平面向量在解析幾何的應(yīng)用策略分析

1、平面向量在解析幾何中的應(yīng)用與求解策略一、利用向量，可以很方便地解決有關(guān)平行、垂直、距離等相關(guān)問題，其基本理論是：b（一）、直線的方向向量 ：直線 L 的方向向量為m=（ a,b),則該直線的斜率為 k= a（二）、利用向量處理平行問題：=(x,y對(duì)非零向量 a =(x1,y ), b), a b 的充要條件是：有且僅有一個(gè)122=( b0 ) 的充要條件是 ?x1y2-x 2y1=0；實(shí)數(shù) ，使得 ab ；亦即 a b a · b（三）、利用向量求角： 設(shè) a =(x 1,y 1),b =(x 2 ,y 2), 則兩向量 a 、 b 的夾角： cos = cos< a , b

2、> =|a |b1212=x x+y y其特殊情況即為垂直問題：對(duì)非零向量a =(x 1,y 1),b22·22x1 +y1x2 +y2=(x 2,y 2),x1x2- y 1y2=0；a b 的充要條件是 a · b =0?（四）、利用向量求距離： 222；設(shè) a =(x,y),則有 | a |=a =x +y( x1x2 )2( y1y2 )2若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 則 | AB|=二、典例分析：【題 1】、點(diǎn) P（-3,1 ）在橢圓 x2y21(ab0) 的左準(zhǔn)線上 .a2b2的光線，經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這

3、個(gè)橢圓的離心率為:()過點(diǎn) P 且方向?yàn)?a =(2,-5)（ A）3（B） 1(C)2（D） 13322所以 KPQ5 , 則 l PQ ; y15 ( x3) ； 解析 ：如圖 , 過點(diǎn) P（ -3 ，1）的方向向量 a =(2,-5);22即 LPQ ;5x2 y13 ; 聯(lián)立：5x2y13得 Q(9 ,2) ， 由光線反射的對(duì)稱性知：K QF15y252所以 LQF ; y259)，即 LQF1 :5x2y50 ; 令 y=0, 得 F （ -1 ， 0 ） ; 綜上所述得：c=1 ，( x1251a 23,則 a3 ; 所以橢圓的離心率ec13 .故選 A。ca33=(2,-5)，則

4、立即有直線的斜率為 點(diǎn) 撥 ： 本 題 中 光 線 所 處 直 線 的 方 向 向 量 是 aK PQ5 ,從而有 lPQ 方程為 : y15 ( x3) 。22【題 2 】設(shè)橢圓 x2y21 上一點(diǎn) P 到左準(zhǔn)線的距離為10， F 是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)M 滿足2516.uuuur1 uuuruuuruuuurOM(OPOF)，則|OM |2|PF|=6 ，再由第一定義則|PF |=4 ；由于解：依據(jù)橢圓的第二定義則有：uuuur1 uuuruuurM處于 PF 的中點(diǎn)OM(OPOF ) ，由向量加法的平行四邊形法則，則點(diǎn)2uuuur處，故由中位線定理可知|OM | 2。uuuur1uuur

5、uuurM點(diǎn)撥 ：本題中的向量條件OM2(OPOF ) ，抓住向量加法的平行四邊形法則，從而轉(zhuǎn)化得出點(diǎn)處于 PF 的中點(diǎn)位置。【例題 3】已知 A,B 為橢圓 x2y2x2y21的公共頂點(diǎn) ,P,Q 分別為雙曲線和橢a2b21(a>b>0) 和雙曲線 a2b2 R,|>1),設(shè) AP,BP,AQ,BQ斜率分別為 k1,k 2,k 3,k 4, 求圓上不同于 A,B 的動(dòng)點(diǎn) , 且有 AP+BP= ( AQ+BQ)(證 :k 1 +k2+k3+k 4 為一個(gè)定值 .解、點(diǎn) A(-a,0)； B(a,0) ；由 AP+BP= ( AQ+BQ), 依據(jù)向量加法的平行四邊22形法則

6、, 則有 O、 Q、 P 三點(diǎn)共線；設(shè)11P(x 1,y 1) 、Q（ x2， y2）, 則 x 2 -y 2 =1,ab則 x2-a2a22； k +k=y1+y1=2x1y12b2x11= 2· y11122=2· 1；b112x +ax -ax -aay-2b 2x2x1x2同樣有 k3+k 4=a2·y2；由于 y1=y2， 所求的定值為 0。 點(diǎn)撥：本題中的向量條件 , 從而轉(zhuǎn)化得出了O、 Q、: AP+BP= ( AQ+BQ)，通過向量加法的平行四邊形法則P 三點(diǎn)共線；然后再繼續(xù)進(jìn)行推理、求解，從而得出結(jié)論。【例題 4】(2007 年全國高考·

