5年級-小學奧數(shù)舉一反三(下冊)

1、小學奧數(shù)舉一反三練習材料五年級 下冊二O四年六月目錄第 21 講 假設(shè)法解題 1第 22 講 作圖法解題 6第 23 講 分解質(zhì)因數(shù) 1.3.第 24 講 分解質(zhì)因數(shù)二 1.8.第 25 講 最大公約數(shù) 2.2.第 26 講 最小公倍數(shù)一 2.8.第 27 講 最小公倍數(shù)二 3.4.第 28 講 行程問題一 4.0.第 29 講 行程問題二 4.7.第 30 講 行程問題三 5.3.第 31 講 行程問題四 6.0.第 32 講 算式謎 6.7 第 33 講 包含與排除容斥原理 7.3.第 34 講 置換問題 8.0 第 35 講 估值問題 8.6 第 36 講 火車行程問題 9.2.第 37

2、 講 簡單列舉 9.8 第 38 講 最大最小問題 1.0.3第 39 講 推理問題 1.1.0.第 40 講 雜 題 1.1.7.第 21 講 假設(shè)法解題【專題簡析 】假設(shè)法是解應用題時常用的一種思維方法。在一些應用題中，要求兩個或兩個以上的未知量，思考時可以先假設(shè)要求的兩個或幾個未知數(shù)相等，或 者先假設(shè)兩種要求的未知量是同一種量，然后按題中的條件進行推算，并對照 條件，把數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾加以適當?shù)恼{(diào)整，最后找到答案?！纠} 1】 有 5 元和 10 元的人民幣共 14 張，共 100 元。問 5 元幣和 10 元 幣各多少張？思路與導航：假設(shè)這14張全是5元的，那么總錢數(shù)只有5 X14=7

3、0元，比實際 少了 10070=30 元。為什么會少了 30 元呢？因為這 14 張人幣民幣中有的是 10 元的。拿一張 5元的換一張 10 元的，就會多出 5元， 30 元里包含有 6個5元， 所以，要換 6次，即有 6張是 10 元的，有 146=8 張是 5元的。練習一1，籠中共有雞、兔100 只，雞和兔的腳共 248 只。求籠中雞、兔各有多少只？2，一堆 2分和 5分的硬幣共 39 枚，共值 1.5 元。問 2分和 5分的各有多少 枚？3，營業(yè)員把一張 5 元人幣和一張 5 角的人民幣換成了 28 張票面為一元和一 角的人民幣，求換來這兩種人民幣各多少張？【例題 2 】 有一元、二元、

4、五元的人民幣 50 張，總面值 116 元。一元的 比二元的多 2 張，問三種面值的人民幣各有幾張？思路與導航：(1 )如果減少 2 張一元的，那么總張數(shù)就是 48 張，總面值就是114 元，這樣一元的和二元的張數(shù)就同樣多了；(2)假設(shè)這48張全是5元的，那么總值為5 X48=240元，比實際多出了 240 114=126 元，然后進行調(diào)整。用 2 張5 元的換一張 1元和一張 2元的就會減少 7元，126十7=18次，即換18次。所以，原來二元的有18張，一元的有18 + 2=20 張，五元的有 501820=12 張。練習二1，有3元、5元和 7元的電影票 400 張，一共價值 1920

5、元。其中 7元的和5 元的張數(shù)相等，三種價格的電影票各有多少張？2，有一元、五元和十元的人民幣共 14 張，總計 66元，其中一元的比十元的多 2 張。問三種人民幣各有多少張？3，有1 角、 2角、 4角、5角的郵票共 26 張，總計 6.9元。其中 1 角和2角的張數(shù)相等， 4角的和 5角的張數(shù)相等。求這四種郵票各有多少張？【例題 3】 五 1班有 51 個同學，他們要搬 51 張課桌椅。規(guī)定男生每人搬2 張，女生兩人搬 1 張。這個班有男、女生各多少人？思路與導航：假設(shè)51個全是男生，能搬2 X5仁102張課桌椅，比實際搬的多出了 102 51=51張。用2個男生換成2個女生就少搬3張，5

6、1十3=17，因此這 個班有2 X17=34個女同學，有51 34=17個男同學。練習三1 ，甲、乙二人共存 550 元錢，當甲取出自己存款的一半，乙取出自己存款中的 70 元時，兩人余下的錢正好相等。求甲、乙原來各存多少元錢。2 ，學校春游共用了 10 輛客車，大客車每輛坐 100 人，小客車每輛坐 60 人，大客車比小客車一共多坐 520 人。大、小客車各幾輛？3，班級買來 50 張雜技票，其中一局部是 1 元5角一張的，另一局部是 2 元 一張的，總共的票價是 88 元。兩種票各買了多少張？例題 4】 用大、小兩種汽車運貨。每輛大汽車裝 18 箱，每輛小汽車裝 12 箱。現(xiàn)有 18 車貨

7、，價值 3024 元。假設(shè)每箱廉價 2 元，那么這批貨價值 2520 元。大、 小汽車各有多少輛？思路與導航：根據(jù)“假設(shè)每箱廉價 2 元，那么這批貨價值 2520 元可以知道，3024 2520=504 元， 504 元中包含有 252 個 2 元，即這批貨有 252 箱。假設(shè) 18 輛 都是大汽車，那么裝貨18 X18=324 箱，比實際箱數(shù)多324 252=72箱。一輛大 汽車換一輛小汽車可少運 1812=6 箱， 72 里面有12 個6，所以，有 12 輛小汽 車，有 1812=6 輛大汽車。練習四1 ，一輛卡車運礦石， 晴天每天運 20 次，雨天每天可運 12 次，它一共運了 112

