概率論與數(shù)理統(tǒng)計韓旭里北京大學(xué)出版社習(xí)題詳解

1、普通高等學(xué)?！笆濉睌?shù)字化建設(shè)規(guī)劃放材國 掌 級 精品 諜程 教 材概率論與數(shù)理統(tǒng)計主編 韓旭里謝永欽恭浦匕京上泮出版社寄呀 TTK1XG l：MVFR5mF TRESS1.一顆骰子連續(xù)擲4次，點數(shù)總和記為【解】設(shè)Xi表每次擲的點數(shù)，則習(xí)題五X.估計 P10<X<18.4Xi1E(Xi)_ 2E(Xi )122232425291從而D(Xi)E(X：)E(XJ2912 3512又X1,X2,X3,X4獨立同分布.E(Xi)14,4從而 E(X) E( Xi) i 1所以D(X) D(P104Xi)1D(Xi)3512353X 18P|X14|435/30.271, 42.假設(shè)一條

2、生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達到在76%與84%之間的概率不小于90%,問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件?宿人1,若第i個產(chǎn)品是合格品,【解】令Xi 二“八”0,其他情形.而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,且Xi, X2,，Xn 獨立同分布，p=PXi = 1=0.8.現(xiàn)要求n,使得nXiP0.76U 0.84 0.9.0.76n 0.8nP -=n 0.8 0.2Xi 0.8n0.84n 0.8n0.80.20.2 0.9由中心極限定理得整理得 如0.95，查表近 1.64,1010n> 268.96,故取 n=269.3.某車間有同型號機床 200臺，每部機床開動的概

3、率為0.7,假定各機床開動與否互不影響，開動時每部機床消耗電能 15個單位.問至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車間同時開動的機床數(shù)目最大值m,而m要滿足200部機床中同時開動的機床數(shù)目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應(yīng)15m單位電能就可滿足要求.令X表同時開動機床數(shù)目，則XB (200, 0.7),E(X) 140,D(X) 42,查表知m 140.420.95 P0 X m P(X m)1.64,m=151.m 14042所以供電能151X15=2265 (單位)4. 一加法器同時收到20個噪聲電壓 Vk (

4、k=1, 2,，20),設(shè)它們是相互獨立的隨機變量,20且都在區(qū)間(0, 10)上服從均勻分布.記V= Vk ,求PV>105的近似值.k 1100易知：E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2, ,2012由中心極限定理知，隨機變量20V 20 5近似的N(0,1).于是 PV 105V 20 5100 ”2012105 20 51020,12即有V 1000.387(0.387) 0.348,PV>105 = 0.3485.有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的長度不小于根，問其中至少有 30根短于3m的概率是多少？3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出100【解】設(shè)100根中有X根短

5、于3m,則XB (100, 0.2)從而PX 30 1 PX 30 130 100 0.2 1000.20.81(2.5) 1 0.9938 0.0062.6.某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于 75人治愈，就接受這一斷言，否則就 拒絕這一斷言.(1)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8,問接受這一斷言的概率是多少？(2)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7,問接受這一斷言的概率是多少？【解】Xj1,第i人治愈, 0,其他.i 1,2,L ,100.100令 XXi.i 1(1) XB(100

6、,0.8),100P Xi 75 1 PX 75 1 i 175 100 0.8 1000.80.21( 1.25)(1.25) 0.8944.(2) XB(100,0.7),100P Xii 175 1 PX 75 175 100 0.7100 0.7 0.31( 5=) 1(1.09) 0.1379.217.用拉普拉斯中心極限定理近似計算從一批廢品率為0.05的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X,則p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05),E(X)=50, D(X)=47.5.故PX 2047.520 5047.516.895306.

