線性方程組的解

1、4 4 線性方程組的解線性方程組的解主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、線性方程組解的判定定理一、線性方程組解的判定定理二、求解線性方程組的步驟二、求解線性方程組的步驟三、線性方程組的相關(guān)定理三、線性方程組的相關(guān)定理4 4 線性方程組的解線性方程組的解可以寫成以向量為未知元的向量方程 Ax = b,如果方程組有解,稱方程組(1)是相容的相容的,如果方程組無解,稱方程組(1)不相容不相容.11112211211222221122,(1),nnnnmmmnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb 定義定義:設(shè)有n個未知數(shù)m個方程的線性方程組4 4 線性方程組的解線性方程組的解定理定理4: n元線性方程組

2、Ax = b(1)無解的充分必要條件是 R(A ) R(A,b ) ;(2)有唯一解的充分必要條件是R(A) = R(A,b ) = n ;(3)有無窮多解的充分必要條件是R(A) = R(A,b ) n .4 4 線性方程組的解線性方程組的解求解求解非齊次非齊次線性方程組的步驟線性方程組的步驟: 對于非齊次線性方程組,把它的增廣矩陣B= (A,b )化成行階梯形,從B的行階梯形可同時看出R(A )和R(B) .(1)若 R(A) R(B) ,則方程組無解.4 4 線性方程組的解線性方程組的解12122.225xxxx 求解線性方程組例例112112( , ),225001()2,()3,()

3、(),BA bR AR BR AR B所以方程組無解。解4 4 線性方程組的解線性方程組的解對于非齊次線性方程組,增廣矩陣B= (A,b ), (2)若R(A) = R(B),則進(jìn)一步把B化成行最簡形. R(A ) = R(B) = n,非齊次線性方程組有唯一解.4 4 線性方程組的解線性方程組的解1212225xxxx 求解線性方程組例例111122112( , ),25( )( ),11.11BA bBR AR BxxBxx 所對應(yīng)的方程組為，方程組有唯一解解4 4 線性方程組的解線性方程組的解對于非齊次線性方程組,增廣矩陣B= (A,b ), (3)設(shè)R(A) = R(B) = r n,

4、把行最簡形中r個非零行的非零首元所對應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù),其余n- r個未知數(shù)取作自由未知數(shù),并令自由未知數(shù)分別等于c1 ,c2 , , c n- r ,由B (或 A)的行最簡形,即可寫出含n- r個參數(shù)的通解. R(A) = R(B) = r n,非齊次線性方程組有無限多個解.4 4 線性方程組的解線性方程組的解1212224xxxx 求解線性方程組2例例解1121112112(, ),242()(),00,.1BA bBxxR AR BBxcxcxc1220012所對應(yīng)的方程組為，令方程組有無窮多解4 4 線性方程組的解線性方程組的解求解求解齊次齊次線性方程組的步驟線性方程組的步驟

5、: 對于齊次線性方程組,它的增廣矩陣B= (A,0 )與系數(shù)矩陣A 的秩相等,即R(A)=R(B) .則把系數(shù)矩陣A化成行最簡形.(1)若R(A)= n, 則方程組只有零解.4 4 線性方程組的解線性方程組的解1212xxxx 求解線性方程組2例例解112,(),.ABRAxx2方程組只有零解4 4 線性方程組的解線性方程組的解對于齊次線性方程組(2)若R(A) n, 則方程組有非零解.4 4 線性方程組的解線性方程組的解121200 xxxx 求解線性方程組22例例解1121112,000( ),00,.ABxxR ABxcxcxc 222 所對應(yīng)的方程組為方程組有非零解，令4 4 線性方程

6、組的解線性方程組的解定理定理5: 線性方程組Ax = b有解的充分必要條件是 R(A) = R(A,b ).定理定理6: n元線性方程組Ax =0有非零解的充分必要條件是 R(A) n.定理定理7: 矩陣方程AX = B有解的充分必要條件是 R(A ) = R(A,B ) .4 4 線性方程組的解線性方程組的解定理定理8: 設(shè)AB =C,則R(C) minR(A),R (B).定理定理9: 矩陣方程A mn X nl = O只有零解的充分必要條件是 R(A) = n .4 4 線性方程組的解線性方程組的解123123123(1)0,(1)3,(1),xxxxxxxxx 求解線性方程組問 取何值

7、時，此方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多個解？例例解1110111111303,11100(3)(1)(3)0,3, ( )( )3,0, ( ) 1, ( )2,3, ( )( )2,(1)(2)( )BR AR BR AR BR AR B方程組有唯一解；方程組無解；方程組有無限多個解。4 4 線性方程組的解線性方程組的解113322333, ( )( )2,1123101103360112 ,00000000111,( )12 ,().(,10)2rrR AR BBxxxxxccRxxx 方程組有無限多個解。由此的通解即4 4 線性方程組的解線性方程組的解o 總結(jié)總結(jié)o 齊次線性方程組Ax =0 (1)若R(A)= n, 則方程組只有零解. (2)若R(A) n, 則方程組有非零解