8、次，平均每天運 14 次。這幾天中有幾天是雨天？2，有雞蛋18 筐，每只大籮容 180個，每只小籮容 120 個，這批蛋共值 302.4元。假設(shè)將每個雞蛋廉價 2 分出售，這些蛋可賣 252 元。問：大籮、小籮各有幾個？3 ，運來一批西瓜，準備分兩類賣，大的每千克 0.4 元，小的每千克 0.3 元， 這樣賣這批西瓜共值 290 元。如果每千克西瓜降價 0.04 元，這批西瓜只能賣 250 元。有多少千克大西瓜？例題 5】 甲、乙二人投飛鏢比賽，規(guī)定每中一次記 10 分，脫靶一次倒扣 6 分。兩人各投 10 次，共得 152 分。其中甲比乙多得 16 分，兩人各中多少次？思路與導航：我們可以先

9、算出每人各得多少分。甲得152 +16 十2=84分, 那么乙得152 84=68分。甲投10次，假設(shè)10次都投中就該得10 X10=100分， 而事實只得了 84 分,少得 10084=16 分,因為脫靶一次不僅得不到 10 分還要 倒扣6分。因此甲共脫靶16十10 + 6 =1次，甲中了 10 仁9次。再用同樣的 思路可以分析出乙中靶幾次。練習五1 ，甲組工人生產(chǎn)一種零件，每天生產(chǎn) 250 個。按規(guī)定每個合格記 4 分，生產(chǎn) 一只不合格要倒扣 15 分。該組工人 4天共得了 2752 分，問：生產(chǎn)合格的零件共 多少只？2，某班 42 個同學參加植樹，男生平均每人種 3 棵，女生平均每人種

10、2 棵。 男生共比女生多種 56 棵，求男、女生各多少人。3，王師傅有 2 元、5 元、10 元的人民幣共 118 張，共計 500 元。其中 5 元 與10元的張數(shù)相等，求三種人民幣各多少張。第22講作圖法解題【專題簡析】用作圖的方法把應用題的數(shù)量關(guān)系提示出來，使題意形象具體， 一目了然，以便較快地找到解題的途徑，它對解答條件隱蔽、復雜疑難的應用題， 能起化難為易的作用。在解答一個數(shù)或者幾個數(shù)的和差、倍差及相互之間的關(guān)系，求其中一個數(shù) 或者幾個數(shù)問題等應用題時，我們可以抓住題中給出的數(shù)量關(guān)系，借助線段圖進行 分析，從而列出算式。【例題1】 五1班的男生人數(shù)和女生人數(shù)同樣多。抽去 18名男生和

11、26 名女生參加合唱隊后，剩下的男生人數(shù)是女生的 3倍。五1 班原有男、女生各 多少人？思路與導航：根據(jù)題意作出示意圖：12名男生人數(shù);匸二二_«_c2&&立生人數(shù):亠從圖中可以看出，由于女生比男生多抽去 26 - 18=8名去合唱隊，所以，剩下 的男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍，而這8名同學正好相當于剩下女生人數(shù)的 2倍，剩 下的女生人數(shù)有8十2=4名，原來女生人數(shù)是26 + 4=30名。練習一1，兩根電線一樣長，第一根剪去 50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部 分，第一根是第二根長度的3倍。這兩根電線原來共長多少厘米？2，甲、乙兩筐水果個數(shù)一樣多，從第一筐中取出31

12、個，第二筐中取出19個后，第二筐剩下的個數(shù)是第一筐的 4倍。原來兩筐水果各有多少個？3，哥哥現(xiàn)存的錢是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元,人的存款正好相等。哥哥原來存有多少錢？【例題2】同學們做紙花，做了 36朵黃花，做的紅花比黃花和紫花的總數(shù)還多12朵。紅花比紫花多幾朵？思路與導航：通過線段圖來觀察：黃花亦朵紫花!血朵紅花從圖中可以看出：紅花比紫花多的朵數(shù)由兩局部組成，一局部是36朵，另一局部是12朵，所以，紅花比紫花多36 + 12=48朵。練習二1，奶奶家養(yǎng)了 25只鴨子，養(yǎng)的雞比鴨和鵝的總數(shù)還多 10只。奶奶家養(yǎng)的雞比鵝多幾只?2，批發(fā)部運來一批水果，其中梨 65筐，蘋果

13、比梨和香蕉的總數(shù)還多 24筐運來的香蕉比蘋果少多少筐?3，期末測試中，明明的語文得了 90分。數(shù)學比語文和作文的總分少 70分 明明的數(shù)學比作文高多少分？【例題3】甲、乙、丙、丁四個小組的同學共植樹45棵，如果甲組多植2棵, 乙組少植2棵，丙組植的棵數(shù)擴大2倍，丁組植樹棵數(shù)減少一半，那么四個組植的 棵數(shù)正好相同。原來四個小組各植樹多少棵？思路與導航：圖中實線表示四個小組實際植樹的棵數(shù)：I涵I申組:2棵乙組4士I丙組*4I丁組;從圖中可以看出，把丙組植的棵數(shù)看作 1份，甲組和乙組共植了這樣的4份, 丁組也植了這樣的4份。因此，我們可以先求出丙組植樹的棵數(shù)：45 -(1 + 4 + 4)=5棵，從

14、而得出甲組植了 5 X2 2=8棵，乙組植了 5 X2 + 2=12棵，丁組植了 5X4=20 棵。練習三1，甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是 100，甲數(shù)加上 4，乙數(shù)減去 4，丙數(shù)乘以 4， 丁數(shù)除以 4 后，四個數(shù)就正好相等。求這四個數(shù)。2，甲、乙、丙三人分 113 個蘋果，如果把甲分得的個數(shù)減去 5，乙分得的個 數(shù)減去 24 ，丙把分得的個數(shù)送給別人一半后，三人的蘋果個數(shù)就相同。三人原來 各分得蘋果多少個？3，甲、乙、丙、丁一共做 370 個零件，如果把甲做的個數(shù)加 10 ，乙做的個數(shù) 減 20 ，丙做的個數(shù)乘以 2，丁做的個數(shù)除以 2 ，四人做的零件正好相等，求乙實際 做了多少個？【例題