7、89516.895306.8954.5 10 6.8.設(shè)有30個電子器件.它們的使用壽命T1,，T30服從參數(shù)F0.1單位：h 1的指數(shù)分布,其使用情況是第一個損壞第二個立即使用，以此類推.令T為30個器件使用的總計時間，求T超過350小時的概率.111【解】E(T) 10, D(T) 100.0.1E(T) 10 30 300, D(T) 3000.故,、350 3005PT35011-=1(0.913)0.1814.、3000309 .上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用(假定一年有306個工作日，每個工作日為 8小時).【解】設(shè)至少需n件

8、才夠用 則E(Ti)=10, D(Ti)=100 ,E(T)=10n, D(T)=100n.從而 P Ti 306 8 0.95,即 0.05306 8 10ni 110 n故0.9510n 2448io、n1.64n 244.8n 272.所以需272a元.10 .對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相與獨立，且服從同一分布(1)求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率？(2)求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.【解】(1)以Xi

9、(i=1,2,4002第i個學(xué)生來參力口會議的家長數(shù).則Xi的分布律為Xi012P0.0508075易知 E (Xi=1.1) ,D(Xi)=0.19,i=1,2, ,400.400而X Xi,由中心極限定理得400Xi 400 1.1, 400 0.19X 400V 4 191.1近似地N(0,1).于是 P X 450 1 P X 450 1450 400 1.1,4 191(1.147) 0.1357.(2)以Y記有一名家長來參加會議的學(xué)生數(shù).則YB(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得PY 340340 400 0.8二4000.80.2(2.5) 0.9938.11 .設(shè)男孩出生

10、率為 0.515,求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個嬰兒中男孩白個數(shù)，則 XB ( 10000, 0.515)要求女孩個數(shù)不少于男孩個數(shù)的概率，即求PX< 5000.由中心極限定理有P X 50005000 10000 0.515( 3) 1(3) 0.00135.10000 0.515 0.48512 .設(shè)有1000個人獨立行動，每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計,在一次行動中：(1)至少有多少個人能夠進入？(2)至多有多少人能夠進入？【解】用X表第i個人能夠按時進入掩蔽體(i=1,2, ,1000 .令Sn=X+X2+ X1

11、000.(1)設(shè)至少有m人能夠進入掩蔽體，要求Pm<Sn< 1000 >0,9算件, c, m 1000 0.9Sn 900m Sn-=.,1000 0.9 0.1.90由中心極限定理知：m 1000 0.9Pm Sn 1 PSn m 1 0.95.1000 0.9 0.1從而m 900,900.05,所以m 900901.65,m=900-15.65=884.35 =88軟(2)設(shè)至多有 M人能進入掩蔽體，要求 P0臺加 > 0.95.查表知M 900 90PSn MM 900900.95.=1.65, M =900+15.65=915.65 91613 .在一定保險

12、公司里有 10000人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006，死亡者其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元賠償費.求：(1) 保險公司沒有利潤的概率為多大；(2) 保險公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險者的死亡人數(shù)，則XB (10000, 0.006).(1)公司沒有利潤當(dāng)且僅當(dāng)“ 1000=10000 X 12即義=120”于是所求概率為PX 120；1000010.006-0.994120 10000 0.006.100000.006-0.994160112(60/ 兩)2,59.64. 59.64. 29.59.6430.

13、18110.0517 e 0(2)因為公司利潤A60000當(dāng)且僅當(dāng)“CXW 60”于是所求概率為P0 X 6060 10000 0.006100000.006-0.9940 10000 0.006100000.0060.994(0)_60_59.640.5.14.設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2,方差分別為比雪夫不等式給出【解】令Z=X-Y,有P|X-Y| >6估計.1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契(2001研考)E(Z) 0,D(Z) D(X Y) D(X)D(Y) 2 xp .D(X)gD(Y) 3.所以P| Z E(Z)| 615.某保險公司多年統(tǒng)計資料表明，P|X Y|在索賠戶

14、中,6D(X Y) 31T26236 12被盜索貝§戶占20%,以X表示在隨機抽查(2)被盜索賠戶不少于極限定理，得P14 X 3030 100 0.2100 0.2 0.814 100 0.2,100 0.2 0.8的100個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)(1)寫出X的概率分布；(2)利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值(1988研考)【解】(1) X可看作100次重復(fù)獨立試驗中，被盜戶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗中被盜戶出現(xiàn)的概率是 0.2,因此，XB(100,0.2),故X的概率分布是k k 1100 kP X kC1000.2 0.8, k 1,2,L ,100.14戶且不多于30戶的概率即為事件14WXW 30)概率.由中心(2.5)( 1.5) 0.994 9.33 0.927.16.一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的.假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量為 5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可 以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.【解】設(shè)Xi (i=i,2, -n)是裝運i箱的重量(單位：千克)，n為所求的箱數(shù)，由條件知， 可把Xi, X2,，Xn視為獨立同分布的隨