= , FC=,從而=葩：,一=礎(chǔ):.FCcc6K AC因?yàn)槎?FCE2PCA7所以 FC0APCA/ FEC=/ PAC=90 , 由此知 PCL EF.PC 與平面 BED 內(nèi)兩條相交直線 BDEF 都垂直，所以PC 丄平面 BED.(2)在平面 PAB 內(nèi)過點(diǎn) A 作 AGL PB G 為垂足.因?yàn)槎娼?A PBC 為 90 ,所以平面 PABL 平面 PBC.又平面 PABH 平面 PBC=

13、PB故 AGL 平面 PBCAGL BC.BC 與平面 PAB 內(nèi)兩條相交直線 PAAG 都垂直,故 BCL 平面 PAB 于是 BCLAB所以底面 ABCE 為正方形，AD=2PD= -=2.設(shè) D 到平面 PBC 的距離為 d.因?yàn)?AD/ BC 且 AD?平面 PBCBC?平面 PBC 故 AD/平面 PBCA、D 兩點(diǎn)到平面 PBC 的距離相等，即 d=AG=.設(shè) PD 與平面 PBC 所成的角為a,則 sina 一=.PD 1所以 PD 與平面 PBC 所成的角為 30 .法二:(1)以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AC 為 x 軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐 標(biāo)系 A xyz.設(shè)

14、C(2,0,0), D ,b,0),其中 b0,2則 P(0, 0, 2),曰，0,-)，B(，-b,0).于是一 =(2 ,0, -2),爲(wèi) 2 l府(，b,),=(,-b,),8從而-=,=,故PCI BEPCLDE又 BEADE=E 所以 PC1平面 BED.（2）護(hù)=（0,0,2）,朋=（農(nóng),小，0）.設(shè) m=x, y, z）為平面 PAB 的法向量,則 m=0, m : =0,即 2z=0 且器 x-by=0 ,令 x=b,則 m=b,或:,0).設(shè) n=( p, q, r)為平面 PBC 的法向量,即 2p-2r=0 且一+bq+r=0,因?yàn)槊?PABL 面 PBC于是n=（1,-

15、1塾），_：=（-能，7：電,2）,-. npDP 1.祠 廠小-=, =60故 PD 與平面 PBC 所成的角為 308.令p=1,故 mn=0,即 b-=0,故cosn,因?yàn)镻D與平面PBC所成角和n=( 1,-,).9(2012 年江蘇數(shù)學(xué),16, 14 分)如圖,在直三棱柱 ABCABQ 中，AB=AG, D, E 分別是 棱BCCG 上的點(diǎn)(點(diǎn) D 不同于點(diǎn) C),且 ADL DE F 為 BiCi的中點(diǎn).求證:(1)平面 ADEL 平面 BCCi；(2) 直線 AF/平面 ADE.證明:(1)因?yàn)?ABCABG 是直三棱柱，所以 CC 丄平面 ABC又 AD?平面 ABC 所以 C

16、C 丄 AD.又因?yàn)?ADLDECC, DE?平面 BCCBi, CCnDE=E所以 AD 丄平面 BCCB,又 AD?平面 ADE.所以平面 ADEL 平面 BCCB.(2)因?yàn)?AB1=AG, F 是 BC 的中點(diǎn)，所以 AF 丄 BC.因?yàn)?CC 丄平面 A1B1C1,且 AF?平面 A1B1C1,所以 CC 丄 AF.又因?yàn)?CC, BC?平面 BCGB1, CCnBC=C,所以 AF 丄平面 BCCB1,由(1)知 AD 丄平面 BCCB,所以 AF/ AD.又 AD?平面 ADEAF?平面 ADE所以 AF/平面 ADE.9.(2011 年廣東卷，理 18)如圖所示，在錐體 P A