15、4】 五 1 班全體同學做數(shù)學競賽題，第一次及格人數(shù)是不及格人數(shù) 的3倍多4人，第二次及格人數(shù)增加 5人，使及格的人數(shù)是不及格人數(shù)的 6倍。五 1 班有多少人？思路與導航：不及格人數(shù)曲格人數(shù)第二次及格人數(shù)增加5人，也就是不及格人數(shù)減少5人。假設(shè)不及格人數(shù)減少5 人，及格人數(shù)也減少5 X3=15人，那么及格人數(shù)仍是不及格人數(shù)的 3倍多4人。 可事實上及格的人數(shù)不但沒有減少 15人，反而增加了 5人，因此多了( 15 + 5 + 4) 人不我出了( 6 3 )倍。所以第地次不及格的人數(shù)是(15 + 5 + 4)-(6 3) =8 人，全班8 X(1 + 6) =56人。練習四1，有兩筐水果，甲筐水

16、果的個數(shù)是乙筐的 3倍，如果從乙筐中拿5個放進甲 筐，這時甲筐的水果恰好是乙筐的 5倍。原來兩筐各有多少個水果？2，某車間有兩個小組，A組的人數(shù)比B組人數(shù)的2倍多2人。如果從B組中 抽10人去A組，那么A組的人數(shù)是B組的4倍。原來兩組各有多少人？3，五(1)班上學期體育達標的人數(shù)比未達標人數(shù)的 5倍多2人，今年又有2倍同學達標，這樣，達標的人數(shù)正好是未達標人數(shù)的7倍。這個班共有多少個同學？【例題5】 用繩子測井深，把繩了三折來量，井外余 16分米；把繩子四折來 量，井外余4分米。求井深和繩長。16分jj4分痕I思路與導航：從圖中可以看出：把繩子三折來量，井外余 16分米，也就是繩 長比井深的3

17、倍還多16 X3=48分米；把繩子四折來量，井外余 4分米，也就是繩 長比井深的4倍還多4 X4=16分米。把這兩種情況進行比照便可知道：48 16=32 分米正好就是井深。因此，繩長是 32 X3 + 48=144分米。練習五1，用一根繩子量大樹的周長，把繩子 2折后正好繞大樹2圈；假設(shè)把繩子3折 后，繞大樹一圈還余30厘米。求大樹的周長和繩長。2，有一根繩子和一根竹竿，把繩子對折后比竹竿長2為，把繩子四折后比竹竿短2米。竹竿長幾米？繩子長幾米?3 ，用一個杯子向一個空瓶里倒水，如果倒進 3 杯水，連瓶共重 440 克；如果倒進 7 杯水，連瓶共重 600 克。一杯水重多少克？空瓶重多少克？

18、第 23 講 分解質(zhì)因數(shù)【專題簡析 】一個自然數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 把一個合數(shù)，用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如： 24=2 X2 X2 X3 , 75=3 X5 X5。我們數(shù)學課本上介紹的分解質(zhì)因數(shù)，是為求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)效勞的。 其實，把一個數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式， 能啟發(fā)我們尋找解答許多難題的突破口， 從而順利解題?！纠} 1】 把 18 個蘋果平均分成假設(shè)干份，每份大于 1 個，小于 18 個。一共 有多少種不同的分法？思路與導航：先把18分解質(zhì)因數(shù)：18=2 X3 X3，可以看出：18的約數(shù)是1、2、3、6、9、18 ，除去 1 和18

19、，還有 4 個約數(shù)，所以，一共有 4種不同的分法。 練習一1，有 60 個同學分成人數(shù)相等的小組去慰問解放軍叔叔， 每組不少于 6 人，不 多于 15 人。有哪幾種分法？2， 195 個同學排成長方形隊伍做早操， 行數(shù)和列數(shù)都大于 1 ，共有幾種排法？3，甲數(shù)比乙數(shù)大 9，兩個數(shù)的積是 792，求甲、乙兩數(shù)分別是多少【例題 2】 有 168 顆糖，平均分成假設(shè)干份，每份不得少于 10 顆，也不能多于50 顆。共有多少種分法？思路與導航：先把168分解質(zhì)因數(shù)，168=2 X2 X2X3X7，由于每份不得少于10顆，也不能多于50顆，所以，每份有2 X2 X3=12顆，2 X7=14顆，3 X7=

20、21 顆， 2X2X2X3=24 顆， 2X3X7=42 顆，共有 5 種分法。練習二1，把 462 名學生分成人數(shù)相等的假設(shè)干組去參加課外活動小組，每小組人數(shù)在10 至 25 人之間，求每組的人數(shù)及分成的組數(shù)。2，四個連續(xù)奇數(shù)的和是 19305 ，這個四奇數(shù)分別是多少？3，把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 九張卡片分給甲、乙、丙三人，每人各 3 張。甲說：“我的三個數(shù)的積是 48 。乙說： “我的三個數(shù)的和是 1 6 。丙說： “我的 三個數(shù)的積是 63 。甲、乙、丙各拿了哪幾張卡片？【例題 3】 將下面八個數(shù)平均分成兩組，使這兩組數(shù)的乘積相等。2、5、14、24、27、55、56、9

21、9思路與導航： 14=2 X755=5 X1124=2 X2X2X356=2 X2X2X727=3 X3X399=3 X3X11可以看出，這八個數(shù)中，共含有八個 2，六個 3，二個 5，二個 7 和二個 11 。 因為要把這八個數(shù)分成兩組，且積相等，所以，每組數(shù)中應含有四個2，三個 3，一個 5，一個 7 和一個 11 。經(jīng)排列為 5、99、24、14和55、27、56、2。 練習三1 ，下面四張小紙片各蓋住一個數(shù)字，如果這四個數(shù)字是連續(xù)的偶數(shù)，請寫出 這個完整的算式。 XQO2882，有三個自然數(shù) a、b、c, a xb=30 , b Xc=35 , cXa=42，求 axb Xc的積是多少

