等差等比數(shù)列(學(xué)生用)

1、等差等比數(shù)列【基礎(chǔ)過關(guān)】1.等差數(shù)列的定義：=d(d為常數(shù))：等比數(shù)列的定義：()q(q為不等于零的常數(shù)).2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1) an= ai+xd;(2) an= am+x d等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1) an= aiqnT;(2) a* = amqn m3 .等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式： Sn =等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=q _1Iq=14 .等差中項(xiàng)：如果 a、b、c成等差數(shù)列，則 b叫做a與c的等差中項(xiàng)，即b=.等比中項(xiàng)：如果a、b、c成等比數(shù)列，那么b叫做a與c的等比中項(xiàng)，即b2 =(或b=).5等差數(shù)列an的兩個(gè)重要性質(zhì)：(1) m, n, p, q N*，若 m+ n=

2、 p+ q,貝U.(2) 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn , 5n Sn , S3n_ 成數(shù)列.等比數(shù)列an的幾個(gè)重要性質(zhì)：(1) m, n, p, q N*，若 m+ n= p+ q,貝U.(2) Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和且Sn 0，貝V S , S2n_ Sn,囪一翁成數(shù)列.(3) 若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn是等差數(shù)列，則an的公比q =6. 判斷和證明數(shù)列an是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(1) 定義法：對(duì)于n >2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證 anan-1 (玉)為同一常數(shù).an丄(2) 通項(xiàng)公式法： 若 an= a1 + (n 1)d = ak+ (n k)d，則 an為等差數(shù)

3、列； 若an= a1q n 1 = akqn k，則an為等比數(shù)列.(3) 中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證 2an+ 1 = an + an + 2( an 1 = an + an+ 2)n N 都成立.【基礎(chǔ)自測】1. 等差數(shù)列an共有2n + 1嘰 其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319，偶數(shù)項(xiàng)之和為290,則其中間項(xiàng)為 2. 已知等差數(shù)列an中，a2與a6的等差中項(xiàng)為5, a?與a?的等差中項(xiàng)為 乙則a.=3. 設(shè) Sn是等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，S6= 36, Sn= 324, Sn-6= 144(n>6)，貝V n 等于1 a +a3 +a54. 已知等比數(shù)列 an公比為 q，貝U - = .3a?十 a

4、4 十5. 首項(xiàng)為24的等差數(shù)列從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是 .6. “b2= ac”是"a、b、c成等比數(shù)列”的 條件.7. 在等比數(shù)列an中，an> 0, (n N)且 a3a6a9= 8，貝Vlog 2a2+ log2a4+ log2a6+ log2a8 + log2aio =.&等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a5= 20- a6,則.9. 若an是等比數(shù)列，下列數(shù)列中是等比數(shù)列的所有代號(hào)為是 . Bn !: a2n:.；：lg an| flan J10. 已知數(shù)列an中，ai= 1, a2= 0,對(duì)任意正整數(shù) n, m(n>m)滿足 a

5、*2 am2= an-man +m,貝 y aii9=.5 311. 在圓x2+ y2= 5x內(nèi)，過點(diǎn)(上,3)有n條弦的長度成等差數(shù)列，最短弦長為數(shù)列的首項(xiàng)ai，最2 2長的弦長為an，若公差d (1 , 1 ，那么n的取值集合為6 312. 數(shù)列an中a1 = 1, a5= 13, a*+2+ a*= 2a“+1;數(shù)列 bn中，b2= 6,b3= 3,bn+2bn = b n+1,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)列 P1(a1, b1), P2(a2, b2),P3,bj, , ,Pn(an,bn),貝U向量 PP2 + 昭4+ F5Ps +, + P2005P2006 的坐標(biāo)為 .13. 已知各

6、項(xiàng)均正的等比數(shù)列an中，Ig(a3a8a13)= 6,貝U a1a15的值為 .14. 在數(shù)列an中，如果對(duì)任意n N +都有an2 一時(shí) =k(k為常數(shù))，則稱an為等差比數(shù)列，k稱an 卡 _an為公差比.現(xiàn)給出下列命題：(1 )等差比數(shù)列的公差比一定不為0;(2)等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；(3) 若an=- 3n+ 2,則數(shù)列an是等差比數(shù)列；(4) 若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比.其中正確的命題的序號(hào)為 .【題例分析】例1.設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，數(shù)列bn為等差數(shù)列，且 b1 = 0, Cn= a*+ bn,若Cn是1, 1, 2, 求Cn的前10項(xiàng)和.例2已知數(shù)列a.中，a

7、i= 1且點(diǎn)P®, a“+ ”(n N*)在直線x y+ 1 = 0 上.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；111 1 *(2) 若函數(shù) f(n)= (n N，且 n2),求函數(shù) f(n)的最小值.n n +a2 n +a3n +an例3.有固定項(xiàng)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 2n2+n,現(xiàn)從中抽取某一項(xiàng)(不包括首項(xiàng)、末項(xiàng))后，余 下的項(xiàng)的平均值是 79.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2) 求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，抽取的是第幾項(xiàng).例4.在等差數(shù)列an中，公差0,a2是ai與的等比中項(xiàng)，已知印，a3,ak,，- ,ak，-成等比數(shù)列，求數(shù)列kn的通項(xiàng)公式.【鞏固訓(xùn)練】1.已知an為等差數(shù)列，前1

8、0項(xiàng)的和為Sio= 100,前100項(xiàng)的和$00= 10,求前110項(xiàng)的和S1102.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an= (n + 1)(n N +)，試冋數(shù)列an有沒有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若無，說明理由.練習(xí)：已知an= n98 (n N + )，則在數(shù)列an中的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為什么? n_如3. 數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)為 Sn, Sn= 2an 3n(n N ).(1)證明：數(shù)列an+ 3是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(3) 數(shù)列an中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不 存在，請(qǐng)說明理由.4. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知2a2= ai + a3,數(shù)列 . Sn 是公差為d的等差數(shù)列. 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(用 n, d表示)； 設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足 m+ n= 3k且m n的任意正整數(shù) m, n, k，不等式Sm+ Sn>cSk都成立. 求證：c的最大值為9 .25. 已知數(shù)列an、