7、;理科· 12 題) 設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A BC為該拋物線， ，uuuruuuruuuruuuruuuruuur上三點(diǎn)，若 FAFBFC0，則 FAFBFC（）A 9B 6C 4D 3解：拋物線的焦點(diǎn) F（ 1，0）設(shè) A 、B、C 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) 、( x3 , y3) ；1, y3 ) ，則有 FA=( x11, y1 ) ， FB=(x2 1, y2 ) ， FC=( x3uuuruuuruuur FAFBFC0 ； x11 + x21 +x3 1 =0 ； x1+x 2+x3=3, 又 由 拋 物 線 的 定 義 可

8、 知uuuruuuruuurFAFBFCx 1+1+x2+1+x3 +1=6，從而選（ B) 。uuuruuuruuur0 ；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行轉(zhuǎn)化后可得x1+x 2+x3=3, 再點(diǎn)撥：本題中，向量條件FAFBFC由于所求均為焦半徑，從而利用拋物線的定義馬上可得到所求之答案為（B）?！纠} 5】、（ 2004 年全國高考）給定拋物線C： y24x, F 是 C 的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F.的直線 l與 C相交于 A、 B 兩點(diǎn) . （）設(shè) l 的斜率為1，求 OA與 OB 夾角的大??；（）設(shè) FBAF, 若 4,9 ，求 l 在 y 軸上截距的變化圍 .解：（） C的焦點(diǎn)為 F（ 1， 0），直

9、線 L 的斜率為1，所以 L 的方程為 yx 1.將 yx 1 代 入 方 程 y 24x ， 并 整 理 得 x26x 10. 設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 則 有x1 x26, x1 x21.OA OB ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2y1 y22 x1 x2( x1x2 ) 13.| OA |OB | x12y12x22y22x1 x2 x1 x24( x1x2 ) 1641.cos(OA, OB)OA OB3 14 .所以 OA與OB 夾角的大小為arccos 314 .| OA |OB |4141（）由題設(shè) FBAF得 ( x2

10、1, y2 )(1 x1x2 1(1x1 ), y1 ), 即y1.y2又由于點(diǎn) F 為拋物線的焦點(diǎn)，則有uuuuuruuuur+1= (x+1) ；聯(lián)立方程|FB | AF | 依據(jù)拋物線的定義有： x21112） 或求得點(diǎn) B( , 2), ；又 F（1， 0），則可得直線 L 的方和可求得 x1=；則點(diǎn) A（ ，±程為：(1) y2( x 1)或 (1) y2(x1), 當(dāng)4,9 時(shí)， l在方程 y 軸上的截距為2或2, 由 2212 ,可知 2在 4 ， 9 上是遞減的，11111 324,423 ,直線 L 在 y 軸上截距的變化圍為 4,33,4.4133143443點(diǎn)拔

11、：本題主要是將向量相等的條件FBAF ，轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)關(guān)系等式：( x21, y2 )(1x2 1(1x1 ),然后可以此去求出交點(diǎn)A 的坐標(biāo)數(shù)值，再往下進(jìn)行轉(zhuǎn)x1 , y1 ), 即y1.y2化推理，從而使問題得以解決?！纠} 6】（ 2007 年高考理科 20題）已知雙曲線x2y22 的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2，過點(diǎn) F2的動(dòng)直線與雙曲線相交于A， B 兩點(diǎn)uuuuruuuruuuruuur（I ）若動(dòng)點(diǎn) M 滿足 FMF AF BFO （其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，求點(diǎn) M 的軌跡方程； （ II ）在 x 軸1111uuuruuurC 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由上是否存在定點(diǎn)C

12、，使 CA · CB 為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn).解：由條件知F1 ( 2，0) ， F2 (2，0) ，設(shè) A(x1， y1) ， B( x2， y2 ) （ IM ( x， y)uuuur，uuur，uuuruuur，）設(shè)，則， ，由FM ( x 2y)F A ( x 2 y )F B ( x 2 y ) FO (2 0)11111221uuuuruuuruuuruuurx2xx，26x1x2xFMF AF BFO 得1即4當(dāng) AB 不與 x 軸垂直時(shí)，設(shè)直線 AB1111yy1y2y1y2y的方程是 yk( x 2)(k1)代入 x2y22 有 (1 k 2 ) x24k 2 x(