22、？3,把 40、 45、 63、 65、 78、 99、 105 這八個數(shù)平分成兩組,使兩組四個數(shù) 的乘積相等?！纠} 4】 王老師帶著一班同學去植樹,學生恰好分成 4 組。如果王老師和 學生每人植樹一樣多, 那么他們一共植了 539 棵。這個班有多少個學生？每人植樹 多少棵？思路與導航：根據(jù)每人植樹棵數(shù)X人數(shù)=539棵，把539分解質(zhì)因數(shù)。539=7X7 X11，如果每人植7棵，這個班就有7 X11 仁76人；如果每人植樹11棵， 這個班共有 7X71=48 人。練習四1， 3 月12 日是植樹節(jié)，李老師帶著同學們排成兩路人數(shù)相等的縱隊去植樹。 李老師和同學們每人植樹的棵數(shù)相等，一共植了 1

23、11 棵樹，求有多少個學生。2 ，小青去看電影，他買的票的排數(shù)與座位號數(shù)的積是 391 ，而且排數(shù)比座位 號數(shù)大 6。小青買的電影票是幾排幾座？3，把一籃蘋果分給 4 人，使四人的蘋果數(shù)一個比一個多 2，且他們的蘋果個 數(shù)之積是 1920 。這籃蘋果共有多少個？【例題5】 下面的算式里，里數(shù)字各不相同，求這四個數(shù)字的和。 XE=3995思路與導航： 要使兩個兩位數(shù)的積等于 1995，那么，這兩個數(shù)的積應和 1995有相同的質(zhì)因數(shù)。1995=3 X5X7X19，可以有35 X57=1995 和21 X95=1995。因為要滿足“數(shù)字各不相同的條件，所以取 21 X95=1995 ，這四個數(shù)字的和

24、是： 21 95=17 。練習五1，在下面算式的框內(nèi)，各填入一個數(shù)字，使算式成立。 x=199539270 立求三個數(shù)之2，有一個長方體，它的長、寬、高是三個連續(xù)的自然數(shù)，且體積是 方厘米，求這個長方體的外表積。3，有三個自然數(shù) a, b, c, aXb=35 , b Xc=55 , a Xc=77 , 積是多少？第 24 講 分解質(zhì)因數(shù)二【專題簡析 】許多題目，特別是一些競賽題，初看起來很玄妙，但它們都與乘 積有關(guān)，對于這類題目，我們可以用分解質(zhì)因數(shù)的方法求解。因此，掌握并靈活應 用分解質(zhì)因數(shù)的知識，能解答許多一般方法不能解答的與積有關(guān)的應用題?！纠} 1】 三個質(zhì)數(shù)的和是 80 ，這三個數(shù)

25、的積最大可以是多少？思路與導航： 三個質(zhì)數(shù)相加的和是偶數(shù)，必有一個質(zhì)數(shù)是2。802=78 ，剩下兩個質(zhì)數(shù)的和是 78 ，而且要使它的積最大，只能是 41 和 37 。因此，這三個質(zhì) 數(shù)是 2、37 和 41 。最大積是2 X37 X4仁3034練習一1 ，有三個質(zhì)數(shù)，它們的乘積是 1001 ，這三個質(zhì)數(shù)各是多少？2 ，張明是個初中生，有一次，他參加數(shù)學競賽后，所得的名次、分數(shù)和他的歲數(shù)三者的積是 2910 。求張明的成績、名次和年齡分別是多少？3 ，寫出假設(shè)干個連續(xù)的自然數(shù)，使它們的積是15120【例題 2】 長方形的面積是 375 平方米， 它的寬比長少 10 米，長和寬的和是多少米？思路與

26、導航：這道題如果用方程來解會比擬麻煩， 我們可以把 375 分解質(zhì)因數(shù) 看一看。375=5 X5 X5X3，因為5 X5比5 X3正好多10 ,所以，此長方形的長是5X5=25米，寬是5 X3=15米，它們的和是40米。練習二1 ， 237 除以一個兩位數(shù)，所得的余數(shù)是 6，請寫出適合于這個條件的所有兩 位數(shù)。2，有4個孩子，恰好一個比一個大 1 歲， 4人的年齡積是 3024，這4個孩子中最大的幾歲？3，有一塊長方形的場地，它是由 319 塊1 平方分米的水泥方磚鋪成的，求這 塊長方形場地的周長?！纠} 3】 某班同學在班主任老師帶著下去種樹， 學生恰好平均分成三組， 如果師生每人種樹一樣多

27、，一共種了 1073 棵，那么，平均每人種了多少棵？思路與導航：根據(jù)每人種樹棵數(shù)X參加人數(shù)=1073，把1073分解質(zhì)因數(shù)：1073=29 X37,再根據(jù)學生恰好平均分成三組可知：參加種樹的人數(shù)是3的倍數(shù)多1 ，由于只有 37 比 3的倍數(shù)多 1，所以有 37 人，平均每人種 29 棵。練習三1 ，一個長方體的長、寬、高是三個連續(xù)的自然數(shù)。這個長方體的體積是9240 立方厘米，那么，這個長方體的外表積是多少？2 ，老師用 216 元買一種鋼筆假設(shè)干支，如果每支鋼筆廉價 1 元錢，那么他就能 多買 3 支。每支鋼筆原價多少元？3 ，王老師帶同學們擦玻璃，同學們恰好平均分成3 組。如果師生每人擦的

28、塊數(shù)同樣多，一共擦 111 塊，那么，平均每人擦了多少塊？【例題 4】 把 155/186 和 221/187 約分。思路與導航： 這兩個分數(shù)的分子和分母都比擬大，不能一眼看出分子和分母的 公約數(shù)。我們可以先求出分子與分母的差，如果差是質(zhì)數(shù)，就直接用這個質(zhì)數(shù)去約 分；如果差是合數(shù)，就把這個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后用其中的一個質(zhì)數(shù)去約分。(1) 186 155=31 ，31是質(zhì)數(shù)，用 31 約分得： 155/186=5/6 ；(2) 221 187=34 , 34=2 X17，用 17 約分得：221/187=13/11。練習四請用上面的方法把下面的幾個分數(shù)約分。46/69143/117247/32

