高中數(shù)學(xué) 線(xiàn)面角與面面角復(fù)習(xí)講義 新人教A版必修4（高二）

1、高二數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)講義（1）線(xiàn)面角與面面角一、知識(shí)與方法要點(diǎn)：1斜線(xiàn)與平面所成的角就是斜線(xiàn)與它在平面內(nèi)的射影的夾角。求斜線(xiàn)與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，即確定過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)向平面所作垂線(xiàn)的垂足，這時(shí)經(jīng)常要用面面垂直來(lái)確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮用其它方法求出斜線(xiàn)上一點(diǎn)到平面的距離。2二面角的大小用它的平面角來(lái)度量，求二面角大小的關(guān)鍵是找到或作出它的平面角(要證明)。作二面角的平面角經(jīng)常要用三垂線(xiàn)定理，關(guān)鍵是過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)向另一個(gè)面作垂線(xiàn)，并確定垂足的位置。若二面角的平面角難以作出，可考慮用射影面積公式求二面角的大小。3判定兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找

2、到一條垂直于另一個(gè)平面的直線(xiàn)。兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理是：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面二、例題例1正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為C1D1中點(diǎn)(1)求證：AC1平面A1BD(2)求BM與平面A1BD成的角的正切值解： (1)連AC，C1C平面ABCD， C1CBD又ACBD， AC1BD同理AC1A1BA1BBD=BAC1平面A1BD(2)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，連AD1，AD1交A1D于E，連結(jié)ME，在D1AC1中，MEAC1，AC1平面A1BDME平面A1BD連結(jié)BE，則MBE為BM與平面A1BD成的角在中，例2如圖，把等腰直角三角形ABC以斜邊A

3、B為軸旋轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)移動(dòng)的距離等于AC時(shí)停止，并記為點(diǎn)P （1）求證：面ABP面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值證明（1）  由題設(shè)知APCPBP點(diǎn)P在面ABC的射影D應(yīng)是ABC的外心，即DABPDAB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP面ABC（2）解法1  取PB中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE、CDBCP為正三角形，CEBDBOD為等腰直角三角形，DEPBCED為二面角C-BP-A的平面角又由（1）知，面ABP面ABC，DCAB，AB面ABP面ABC，由面面垂直性質(zhì)定理，得DC面ABPDCDE因此CDE為直角三角形設(shè)，則，例3如圖所示，在正三棱柱中，截面?zhèn)让?/p>

4、(1)求證：；(2)若，求平面與平面所成二面角(銳角)的度數(shù)證明：在截面A1EC內(nèi)，過(guò)E作EGAC，G是垂足，如圖，面AEC面AC，EG側(cè)面AC取AC的中點(diǎn)F，分別連結(jié)BF和FC，由ABBC得BFAC面ABC側(cè)面AC，BF側(cè)面AC，得BFEGBF和EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC于FGBE側(cè)面AC，BEFG，四邊形BEGF是 ，BEFGBEAA，F(xiàn)GAA，AACFGC解：(2)分別延長(zhǎng)CE和C1B1交于點(diǎn)D，連結(jié)ADBACBCA60°，DACDABBAC90°，即 DAACCC面ACB，由三垂線(xiàn)定理得DAAC，所以CAC是所求二面角的平面角且ACC90°CCAAABA

5、C，CAC45°，即所求二面角為45°說(shuō)明：如果改用面積射影定理，則還有另外的解法三、作業(yè)： 1已知平面a的一條斜線(xiàn)a與平面a成q角，直線(xiàn)bÌa，且a,b異面，則a與b所成的角為（A）A有最小值q，有最大值B無(wú)最小值，有最大值。C有最小值q，無(wú)最大值D有最小值q，有最大值p-q。2下列命題中正確的是（D）A過(guò)平面外一點(diǎn)作該平面的垂面有且只有一個(gè)B過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作該直線(xiàn)的平行平面有且只有一個(gè)C過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)有且只有一條D過(guò)平面外的一條斜線(xiàn)作該平面的垂面有且只有一個(gè)3一條長(zhǎng)為60的線(xiàn)段夾在互相垂直的兩個(gè)平面之間，它和這兩個(gè)平面所成的角分別為 45°

6、和30°，這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)向平面的交線(xiàn)引垂線(xiàn)，則垂足間的距離是（A）A30B20C15D124設(shè)正四棱錐SABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)BE與SC所成的角是（C）A30°B45°C60°D90°5正三棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，則它的側(cè)棱與底面所成的角為6A是BCD所在平面外的點(diǎn)，BAC=CAB=DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （）求證：ABCD； （）求AB與平面BCD所成角的余弦值.7正四面體ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，求：CE與底面BCD所成角的正弦值解 過(guò)A，E分別作AH面BCD，EO面BCD，H，O為垂足，AH 2OE，AH，OE確定平面AHD，連結(jié)OC，ECO即為所求AB=AC=AD，HB=HC=HDBCD是正三角形，H是BCD的中心，連結(jié)DH并延長(zhǎng)交BC于F，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)， ，在RtADH中，8在四面體ABCD中，DA面ABC，ABC90°，AECD，AFDB求證：（1）EFDC；（2）平面DBC平面AEF證明  如圖1-83（1）AD面ABCADBC又ABC90°BCABBC面DABDB是DC在面ABD內(nèi)的射影AFDBAFCD（三垂