17、BC 沖,ABCD 是邊長為 1 的菱形，且 /DAB=60 , PA=PD=, PB=2 E, F 分別是 BC PC 的中點(diǎn).(1) 證明：ADL 平面 DEF(2) 求二面角 P ADB 的余弦值.(1)證明:m=(;+：)=1 肋 II P|cos(n-ZPAD+I 刖| jgicos/DAB=-pcosZPAD+cos 60 =-*cosZPAD+10又厶 PAD 為等腰三角形,11/ifll砌邀 cos / PAD=,網(wǎng)4441從而屈 Pg 二遐xX=0, ADL PB 又由題意 EF/ PBADL EF又在 DEC 中, EC=, DC=1 / DCE=60 ,2/ DEC=90

18、 ,即 DEI BC 又 AD/ BCDEL AD由知 ADL 平面 DEF.(2)解:取 AD 的中點(diǎn) G 連接 PG GBPAD 為等腰三角形,PA=PD PGL ADABD 為等邊三角形，二 BGL AD 從而/ BGP 為二面角 P ADB 的平面角,又在 PGB 中,cos / BGP=2M|冏IJFAM2-JABA7二面角 P ADB 的余弦值為-二.710. (2011年上海卷,理 21)已知 ABCEAiBQD是底面邊長為 1的正四棱柱，O為 AC 與BD 的交點(diǎn).(1)設(shè) AB 與底面 ABCD 所成角的大小為 a ,二面角 ABD-A 的大小為 B ,求證:ta n B =

19、Vta n a ;(2)若點(diǎn) C 到平面 ABD 的距離為-，求正四棱柱 ABCDAiBGD 的高.I0(1)證明：連接 AO、AC. AA 丄平面 ABiCD,/ ABA 為 AB 與平面 ABQD 所成的角. 即/ ABA 大小為a. ABCD 為正方形，-BD 丄 AiC.又 CC 丄平面 ABiCD,CC 丄 B D,BD 丄平面 ACCAi,BD _L AO, / AiOA 即為二面角 ABiD-Ai的平面角. 即/ AiOA 的大小為B.在 Rt ABAi中,tan鈾a=,在 Rt AAO 中,tan.*7 匸“ B =.收在等腰直角三角形 AiBiO 中，AiBi=1, AiO=

20、.1tana=AA, tanB=F?；AA,tanB= tana.(2)解：在平面 AAGC 內(nèi)，過點(diǎn) C 作 CHLAO 于點(diǎn) H. 由(i)知 BiD 丄平面 AAGC,BO 丄CH.ACHL 平面 ABD.即 CH 為點(diǎn) C 到平面 ABD 的距離.4CH=.3設(shè) AA=x,則 AO=刪遼十羈屈(二-.又敢迥佇=CHAO 且很型 f=-ACAA,13 CH- AQ=AC- AA,冷占 + 芻 2x=2.即正四棱柱 ABCCA1B1CD 的高為 2.11. (2011 年湖南卷,理 19)如圖,在圓錐 PQ 中,已知 PQ= ,oQ 的直徑 AB=2C 是莎的中點(diǎn)，D 為 AC 的中點(diǎn).D

21、 是 AC 的中點(diǎn)，所以 ACLQD又 PQL 底面oQ AC?底面oQ所以 ACLPQ.因?yàn)?om PQ=Q所以 AC 丄平面 PQD.而 AC?平面 PAC所以平面 PQDL 平面 PAC.(2)解：在平面 PQD 中,過 Q 作 QHL PD 于 H,由(1)知,平面 PQDL 平面 PAC 所以 QHL平面 PAC.又 PA?面 PAC 所以 PALQH.在平面 PAQ 中,過 Q 作 QGL PA 于 G 連接 HG 則有 PA!平面 QGH.從而 PAI HG.故/ QGHfe二面角 B PAC 的平面角.-x,在 Rt QDA 中, QD=QAsin 45在Rt(1) 證明：平面