29、3161/253例題 5 】 小明用 2.16 元買了一種畫片假設(shè)干張，如果每張畫片的價錢廉價 1分錢，那么他還能多買 3 張。小明買了多少張畫片？思路與導航：根據(jù)題意可知：畫片的單價X張數(shù)=216分，它們乘積的質(zhì)因數(shù)和 216 的質(zhì)因數(shù)相同。我們可以先把 216 分解質(zhì)因數(shù)，再寫成兩數(shù)相乘的形式分析：216=2A3 X3A3=8 X27=9 X24，顯然，216分可以買8分的畫片27張，也可以買 9 分的畫片 24 張。所以，小明買了 24 張畫片，符合題意。練習五1 ，求 2310 的約數(shù)中，除它本身以外最大的約數(shù)是多少？2，自然數(shù)a乘以2376，所得的積正好是自然數(shù)b的平方，求a最小是多

30、少？3，將 750 元獎金平均分給假設(shè)干個獲獎?wù)?，如果每人所得的錢數(shù)化成角為單位的數(shù)就正好是得錢人數(shù)的 12倍，求獲獎人數(shù)和每人分得的錢數(shù)。第 25 講 最大公約數(shù)【 專題簡析 】 幾個數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)，其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。我們可以把自然數(shù)a、b 的最公約數(shù)記作 a、b ，如果a、b =1，那么a和b互質(zhì)。 求幾個數(shù)的最大公約數(shù)可以用分解質(zhì)因數(shù)和短除法等方法?！纠} 1 】 一張長方形的紙，長 7 分米 5 厘米，寬 6 分米?，F(xiàn)在要把它裁成 一塊塊正方形，而且正方形邊長為整厘米數(shù)，有幾種裁法？如果要使裁得的正方形 面積最大，可以裁多少塊？思路與導航： 7

31、分米 5 厘米 =75 厘米， 6 分米=60 厘米。因為裁成的正方形的 邊長必須能同時整除 75 和 60 ，所以邊長是 75 和 60 的公約數(shù)。 75 和 60 的公約 數(shù)有 1、 3、 5、 15，所以有 4 種裁法。如果要使正方形面積最大， 那么邊長也應該最大， 應該取 75 和 60 的最大公約 數(shù)15作為正方形的邊長，所以可以裁75 -15 X60 -15 =20塊。練習一1 ，把 1 米 3 分米 5 厘米長、 1 米 5 厘米寬的長方形紙，裁成同樣大小的正方 形，至少能裁多少塊？2，一塊長 45 厘米、寬 30 厘米的長方形木板，把它鋸成假設(shè)干塊正方形而無剩余，所鋸成的正方形

32、的邊長最長是多少厘米？3 ，將一塊長 80 米、寬 60 米的長方形土地劃分成面積相等的小正方形，小正方形的面積最大是多少？【例題 2】 一個長方體木塊，長 2.7 米，寬 1.8 分米，高 1.5 分米。要把它切 成大小相等的正方體木塊，不許有剩余，正方體的棱長最大是多少分米？思路與導航： 2.7 米=270 厘米， 1.8 分米=18 厘米， 1.5 分米=15 厘米。要把 長方體切成大小相等的正方體，不許有剩余，正方體的棱長應該是長、寬、高的公 約數(shù)?，F(xiàn)要求正方體的棱長最大，所以棱長就是長、寬、高的最大公約數(shù)。270，18，15=3，3 厘米=0.3 分米練習二1 ，一個長方體木塊的長是

33、 4 分米 5 厘米、寬 3 分米 6 厘米、高 2 分米 4 厘米。 要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩余，求所切正方體木塊的棱長最長是 多少厘米？2，有 50 個梨， 75 個橘子和 100 個蘋果，要把這些水果平均分給幾個小組，并且每個小組分得的三種水果的個數(shù)也相同，最多可以分給幾個小組？3，五年級三個班分別有 24 人、 36 人、42 人參加體育活動，要把他們分成人 數(shù)相等的小組，但各班同學不能打亂，最多每組多少人？每班各可以分幾組？【例題 3】 有三根鋼管， 它們的長度分別是 240 厘米、200 厘米和 480 厘米， 如果把它們截成同樣長的小段，每小段最長可以是多少厘米？

34、思路與導航： 要把三根鋼管截成同樣長的小段，每小段的長度數(shù)應該是 240 、 200 和 480 的公約數(shù)，而每小段要取最長，也就是求 240 、200 和 480 的最大公 約數(shù)。 240 、200 和 480 的最大公約數(shù)是 40，所以每小段最長是 40 厘米。練習三1 ，有一個長方體木塊，長 60 厘米、寬 40 厘米，高 24 厘米。如果要切成同 樣大小的小正方體，這些正方體的棱長最長是多少厘米？2 ，用一張長 1072 毫米、寬 469 毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最后沒有剩余，這些正方形的邊長最長是多少？3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王師傅比其他工人多加

35、工假設(shè)干個外，其他工人加工的都同樣多。他們第一批共加工 2100 個，其中王師傅 比每個工人多加工 7 個；第二批加工 1800 個，其中王師傅比每個工人多加工 6 個； 第三批加工 1600 個，其中王師傅比每個工人多加工 13 個。這批工人最多有多少 人？【例題 4】 一條道路由甲村經(jīng)過乙村到丙村。甲、乙村相距360 米，乙、丙村相距 675 米?，F(xiàn)在準備在路邊裁樹，要求相鄰兩棵樹之間距離相等，并在甲、 乙兩村和乙、丙兩村的中點都要種上樹，求相鄰兩棵樹之間的距離最多是多少米？思路與導航：由于甲乙、乙丙的兩村中點各要種上一棵樹，所要要將360十2=180米、675十2=337.5米平均分成假

