10學(xué)年第一學(xué)期《用二分法求方程的近似解》陳燃會(huì)

1、3.1.2 用二分法求方程的近似解10學(xué)年第一學(xué)期一、知識(shí)與技能根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法.二、過程與方法1.自主學(xué)習(xí)，了解逼近思想、極限思想.2.探究與活動(dòng)，適當(dāng)借助現(xiàn)代化的計(jì)算工具解決問題，變?nèi)私鉃闄C(jī)器解.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀通過具體實(shí)例的探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過程會(huì)用二分法解決生活中的問題，為社會(huì)做貢獻(xiàn)。教學(xué)重點(diǎn)通過用“二分法”求方程的近似解，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí).教學(xué)難點(diǎn)在利用“二分法”求方程的近似解的過程中，由于數(shù)值計(jì)算較為復(fù)雜，

2、因此對(duì)獲得給定精確度的近似解增加了困難.要解決這一困難，需要恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具.教具準(zhǔn)備多媒體課件、電腦Excel軟件.教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課師：大家先來看一段錄像（放映CCTV2幸運(yùn)52片斷）主持人李詠說道：猜一猜這件商品的價(jià)格.觀眾甲：2000！李詠：高了！觀眾甲：1000！李詠：低了！觀眾甲：1700！李詠：高了！觀眾甲：1400！李詠：低了！觀眾甲：1500！李詠：低了！觀眾甲：1550！李詠：低了！觀眾甲：1580！李詠：高了！觀眾甲：1570！李詠：低了！觀眾甲：1578！李詠：低了！觀眾甲：1579！李詠：這件商品歸你了.下一件師：如果讓你來猜一件商品的價(jià)格，你如何猜

3、？生甲：先初步估算一個(gè)價(jià)格，如果高了再每隔一元降低報(bào)價(jià).生乙：這樣太慢了，先初步估算一個(gè)價(jià)格，如果高了再每隔100元降低報(bào)價(jià).如果低了，每50元上漲，如果再高了，每隔20元降低報(bào)價(jià)，如果低了，每隔10元上升報(bào)價(jià)生丙：先初步估算一個(gè)價(jià)格，如果高了再報(bào)一個(gè)價(jià)格，如果低了就報(bào)兩個(gè)價(jià)格和的一半，如果高了再把報(bào)的低價(jià)與一半價(jià)再求其半報(bào)出價(jià)格，如果低了就把剛剛報(bào)出的價(jià)格與前面高的價(jià)格結(jié)合起來取其和的半價(jià)二、講解新課師：第三個(gè)同學(xué)的回答可以幫助我們解一些數(shù)學(xué)問題，現(xiàn)在的問題是：能否求解方程lnx+2x6=0?如果能求解的話，怎么去解?你能用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)嗎?學(xué)生共同探索（倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式

4、，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.先分組討論，后各組發(fā)表意見，歸納如下）為了方便，我們通過“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍.取區(qū)間（2，3）的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器算得f（2.5）0.084.因?yàn)閒（2.5）f（3）0，所以零點(diǎn)在區(qū)間（2.5，3）內(nèi).再取區(qū)間（2.5，3）的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得f（2.75）0.512.因?yàn)閒（2.5）f（2.75）0，所以零點(diǎn)在區(qū)間（2.5，2.75）內(nèi).由于（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75），所以零點(diǎn)所在的范圍確實(shí)越來越小了.如果重復(fù)上述步驟，那么零點(diǎn)所在的范圍越來越小（見下表和圖）.這樣，在一定精確度下，我們可以在有限次重復(fù)相同步驟后，將

5、所得的零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值.例如，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于|2.53906252.53125|=0.00781250.01，所以，我們可以將x=2.54作為函數(shù)f（x）=lnx+2x6零點(diǎn)的近似值，也即方程lnx+2x6=0根的近似值.區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值（2，3）2.50.084（2.5，3）2.750.512（2.5，2.75）2.6250.215（2.5，2.625）2.56250.066（2.5，2.5625）2.531250.009（2.53125，2.5625）2.5468750.029（2.53125，2.5