13、4 k 22)0 則 x1， x2 是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以x1x24k2 y1y2k( x1x24)k4k 244k 由得k21k1k21x44k 2； y4k ；當(dāng) k0時(shí)， y0 ，由得，x 4k ，將其代入有k 21k 21y4x4y4 y(x4)22y整理得當(dāng)k 0時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，滿足上( x 4) 2(x 4) 2y2( x 6)y4(4，0)1y 2述方程當(dāng)AB與 x 軸垂直時(shí)，x1x22，求得M (80)M的軌跡方程是， ，也滿足上述方程故點(diǎn)( x6) 2y24 ）假設(shè)在 x 軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)uuuruuur（ IIC ( m，0) ，使 CA CB 為常數(shù)，當(dāng)AB不與x軸垂

14、直時(shí)，由（I）有g(shù)x1x24k21 ， x1x24k 22 于是k 2k 21uuuruuur( xm)( xm)k2 (x2)( x2)(k 21)x1 x2(2k 2m)( x1x2 )4k 2m2CA CB2g121(k21)(4 k 22)4k2 (2 k 2m)4k 2m22(12m)k 22m22(12m)44mm2 k 2 1k 2 1k21k21uuuruuuruuuruuur因?yàn)?CAgCB 是與k無關(guān)的常數(shù)，所以44m0，即m，此時(shí) CAgCB =11當(dāng) AB 與 x 軸 垂 直 時(shí) ， 點(diǎn) A，B 的 坐 標(biāo) 可 分 別 設(shè) 為 (2， 2)， (2， 2)， 此 時(shí)uu

15、uruuur(1， 2) g(1，2)1CAgCBuuuruuur故在 x 軸上存在定點(diǎn) C (1，0) ，使 CA CB為常數(shù)g點(diǎn)撥：本題中的向量條件的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算規(guī)律去加以運(yùn)用與轉(zhuǎn)化！【例題 7】設(shè)過點(diǎn) P( x, y) 的直線分別與x 軸的正半軸和y 軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn) Q與點(diǎn) P關(guān)于y 軸對(duì)稱， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若uuuruuuruuuruuur1 ，則點(diǎn) P 的軌跡方程是BP2PA且 OQgAB( ).A 3x23y21(x0, y0)B3x23y21(x0, y0)C 3232x23 y21(x0, y0)Dx23y 21(x0, y0)22 解 ： 設(shè)

16、P （ x ， y ）， 則Q（ x ， y ）， 又 設(shè)A （ a ， 0 ）， B （ 0 ， b ）， 則a 0 ， b 0 ， 于 是uuuruuuruuur uuur3x， b 3y，（，），（ ， ），由 BP2PA 可得 aBPx yb PAa xy2uuuruuur uuurx23 y 21( x 0, y 0) 故所以 x 0，y0 又 AB （ a，b）（ 3 x，3y ），由 OQ ?AB 1 可得322選 D點(diǎn)撥：本題中的向量條件的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵也是利用向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律去加以運(yùn)用與轉(zhuǎn)化！【例題 8】已知兩點(diǎn) M（ 2，0）、N（ 2，0），點(diǎn) P 為坐標(biāo)平面的動(dòng)點(diǎn)，滿足uu

17、uuruuuruuuuruuur|MN | |MP |MNNP 0，則動(dòng)點(diǎn) P（ x， y）的軌跡方程為（）（ A） y 28x（B） y28x（C） y24 x（ D） y 24 x解答、設(shè) P(x, y) ， x0, y 0 ， M (uuuuruuur( xuuur2,0), N (2,0) ， MN4；則 MP2, y), NP ( x 2, y)由MN MPMN NP0，則4( x2)2y24(x2)0 ，化簡(jiǎn)整理得 y28x 所以選 B點(diǎn)撥：本題中的向量條件的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵還是利用向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律去加以運(yùn)用與轉(zhuǎn)化！【例題 9】已知點(diǎn) M（ 2，0），N（ 2，0），動(dòng)點(diǎn) P 滿足條件

18、|PM | |PN |=2 2 ，記動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為 W.uuur uuur（）求 W 的方程；（）若 A ，B 是 W上的不同兩點(diǎn)， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，求OA · OB 的最小值 .解：（）由 |PM| |PN|= 22知?jiǎng)狱c(diǎn) P的軌跡是以M , N 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長a2 ；又半焦距c=2 ，故虛半軸長bc2a22 ；所以W 的y方程為 x2y21, x2MHP22x（）設(shè) A ， B 的坐標(biāo)分別為 ( x1 , y1 ) ,(x2 , y2 ) ；當(dāng) AB x 軸時(shí) , x1x2 ,OFuuuruuur2y 2從而 y1y2 , 從而 OA OB x xy yx2.