36、設(shè)干段，并且使每段的長度最長。因為675、360 =45，而 180=360 十2 , 337.5=675 十2，所以，45 -2=22.5，即相鄰兩棵樹 之間距離最多是 22.5 米。練習四1，一條公路由A經(jīng)B到C。A、B相距300米，B、C相距215米?，F(xiàn)在路邊植樹，要求相鄰兩樹間的距離相等，并在B點及AB、BC的中點上都要植一 棵，那么兩樹間的距離最多有多少米？2，有336 支鉛筆， 252 塊橡皮， 210 個文具盒，用這些文具，最多可以分成 多少份同樣的禮物？在每份禮物中，鉛筆、橡皮、文具盒各有多少？3，甲數(shù)是 36 ，甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是 288 ，最大公約數(shù)是 4，乙數(shù)是多少

37、？【例題 5 】 用一張長 1072 毫米、寬 469 毫米的長方形紙，剪成面積相等的 正方形，并且最后沒有剩余，這些正方形的邊長最長是多少？思路與導航： 前面的例題已經(jīng)告訴了我們，解決這道題只要求出長方形長和寬的最大公約數(shù)就行了。但是這題中，長和寬的數(shù)比擬大，最大公約數(shù)比擬難求出， 這里再介紹一種求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的方法。第一步：1072 十469，余 134 ;第二步：469 -134，余 67 ;第三步：134 -37,沒有余數(shù)，所以用67毫米為正方形的邊長來剪，正好能剪 (1072 -h67)X(469 W7) =112個正方形，即這些正方形的邊長最大是 67毫米這種求兩個較大數(shù)的最

38、大公約數(shù)的方法叫輾轉(zhuǎn)相除法。練習五1 ，用輾轉(zhuǎn)相除法求 568 和 1065 的最大公約數(shù)。2 ，試用輾轉(zhuǎn)相除法判斷 1547 與 3135 是否互質(zhì)。3 ，判斷 11111/15015 是不是最簡分數(shù)。第26講最小公倍數(shù)一【專題簡析】幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個公倍 數(shù)，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù) a、b的最小公倍數(shù)可以記作a、b，當a、b =1 時，a、b= a xb。兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有著以下關(guān)系：最大公約數(shù)x最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積即a、b xa、b= a xb要解答求最小公倍數(shù)的問題，關(guān)鍵要根據(jù)題目中的條件，對問題作全面的 分析，假設(shè)要求的數(shù)對

39、條件來說，是處于被除數(shù)的地位，通過就是求最小公倍數(shù)， 解題時要防止和最大公約數(shù)問題混淆。【例題1】 兩個數(shù)的最大公約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，求這兩個數(shù)分別是 多少？思路與導航：根據(jù)“兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的 乘積可先求出這兩個數(shù)的乘積，再把這個積分解成兩個數(shù)。根據(jù)題意：-aibi=915-G-lX6-2X3ai bi當aibi分別是1和6時，a、b分別為15 xi=15，15 X6=9O ;當aibi分別 是2和3時，a、b分別為15 X2=20，15 X3=45。所以，這兩個數(shù)是15和90或 者30和45。練習一1，兩個數(shù)的最大公約數(shù)是9，最小公倍數(shù)是90,求這

40、兩個數(shù)分別是多少？2，兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 12 ，最小公倍數(shù)是 60，求這兩個數(shù)的和是多少？3，兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 60，最小公倍數(shù)是 720 ，其中一個數(shù)是 180 ，另一 個數(shù)是多少？【例題 2】 兩個自然數(shù)的積是 360 ，最小公倍數(shù)是 120 ，這兩個數(shù)各是多少？ 思路與導航： 我們把這兩個自然數(shù)稱為甲數(shù)和乙數(shù)。因為甲、乙兩數(shù)的積一定 等于甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積。根據(jù)這一規(guī)律，我們可以求出這 兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 360 -120=3。又因為甲十3=a，乙十3=b 中，3XaXb=120 , a和b 一定是互質(zhì)數(shù)，所以，a和b可以是1和40 ,也可以是5和8。當a和

41、b 是1和40時，所求的數(shù)是3 X仁3和3 X40=120 ;當a和b是5和8時，所求的 數(shù)是 3X5=15 和 3X8=24 。練習二1，求36 和 24的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。2，兩個數(shù)的積是 3072 ，最大公約數(shù)是 16，求這兩個數(shù)。3，兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 13 ，最小公倍數(shù)是 78，求這兩個數(shù)的差。例題 3】 甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲 3天去一次，乙 4 天去一次，丙 5 天去一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會， 問至少再過多少天他們?nèi)擞衷趫D書館相會？思路與導航： 從第一次三人在圖書館相會到下一次再次相會，相隔的天數(shù)應該 是 3、4、5

42、 的最小公倍數(shù)。因為 3、4、5 的最小公倍數(shù)是 60 ，所以至少再過 60 天他們?nèi)擞衷趫D書館相會。練習三1 ，1 路、 2 路和 5 路車都從東站發(fā)車， 1 路車每隔 10 分鐘發(fā)一輛， 2 路車每 隔 15 分鐘發(fā)一輛，而 5 路車每隔 20 分鐘發(fā)一輛。當這三種路線的車同時發(fā)車后， 至少要過多少分鐘又這三種路線的車同時發(fā)車？2 ，甲、乙、丙從同一起點出發(fā)沿同一方向在圓形跑道上跑步， 甲跑一圈用 120 秒，乙跑一圈用 80 秒，丙跑一圈用 100 秒。問：再過多少時間三人第二次同時從 起點出發(fā)？3 ，五年級一班的同學每周一都要去看軍屬張爺爺，二班的同學每 6 天去看次，三班的同學每兩

