數列求和匯總例題與答案)

1、數列求和匯總例題與答案）數列求和匯總答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本置重要的方法.】、等差數列求和公式斗葺亠叫+嚀例 仁 已知los. x =求x + x2 +x3 +- + xw +的前n項和.由等比數列求和公式得S” =x + x2+x3+疋（利用常用公式丿 Lh_L丿（1一*）二（一刃）1171-12練習：求一I2 + 22-32 +42-52 +62-.-992 +1002的和。解：-12 + 22-324-42-524-62992+1002=(22-12) +(42 -32) +(62-52) + . + (1002-992)=(2-1)(2+1

2、) + (4-3)(4+3)+(6 - 5)(6+5)+(100 -99)(100 +99) = 3 + 7 + 11 +199由等差數列的求和公式得二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列an bj的 前n項和，其中a、b.分別是等差數列和等比數列.例 2 求和：=l + 3x + 5x2+7x3 + + (2n 1)疋解：由題可知，的通項是等差數列2n-1的通項與等比數列*"的通項之積（設制錯位）'殳 Xn = 1兀 + 5x3 + 7x4 + + (2h 一 )xn一得(l-x)S =l + 2x + 2x2 +2x3

3、 + 2x4 + + 20" (2一l)x"(錯位相沁(2/Z- 1)#小 一(2 + )xn + (1 + x)(If2 46練習：求數列二,一w，2 22 23解：由題可知， 的通項是等差數列2n的通項與等比數列的通項之積TT2 462n7殳 S “ =-+ + + + 一n 2 22 232“1.2462n蘆=去+戸+尹+科一得今+ # + * +尋+ #_磊(錯位相閾 =2-丄-竺2"+ic 4 料 + 2s” =4-三、反序相加法求和這是推字等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是舟一個數列倒過來排列(反序)，再把它與原數列相加.就可以得到n個(q+qj

4、例 3求 sin2 f +sin2 2° 4-sin2 3* + +sin2 88° +sin2 89° 的值解：設 S=sin21° +sin2 T +sin2 3° + sin2 88° +sin2 89°將式右邊反序得5 = sin2 89° +sin2 88°+- + sin2 3s+sin2 2° +sin2l°又因為 sinx = cos(90" -x),sin2 x + cos2 x = 1+得(反序相加)2S = (sin21° + cos21

5、76;) + (sin2 2° + cos2 2°) + + (sin2 89° + cos2 89°) =89 S=44 5 2.* l2223292永和： sr + r + + sr + ?102 +1292 +2282 +3222 +9212 + 10前n項的和. T+ +102（設制錯位）.(反序)四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或 常見的數列然后分別求和，再舟其合并即可.T卜X+ y丿例4.求和:_(% H 0, x H 1, y H 1)解:原式* +十+X” + /&quo

6、t;) + Jyx-xH+,1-x +/+，-/練習：求數列的前n項和:解:設S,r =(1 + 1) + (丄 + 4) + (丄 + 7) + + (丄 + 3一2) acrW將其每一項拆開再重新組合得Sn = (1 + - + r + + -) + (1 + 4 + 7 + + 3/2-2)(分纟圧)當a=1時，S” =« +出也=小)(分組求和)n 2 2當歸時，S”十+也如3+凹也I-a練習:求數列耳,2 £3 £+帶)，的前*項和。 解:Sx =1+2+3-+(/!+)=(1 + 2+3+/!)+(+ + )2 2: 2? r=71（/1 +1） +

7、1 2 21五.裂項法求和這是分解與紐合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的毎項（通項）分解，然后 重新組合，使之能消去一些項，置終達到求和的目的.通項分解（裂坯丿如：例5求數列111 + V2'V2 + V3y/n + Jn + 1，的前n項和.解：設=一 =、后1_循(裂項)yjn +J/2 + 1則S” =+ j廠+ + L (裂項求和)1 + yj2 yj2 + y/3yjH + yj H + =(V - Vi") + (*/3 - >/2) + + (J” + 1 - yn )=y/n + -1練習：求V>i；6之和。解:卜1 1 1 _

8、 1 1 1 115 + 35 + 63=173 + 375 + 577 + 779一（1 一一）+ （一一一）+ （一一一）+ （一 一一）232 3 52 5 72 7 9 （一 _） + （ 丄 （丄一丄）233 55 77 9六-合并法求和針對一些特殊的數列，將某些項合并在一是就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這 些項放在一是先求和，然后再求S°例 6、數列a）: af =l.a2 = 39a3 = 2, an2 = % 一 5 ,求 S2002.解：設 S2002= G + + 2002由 ax = 1, a2 = 3, a3 = 2, anJpl = % a

9、n 可得你2=1，%“2=3, «6,+3 = 2,化文胡二一匕 八5=一3，"“+6=一2“6如 1 +%+2 +%+3 +“6如4 +%+5 +%+6 = °(找特殊性質項)S2CO2= rtj + “2 + + “2002 (合并朮和)-(6 + a2 + “3 + 么6)+ (d? + “8 + 識12)+ ° +(“6如 1 +，" + “6如6 )d F ("993 + "1994h “1998)+ "】999 + 6/2(XX) + “2001 + “2(X)2_ "1999 + “2000

10、 + “2001 + “2002"6 卻 + %+2 + %+3 + %+4=5練習:在各項均為正數的等比數列中，若&§&6 =9,求log3 al +log3iJ2 + - + log3 alQ的值. 解：3殳S“ = log3 ax +log3 a2 + + log3I0由等比數列的性質m + n = p + q=> aman = apaq (找特殊性質項)和對數的運算性質logn M + logn N = log& M N得Sn =(log3。 +108360)+ (10032 + log3 9) + + (log3 a5 + log3 tz6)(合并求和)=(log3 «)-I0) + (log3 a2ii)+ - + (log3 a5 )=logs 9 + log? 9 + + Iog3 9=10七、利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規(guī)律 來求數列的前n項和，是一個重要的方法.例人求5, 5 5 , 555,-,的祈n項和。解:Van=59da-1) S亡(1 0- 1 )+；( 1 (fT)代(10H+； ( 1 (T 1)4 / 5=旳(10+ 1 (f+1(f +-F101) n=(iaH