22、 PQDL 平面 PAC(2) 求二面角 B PAC 的余弦值.在 Rt PQD 中,14故二面角 B PAC 的余弦值為二.S12.(2010 年安徽卷,理 18)如圖,在多面體 ABCDE 中,四邊形 ABCD 是正方形,EF/AB EF 丄 FB AB=2EF/ BFC=90 , BF=F(CH 為 BC 的中點(diǎn).(1) 求證：FH/平面 EDB(2) 求證：ACL 平面 EDB(3) 求二面角 B DEC 的大小.法一：(綜合法)(1)證明：設(shè) AC 與 BD 交于點(diǎn) G 則 G 為 AC 的中點(diǎn),連接 EGGH 又 H 為 BC 的中點(diǎn),四邊形 EFH 助平行四邊形，二 EG/ FH

23、而 EC?平面 EDBFH?平面 EDB FH/ 平面 EDB.(2) 證明：由四邊形 ABCE 為正方形,有 AB 丄 BC. 又 EF/ AB 二 EF 丄 BC.而 EF 丄 FB BCH FB=B 二 EF 丄平面 BFC EF 丄FH.AAB 丄 FH又 BF=F(CH 是 BC 的中點(diǎn)，二 FH BC.又 ABA BC=B 二 FH!平面 ABCD.iFH 丄 AC.又 FH/ EG 二 ACL EG又 ACLBDEGH BD二G： ACL平面 EDB.(3) 解:vEFLFB,/BFC=90 , EFAFC=F BFL平面 CDEF.在平面 CDEF 內(nèi)過點(diǎn) F 作 FKLDE

24、交 DE 的延長線于 K 連接 BK 則/ FKB 為二面角 BDEC 的一個(gè)平面角.設(shè) EF=1,貝 U AB=2 FC=0, DE=1所以 cos/OGH扣此。叭礙呼又 EF -AB EF=GH15又 EF/DC二/ KEF=/ EDC. sin / EDC=sin / KEF=. FK=EFsin / KEF=, tan / FKB=, 叮EH/ FKB=60 .即二面角 BDEC 的大小為 60 .法二:(向量法)：四邊形 ABCE 為正方形，二 AB 丄 BC 又 EF/ AB 二 EF 丄 BC.又 EF 丄 FB FBA BC=B 二 EF 丄平面 BFC. EF FH 二 AB

25、 丄 FH.又 BF=FCH 為 BC 的中點(diǎn)，二 FH! BC.又 ABA BC=B 二 FH!平面 ABC.系.設(shè) BH=1 則 A(1,-2,0), B(1,0,0), q-1,0, 0), D(-1,-2,0), E(0,-1,1), F(0, 0, 1).(1)證明：設(shè) AC 與 BD 的交點(diǎn)為 G 連接 GEGHT JHF/GE又 GE平面 EDBFH?平面 EDB FH/ 平面 EDB. ACL GE.又 ACLBDEGH BD=G： ACL平面 EDB.16設(shè)平面 BDE 的法向量為 ni=(1,yi, zi),則 -ni=-1-yi+zi=0,yi=-1, zi=0,即 ni=( 1,-1 , 0).(T1，-1,1)，設(shè)平面 CDE 的法向量為 n2=(1,y2, Z2),則 n =0,得 y2=0,又 n2 .f jf=O,即 1-y2+Z2=0,故 Z2=-1,故 n2=(1,0,-1),現(xiàn)弋11cos=,蘇 2 1=60 ,即二面角 B DEC 的大小為 60 .洱線面平行、線面垂直是線面位置關(guān)系的重要內(nèi)容.(1)、(2)兩問較易，幾 何法找二面角的平面角是難點(diǎn).特別是二面角的平面角的頂點(diǎn)不在給定的線段上 本題用向量法解決時(shí)，關(guān)鍵是注意需證出 FHX 平面 ABC 才可建系.趕閱卷評(píng)析(2010 年江蘇卷，16, 14 分)如圖,在四棱錐 P ABC 沖