43、周去看一次。如果“六一兒童節(jié)三個班的同學同一天去看張爺爺，那么，再過多少天他們?nèi)齻€班的同學再次同一天去張爺爺家？【例題 4 】 一塊磚長 20 厘米，寬 12 厘米，厚 6 厘米。要堆成正方體至少需 要這樣的磚頭多少塊？思路與導航： 把假設(shè)干個長方體疊成正方體，它的棱長應是長方體長、寬、高的 公倍數(shù)?，F(xiàn)在要求長方體磚塊最少， 它的棱長應是長方體長、 寬、高的最小公倍數(shù)， 求出正方體棱長后，再根據(jù)正方體與長方體體積之間的關(guān)系就能求出長方體磚的塊 數(shù)。練習四1 ，用長 9 厘米、寬 6 厘米、高 7 厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需 要用這樣的長方體多少塊？2 ，有 200 塊長 6 厘米、

44、寬 4 厘米、高 3 厘米的長方體木塊，要把這些木塊堆成一個盡可能大的正方體，這個正方體的體積是多少立方厘米？3 ，一個長方體長 2.7 米、寬 1.8 分米、高 1.5 分米，要把它切成大小相等的正方體小塊，不許有剩余，這些小正方體的棱長最多是多少分米？【例題 5】 甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 4 米，丙每秒跑 2 米，三人沿 600 米的 環(huán)形跑道從同一地點同時同方向跑步，經(jīng)過多少時間三人又同時從出發(fā)點出發(fā)？思路與導航：甲跑一圈需要600十3=200秒，乙跑一圈需要600十4=150秒， 丙跑一圈需要600 -2=300秒。要使三人再次從出發(fā)點一齊出發(fā)，經(jīng)過的時間一定 是200、150 和

45、300 的最小公倍數(shù)。200、150 和 300 的最小公倍數(shù)是 600，所以， 經(jīng)過 600 秒后三人又同時從出發(fā)點出發(fā)。練習五1 ，有一條長 400 米的環(huán)形跑道，甲、乙二人同時同地出發(fā)，反向而行， 1 分 鐘后第一次相遇；假設(shè)二人同時同地出發(fā)，同向而行，那么 10 分鐘后第一次相遇。已 知甲比乙快，求二人的速度。2，一環(huán)形跑道長 240 米，甲、乙、丙從同一處同方向騎車而行，甲每秒行 8米，乙每秒行 6 米，丙每秒行 5 米。至少經(jīng)過幾分鐘，三人再次從原出發(fā)點同時出 發(fā)？3，甲、乙、丙三人在一條長 240 米的跑道上來回跑步，甲每秒跑 4米，乙每秒跑 5 米，丙每秒跑 3 米。假設(shè)三人同

46、時從一端出發(fā)，再經(jīng)過多少時間三人又從此處同時出發(fā)？第 27 講 最小公倍數(shù)二【專題簡析 】最小公倍數(shù)的應用題，解題方法比擬獨特。當有些題中所求的數(shù) 不正好是數(shù)的最小公倍數(shù)時，我們可以通過“增加一局部或“減少一局部 的方法，使問題轉(zhuǎn)換成數(shù)的最小公倍數(shù)，從而求出結(jié)果。【例題 1】 有一個自然數(shù)，被 10 除余 7，被 7 除余 4 ，被 4 除余 1。這個自 然數(shù)最小是多少？思路與導航： 根據(jù)條件可知，假設(shè)把這個自然數(shù)增加 3 ，所得的數(shù)就正好 能被 10、7和4這三個數(shù)整除，即 10、7和 4的最小公倍數(shù)，然后再減去 3就能 得到所求的數(shù)了。10 ，7，4=140140 3=137即：這個自然數(shù)

47、最小是 137 。練習一1 ，學校六年級有假設(shè)干個同學排隊做操，如果 3 人一行余 2 人， 7 人一行余 2人， 11 人一行也余 2 人。六年級最少多少人？2，一個數(shù)能被 3、5、7 整除，但被 11 除余 1 。這個數(shù)最小是多少？3 ，一袋糖，平均分給 15 個小朋友或 20 個小朋友后，最后都余下 5 塊。這袋 糖至少有多少塊？【例題 2】 有一批水果，總數(shù)在 1000 個以內(nèi)。如果每 24 個裝一箱，最后一 箱差 2 個；如果每 28 個裝一箱，最后一箱還差 2 個；如果每 32 個裝一箱，最后 一箱只有 30 個。這批水果共有多少個？思路與導航： 根據(jù)題意可知，這批水果再增加 2

48、個后，每 24 個裝一箱，每 28 個裝一箱或每 32 個裝一箱都能裝整箱數(shù)，也就是說，只要把這批水果增加 2 個， 就正好是 24、28和32 的公倍數(shù)。我們可以先求出 24、28 和32 的最小公倍數(shù) 672， 再根據(jù)“總數(shù)在 1000 以內(nèi)確定水果總數(shù)。24 ，28，32=672672 2=670 個即：這批水果共有 670 個。練習二1，一所學校的同學排隊做操，排成 14 行、 16 行、18 行都正好能成長方形， 這所學校至少有多少人？2，有一批乒乓球，總數(shù)在 1000 個以內(nèi)。 4 個裝一袋、 5 個裝一袋或 6 個、 7個、 8 個裝一袋最后都剩下一個。這批乒乓球到底有多少個？3

49、 ，食堂買回一些油，用甲種桶裝最后一桶少 3 千克，用乙種桶裝最后一桶只 裝了半桶油，用丙種桶裝最后一桶少 7 千克。如果甲種桶每桶能裝 8 千克，乙種桶 每桶能裝 10 千克，丙種桶每桶能裝 12 千克，那么，食堂至少買回多少千克油？【例題 3】 一盒圍棋子， 4 顆 4 顆數(shù)多 3 顆，6 顆 6 顆數(shù)多 5 顆，15 顆 15 顆數(shù)多 14 顆，這盒棋子在 150 至 200 顆之間，問共有多少顆？思路與導航： 由條件可知：這盒棋子只要增加 1 顆，就正好是 4、6 、15 的公倍數(shù)。換句話說，這盒棋子比 4、 6、 15 的最小公倍數(shù)少 1 。我們可以先求 4、 6 、15 的最小公倍