6、46875）2.53906250.010（2.53125，2.5390625）2.535156250.001由此得到：1.二分法：對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f（a）f（b）0的函數(shù)y=f（x），通過不斷地把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.2.用二分法求函數(shù)f（x）零點(diǎn)近似值的步驟（1）確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證f（a）f（b）0，給定精確度；（2）求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)x1；（3）計(jì)算f（x1）.若f（x1）=0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；若f（a）f（x1）0，則令b=x1此時(shí)零點(diǎn)x0（a，x1）；若f（x1）f（b）0，則令a

7、=x1此時(shí)零點(diǎn)x0（x1，b）.（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若|ab|，則得到零點(diǎn)近似值a（或b），否則重復(fù)（2）（4）.由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解.由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此，我們可以通過設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算.【例1】 教科書P105例2.本例說明求方程的根的近似值可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，并讓學(xué)生體會(huì)用二分法求方程的近似解的完整過程.此例也可以按下面的方法解答：原方程化為2x+3x7=0.令f（x）=2x+3x7，則原方程的根為函數(shù)f（x）的零點(diǎn).因?yàn)閒（1）=2，f（2）=3，所以f（1）f（2）0，即函

8、數(shù)f（x）在（1，2）內(nèi)存在零點(diǎn).因?yàn)閒（x）在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在（1，2）內(nèi)有唯一的零點(diǎn).根據(jù)二分法，用計(jì)算器得出以下表格：通過上述表格，我們得知函數(shù)唯一的零點(diǎn)x0在區(qū)間（1.375，1.4375）內(nèi)，即1.375x01.4375，所以原方程精確到0.1的近似解為1.4.三、課堂練習(xí)教科書P106練習(xí)解答：1.由題設(shè)可知f（0）=1.40，f（1）=1.60，于是f（0）f（1）0.所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).下面用二分法求函數(shù)f（x）=x3+1.1x2+0.9x1.4在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn).取區(qū)間（0，1）的中點(diǎn)x1=0.5，用計(jì)算器可得f（0.5）=0.

9、55.因?yàn)閒（0.5）f（1）0，所以x0（0.5，1）.再取區(qū)間（0.5，1）的中點(diǎn)x2=0.75，用計(jì)算器可算得f（0.75）0.32.因?yàn)閒（0.5）f（0.75）0，所以x0（0.5，0.75）.同理可得x0（0.625，0.75），x0（0.625，0.6875），x0（0.65625，0.6875）.由于|0.68750.65625|=0.031250.1，此時(shí)區(qū)間（0.65625，0.6875）的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.1的近似值都是0.7，所以原函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)精確到0.1的零點(diǎn)約為0.7.2.原方程即x+lgx3=0，令f（x）=x+lgx3.用計(jì)算器可算得f（2）0.70，

10、f（3）0.48，于是f（2）f（3）0.所以這個(gè)方程在區(qū)間（2，3）內(nèi)有一個(gè)解.下面用二分法求方程x=3lgx在區(qū)間（2，3）的近似解.取區(qū)間（2，3）的中點(diǎn)x1=2.5，用計(jì)算器可算得f（2.5）0.10.因?yàn)閒（2.5）f（3）0，所以x0（2.5，3）.再取區(qū)間（2.5，3）的中點(diǎn)x2=2.75，用計(jì)算器可算得f（2.75）0.19.因?yàn)閒（2.5）f（2.75）0，所以x0（2.5，2.75）.同理可得x0（2.5，2.625），x0（2.5625，2.625），x0（2.5625，2.59375），x0（2.578125，2.59375），x0（2.5859375，2.59375）

11、.由于|2.58593752.59375|=0.00781250.01.此時(shí)區(qū)間（2.5859375，2.59375）的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.01的近似值都是2.59，所以原方程精確到0.01的近似解為2.59.四、課堂小結(jié)求函數(shù)零點(diǎn)的二分法，對(duì)函數(shù)圖象是連續(xù)不間斷的一類函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)都有效.如果一種計(jì)算方法對(duì)某一類問題（不是個(gè)別問題）都有效，計(jì)算可以一步一步地進(jìn)行，每一步都能得到唯一的結(jié)果，我們常把這一類問題的求解過程叫做解決這一類問題的一種算法.算法是刻板的、機(jī)械的，有時(shí)要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算，但它的優(yōu)點(diǎn)是一種通法，只要按部就班地去做，總會(huì)算出結(jié)果.更大的優(yōu)點(diǎn)是，它可以讓計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn).例如，我們可以編寫程序，快速地求出一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).有興趣的同學(xué)，可以在