19、 當(dāng) AB與 x 軸121211不垂直時(shí) , 設(shè)直線 AB 的方程為 ykxm , 與 W的方程聯(lián)立 , 消去 y 得(1k2 )x22kmxm220. 故 x1x22km,x1 x2m22 ,所以1k 2k 21uuuruuurk 2 ) x1 x2 km(x1m2OA OBx1x2y1 y2x1 x2(kx1m)(kx2m)(1x2 )(1 k2 )( m22)2k2 m2m22k 2224. 又因?yàn)?x1x20,所以k 211 k 2k 2 1k21.k2uuur uuur2. 綜上 , 當(dāng) AB x 軸時(shí) ,uuur uuur1 0,從而 OA OBOA OB 取得最小值 2.uuur

20、 uuur點(diǎn)撥：向量條件OA OBx xy y 在綜合題中的轉(zhuǎn)化是經(jīng)常要用到的，它實(shí)質(zhì)是向量坐標(biāo)運(yùn)算1212規(guī)律的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化。【例題 10】（ 2006 年卷）已知點(diǎn) A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ( x1x20) 是拋物線 y 22px ( p0) 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,O是坐標(biāo)原點(diǎn),uuuruuuruuuruuuruuuruuur設(shè)圓C的方程為向量OA,OB滿足OA OB OAOB.x2y2( x1x2 ) x ( y1y2 ) y 0(I)證明線段 AB 是圓 C 的直徑 ;(II)當(dāng)圓 C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為時(shí)， 求 P的值。uuuruuuruuu

21、ruuuruuuruuuruuuruuur【解析】 (I)Q OAOBOAOB ,(OAOB )2(OAOB)2 ；整理得 :uuuruuuruuuruuurOA OB0x1 x2y1y20 ；設(shè) M(x,y) 是以線段 AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則 MA MB0 即( x x1 )( x x2 ) ( yy1 )( yy2 )0 ；整理得 :x2y 2( x1x2 ) x ( y1y2 ) y0故線段 AB 是圓 C 的直徑xx1x22 y22(II)解 : 設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y), 則2222 px2 ( p0)x1 x2y1y1y2； Q y12 px1 , y24 p2y2

22、y 2 y22又因x1 x2 y1 y20 x1 x2y1 y2y1y212；0, y1 y20yy24 p4p2Q x1 x21xx1x2122)1222 y1 y2 )y1 y21( y22) ；所以圓心的軌跡方程為2( y1y2( y1y24 p2 p4 p4 ppy2px2 p2 ；設(shè)圓心 C 到直線 x-2y=0的距離為 d, 則| x 2y | 1 ( y22p2 ) 2 y | y 22py 2 p2 | ( y p)2p2 |dp555 p5p當(dāng) y=p 時(shí) ,d 有最小值p , 由題設(shè)得p25p2 .555點(diǎn)撥：本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算，圓與拋物線的方程、點(diǎn)到直線的距離

23、公式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力。【例題 11】（ 2006 年天津卷） 如圖，以橢圓 x2y 21 a b 0 的中心 O 為圓心，分別以 a 和 b 為a2b 2半徑作大圓和小圓。 過橢圓右焦點(diǎn) F c,0 c b作垂直于 x 軸的直線交大圓于第一象限的點(diǎn)A 連結(jié) OA.交小圓于點(diǎn)B設(shè)直線BF是小圓的切線 （1）證明c2，并求直線BF與y軸ab的交點(diǎn) M 的坐標(biāo)；uuur uuur1 b2 （ 2）設(shè)直線 BF 交橢圓于 P 、 Q 兩點(diǎn)，證明 OP OQ2 證明：（）由題設(shè)條件知，RtVOFA RtVOBF 故 OFOB ，即 cb ；OAOFac因此， c2222

24、22ab.在 RtVOFA 中 ，ab ；在 RtVOFA ， FA OAOFac b.因此， cFA OA2OF 2a2c2b .于是，直線OA的斜率 koab . 設(shè)直線 BF 的斜率為 k ，則 k1c . 這時(shí)，直線BF與 y 軸的交ckoab點(diǎn)為 M (0, a) ；( ) 由（），得直線 BF得方程為 y kxa,且 k 2c2abab2b2b由已知，設(shè)P(x1, y1 ) 、 Q (x2 , y2 ) ，則它們的坐標(biāo)建立方程組x2y21 ；由方程組消去y ，并整理得 (b2a2k 2 ) x22a3 kxa4a2b2a2b20ykxa由 式 、 和 ； x1 x2a4a2 b2a2 (a2b2 )a3