50、數(shù)，然后再根據(jù)“這盒棋子在 150 至 200 顆之間這一條件找 出這盒棋子數(shù)。 4、6、15 的最小公倍數(shù)是 60 。60 X3 仁179顆，即這盒棋子共179顆。練習三1 ，有一批樹苗， 9 棵一捆多 7 棵， 10 棵一捆多 8 棵， 12 棵一捆多 10 棵。這 批樹苗數(shù)在 150 至 200 之間，求共有多少棵樹苗。2，五1班的五十多位同學去大掃除，平均分成 4 組多 2 人，平均分成 5組多 3 人。請你算一算，五 1 班有多少位同學？3 ，有一批水果，每箱放 30 個那么多 20 個，每箱放 35 個那么少 10 個。這批水果 至少有多少個？【例題 4】 從學校到少年宮的這段公路

51、上，一共有 37 根電線桿，原來每兩根 電線桿之間相距 50 米，現(xiàn)在要改成每兩根之間相距 60 米，除兩端兩根不需移動外， 中途還有多少根不必移動？思路與導航：從學校到少年宮的這段路長 50 X(37 1 ) =1800米，從路的一 端開始，是 50 和 60 的公倍數(shù)處的那一根就不必移動。因為 50 和 60 的最小公倍 數(shù)是300，所以，從第一根開始，每隔300米就有一根不必移動。1800十300=6 , 就是 6 根不必移動。去掉最后一根，中途共有 5 根不必移動。練習四1 ，插一排紅旗共 26 面。原來每兩面之間的距離是 4 米，現(xiàn)在改為 5 米。如 果起點一面不移動，還可以有幾面不

52、移動？2，一行小樹苗，從第一棵到最后一棵的距離是 90 米。原來每隔 2 米植一棵樹，由于小樹長大了， 必須改為每隔 5 米植一棵。如果兩端不算， 中間有幾棵不必移動？3 ，學校開運動會，在 400 米環(huán)形跑道邊每隔 16 米插一面彩旗，一共插了 25面。后來增加了一些彩旗，就把彩旗間隔縮短了，起點彩旗不動，重新插完后發(fā)現(xiàn)一共有 5 面彩旗沒動。問：現(xiàn)在彩旗的間隔是多少米？【例題 5】 在一根長木棍上用紅、 黃、藍三種顏色做標記，分別將木棍平均分 成了 10 等份、 12等份和 15 等份。如果沿這三種標記把木棍鋸斷，木棍總共被鋸 成多少段？思路與導航：因為 10、12 和15 的最小公倍數(shù)是

53、 60，所以，設(shè)這根木棍長 60厘米。三種顏色的標記分別把木棍分成的小段長是 60 -10=厘米，60十12=5厘米,60 -15=4厘米。因為5和6的最小公倍數(shù)是30，所以紅黃兩種標記重復的地方有 60-301=1 處，另兩種情況分別有 2 處和 4處。因此，木棍總共被鋸成 10 1215 2 1 24=28 段。練習五1 ，用紅筆在一根木棍上做了三次記號， 第一次把木棍分成 12 等份， 第二次把 棍分成 15 等份， 第三次把木棍分成 20 等份，然后沿著這些紅記號把木棍鋸開， 一 共鋸成多少小段？2 ，父子二人在雪地散步，父親在前，每步 80 厘米，兒子在后，每步 60 厘米。在 12

54、0 米內(nèi)一共留下多少個腳??？3 ，在 96 米長的距離內(nèi)掛紅、 綠、黃三種顏色的氣球， 綠氣球每隔 6 米掛一個， 黃氣球每隔 4 米掛一個，。如果綠氣球和黃氣球重疊的地方就改掛一個紅氣球，那 么，除兩端外，中間掛有多少個紅氣球？第28講行程問題一【專題簡析】行程應用題是專門講物體運動的速度、時間、路程三者關(guān)系的應 用題。行程問題的主要數(shù)量關(guān)系是：路程 =速度X時間。知道三個量中的兩個量， 就能求出第三個量?！纠}1】 甲、乙兩車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米。兩車在距中點32千米處相遇，東、西兩地相距多少千米 ？3壬米東匕 “，西甲車行的乙車行的分析與解

55、答 從圖中可以看出，兩車相遇時，甲車比乙車多行了 32 X2=64 千 米。兩車同時出發(fā)，為什么甲車會比乙車多行64千米呢？因為甲車每小時比乙車 多行56-48=8 千米。64里包含8個8，所以此時兩車各行了 8小時，東、西兩 地的路程只要用56+48 X8就能得出。32 X2 十56 48 =8 小時56 + 48 X8=832 千米答：東、西兩地相距832千米。練習一1，小玲每分鐘行100米，小平每分鐘行80米，兩人同時從學校和少年宮出發(fā)，相向而行，并在離中點120米處相遇。學校到少年宮有多少米？2，一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、 乙兩地相對開出，汽車每小時行 40 千米， 摩托車每小時行

56、 65 千米，當摩托車行到兩地中點處時， 與汽車還相距 75 千米。甲、 乙兩地相距多少千米？3 ，甲、乙二人同時從東村到西村，甲每分鐘行 120 米，乙每分鐘行 100 米，結(jié)果甲比乙早 5 分鐘到達西村。東村到西村的路程是多少米？【例題 2】 快車和慢車同時從甲、乙兩地相向開出，乙車每小時行 40 千米， 經(jīng)過 3 小時，快車已駛過中點 25 千米，這時快車與慢車還相距 7 千米。慢車每小 時行多少千米？分析與解答 快車3小時行駛40 X3=120 千米，這時快車已駛過中點25 千米，說明甲、乙兩地間路程的一半是 120 25=95 千米。此時，慢車行了 95 25 7=63 千米，因此慢車每小時行63十3=21 千米。40 X3 25 X2 7 -3=21 千米 答：慢車每小時行 21 千米。練習二1 ，兄弟二人同時從學校和家中出發(fā)，相向而行。哥哥每分鐘行